专题03 二次函数的图象和性质（9大考点）（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题03 二次函数的图象和性质 9大高频考点概览 01 二次函数定义辨析 02 y=ax2的图象和性质 03 二次函数待定系数法 04 二次函数的图象与字母参数的关系 05 二次函数与几何图形 06 二次函数的图象平移 07 二次函数图象和性质的综合应用 08 二次函数字母参数问题 09 二次函数的综合问题 地 城 考点01 二次函数定义辨析 考点01 蛋白质的结构和功能 考点02 糖类和脂质的结构和功能 考点03 细胞中的无机物 （说明：科学进行考点/题型划分，符合期考备考使用，突出重难、易错、高频等） （说明：注意每个考点下题型多样，可以包括选择题、非选择题等，题量8~15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北张家口·期中）下列函数中，其图象是抛物线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）对于任意实数m，下列函数：①；②；③；④．其中，一定为二次函数的有（   ）A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知是关于的二次函数． (1)求值； (2)若，直接写出的取值范围． 地 城 考点02 y=ax2的图象和性质 考点02 糖类和脂质的结构和功能 考点03 细胞中的无机物 （说明：科学进行考点/题型划分，符合期考备考使用，突出重难、易错、高频等） （说明：注意每个考点下题型多样，可以包括选择题、非选择题等，题量8~15题） 一、单选题 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）图象的对称轴是y轴的二次函数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 7．（2023九年级上·全国·专题练习）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知点、是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点的横坐标是，则点的横坐标为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 10．（24-25九年级上·河北唐山·期中）抛物线的图象有最 点（填“高”或“低”）． 11．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值： ． 12．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数图象上有两个不同点、，则 ． 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ）地 城 考点03 二次函数待定系数法 考点03 细胞中的无机物 （说明：科学进行考点/题型划分，符合期考备考使用，突出重难、易错、高频等） （说明：注意每个考点下题型多样，可以包括选择题、非选择题等，题量8~15题） 一、单选题 A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 15．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知抛物线经过点，，则该抛物线的解析式 ． 16．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 17．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）一个小正方体的展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相等． (1)求出符合要求的x的值； (2)已知一抛物线顶点的横、纵坐标正好是小正方体相邻两个面的数值，且该抛物线经过的另外一点横、纵坐标正好是小正方体的其他相邻的两个面的数值，判断是否在该抛物线上？ 地 城 考点04 二次函数的图象与字母参数的关系 （说明：注意每个考点下题型多样，可以包括选择题、非选择题等，题量8~15题） 一、单选题 18．（24-25九年级上·河北邢台·期中）二次函数的图象如图所示，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．2或 19．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若实数P表示的值，实数Q表示的值，则P与Q的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，已知顶点为的抛物线经过点，下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于的一元二次方程的两根为和，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（m为任意实数）； ③； ④若、是抛物线上不同的两个点，则 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 地 城 考点05 二次函数与几何图形 23．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 24．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，正方形的顶点，在拋物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，关于，之间的关系，甲的结论：，乙的结论：．则正确的是（   ） A．甲乙均错 B．甲乙均对 C．甲错乙对 D．甲对乙错 25．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是 ． 26．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，点，在该抛物线上，其横坐标分别为，，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为边构造矩形．设被矩形截得的部分图象（包括边界）记为． (1)求的值和的对称轴； (2)当点在上时，求的长； (3)是否存在，使的顶点在边上，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若图象只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出的取值范围． 27．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，抛物线与x轴交于B两点，点C，D在该抛物线上，其横坐标分别为：m，，分别过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为P，Q，以，为边构造矩形．设L被矩形截得的部分图象（包括边界）记为G． (1)求b的值和L的对称轴； (2)当点P在L上时，求的长； (3)若图象G只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出m的取值范围． 28．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，连接，当时，求的面积． (3)如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将分成面积相等的两部分?若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由． 29．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 30．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 31．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线与直线交于点． 嘉嘉说：当点与点重合时，长最大；琪琪说：当点的横坐标为1时，的面积为6．请选择其中一人的说法进行说理． 地 城 考点06 二次函数的图象平移 32．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线是由抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到的，已知抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为（） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为（   ） A． B．8 C．6 D．9 36．（24-25九年级上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 37．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 38．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． (1)直接写出a，m的值； (2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到． 琪琪说：无论x为何值，恒小于0． 请选择其中一人的说法进行说理； (3)推断以A，D，C，E为顶点的四边形是哪种特殊的四边形，并直接写出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数； (4)作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线l，直线l与抛物线相交，直接写出直线l与抛物线有三个交点时n的值． 39．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若函数的图象过点． (1)求这个函数的解析式；并判断其函数图象是否过点； (2)若将（1）中的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标． 地 城 考点07 二次函数图象和性质的综合应用 40．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列关于二次函数的说法，正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象向右平移3个单位则变为 C．当时，有最大值 D．当时，y随x的增大而增大 41．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将拋物线：平移到抛物线：，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有； 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（   ） A．只有甲说得对 B．只有乙说得错 C．只有丙说得错 D．甲、乙、丙说得都错 42．（24-25九年级上·河北保定·期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·河北沧州·期中）正比例函数和二次函数的图象一致的是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24九年级上·河北唐山·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）    A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 45．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）若点，都在抛物线上，则，的大小关系是 （选填“>”或“<”）． 地 城 考点08 二次函数字母参数问题 46．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知抛物线的最高点在x轴上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线． (1)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (2)若时，随的增大而增大，求的取值范围． 49．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 50．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； x 0 1 2 3 y 0 51．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）题目：“如图，已知抛物线，点是轴上的一点，将点向右平移3个单位长度得到点，若线段与只有一个公共点，直接写出的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则下列说法正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整 地 城 考点09 二次函数的综合问题 52．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，二次函数的图象经过点． (1)求a的值，并直接写出对称轴； (2)在图中画出函数该部分的图象（不必列表），并直接写出对应y的取值范围． 53．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点C． (1)直接写出点C的坐标，并求抛物线的对称轴； (2)若通过计算判断l的顶点与直线的位置关系； (3)若l与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 54．（24-25九年级上·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． (2)若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 55．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，网格（每个小正方形的边长为1）中，有，，，，，，，，九个格点．抛物线的解析式为． (1)为奇数且经过点，通过计算说明哪个格点是该抛物线的顶点； (2)为偶数且经过点，通过计算说明点是否在上； (3)若经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数． 56．（24-25九年级上·河北唐山·期中）规定1：一个点纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”． 例如：点，则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为______； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，求的值． 57．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）中x与y的部分对应值如下表． x … 0 1 2 … y … 0 … (1)根据以上信息，可知ac______0（选填“＜”“＞”或“＝”）； (2)求抛物线的解析式并在图中画出的图象； (3)抛物线的解析式为．设直线与抛物线、都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段的值． 58．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知：抛物线：；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)①直接写出的对称轴． ②当时，此时点和点在上， 则______（填“”、“”或“”）． (2)设的顶点坐标为，用含的式子分别表示和；并写出的最大值． (3)当时， ①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到，写出的值． ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，求抛物线和抛物线的交点坐标； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，设新的抛物线和的交点为和，点是线段的中点，则点的横坐标为______（直接用含的式子表示）． 试卷第2页，共63页 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的图象和性质 9大高频考点概览 01 二次函数定义辨析 02 y=ax2的图象和性质 03 二次函数待定系数法 04 二次函数的图象与字母参数的关系 05 二次函数与几何图形 06 二次函数的图象平移 07 二次函数图象和性质的综合应用 08 二次函数字母参数问题 09 二次函数的综合问题 地 城 考点01 二次函数定义辨析 考点01 蛋白质的结构和功能 考点02 糖类和脂质的结构和功能 考点03 细胞中的无机物 （说明：科学进行考点/题型划分，符合期考备考使用，突出重难、易错、高频等） （说明：注意每个考点下题型多样，可以包括选择题、非选择题等，题量8~15题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·河北张家口·期中）下列函数中，其图象是抛物线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象是抛物线，形如的函数叫做二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，其图象是抛物线，故本选项符合题意； B、是一次函数，其图象是直线，故本选项不符合题意； C、是正比例函数，其图象是直线，故本选项不符合题意； D、是反比例函数，其图象是双曲线，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）对于任意实数m，下列函数：①；②；③；④．其中，一定为二次函数的有（   ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的判断，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 对于①、②、④项，考虑项的系数是否可以取0，若可以，则不是二次函数，若不可以，则是二次函数； 对于③，对任意实数m，，由此即可解答． 【详解】解：①当，即时，，不是二次函数； ②当，即时，，它不是二次函数； ③任意实数m，，故它是二次函数； ④当，即时，，它不是二次函数． 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数叫二次函数是解题的关键．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：A．中，当时，不是二次函数，不符合题意； B．，符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； C．，未知数的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意； D．，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知是关于的二次函数． (1)求值； (2)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质， （1）根据二次函数最高次必须为二次建立方程，解方程即可得到答案； （2）先判断二次函数的开口方向，求出二次函数的对称轴和时x的值，结合二次函数的图像性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，且， 解方程得：或（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，且对称轴为： ∵时，解方程得，，， ∴当时，． 地 城 考点02 y=ax2的图象和性质 考点02 糖类和脂质的结构和功能 考点03 细胞中的无机物 （说明：科学进行考点/题型划分，符合期考备考使用，突出重难、易错、高频等） （说明：注意每个考点下题型多样，可以包括选择题、非选择题等，题量8~15题） 一、单选题 5．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）图象的对称轴是y轴的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．由已知可知对称轴为直线，从而确定函数解析式，再确定答案即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为y轴， 则函数对称轴为直线， 此时函数解析式为， ∴C符合题意； 故选：C． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：D． 7．（2023九年级上·全国·专题练习）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．随的增大而减小 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性． 【详解】解：，对称轴为 抛物线开口向上，当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小 故选：B． 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知点、是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点的横坐标是，则点的横坐标为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象及性质，解题关键是掌握二次函数的对称性． 根据题意利用二次函数对称性即可得到本题答案． 【详解】解：∵是抛物线上关于对称轴对称的两点，抛物线对称轴为， ∵点的横坐标是， ∴点横坐标为：2， 故选：D． 9．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正方形的性质，完全平方公式，先得出点，根据正方形的性质得点．再把点代入，得出，整理出，结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意当时，则， ∴点， 四边形为正方形，， 则， 点． 将点代入中， 得． ， ． ， ， ， 的最小值为4． 故选：D． 10．（24-25九年级上·河北唐山·期中）抛物线的图象有最 点（填“高”或“低”）． 【答案】低 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据得到抛物线的图象开口向上，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线的图象开口向上， ∴抛物线的图象有最低点， 故答案为：低 11．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值： ． 【答案】2（答案不唯一，满足或即可） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由二次函数的性质得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴取， 故答案为：2（答案不唯一，满足或即可）． 12．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数图象上有两个不同点、，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得、关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵二次函数 图象上有两个不同点、， ∴、关于对称轴对称， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）若一个抛物线与抛物线的开口大小相同，开口方向相反，且与x轴相交于点，，则该抛物线的解析式为（   ）地 城 考点03 二次函数待定系数法 考点03 细胞中的无机物 （说明：科学进行考点/题型划分，符合期考备考使用，突出重难、易错、高频等） （说明：注意每个考点下题型多样，可以包括选择题、非选择题等，题量8~15题） 一、单选题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求解抛物线的解析式，由题意设抛物线为，结合抛物线与x轴相交于点，，可得答案． 【详解】解：∵抛物线与二次函数图象的开口大小相同，开口方向相反， ∴设这样的抛物线为， ∵抛物线与x轴相交于点，， ∴，， ∴抛物线为； 故选：A 14．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法法求函数解析式，抛物线的形状与抛物线相同，．抛物线与轴的交点为，，利用交点式求表达式即可． 【详解】解：∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∵抛物线与x轴的交点为，， ∴其解析式， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知抛物线经过点，，则该抛物线的解析式 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，点，的纵坐标相同，因此这两个点可能是关于对称轴对称的两个点，也可能是同一个点，故分两种情况进行分析解答，利用对称性找出对称轴与两点横坐标之间的关系是解决问题的关键． 【详解】抛物线的对称轴为直线； ①抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则对称轴，且； ∴抛物线的解析式为， ②两点重合，，， ∴代入解析式得． ∴抛物线的解析式为， 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）利用顶点式求解二次函数解析式即可． （2）把代入函数的解析式求得函数值即可判断． 【详解】（1）解：此二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为：， 它的图象过点， ，解得， 此二次函数的解析式为． （2）解：点不在这个二次函数的图象上． 理由：当时，． 点不在这个二次函数的图象上． 17．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）一个小正方体的展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相等． (1)求出符合要求的x的值； (2)已知一抛物线顶点的横、纵坐标正好是小正方体相邻两个面的数值，且该抛物线经过的另外一点横、纵坐标正好是小正方体的其他相邻的两个面的数值，判断是否在该抛物线上？ 【答案】(1) (2)点在该抛物线上 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，解一元二次方程，抛物线的对称性等等： （1）根据正方体展开图的特点可得方程，解方程并验证即可得到答案； （2）根据（1）所求求出抛物线顶点坐标以及点和点的坐标，再根据对称性进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴或， ∵不相对两个面上的数值不相等， ∴， ∴， ∴ （2）解：当时，， ∴抛物线顶点坐标为，且抛物线经过点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴点在该抛物线上． 地 城 考点04 二次函数的图象与字母参数的关系 （说明：注意每个考点下题型多样，可以包括选择题、非选择题等，题量8~15题） 一、单选题 18．（24-25九年级上·河北邢台·期中）二次函数的图象如图所示，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数求解、、的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题把代入代入，然后根据二次函数开口方向即可求解； 【详解】解：由图可得，该二次函数过原点且开口方向向下， ∴把代入， 解得：， ∵该二次函数开口方向向下， ∴， 故选：； 19．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若实数P表示的值，实数Q表示的值，则P与Q的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的图象经过，得出得，，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过， 故根据图象可得二次函数对称轴为直线， ∴当时，，即， 当时，，即， ， 故选：A． 20．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，已知顶点为的抛物线经过点，下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于的一元二次方程的两根为和，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线与x轴有两个交点，可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，，即可判断③，根据对称性得出点关于直线的对称点在抛物线上，即可判断④． 【详解】解：已知顶点为的抛物线经过点， 依据二次函数的性质可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故①符合题意； ∵抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ∴，所以②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，而点在抛物线上， 点关于直线对称的点为， 当时，y随x的增大而减小，， ∴，所以③不符合题意； ∵抛物线经过点，而抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点在抛物线上， ∴关于x的一元二次方程的两根为和，所以④符合题意． ∴正确的结论是①②④ 故选：C． 21．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，的值只能为；⑤，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口向上得到，由与轴的交点为()得到，而对称轴为，得，进一步得到，由此判定①；根据抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根，即可判断②；由，，由此判定③；由得到，由此确定判定④；根据图象可得，当时的函数值小于，即可判定⑤正确． 【详解】解：由图象可得，，， ，故①错误， 抛物线与轴有两个不同交点，则方程有两个不等实数根， ，故②正确 =，， ，， ， ，故③正确； 对称轴为， 点()和()关于对称轴对称， 当时，的值为和，故④错误； 根据函数图象可得，时，，故⑤错误． 综上，可得正确结论的个数是个：②③． 故选B． 22．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（m为任意实数）； ③； ④若、是抛物线上不同的两个点，则 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴． ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴，则， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴（m为任意实数）， 即，故②正确； ∵时，， 即， ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于直线对称， ∴，即，故④不正确． 正确的有②③ 故选：B． 地 城 考点05 二次函数与几何图形 23．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设与y轴交于点D，首先根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求出，进而得到，，然后根据二次函数的对称性求出对称轴为直线，得到，然后将代入即可求出． 【详解】如图所示，设与y轴交于点D ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线 ∴ ∴将代入得， 解得． 故选：A． 24．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，正方形的顶点，在拋物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，关于，之间的关系，甲的结论：，乙的结论：．则正确的是（   ） A．甲乙均错 B．甲乙均对 C．甲错乙对 D．甲对乙错 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，证明，将坐标表示出来，列出等式即可得到答案． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为， 将，两点的横坐标代入函数解析式， 得，， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ． 故甲对乙错， 故选D． 25．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，由抛物线的对称性可知，从而可得，，再由点是的中点，即可得到，即：，再根据即可得到，进而可得，即可求解．解题的关键在于能够求出． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知， ∴， ∵点是的中点， ∴，即：， 将，代入可知：， 则， ， ， ， 故答案为：3． 26．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，点，在该抛物线上，其横坐标分别为，，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为边构造矩形．设被矩形截得的部分图象（包括边界）记为． (1)求的值和的对称轴； (2)当点在上时，求的长； (3)是否存在，使的顶点在边上，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若图象只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)；对称轴为直线 (2)9 (3)存在，点的坐标为 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的解析式，二次函数与特殊的四边形综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合是解题的关键． （1）代入到抛物线，解方程得到解析式，进而即可得到抛物线的对称轴； （2）先求出点的坐标，进而推出点，的坐标，即可求出的长； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，再用m表示出点的坐标，结合的顶点在边上，列出方程求解m的值即可解答； （4）分两类情况讨论：①当点，在该抛物线上对称轴左侧时，图象只呈下降趋势；②当点在上方时，图象只呈上升趋势；分别求出对应m的取值范围即可． 【详解】（1）解：代入得，， 解得：， ， 的对称轴为， ，的对称轴为直线． （2）当点在上时，点为与轴的交点， 令，则，即， 轴，点在抛物线上， ，点与点关于对称轴对称，即， ，， 代入，则，即， 轴， ， ． （3）代入，则，即的顶点坐标为， 代入，则，即， 的顶点在边上， ， 解得：， 代入，则，即， 存在，点的坐标为． （4）由题意得，当点，在该抛物线上对称轴左侧时，图象只呈下降趋势， ， 解得：， ； 当点在上方时，图象只呈上升趋势， 令， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，的取值范围为或． 27．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，抛物线与x轴交于B两点，点C，D在该抛物线上，其横坐标分别为：m，，分别过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为P，Q，以，为边构造矩形．设L被矩形截得的部分图象（包括边界）记为G． (1)求b的值和L的对称轴； (2)当点P在L上时，求的长； (3)若图象G只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)9 (3)或． 【分析】（1）将代入抛物线，解方程得到抛物线的解析式，进而可得到抛物线的对称轴； （2）先求出P点坐标，进而推出两点的坐标，从而可求出的长； （3）由题意知，当均在对称轴左侧时，图象G只呈下降走势，则，可求；当点在上方时，图象G只呈上升走势，令，可求或（舍去），即． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴对称轴为直线， ∴，对称轴为直线， （2）∵为矩形与y轴负半轴的交点，同时P在抛物线上， ∴当时，抛物线y的值为：， ∴此时的坐标为， 又∵过点C作y轴的垂线，垂足为P， ∴点的纵坐标为，此时，解得， ∴C点坐标为：， 此时点的横坐标为6， ∴，故此时点坐标为， ∴， （3）解：由题意知，当均在对称轴左侧时，图象G只呈下降走势， ∴， 解得，， ∴； 当点在上方时，图象G只呈上升走势， 令， 解得，或（舍去）， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合是解题的关键． 28．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，连接，当时，求的面积． (3)如图2，过点作轴于点，交于点，直线能否将分成面积相等的两部分?若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点 【分析】本题考查二次函数综合性问题，涉及解析式，面积，图象的性质等． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据求出点P的坐标，利用三角形面积公式即可解答； （3）先求出直线的解析式，设点，则点的坐标为．根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点与点代入， 得 解得 抛物线的解析式为． （2）解：， ． 将代入中， 得， 解得（舍去），， 点， ， ． （3）解：由题意可设直线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得， 直线的解析式为． 设点，则点的坐标为． ， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 点． 29．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G，根据条件得到是等腰直角三角形，则，设，则，再列方程解题即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点C作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点G， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得（舍去）或， ∴当时，， ∴． 30．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数综合—线段问题； （1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）设，则，，表示出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）解：∵点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D， ∴设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，为，此时，即． 31．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线与直线交于点． 嘉嘉说：当点与点重合时，长最大；琪琪说：当点的横坐标为1时，的面积为6．请选择其中一人的说法进行说理． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出，．再将，，代入，用待定系数法求解即可； （2）选择嘉嘉，先求出直线的解析式为．设点的横坐标为，则，，则，进而求解； 选择琪琪，先求出直线的解析式为．求出，，可得，最后由求解即可． 【详解】（1）解：，对称轴为直线， ， ． ， ， ． 把，，代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）解：选择嘉嘉． 设直线的解析式为． 把，代入， 得 解得 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则，， ， 当时，长最大，此时，与点A重合， 当点与点重合时，长最大； 选择琪琪： 设直线的解析式为． 把，代入， 得 解得 直线的解析式为． 点的横坐标为1，轴， 点的横坐标为1， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征． 地 城 考点06 二次函数的图象平移 32．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据二次函数的顶点式，利用二次函数的平移规律即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位， 得到抛物线的函数表达式为． 故选：B． 33．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移1个单位长度得到新的抛物线为． 故选：A 34．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线是由抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到的，已知抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到原抛物线的解析式． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到原抛物线的解析式为：，即． 所以抛物线的解析式为． 故选：A． 35．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为（   ） A． B．8 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握关于原点对称的抛物线开口方向改变，开口大小不变，是解题的关键． 根据关于原点对称的抛物线开口方向改变，大小不变，可得到答案． 【详解】解：抛物线与抛物线关于原点对称，则横纵坐标互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选： A． 36．（24-25九年级上·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图形与性质、二次函数图像的平移等知识，理解并掌握二次函数图像平移的规律是解题关键．首先将原抛物线解析式转化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的规律得到平移后抛物线的解析式，进而可得平移后得到的抛物线的顶点为，结合确定平移后得到的抛物线的顶点所在象限即可． 【详解】解： ， 将抛物线沿轴向下平移2个单位， 则平移后的抛物线解析式为， ∴平移后得到的抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴平移后得到的抛物线的顶点一定在第一象限． 故选：A． 37．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的值为3； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法，点平移的性质，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设二次函数的解析式为，采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式求解，即可解题； （3）根据题意分为当时，当时，当时，结合二次函数的最大值与最小值的差为，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ， 整理得：； （2）解：点平移后的点的坐标为， 则， 解得或（舍）， 的值为3； （3）解：当时， 最大值与最小值的差为， 解得：不符合题意，舍去； 当时， 最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，最大值与最小值的差为， 解得或，不符合题意； 综上所述，的取值范围为． 38．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C． (1)直接写出a，m的值； (2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到． 琪琪说：无论x为何值，恒小于0． 请选择其中一人的说法进行说理； (3)推断以A，D，C，E为顶点的四边形是哪种特殊的四边形，并直接写出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数； (4)作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线l，直线l与抛物线相交，直接写出直线l与抛物线有三个交点时n的值． 【答案】(1)； (2)见详解； (3)正方形，有5个整点在四边形内部（包括边界）； (4)或4． 【分析】（1）由抛物线与抛物线交于点，可求得的值； （2）由抛物线的平移的性质，即可得可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位得到，说明嘉嘉的说法；由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，总是负数，说明琪琪的说法； （3）首先求得点的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．结合图像求出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数； （4）分直线l与抛物线有一个交点，过点两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与交于点， 当时，， 即，， 解得：，； （2）解：嘉嘉的说法： 抛物线与， 可由向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到； 琪琪的说法： ， ， ， 无论取何值，总是负数； （3）解：设与交于点， 当时，， 解得：或， 点， 当时，， 解得：或， 点， ，， 当时，，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形； ，， 设直线为， 得， 解得， ， 由图像可知：点在四边形内部（包括边界）， 当时， 或， 时，， 时，， 两图像的交点坐标为，， 抛物线的顶点也在四边形的边上， 综上所述，共有5个整点在四边形内部（包括边界）； （4）解：，， 设直线为， 得，解得， ， 将直线向下平移个单位长度后得到直线l为， 令， 即， 当时，即， 解得， 此时直线l与抛物线 有两个交点，与有一个交点，共有三个交点，如下图： 当直线l经过点时， ， 解得， 此时直线l与抛物线有三个交点，如下图： 综上所述，当直线l与抛物线有三个交点时n的值为或4． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 39．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若函数的图象过点． (1)求这个函数的解析式；并判断其函数图象是否过点； (2)若将（1）中的函数图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标． 【答案】(1)，函数图象不过点 (2)平移后的解析式为，顶点为 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识点， （1）将代入，根据待定系数法即可求得解析式，把代入即可判断； （2）直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，进而即可得出顶点坐标； 熟练掌握抛物线平移规律是解决此题的关键． 【详解】（1）把代入得， ， ∴， ∴此函数的解析式为， 当时， ∴函数图象不过点； （2）由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为． 地 城 考点07 二次函数图象和性质的综合应用 40．（24-25九年级上·河北沧州·期中）下列关于二次函数的说法，正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．图象向右平移3个单位则变为 C．当时，有最大值 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数的图象平移，掌握二次函数的图象性质和二次函数的图象平移规律是解题的关键． 根据二次函数的性质和平移的规律对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：由二次函数可知： A、对称轴为直线，故此选项不符合题意； B、把二次函数的图象向右平移3个单位得到函数为，即，故此选项不符合题意； C、∵，开口向上，对称轴为直线，∴当时有最小值是；故此选项不符合题意； D、∵，开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，故此选项符合题意； 故选：D． 41．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将拋物线：平移到抛物线：，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有； 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（   ） A．只有甲说得对 B．只有乙说得错 C．只有丙说得错 D．甲、乙、丙说得都错 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错． 故选：C． 42．（24-25九年级上·河北保定·期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 43．（24-25九年级上·河北沧州·期中）正比例函数和二次函数的图象一致的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，理解它们的图象和性质是解答关键． 根据正比例函数图象都是随的增大而减小，得到，得到，从面得到二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，分别判断各项即可求解． 【详解】解：A．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． B．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． C．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． D．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项符合题意． 故选：D． 44．（23-24九年级上·河北唐山·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）    A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．当时， D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数图象，结合二次函数的性质逐一判断即可求解，从图象中获取信息，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解： A、由图得：图象关于直线对称，则正确，故不符合题意； B、由图得：函数的最小值是，则正确，故不符合题意； C、由图得：对称轴为直线，抛物线的一个交点为：，则抛物线与x轴的另一交点为：， 当时，，则错误，故符合题意； D、由图得：对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小，则正确，故不符合题意； 故选C． 45．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）若点，都在抛物线上，则，的大小关系是 （选填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线的开口方向向上，对称轴为，则越靠近对称轴的所对应的函数值越小，再结合，即可作答． 【详解】解：抛物线的开口方向向上，对称轴为， 则越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵点，都在抛物线上，且 ∴， 故答案为：>． 地 城 考点08 二次函数字母参数问题 46．（24-25九年级上·河北邢台·期中）已知抛物线的最高点在x轴上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图像和性质，熟练掌握抛物线顶点坐标公式，是解题的关键．根据抛物线的顶点在x轴上，结合顶点坐标公式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象的最高点在x轴上， ∴， 解得：， ∵抛物线有最高点 ∴ 故选：D． 47．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知二次函数，当时，y的值恒大于1，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质和二次函数确定范围内的最值情况，利用对称轴位置进行分析是解题的关键．分别对①当抛物线的对称轴时，②当抛物线的对称轴时，③当抛物线的对称轴时，进行分析得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 对称轴为直线，开口向上． 当时，y的值恒大于1， ①当时，即，有，即可， ， ； ②当时，即，有即可， 解得， ； ③当时，即，有，即可， ． 综上，． 故选：B． 48．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）已知抛物线． (1)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (2)若时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或； (2)的取值范围是． 【分析】（）根据顶点在轴上，则抛物线与轴只有个交点，然后解一元二次方程即可； （）根据二次函数的性质，对称轴的右侧随的增大而增大，从而求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有个交点， ∴，整理得：， 解得：，， ∴的值为或； （2）解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵时，随的增大而增大， ∴， ∴的取值范围是． 49．（24-25九年级上·河北张家口·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，即可判断得解； （2）依据题意，由，对称轴是直线，故当时，y有最小值，；当时，y有最大值，，结合，从而可得，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线为， ∴对称轴是直线． （2）解：由题意，∵，对称轴是直线， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵， ∴． ∴． 50．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)表格见解析，图象见解析， (3)①或；②；③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值： （1）配成顶点式，即可求解； （2）先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； （3）①②根据函数图象求解即可；③根据题意可得在对称轴左边，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， 当时， ， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 函数图象如下所示： （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； ③∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左边，y随x的增大而减小， ∵当(k是常数)时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 51．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）题目：“如图，已知抛物线，点是轴上的一点，将点向右平移3个单位长度得到点，若线段与只有一个公共点，直接写出的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则下列说法正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．因为线段与只有一个公共点，故分和两种情况分类讨论即可． 【详解】解：当时，由于将点向右平移3个单位长度得到点， 由于线段与只有一个公共点， 此时在抛物线上， 故； 当时，此时二次函数之间的间距小于等于， 故此时不在抛物线上， 要想有一个交点，故直线过抛物线顶点， 此时． 综上所述，或． 故选B． 地 城 考点09 二次函数的综合问题 52．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，二次函数的图象经过点． (1)求a的值，并直接写出对称轴； (2)在图中画出函数该部分的图象（不必列表），并直接写出对应y的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析， 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征． （1）因为图象过点，可代入求值． （2）根据题目要求画出函数该部分的图象，再根据二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征得出y的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 对称轴为直线， ∴a的值为，对称轴为直线； （2）解：如图1所示， 由图象可知： 当，y有最大值4， 当，y有最小值0， ∴对应y的取值范围为：． 53．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点C． (1)直接写出点C的坐标，并求抛物线的对称轴； (2)若通过计算判断l的顶点与直线的位置关系； (3)若l与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)顶点在直线上 (3)或或 【分析】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据点的坐标平移规律求点C的坐标；将代入抛物线解析式得到，然后根据二次函数对称轴公式即可求出抛物线的对称轴； （2）首先将抛物线配方成，得到顶点坐标为，然后结合点B和点C的坐标求解即可； （3）首先求出抛物线的顶点坐标为，然后分和两种情况讨论，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向右平移5个单位长度，得到点C ∴点C的坐标为； ∵经过点， ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线； （2）解：当时， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴l的顶点在直线上； （3）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∴①如图所示，当时，当抛物线的顶点坐标在直线上时，此时l与线段恰有一个公共点， ∴， ∴； 当抛物线与y轴的交点在以上时，此时l与线段恰有一个公共点， ∴， ∴； ②如图所示，当时，当抛物线经过点C时， 解得 ∴当l与线段恰有一个公共点时， 综上所述，a的取值范围是或或． 54．（24-25九年级上·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． (2)若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． （1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）联立，依题意得出，得出，当时，的最小值，根据题意，即可求解； 【详解】（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立， 解得：， 二次函数图象上只有一个“纵三倍点” ，故③正确； 综上，正确的是①③； 故答案为：①③ （2）解：联立， 即， 依题意得：， ， ， 当时，的最小值为， 当时，的最小值恰好等于， 当时，即，当时，有最小值， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时存在常数，使得当时，的最小值恰好等于， 当，即时，的最小值等于， 当时，， 即， 解得：（舍去），， 综上所述，的值为或； 55．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，网格（每个小正方形的边长为1）中，有，，，，，，，，九个格点．抛物线的解析式为． (1)为奇数且经过点，通过计算说明哪个格点是该抛物线的顶点； (2)为偶数且经过点，通过计算说明点是否在上； (3)若经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为，为格点 (2)点不在上 (3)4条 【分析】（1）先根据为奇数，经过点，求出抛物线的解析式，得出抛物线的顶点坐标，即可得出答案； （2）先根据为偶数，经过点，求出抛物线l的解析式为，然后将代入，求出，即可验证点不在上； （3）分两种情况：当为偶数时，当为奇数时，分别求出符合条件的抛物线条数，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵为奇数， ∴， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线l的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 即格点该抛物线的顶点； （2）解：解：∵为偶数， ∴， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线l的解析式为， 把代入得：， ∴点不在上； （3）解：当为偶数时，抛物线l的解析式为， ∴抛物线的顶点一定在y轴上， ∴当抛物线的顶点为点时，抛物线解析式为，此时点，也在抛物线上，符合题意； 当抛物线的顶点为点时，抛物线解析式为，此时点，也在抛物线上，符合题意； 当为奇数时，抛物线l的解析式为， ∴抛物线的顶点一定在y轴上， ∴当抛物线的顶点为点时，抛物线解析式为，此时点，也在抛物线上，符合题意； 当抛物线的顶点为点时，抛物线解析式为，此时点，也在抛物线上，符合题意； 综上分析可知：经过这九个格点中的三个，满足这样的抛物线的条数有4条． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． 56．（24-25九年级上·河北唐山·期中）规定1：一个点纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”． 例如：点，则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为______； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，求的值． 【答案】(1)8； (2)的值为4； (3)的值为或5． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，学会二次函数求最值的方法，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）根据纵横值的定义直接求解即可； （2）由抛物线的对称轴公式可以求得，得到二次函数的解析式为，再通过配方法得到，结合函数的最优纵横值为5，得到，即可求解的值； （3）先得到二次函数的纵横值为，再令，则由题意得：当时，w的最大值为2，再分类①；②；③，讨论3种情况即可求解的值． 【详解】（1）解：点， 它的“纵横值”为． （2）的顶点在直线上， ， 解得：， 二次函数为， 二次函数纵横值为， 当时，有最大值， 又的最优纵横值为5， ， 解得：， 的值为4． （3）二次函数纵横值为， 令，则由题意得：当时，w的最大值为2， 下面分3种情况讨论： ①若， 当时，w的最大值为， ， 解得：， ， 舍去， ； ②若， 当时，w的最大值为， 无解； ③若， 当时，w的最大值为， ， 解得：， ， 舍去， ； 综上所述，的值为或5． 57．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）中x与y的部分对应值如下表． x … 0 1 2 … y … 0 … (1)根据以上信息，可知ac______0（选填“＜”“＞”或“＝”）； (2)求抛物线的解析式并在图中画出的图象； (3)抛物线的解析式为．设直线与抛物线、都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段的值． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)1 【分析】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，以及二次函数性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据表格中的数据可得抛物线对称轴为直线，与轴交于点，且开口方向向上，故可得结论； （2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，在平面直角坐标系中画出图象即可； （3）根据函数图象结合一元二次方程根与系数的关系可得结论． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得抛物线对称轴为直线，与轴交于点，且开口方向向上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：把分别代入，得： ， 解得， 所以，直线的解析式为， 描点，连线得， （3）解：如图， 设点对应的横坐标分别为， ∴， ∴， 令，可得，它对应的两个根应为， ∴， 令，可得，它对应的两个根应为， ∴， ∴． 故答案为：1． 58．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知：抛物线：；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)①直接写出的对称轴． ②当时，此时点和点在上， 则______（填“”、“”或“”）． (2)设的顶点坐标为，用含的式子分别表示和；并写出的最大值． (3)当时， ①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到，写出的值． ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，求抛物线和抛物线的交点坐标； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，设新的抛物线和的交点为和，点是线段的中点，则点的横坐标为______（直接用含的式子表示）． 【答案】(1)①对称轴为；② (2)、，的最大值 (3)①；②或；③点的横坐标为 【分析】（1）①由顶点式直接得出对称轴；②利用抛物线的图象与性质即可得到答案； （2）将抛物线：配方，化为顶点式得到顶点坐标即可得到、，再由二次函数图象与性质即可得到的最大值； （3）①根据对称性得到抛物线：，再由抛物线：，对比列方程求解即可得到答案；②由函数图象平移得到抛物线：，联立方程组求解即可得到抛物线和抛物线的交点坐标；③由函数图象平移得到新抛物线，联立方程组得到，由一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①抛物线：， 的对称轴为； ②当时，抛物线：， 抛物线开口向上，对称轴为， 抛物线上的点到对称轴的距离越近，越小， 点和点到对称轴为的距离分别为和， ， 故答案为：； （2）解：抛物线：（其中为常数）， ， 的顶点坐标为，则、， ， 由可知抛物线开口向下，有最大值为； （3）解：当时，抛物线：， 由①抛物线是由抛物线沿直线翻折得到， ，即， 抛物线：， 抛物线：， ，解得； ②把抛物线向左平移个单位得到抛物线，则抛物线：， 联立，解得或； ③将抛物线向左平移个单位（）得到新的抛物线，则表达式为， 联立，则， ， 点是线段的中点，设、， 点的横坐标为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、函数图象的平移、函数图象对称、求两个抛物线的交点、解一元二次方程、一元二次方程根与系数关系及中点坐标公式，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 试卷第2页，共63页 2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $