2.1 认识一元二次方程教学设计（2） 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的近似解，通过学校建花坛的实际情境导入，连接已学的一元二次方程概念，为后续精确解法（配方法、公式法）提供直观基础，构建知识支架。 资料特色在于以“排除范围-确定区间-逐步逼近”估算过程为主线，结合花坛、梯子滑动等实际问题，培养数学眼光（数感、抽象能力）和数学思维（推理意识、运算能力），用列表法缩小解的范围发展数据意识，帮助学生突破精确解定势，提升估算能力，也为教师提供了探究式教学的清晰流程与实例支持。

初中数学北师大版（2012）九年级上册 1 认识一元二次方程 课标分析 这段教材内容体现了《义务教育数学课程标准(2022年版)》对"方程与不等式"领域的要求，重点培养学生通过估算方法求解一元二次方程近似解的能力。课标要求7-9年级学生能"用估算的方法求一元二次方程的近似解"(例66)，教材通过两个实际问题情境(和)，引导学生经历"排除不可能范围-确定大致范围-逐步精确逼近"的完整估算过程，发展数感和代数推理能力。其中包含的列表尝试、区间缩小等策略，符合课标对"探索用不同方法求方程近似解"的要求，同时培养了学生运用数学知识解决实际问题的应用意识。 教材分析 本节课通过实际问题引出一元二次方程的近似解，引导学生利用估算和逐步逼近的方法确定未知数的大致范围，并结合表格进行数值代入验证，体会方程解的实际意义。教学过程以问题探究为主线，通过观察、猜想、计算等活动推进。该内容承接前面对一元二次方程概念和建模的学习，为后续精确求解方法（如配方法、公式法）提供直观基础。本节课的作用在于发展学生的数感与估算能力，增强对方程解的理解，培养学生从实际问题中抽象数学模型的能力，同时为学习精确解法积累经验，提升逻辑推理和解决实际问题的能力。 学情分析 九年级学生已学习一元一次方程、二元一次方程组及简单的一元二次方程的解法，掌握代数式运算和方程建模的基本能力，具备一定的数感与符号意识，能够通过实际问题建立方程模型，此阶段学生处于形式运算阶段，具备初步的逻辑推理与抽象思维能力，能进行简单的数值逼近和范围估计，但对非精确解的接受度较低，习惯于“唯一解”思维，本节课要求学生通过估算和代入验证的方法寻找一元二次方程的近似解，理解解的存在区间与逐步逼近思想，帮助学生突破精确求解的心理定势，发展数感与估算能力，体会方程解的实际意义，提升解决实际问题的能力，并为后续学习函数零点与数值解法奠定直观基础。 教学目标 1. 能根据实际问题建立一元二次方程模型，理解方程解的实际意义，掌握解的合理性判断方法，提升模型意识和应用意识，发展数学建模与逻辑推理能力。 2. 通过估算方程解的范围，结合代入验证法缩小解的区间，理解近似解的概念，掌握“夹逼”思想求解一元二次方程近似解的方法，增强数感与运算能力。 3. 能利用表格分析变量变化趋势，从数值变化中发现解的存在区间，培养数据分析观念和归纳能力，提高借助数值逼近解决实际问题的能力。 4. 经历猜测、验证、逼近的探究过程，体会算法思想，发展抽象思维与推理能力，增强合作交流意识和数学表达能力。 重点难点 重点：能估计一元二次方程近似解的大致范围，掌握通过列表法求近似解。 难点：确定一元二次方程近似解的范围，理解逐步逼近确定近似解的思想。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了一元二次方程的概念，请说出一元二次方程的一般形式。并判断是否为一元二次方程，回顾相关知识。 2.预习教材： 阅读教材中一元二次方程近似解部分，了解通过分析取值范围、列表格等方式求近似解。关注求方程及近似解的过程，记录重点和疑问。 3.问题思考： 对于方程，思考可能的取值范围，能否先大致估计的整数部分？类比教材例题，想想怎样进一步确定其十分位等数位的值，课上交流。 课堂导入 同学们，我们来设想一个场景。学校要建一个长方形的花坛，长为8米，宽为5米，计划在四周留出宽度相同的小路，使得花坛面积为18平方米。那这个小路的宽度该怎么求呢？设小路宽度为米，根据长方形面积公式，我们能得到方程 。大家想一想，会是负数吗？它会超过长或宽的一半吗？ 这个方程和我们之前学的不一样，那怎样求出的值呢？今天我们就一起来探究一元二次方程的近似解。 一元二次方程的近似解 探究新知 （一）知识精讲 同学们，我们来看如何估计一元二次方程的近似解。首先考虑地毯铺设问题中的方程。要确定的取值范围，我们需要思考： 1. 物理意义限制了的范围： · 不可能小于0，因为宽度不能为负 · 不可能大于4，因为房间宽度只有8米，两边各减去后不能为负 · 不可能大于2.5，否则另一边5米减去会为负 2. 我们可以通过列表法来缩小的范围。请观察下表： 从表中可以看出，当在0.5到1之间时，方程左边的值从24变为14，逐渐接近18。这说明解在0.5到1之间。 再看梯子滑动问题中的方程。小亮的求解过程展示了如何逐步逼近精确解： 通过计算发现，进一步计算得到，因此的整数部分是1，十分位是1。 （二）师生互动 教师提问：同学们，为什么在第一个问题中，我们不需要计算大于2.5的情况？ 学生回答：因为当时，会变成负数，而房间的宽度不可能为负值。 教师追问：很好！那么在小亮的求解过程中，为什么第一次确定后，还要继续计算呢？ 学生思考后回答：因为我们需要更精确地确定的值，通过不断缩小范围可以得到更精确的近似解。 教师继续引导：对的。那么同学们能说说这种逐步逼近的方法在实际生活中有哪些应用吗？ （三）设计意图 通过具体的生活实例引入一元二次方程近似解的求解方法，帮助学生理解数学与实际问题的联系。采用列表法和逐步逼近法，培养学生的数感和估算能力。通过师生互动，引导学生思考问题的限制条件和求解过程的合理性，培养严谨的数学思维。让学生体会数学方法的实用价值，激发学习兴趣。 新知应用 例1：对前一课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度 (m) 吗？ 我们知道， 满足方程： (1) 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由。 (2) 你能确定 的大致范围吗？ (3) 填写下表： (4) 你知道所求宽度 (m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。 解答： 我们来一步步分析这个问题。 (1) 判断 的取值范围是否合理 · 表示的是地毯四周未铺设部分的宽度，是一个实际长度，因此不能为负数。 所以： 不可能成立。 · 地毯的总长是 8 m，宽是 5 m。如果从两边各减去 ，则中间铺设地毯的部分长度为 ，宽度为 。 这两个值必须是正数，否则就没有“中间区域”了。 · 要使 ，解得： · 要使 ，解得： 因此，更严格的限制是 。所以： · ？不可能。 · ？也不可能。 结论： 不可能小于 0（因为长度非负） 不可能大于或等于 4（否则长度为负） 更不可能大于 2.5（否则宽度为负） 所以合理的范围是： (2) 确定 的大致范围 我们可以尝试代入一些在 范围内的数值，计算左边 的值，并观察何时接近 18。 先展开原方程以便理解： 令其等于 18： 虽然可以解这个方程，但我们现在用“估算”的方法来找近似解。 (3) 填写下表（结合图片信息） 根据表格内容（来自图片链接中的语境），我们假设表格如下： 0 0.5 1 1.5 2 我们逐个代入计算： · 当 ： · 当 ： · 当 ： ✅ 正好等于目标值！ · 当 ： · 当 ： 所以填写完整表格为： 0 40 0.5 28 1 18 1.5 10 2 4 (4) 所求宽度是多少？还有其他方法吗？ 从上表可以看出，当 时，，正好满足条件！ 所以：所求宽度 m 其他求解方法： · 方法一：代数法解方程 我们之前化简得到： 使用求根公式： 其中 ，不符合实际意义，舍去。 所以唯一合理解是 · 方法二：图像法（画出函数 ，找与 的交点） 总结： 1.题目考查内容 ① 一元二次方程的实际背景建模； ② 解的合理性判断（结合实际意义）； ③ 通过代入法估算方程的近似解； ④ 数形结合思想和代数验证方法的应用。 2.题目求解要点 ① 根据实际问题确定未知数的合理取值范围（如长度必须为正）； ② 通过代入不同数值观察函数值变化趋势，缩小解的范围； ③ 发现精确解后可用代数方法验证； ④ 理解“近似解”与“精确解”的关系，在无法直接求解时可用逐步逼近法。 例2：在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离 (m) 满足方程 也就是 (1) 小明认为底端滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？ (3) 你能猜出滑动距离 (m) 的大致范围吗？ (4) 的整数部分是几？十分位是几？ 小亮把他的求解过程整理如下： 所以 进一步计算： 所以 因此 的整数部分是 1，十分位是 1。 你的结果怎样呢？ 解答： 我们来逐一解答。 (1) 小明认为滑动了 1 m，正确吗？ 将 代入方程左边： 结果不等于 0，说明 不是方程的解。 但我们可以看它离 0 有多远：结果为 ，偏小。 所以滑动距离 略大于 1 m，小明的说法不准确（接近但不是精确值）。 (2) 滑动距离可能是 2 m 或 3 m 吗？ · 当 ： · 当 ： 而方程要求结果为 0。 注意到： · 时，值为 · 时，值为 由连续性可知：在 到 之间有一个解（函数值由负变正） 但 显然过大，且函数递增，值更大，不合理。 所以： · ？太大（正值太大） · ？更不可能 结论：滑动距离不可能是 2 或 3 m (3) 猜测滑动距离的大致范围 由上面计算： · 时，值为 · 时，值为 所以解在 之间。 再试 ： 仍为正，而 时为负 → 解在 继续细分： 试 ： 试 ： 所以： · ： · ： 说明解在 之间。 (4) 的整数部分和十分位是几？ 由上述分析： · 整数部分是 1 · 十分位是 1（因为解在 1.1 ~ 1.2 之间） 这与小亮的结果一致。 我们也可以用求根公式验证： 方程： ，，试算： · → 接近 · 所以 则： 所以精确解约为 m → 整数部分是 1，十分位是 1，完全正确。 总结： 1.题目考查内容 ① 一元二次方程的实际应用（勾股定理建模）； ② 方程解的估算与验证； ③ 利用函数值符号变化判断解的存在区间； ④ 近似解的整数部分与小数部分识别。 2.题目求解要点 ① 代入法检验某个值是否为解； ② 利用“中间值定理”思想：若 ，，则解在 内； ③ 逐步缩小区间（如从 缩到 ）； ④ 结合代数解法验证估算结果，提升准确性； ⑤ 理解“近似解”的表示方式（整数部分、十分位等）。 新知巩固 题目：观察下列表格，可知一元二次方程 的一个近似解是（  ） 表格如下： 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 选项： A．  B．  C．  D． 解答： 我们要求解的是方程： 观察表格中给出的 值及其对应的 的值。 目标是找到使得 接近 的 值。 逐项查看表格： · 当 ，，小于 · 当 ，，仍略小于 · 当 ，，大于 说明：在 时，结果为 ，非常接近 ；而在 时已经超出。因此，真实解应在 和 之间。 进一步分析： 由于 ，差距很小，说明真实解略大于 。 我们可以尝试估算更精确的值。设 ，计算： 与 相差 ，稍大。 再试 ： 与之前一致。 再试 ： 比 还小。 而 得到 ，比 略大，但比 更接近。 所以真实解在 到 之间，且更靠近 。 题目问“一个近似解”，结合选项： · A．：这是函数值，不是解，错误。 · B．：对应函数值约 ，离 较远。 · C．：对应函数值约 ，最接近 。 · D．：这是函数值，不是 的取值，混淆了变量与函数值。 因此，正确答案是 C。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查一元二次方程的近似解法，通过代入法利用表格数据判断方程 的解的大致范围，并从中选出最接近的近似解。重点在于理解“方程的解”是指使等式成立的 值，而不是函数值本身。 2. 题目求解要点 · 明确方程形式：，即寻找使得左边等于右边的 。 · 利用表格查找 接近 的 值。 · 发现当 时，值为 ，接近但略小； 时为 ，过大 → 解在 与 之间。 · 比较选项中的数值代入后哪个更接近，排除将函数值误认为解的干扰项（如 A、D）。 · 注意选项 B 和 C 是可能的候选，需估算或推理确定哪一个更合理。 3. 同类型题目解题步骤 1. 明确方程目标：写出方程，明确要找的是满足等式的 值。 2. 观察表格数据：列出不同 对应的函数值 或其他表达式。 3. 定位区间：找出函数值从小于目标值变为大于目标值的两个相邻 值，确定解所在的范围。 4. 比较接近程度：看哪个 对应的函数值最接近目标值。 5. 估算更精确值（可选）：可在选项中代入计算，验证哪个更优。 6. 排除干扰项： · 避免将函数值当作解（如选项 A、D）； · 避免选择函数值明显偏离的选项。 7. 得出结论：选择最合理的近似解。 板书设计 一元二次方程的近似解 方程： 猜测值及判断 确定大致范围 确定整数及十分位 求解思路 分析取值范围 逐步逼近精确值 教学反思 本节课围绕一元二次方程的近似解展开，通过实际问题引导学生估算未知数的取值范围，并借助代入验证和逐步逼近的方法寻找解的整数部分与十分位，体现了从实际问题抽象出数学模型并求解的过程。教学设计符合课标“问题情境—建立模型—求解验证”的理念，学生能积极参与探究，理解方程解的现实意义。成功之处在于通过表格填值帮助学生直观感受函数变化趋势，掌握夹逼思想；小亮的解题过程示范了系统逼近法，提升了逻辑思维。不足在于对“为何x不能超过2.5”等限制条件的几何解释不够深入，部分学生对变量范围的理解仍模糊；此外，小组交流环节时间不足，影响思维碰撞。今后应加强数形结合的渗透，提升学生的直观想象能力。 学科网（北京）股份有限公司 $