专题4.2 认识一次函数（2大知识点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题4.2 认识一次函数 教学目标 1. 结合“匀速运动”“费用计算”等实例，感受变量的均匀变化规律，理解一次函数、正比例函数的概念，掌握解析式y=kx+b（k≠0）的特征。 2. 能辨析一次函数与正比例函数的区别与联系，会判断给定函数是否为一次函数。 3. 经历从实际问题中抽象出一次函数关系式的过程，初步体会模型思想，发展抽象思维。 教学重难点 1.重点 （1）核心是理解一次函数的概念本质，即变量间的线性对应关系，准确把握其解析式中k≠0、x为一次项的关键特征。 （2）能根据具体情境（如弹簧长度、耗油量）中的数量关系，列出一次函数表达式，并明确正比例函数是其特殊形式。 2.难点 （1）难以从实际问题的复杂信息中提炼出线性关系，对“均匀变化”的感知不敏锐，抽象出函数关系式时易出错。 （2）对解析式中k≠0的限制条件理解模糊，判断函数类型或求参数值时，常忽略此关键前提。 知识点01 一次函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 【即学即练1】 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①，是一次函数，正确，故符合要求； ②，是一次函数，正确，故符合要求； ③，不是一次函数，错误，故不符合要求； ④，不是一次函数，错误，故不符合要求； 综上可知，是的一次函数有2个． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知. (1)当m，n为何值时，是的一次函数？ (2)当m，n为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1) (2)， 【知识点】正比例函数的定义 【详解】解：（1）是的一次函数， 且，为任意实数，解得. （2）是的正比例函数， 且，， 解得， 知识点02 正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数. 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立. 【即学即练2】 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为，根据表达式特点对选项进行判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，是反比例函数，不合题意； C、，是二次函数，不合题意； D、，是一次函数，不合题意； 故选：A． 2．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】见解析 【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 题型01 正比例函数的定义 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解什么是正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断：形如（是常数，）的函数叫作正比例函数． 【详解】A．是正比例函数，故本选项符合题意； B．不是正比例函数，故本选项不符合题意； C．是常值函数，故本选项不符合题意； D．，分母含有自变量，不是正比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由（）进行判断即可． 【详解】解：A.是正比例函数，故符合题意； B.中是分式，不是正比例函数，故不符合题意； C.是一次函数，含有常数项，故不符合题意； D.自变量的次数不是，不是正比例函数，故不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如为常数且的函数是正比例函数，需满足：①自变量的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A．是正比例函数，符合题意； B．，是反比例函数，不符合题意； C．，未知数的次数是二次，不符合题意； D．，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·青海玉树·期末）下列各函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义，形如（k为常数且）的函数是正比例函数．据此逐一分析各选项即可． 【详解】A． 含常数项1，不符合的形式，故不是正比例函数． B．中x的次数为2，不符合的形式，故不是正比例函数． C．符合的形式，故是正比例函数 D． 中x在分母，不符合的形式，故不是正比例函数． 故选：C 题型02 一次函数的识别 【典例2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，则是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②④， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，变形为，是正比例函数，故该选项不符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解． 【详解】解：一次函数的为：，，共有个， 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k，b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①，变形为，符合一次函数的定义， ②不符合一次函数的定义， ③符合一次函数的定义， ④，变形为，符合一次函数的定义， ⑤不符合一次函数的定义， 综上，表示y是x的一次函数的有①③④，共3个， 故选：C． 题型03 根据一次函数的定义求参数 【典例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数． （1）当 时，是的一次函数； （2）当 时，是的正比例函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． （1）根据一次函数的定义可知，求出的取值范围即可； （2）根据正比例函数的定义可知且，从而可求得m的值． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义可知：， 解得：． （2）∵函数是正比例函数， ∴且， 解得：． 故答案为：；． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若是关于x的一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：2． 【变式2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系数不为0的条件． 根据一次函数要求且，联立解答． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）若函数是一次函数，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义得到且，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：2． 题型04 求一次函数自变量或函数值 【典例4】（2025·江苏泰州·三模）已知点在一次函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b用a表示，再代入代数式化简即可． 【详解】解：将点坐标代入得， ， 则， 所以， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在一次函数的图象上，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握性质是本题的关键． 直接把点代入一次函数解析式得到，再整体代入求值即可． 【详解】解；∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∴ 故答案为：0． 【变式2】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解题的关键． （1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解； （2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，， 解得：． 题型05 列一次函数解析式并求值 【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当S=12时，求P的坐标． 【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10 (2)P（7，3） 【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围； （2）把S=12代入函数解析式即可． 【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10， ∴y=10-x， ∴OA=8，P（x，10-x） ∴S=×8(10-x)=-4x+40． 又∵x>0，且10-x>0， ∴0<x<10． （2）当S=12时，即12=40-4x， 解得x=7， ∴y=10-7=3， ∴S=12时，P点坐标（7，3）． 【点睛】此题考查一次函数的性质，解题的关键是数形结合运用三角形的面积公式进行计算． 【变式1】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【变式2】如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【变式3】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)与x之间的关系式为，与x之间的关系式为 (2)选择方案②更为优惠 【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可； （2）将分别代入、求出结果比较大小即可． 【详解】（1）解：方案①：， 方案②：， 与x之间的关系式为，与x之间的关系式为； （2）当时，；. ， 选择方案②更为优惠． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出关系式是关键． 题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式 【典例6】（23-24八年级下·吉林·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 当时， ， 解得：， 与x的函数关系式为， 即； （2）把代入得， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相关知识是解题的关键 （1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式； （2）将代入（1）的关系式，计算求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴解析式为； （2）解：将代入得：， 解得． ∴x的值为． 【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点不在此函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． （1）设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【详解】（1）根据题意，设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； （2）将点代入得：， 解得：； （3）当时，， 则点不在此函数的图象上． 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列函数中是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据一次函数的定义逐一验证即可． 【详解】解：A：，该函数含分式，不符合一次函数的形式，故该选项不符合题意； B：，未明确，故该选项不符合题意； C：，该函数符合一次函数的标准形式，故该选项符合题意； D：，该函数最高次数为2，不符合一次函数的定义，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分别代入、、求出值，对照各选项中点的纵坐标后即可得出结论． 【详解】解：A、当时，， ∴点在一次函数的图象上，故选项符合题意； B、当时，， ∴点不在一次函数的图象上，故选项不符合题意； C、当时，， ∴点不在一次函数的图象上，故选项不符合题意； D、当时，， ∴点不在一次函数的图象上，故选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若是正比例函数，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数．根据正比例函数的定义可得关于且，求解即可得． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 解得， 故， 故选：B． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数 其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，分别求出每个情境中变量y与x的函数关系式，判断是否为一次函数即可． 【详解】解∶①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为㡳×高，代入底长3，得，即，是正比例函数（一次函数），符合条件； ②：泳池匀速放水，剩余水量与时间的关系为（为初始水量，为放水速度），属于一次函数，符合条件； ③：铺设总长度固定时，每日铺设长度与天数满足（为总长度），不符合一次函数． 综上，满足一次函数关系的是①和②， 故选∶A． 5．（19-20八年级上·浙江温州·期末）已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点、代入函数解析式，联立方程消去，得到与的关系式，然后即可求解. 【详解】解：∵点在函数上， 代入得：, ∴， ∵点在函数上， 代入得：， ∴， ∴ ， 化简得 ，即 ， 故选：A. 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知函数，当时，y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的函数值，直接把代入函数关系式，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在一次函数中，图象过点，则的值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查一次函数图象上的坐标特点，解题关键在于掌握这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在一次函数中，图象过点， ∴把代入，得， 故答案为：4 8．（24-25八年级下·山东滨州·期末）函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义得出，求解可得答案． 【详解】解：由函数是关于x的一次函数， 得：， 解得： 故答案为：2． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若点在函数上，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是将点的坐标代入函数解析式．将坐标代入得到关于、的等式，再对所求式子进行变形求值． 【详解】解：因为点在函数的图象上，所以，整理得，两边同时乘以2得． 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·江西上饶·期末）一次函数的图像过定点，则点到原点距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数解析式的图象与性质，两点间的距离公式，勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键，在运用两点间的距离公式时不要与中点坐标公式混淆．根据一次函数过定点，求出点的坐标，后运用两点间距离公式和勾股定理计算即可． 【详解】 在一次函数一定过定点， 点的坐标为 原点坐标为 点到原点距离为． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 【答案】(1)不是的一次函数，也不是的正比例函数 (2)，是的一次函数，也是的正比例函数 (3)，是的一次函数，但不是的正比例函数 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据正方形的面积是边长 x（）的平方列出函数解析式，再判断即可； （2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（）与用电量x（）的乘积，列出函数解析式，再判断即可； （3）根据汽车到A站的距离y（）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 12．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】(1)当，为任意实数时，这个函数是一次函数 (2)当，时，这个函数是正比例函数 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键． （1）直接利用一次函数的定义分析得出答案； （2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得：， 解得， 又即， 当，为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得，， 又即， 当，时，这个函数是正比例函数． 13．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）若与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得：， 解得， ，即； （2）解：把代入得， 解得． 14．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 15．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 16．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 认识一次函数 教学目标 1. 结合“匀速运动”“费用计算”等实例，感受变量的均匀变化规律，理解一次函数、正比例函数的概念，掌握解析式y=kx+b（k≠0）的特征。 2. 能辨析一次函数与正比例函数的区别与联系，会判断给定函数是否为一次函数。 3. 经历从实际问题中抽象出一次函数关系式的过程，初步体会模型思想，发展抽象思维。 教学重难点 1.重点 （1）核心是理解一次函数的概念本质，即变量间的线性对应关系，准确把握其解析式中k≠0、x为一次项的关键特征。 （2）能根据具体情境（如弹簧长度、耗油量）中的数量关系，列出一次函数表达式，并明确正比例函数是其特殊形式。 2.难点 （1）难以从实际问题的复杂信息中提炼出线性关系，对“均匀变化”的感知不敏锐，抽象出函数关系式时易出错。 （2）对解析式中k≠0的限制条件理解模糊，判断函数类型或求参数值时，常忽略此关键前提。 知识点01 一次函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 【即学即练1】 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知. (1)当m，n为何值时，是的一次函数？ (2)当m，n为何值时，是的正比例函数？ 知识点02 正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数. 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立. 【即学即练2】 1．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）下列函数中，正比例函数是（　　） A． B． C． D． 2．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 题型01 正比例函数的定义 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·青海玉树·期末）下列各函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 题型02 一次函数的识别 【典例2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型03 根据一次函数的定义求参数 【典例3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知函数． （1）当 时，是的一次函数； （2）当 时，是的正比例函数． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若是关于x的一次函数，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）若函数是一次函数，则k的值是 ． 题型04 求一次函数自变量或函数值 【典例4】（2025·江苏泰州·三模）已知点在一次函数的图象上，则的值为 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在一次函数的图象上，则的值是 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点在直线上，则代数式的值是 ． 【变式3】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 题型05 列一次函数解析式并求值 【典例5】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当S=12时，求P的坐标． 【变式1】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【变式2】如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【变式3】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 题型06 根据正比例函数的定义求函数表达式 【典例6】（23-24八年级下·吉林·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【变式2】（23-24八年级下·广东中山·期中）已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列函数中是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若是正比例函数，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．1 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y； ②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x； ③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数 其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（19-20八年级上·浙江温州·期末）已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知函数，当时，y的值是 ． 7．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在一次函数中，图象过点，则的值是 ． 8．（24-25八年级下·山东滨州·期末）函数是关于的一次函数，则 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若点在函数上，则 ． 10．（24-25八年级下·江西上饶·期末）一次函数的图像过定点，则点到原点距离为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 12．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 13．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）若与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 14．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 15．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 16．（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $