专题02 有理数及其运算（期中知识清单）（必备知识+8题型清单+3易错清单）七年级数学上学期新教材北师大版

专题02 有理数及其运算 【清单01】 有理数的基本概念 1．负数与有理数分类 具有相反意义的两个量，规定一种为正（带“+”，可省略），另一种为负（带“-”）； 有理数分为__________和__________，其中整数包括正整数、__________、负整数；分数包括正分数、负分数。 2．数轴 三要素：__________、单位长度、__________（直线）； 作用：数轴上右边的数总比左边大，正数＞__________＞负数，两个负数比较，__________大的反而小。 3．相反数与绝对值 相反数：只有符号不同、绝对值相等的两个数（如2与-2），多重符号化简遵循“__________”； 绝对值：数轴上数对应的点到__________的距离，性质为非负性，即正数的绝对值是__________，负数的绝对值是__________，0的绝对值是__________。 【清单02】 有理数的运算 1．加减运算 加法法则：同号相加取同号，__________；异号相加取__________的符号，用大绝对值减__________；任何数加0得本身； 加法运算律：__________、__________； 减法法则：减去一个数=加上这个数的__________，加减混合运算先将减法转加法，再用运算律简便计算。 2．乘除运算 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个非0数相乘，负因数个数为__________则积负、__________则积正；有0则积为0； 乘法运算律：交换律、结合律、__________； 倒数：乘积为__________的两个数（0无倒数，负数的倒数仍为负数）； 除法法则：法则一：同号得正、异号得负，__________（0除以非0数得0）；法则二：除以非0数=乘它的倒数。 3．乘方运算 定义：n个相同因数的积的运算叫__________，结果叫__________；在乘方运算中，a是__________，n是__________； 符号法则：正数的任何次乘方为__________；负数的__________次乘方为负，__________次乘方为正； 4．混合运算顺序 先算__________，再算__________，最后算__________；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。 【清单03】 科学记数法与近似数 1．科学记数法：绝对值＞10的数记为__________（，原数整数位数）。 2．近似数：用“__________”取近似值。 【题型一】有理数的分类 例1．下列各有理数：，，，，，，，，，中（ ） A．只有，，，是整数 B．只有，，是负分数 C．非负数有，，， D．其中有三个数是正整数 变式1-1．分别写出满足条件的一个数：①非负整数 ；②比大的负数 ． 变式1-2．已知下列各数：3.14，24，，，，，0，其中负分数有 个，非负数有 个． 变式1-3．把下列各数填在相应的大括号里 ，，，0，，，，，， 整数集合： 分数集合： 非负整数集合： 有理数集合： 【题型二】用数轴上的点表示有理数及比较大小 例2．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，，0，， 变式2-1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．请在数轴上标出下列各数：0，，，，并用“”连接． 变式2-3．已知 ，且，，． (1)在数轴上标出a、b、、的大致位置； (2)用“”将a、b、、连接起来． 【题型三】绝对值、相反数的化简 例3．下列各对数中，不是相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3-1．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 变式3-2．若m、n互为相反数，则 ． 变式3-3．若，则 . 【题型四】有理数的乘方运算 例4．下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．和 变式4-1．若 、 互为倒数，则 ． 变式4-2．比大 （   ） A． B． C． D． 变式4-3．若，，，则a，b，c中最大的是 ．（填a，b，c） 【题型五】有理数的混合运算 例5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式5-2．计算： (1)． (2)． (3)． 变式5-3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六】有理数的实际应用 例6．小明的爸爸买了一种股票，每股元，如表记录了该股票一周内的涨跌情况(用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数)，该股票这五天中的最高价在（   ） 星期 一 二 三 四 五 股票涨跌(元) A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 变式6-1．古代《易经》一书中记载，在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是那个时期的一族人记录他们从到达一个新地方以后捕获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一．根据图示可知，他们捕获猎物的数量是 ． 变式6-2．某同学在假期计划每天做6道数学题，其中十天做题数量记录如下（超过的记为正数，不足的记为负数，单位：道）：，2，，1，0，，8，7．他这十天共做了数学题（   ） A．70道 B．71道 C．72道 D．73道 变式6-3．小虫从原点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的路程记录依次为(单位：)：，，，，，，，． (1)小虫最后是否能回到出发点？如果不能，它与出发点的位置是怎样的？ (2)小虫在爬行过程中离出发点最远时在什么位置？(要说明方向和距离) (3)在爬行过程中，如果每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了多少粒芝麻？ 【题型七】科学记数法 例7．2025年春晚红包互动活动中，融入了许多科技与文化元素．据统计，全球观众参与春晚红包互动总次数达120亿次，这些互动产生的数据量约为（字节），将产生的数据量用科学记数法表示为（    ）字节． A． B． C． D． 变式7-1．的整数位数有 位． 变式7-2．年月号，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式7-3．下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？，，，，． 【题型八】近似数 例8．用四舍五入法取近似值： （精确到；0.23精确到 位；精确到 位 变式8-1．已知是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是，这个两位小数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式8-2．由四舍五入得到的近似数，精确到 位． 变式8-3．计算11个自然数的平均数（保留两位小数），算出，最后一位错了，正确的平均数是多少？ 【题型一】有理数分类问题 例1．下列各数中是分数的是（    ） A． B．0.10010001…… C． D．0 变式1-1．写出一个既不是非正数又不是整数的数： ． 变式1-2．下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 变式1-3．在下列各数，，，0.3，0，，21，1.0101001…，，，中，整数有 个． 【题型二】有理数运算中符号问题 例2．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与1 B．与 C．与1 D．与 变式2-1．下列各组数中，结果互为相反数的是（    ） A． B．与 C．与 D．与 变式2-2．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 变式2-3．比较大小： （用“＞”或“＜”表示）． 【题型三】绝对值分类讨论问题 例3．若，，，则等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．0 变式3-1．若a、b、c是有理数，，且a，b同号，b，c异号，求的值． 变式3-2．若，且，则 ． 变式3-3．若，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数及其运算 【清单01】 有理数的基本概念 1．负数与有理数分类 具有相反意义的两个量，规定一种为正（带“+”，可省略），另一种为负（带“-”）； 有理数分为整数和分数，其中整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 2．数轴 三要素：原点、单位长度、正方向（直线）； 作用：数轴上右边的数总比左边大，正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。 3．相反数与绝对值 相反数：只有符号不同、绝对值相等的两个数（如2与-2），多重符号化简遵循“奇负偶正”； 绝对值：数轴上数对应的点到原点的距离，性质为非负性，即正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0的绝对值是0。 【清单02】 有理数的运算 1．加减运算 加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值；任何数加0得本身； 加法运算律：交换律、结合律； 减法法则：减去一个数=加上这个数的相反数，加减混合运算先将减法转加法，再用运算律简便计算。 2．乘除运算 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个非0数相乘，负因数个数为奇则积负、偶则积正；有0则积为0； 乘法运算律：交换律、结合律、分配律； 倒数：乘积为1的两个数（0无倒数，负数的倒数仍为负数）； 除法法则：法则一：同号得正、异号得负，绝对值相除（0除以非0数得0）；法则二：除以非0数=乘它的倒数。 3．乘方运算 定义：n个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂；在乘方运算中，a是底数，n是指数； 符号法则：正数的任何次乘方为正；负数的奇次乘方为负，偶次乘方为正； 4．混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内（先小括号，再中括号）。 【清单03】 科学记数法与近似数 1．科学记数法：绝对值＞10的数记为原数整数位数**-1**）。 2．近似数：用“四舍五入法”取近似值。 【题型一】有理数的分类 例1．下列各有理数：，，，，，，，，，中（ ） A．只有，，，是整数 B．只有，，是负分数 C．非负数有，，， D．其中有三个数是正整数 【答案】B 【详解】解：A、整数包括：，，，，，故本选项错误； B、负分数包括，，，故本选项正确； C、非负数包括，，，，，故本选项错误； D、正整数只有两个，即和，故本选项错误． 故选：B． 变式1-1．分别写出满足条件的一个数：①非负整数 ；②比大的负数 ． 【答案】 1 【详解】解：①非负整数：1； ②比大的负数：． 故答案为：1；（答案不唯一）． 变式1-2．已知下列各数：3.14，24，，，，，0，其中负分数有 个，非负数有 个． 【答案】 1 6 【详解】解：负分数有，共1个；非负数有3.14，24，，，， 0，共6个． 故答案为：1，6． 变式1-3．把下列各数填在相应的大括号里 ，，，0，，，，，， 整数集合： 分数集合： 非负整数集合： 有理数集合： 【答案】见解析 【详解】解：整数集合：； 分数集合：； 非负整数集合：； 有理数集合：． 【题型二】用数轴上的点表示有理数及比较大小 例2．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，，0，， 【答案】图象见解析， 【详解】解：，， 在数轴上，各个数表示为： ∴． 变式2-1．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴得出， 则把a，，b，分别在数轴上表示出来： ∴， 故选：C． 变式2-2．请在数轴上标出下列各数：0，，，，并用“”连接． 【答案】见详解； 【详解】解：，， 则． 变式2-3．已知 ，且，，． (1)在数轴上标出a、b、、的大致位置； (2)用“”将a、b、、连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：a、b、、的大致位置如下： （2）解：由数轴可知，． 【题型三】绝对值、相反数的化简 例3．下列各对数中，不是相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A、，，相等不是互为相反数，符合题意； B、，，是互为相反数，不符合题意； C、，，是互为相反数，不符合题意； D、，与是互为相反，不符合题意； 故选：A． 变式3-1．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是 ． 【答案】 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 变式3-2．若m、n互为相反数，则 ． 【答案】0 【详解】解：、互为相反数， ， ， ， ， ． 故答案为：0． 变式3-3．若，则 . 【答案】 【详解】 或 故答案为：． 【题型四】有理数的乘方运算 例4．下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．和 【答案】B 【详解】解：A．，，数值不相等，故选项不符合题意； B．，，数值相等，故选项符合题意； C．，，数值不相等，故选项不符合题意； D．，，数值不相等，故选项不符合题意． 故选：B． 变式4-1．若 、 互为倒数，则 ． 【答案】1 【详解】解： 、 互为倒数， ， ， . 故答案为： ． 变式4-2．比大 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 变式4-3．若，，，则a，b，c中最大的是 ．（填a，b，c） 【答案】 【详解】解：因为，，， 所以， 所以，，中最大的是． 故答案为：． 【题型五】有理数的混合运算 例5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，该选项正确，符合题意； B． ，该选项错误，不符合题意； C． ，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项错误，不符合题意． 故选：A． 变式5-1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 变式5-2．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)6 (2) (3)6 【详解】（1）解： （2） （3） 变式5-3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型六】有理数的实际应用 例6．小明的爸爸买了一种股票，每股元，如表记录了该股票一周内的涨跌情况(用正数记股价比前一日的上涨数，用负数记股价比前一日的下跌数)，该股票这五天中的最高价在（   ） 星期 一 二 三 四 五 股票涨跌(元) A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】A 【详解】解：周一：元， 周二：元， 周三：元， 周四：元， 周五：元， ， 最高价格是元， 故选：． 变式6-1．古代《易经》一书中记载，在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是那个时期的一族人记录他们从到达一个新地方以后捕获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一．根据图示可知，他们捕获猎物的数量是 ． 【答案】558 【详解】解：由题可知，捕获猎物的条数的七进制数为1425， 化为十进制为：； 故答案为：558． 变式6-2．某同学在假期计划每天做6道数学题，其中十天做题数量记录如下（超过的记为正数，不足的记为负数，单位：道）：，2，，1，0，，8，7．他这十天共做了数学题（   ） A．70道 B．71道 C．72道 D．73道 【答案】C 【详解】解：道， 故选：C． 变式6-3．小虫从原点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的路程记录依次为(单位：)：，，，，，，，． (1)小虫最后是否能回到出发点？如果不能，它与出发点的位置是怎样的？ (2)小虫在爬行过程中离出发点最远时在什么位置？(要说明方向和距离) (3)在爬行过程中，如果每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫不能回到出发点，在出发点的左边，距离出发点. (2)小虫离开出发点最远是，在出发点的左边. (3)每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了粒芝麻. 【详解】（1）解：. 答：小虫不能回到出发点，在出发点的左边，距离出发点. （2）解：第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， 第六次， 第七次， 第八次. ∴小虫离开出发点最远是，在出发点的左边. （3）解：， ∴， ∴每爬奖励两粒芝麻，则小虫一共得到了粒芝麻. 【题型七】科学记数法 例7．2025年春晚红包互动活动中，融入了许多科技与文化元素．据统计，全球观众参与春晚红包互动总次数达120亿次，这些互动产生的数据量约为（字节），将产生的数据量用科学记数法表示为（    ）字节． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以用科学记数法表示为． 故选D． 变式7-1．的整数位数有 位． 【答案】5 【详解】解：， 即的整数位数有5位． 故答案为：5． 变式7-2．年月号，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：D． 变式7-3．下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？，，，，． 【答案】10000000，4500000，704000，39600， 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型八】近似数 例8．用四舍五入法取近似值： （精确到；0.23精确到 位；精确到 位 【答案】 1.895 百分位 百位 【详解】解：， 0.23精确到了百分位， ∵， ∴精确到了百位． 故答案为：①1.895；②百分位；③百位． 变式8-1．已知是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是，这个两位小数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：∵是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是， ∴这个两位小数最小是；最大是； ∴这个两位小数的取值范围是， 故选：B． 变式8-2．由四舍五入得到的近似数，精确到 位． 【答案】千 【详解】解：由四舍五入得到的近似数，0占的位置是千位，精确到千位． 故答案为：千． 变式8-3．计算11个自然数的平均数（保留两位小数），算出，最后一位错了，正确的平均数是多少？ 【答案】 【详解】解：自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数； 又因为，， 所以可以知道这个自然数的和一定是， ； 答：正确答案应该是． 【题型一】有理数分类问题 例1．下列各数中是分数的是（    ） A． B．0.10010001…… C． D．0 【答案】A 【详解】解：A、是有限小数，是分数，故A符合题意； B、0.10010001……是无限不循环小数，不能化为分数，故B不符合题意； C、是无限不循环小数，不是分数，故C不符合题意； D、0是整数，故D不符合题意； 故选：A． 变式1-1．写出一个既不是非正数又不是整数的数： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：既不是非正数又不是整数的数可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1-2．下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 变式1-3．在下列各数，，，0.3，0，，21，1.0101001…，，，中，整数有 个． 【答案】 【详解】解：整数有0，21，，，共个， 故答案为：． 【题型二】有理数运算中符号问题 例2．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与1 B．与 C．与1 D．与 【答案】B 【详解】解：A、，两数相等，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，两数相等，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选B． 变式2-1．下列各组数中，结果互为相反数的是（    ） A． B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：、，故与不是互为相反数，不符合题意； B、，，故与互为相反数，符合题意； C、，，与不是互为相反数，不符合题意； D、，，与不是互为相反数，不符合题意． 故选：． 变式2-2．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2)11 (3) (4)5.8 (5) (6)20 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 变式2-3．比较大小： （用“＞”或“＜”表示）． 【答案】 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型三】绝对值分类讨论问题 例3．若，，，则等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．0 【答案】C 【详解】由题知，，，， 当与同号时，； 当与异号时，，与题意矛盾，故舍去； 综上可知，． 故选：C． 变式3-1．若a、b、c是有理数，，且a，b同号，b，c异号，求的值． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 又∵a、b同号，b、c异号 当时， 则 当时， 则 答：的值为或． 变式3-2．若，且，则 ． 【答案】1或 【详解】解：∵，且， ∴中负数有一个或三个， 当中有一个负数时：， 当中有三个负数时：， 则原式或， 故答案为：1或 变式3-3．若，，且，求的值． 【答案】7或1 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，， 综上所述，的值为7或1． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $