14.3 角的平分线 同步训练2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.3 角的平分线 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.三角形中到三边距离相等的点是(    ) A. 三条边的中垂线交点 B. 三条高交点 C. 三条中线交点 D. 三条角平分线的交点 2.如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长是(    ) A. B. C. D. 3.观察下列尺规作图的痕迹： 其中，能够说明的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知平分，于点，，点是射线上的一个动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.如图所示，在中，，平分，于点，如果，那么等于  (    ) A. B. C. D. 7.如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是    ． A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 8.如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是          ． 9.如图，平面内三条直线，，两两相交，在平面内找出一点，使得点到三条直线的距离相等，那么符合条件的点有          处． 10.如图，，，请写出一个正确的结论：          ． 11.如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点到边的距离为____________． 12.已知：，求作：的平分线．作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；画射线射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是______． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，中，，，的平分线交于点，于点． 依题意补全图形； 猜想与的数量关系，并证明． 14.本小题分 如图，是中的角平分线，于点，，，，求长． 15.本小题分 尺规作图保留作图痕迹，写出结论，不写作法 如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．  16.本小题分 如图，在中，平分交于点，为上一点，且． 求证：； 若，，，求 17.本小题分 如图，已知中，，是角平分线，，，求的长． 18.本小题分 如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于． 求证：点到三边，，所在的直线的距离相等． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质；要对选项逐个验证．题目要求到三边的距离相等，观察四个选项看哪一个能够满足此要求，利用角的平分线的性质即可判断选项D是可选的． 【解答】 解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知： 三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【解答】 解：过点作于， 是的角平分线，， ， ， 解得：． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了尺规作图，三角形的三边关系及垂直平分线的性质，属于基础题． 根据尺规作图，三角形的三边关系及垂直平分线的性质逐个判断即可． 【解答】 解：如图所示， 图，根据尺规作图的痕迹可知，作的垂直平分线， ， 在中，， ，即， 故符合题意； 图，根据尺规作图的痕迹可知，作的平分线，无法判断与的大小，故不符合题意； 图，根据尺规作图的痕迹可知，，观察可知，，即，故符合题意； 图，根据尺规作图的痕迹可知，作的平分线，无法判断与的大小，故不符合题意， 则能够说明的是． 故选C． 4.【答案】  【解析】解：到三边的距离相等， 平分，平分， ， ， ， ， 故选：． 由条件可知为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知，在中利用三角形的内角和定理可求得． 本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线的性质，垂线段最短有关知识，作于，如图，根据角平分线定理得到，根据垂线段最短，则点运动到点时，最小，于是得到的最小值为． 【解答】 解：作于，如图， 平分，， ， 点到的距离为， 点运动到点时，最小，即的最小值为． 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了角平分线的性质，得出是解题关键． 直接利用角平分线的性质得出，进而得出答案． 【解答】 解：中，，平分，于点， ， ． 故选B． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线性质以及三角形的面积是解题的关键． 首先做出图形，利用角平分线的性质求出，然后利用割补法求面积即可． 【解答】 解：如图，过点作于点，  平分，， ， ，， ． 故选B． 8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】 答案不唯一  11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【解答】 解：如图，过点作于点， 是的平分线，于， ， ， ， 即点到的距离是． 故答案为． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了全等三角形的判定． 利用基本作图得到，，加上公共边，则可根据证明三角形全等． 【解答】 解：由作法知，， 由作法知，， ， ≌， 故答案为：． 13.【答案】解：如图： 与 的数量关系为． 证明：，， ． ， ． ， 平分， ， ．  【解析】利用题中几何语言画图； 利用等腰三角形的性质得则，所以，再根据角平分线性质得，从而得到． 本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形和角平分线的性质． 14.【答案】解： 过作于， 是中的角平分线，于点，， ， ， ， ， ， 解得：．  【解析】过作于，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 15.【答案】解：如图所示：作的垂直平分线，与的角平分线的交点即为所求，与的角平分线的交点即为所求， 此时货站或到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等． 和都是所求的点．  【解析】【分析】 此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹． 【解答】 根据点到两边距离相等，到点、的距离也相等，点既在或的角平分线上，又在垂直平分线上，即的角平分线和垂直平分线的交点处即为点，同理点也符合要求． 16.【答案】证明平分， ， 又， ， ， ； 解：如图，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ．  【解析】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据角平分线的定义以及等边对等角，即可得到，即可判定； 过作于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据，即可得出得到长，进而得到的长． 17.【答案】解：过点作于， 是角平分线，，， ， 在中，， 在和中， ， ≌， ， 在中，，即， 解得．  【解析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理求出，证明，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 18.【答案】证明：如图，过点作于，于，于， 的的外角的平分线与的外角的平分线相交于， ，， ， 点到三边、、所在直线的距离相等．  【解析】过点作于，于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得． 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $