4.2指数函数基础题型训练-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

高一上册湘教版数学必修第一册 第4章 幂函数、指数函数和对数函数集合 4.2 指数函数 基础题型训练 题型一 指数（型）函数的图象及其应用 1.如图是指数函数，，， 的图象，则,,, 与1的大小关系是( ) A. B. C. D. 2.（2025安徽阜阳一中期中）函数 的图象大致为( ) 3.（2025北京东城区月考）已知指数型函数的图象经过点 ，则____;将指数型函数 的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则 的图象过定点______. 4.（2025河南开封期末）已知函数 的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则 ___. 题型二 指数型复合函数的定义域、值域及其应用 5.（2025甘肃兰州检测）已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 6.（多选、2025重庆南开中学阶段测试）下列说法正确的是( ) A.函数的值域为 B.函数的值域为 C.函数的值域为 D.函数的值域为 7. （2025湖北黄冈期中）函数且 在区间上的最小值是，则 的值是_______. 题型三 指数型函数的单调性及其应用 8.（2025甘肃庆阳一中期末）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 9.（2025甘肃兰州五十五中月考）已知函数在区间 上单调递减，则 的取值范围是________. 10.（2025甘肃天水期中）已知函数若对任意, ，都有成立，则实数 的取值范围是______. 题型四 比较指数式的大小 11.（2025湖南邵阳期末）已知,，“”是“ ”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知,,,，则,, 的大小关系为( ) A. B. C. D. 13.（多选/2025甘肃多校联考）下列大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 14.（多选/2025广东广雅中学月考）已知函数且 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 题型五 解与指数有关的不等式 15.若，则 的取值集合是( ) A. B. C. D. 16.（2025湖南省联考）若，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 17.（2025江苏宿迁期中）已知指数函数的图象经过点 ，则不等式 的解集为______. 18.（2025江苏南京检测）已知函数，，若对任意 ，总存在，使得成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 19.（2025江苏常州检测）已知二次函数，且关于 的不等式的解集为 . （1） 求实数， 的值； （2） 若不等式对恒成立，求实数 的取值范围. 题型六 与指数函数相关的奇偶性问题 20.（2025甘肃白银期中）已知是定义在上的奇函数，且当 时，，则 ( ) A. B.3 C. D.2 21. （2025陕西西工大附中月考）若是奇函数，则 ( ) A.1 B. C. D. 22.（全国Ⅲ卷改编）已知函数的图象与 轴有唯一交点，则 __. 23.（2025江苏扬州期末）已知定义在上的函数 的图象关于坐标原点对称. （1） 求实数 的值； （2） 判定 的单调性并证明； （3） 若实数满足，求 的取值范围. 参考答案 1.B【解析】 作直线,则由上到下直线与各指数函数图象的交点为, ,,,故 . 2.A【解析】 排除法.设,则当时, ,且单调递增,由得,,,,选项C,D错误. 也可由函数在上单调递增排除D选项 当时,,且单调递增,由得, ,即,函数图象在 轴下方,排除B选项,则选项A符合要求.也可由函数在 上单调递增排除B选项 3. 【解析】 由指数函数的图象经过点可 隐藏条件:指数函数图象恒过解得所以 .将函数的图象向右平移1个单位长度,得到 的图象,再向上平移4个单位长度, 得到的图象.令,得,,所以的图象过定点 . 4.1【解析】 因为函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交 根据指数函数的图象特点可知,函数的图象无限接近于直线 但又不与该直线相交,,所以 ,又函数图象过原点,所以,则 .所以.所以 . 5.D【解析】 由题意可得注意中,指的是的范围,而非 解得,所以函数的定义域为 . 6.BCD【解析】 因为,且在 上单调递减,可得,所以函数的值域为 ； 令,解得,可知函数的定义域为 , 在上单调递增,由,可得,则 , 所以函数的值域为 ； 令,则,,可得 ,因为函数 的图象开口向上,对称轴为直线,,所以 在上单调递增,且,所以的值域为 ,即函数的值域为 ； 由题意可得的定义域为,因为,即 ,可得,所以函数的值域为 . 7.或 【解析】 分和 两种情况讨论,结合复合函数单调性求解.令,则,其图象的对称轴为直线 .当时,因为,所以 ,所以函数在 上单调递减, 所以当时,,解得 .当时,因为 , 所以 ,所以函数在 上单调递减,所以当时,,解得 .综上,或 . 8.D【解析】 求指数型复合函数的单调性主要利用“同增异减”原则. 令,其在 上单调递增,而外层函数在上单调递减,则的单调递减区间为 . 9. 【解析】 令,则二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 ,因为外层函数为上的减函数,且函数在区间 上单调递减,所以函数在上为增函数,所以,解得 . 10. 【解析】 由对于任意,,都有成立,得在 上单调递增,所以 解得,所以实数的取值范围是 . 11.D【解析】 利用指数函数的单调性,由“”得到“ ”,当,时,满足,推不出来 ,故不是充分条件；又当,时,满足,推不出来 ,故不是必要条件.所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件. 12.B【解析】 ,则 ,根据幂函数在上是增函数,可得（或由在 轴右侧,指数函数的图象“底大图高”得到）；根据指数函数在上是减函数,可得.故 . 13.ABD【解析】 A,C项同底,构造指数函数；B项同指,构造幂函数；D项不同底不同指,借助中间值“1”判断. 函数在上单调递增,故 ； 函数在上单调递增,故 ； 函数在上单调递减,故 ； ,,故 . 14.ABD【解析】 根据函数图象可得出, 的取值范围,可判断 选项,利用不等式的基本性质可判断B选项.由图象可知,函数且在上单调递增,则 ,且当时,,（指数型函数图象过定点）可得 .；；； 由题意可知, ,则,所以 . 15.B【解析】 ,则,即 ,解得 , 所以的取值集合是 . 16.A【解析】 由题知,令,解得 .作出函数 和 的大致图象,如图, 若,则 . 17. 【解析】 设且,所以,解得,即 , 因此指数函数为 上的增函数. 因为,所以（利用单调性,脱掉 ,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,这是解不等式的常用手段）,解得 . 18.A【解析】 分别计算出与的最大值,满足 即可. ,,有,解得 ,即A正确. 19.(1)【答案】由题意,,且和1是关于的方程 的两根, 故解得 (2)【答案】 由（1）知,则. 对恒成立,即对, 恒成立,（参数分离） 只要,其中 . 而 , 当且仅当即 时取等号. 因此,,即 , 即实数的取值范围是 . 20.C【解析】 因为是定义在上的奇函数,所以 . 因为当时,,所以.由函数 为奇函数可知 ,所以 . 21.B【解析】 因为函数是奇函数,所以满足 , 即,整理得 , 即 . 此时,函数的定义域为 ,满足题意. 22. 【解析】 由【大招52】可知在上为偶函数,图象关于 轴对称, 则的图象关于直线对称 的图象由 的图象向右平移1个单位长度得到 , 而,则的图象关于直线对称 事实上，,. 又的图象与 轴有唯一交点,则交点为,即,解得 . 23.(1)【答案】因为在 上的图象关于原点对称,所以 为奇函数, 所以,即 ,检验如下, 此时,所以 , 故是奇函数,满足要求,所以 . (2)【答案】 在上单调递减由（1）知, ,可知函数在上单调递减 ,证明如下: 任取,且,则 , 因为,所以,又, , 所以,所以在 上单调递减. (3)【答案】 因为,所以可化为 , 因为在上单调递减,所以 , 利用的单调性脱“”转化为解不等式问题 即,所以,（利用函数 的单调性脱底） 解得 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $