2.2.3直线的一般式方程学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线的一般式方程 导学 直线方程的四种形式： 第一种：点斜式　y－y1＝k(x－x1) 第二种：斜截式　y＝kx＋b 第三种：两点式　＝(x1≠x2，y1≠y2) 第四种：截距式　＋＝1 问题1直线方程的四种形式能否相互转化？ 问题2二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)表示什么图形？ 直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 解析教材 1．本质：直线的一般式方程是直线的定量刻画，直线是二元一次方程的几何表示．直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式；一般式在一定条件下可以化成上述的几种形式． 2．二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线．任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示． 思考：(1)方程y－y0＝0是二元一次方程吗？(2)直线与二元一次方程的关系是什么？ 自我小测 1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 2．已知点(－3，－1)和点(b，－4)均在直线3x－2y－a＝0上，则ab的值为(　　) A． B．－35 C．35 D．－ 3．直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 4．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B．2 C．1 D． 5．直线＋＝1化成一般式方程为__________. 类型一　直线的一般式方程(数学抽象) 1．直线l垂直于直线y＝x＋1，且直线l在y轴上的截距为，则直线l的方程是(　　) A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0 2．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y 轴上的截距为b，则有(　　) A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5 C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5 3．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，直线l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为__________. 解题技巧： 求直线的一般式方程的方法 (1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式． 提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件． 类型二　含参数的直线一般式方程(数学运算) 典例(1)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)经过第二、三、四象限，则A，B，C需满足条件(　　) A．C＝0，AB＜0 B．AC＜0，BC＜0 C．A，B，C同号 D．A＝0，BC＜0 (2)已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为(　　) A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0 C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0 解题技巧 　含参数的一般式的处理方法 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 跟踪训练 (1)如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是__________. 类型三　直线的一般式方程的应用(直观想象) 角度一：平行、垂直直线系 典例(1)经过点P(5，2)且平行于直线l：3x－y＋1＝0的直线方程为(　　) A．x＋3y＋11＝0 B．3x－y＋13＝0 C．x＋3y－11＝0 D．3x－y－13＝0 (2)已知直线l经过点P(1，－2)且与直线2x＋3y－1＝0垂直，则l的方程为(　　) A．2x＋3y＋4＝0 B．2x＋3y－8＝0 C．3x－2y－7＝0 D．3x－2y－1＝0 解题技巧 根据直线之间的平行垂直关系，一个方法是先求出斜率再求直线的点斜式方程；二是直接根据直线的位置关系设出相应的直线系，代入点的坐标求直线方程． 角度二：关于x，y轴的对称问题 典例光线从A(－3，4)点发出，到x轴上的B点后被反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程__________. 变式：本例条件不变，试求从A点发出的入射光线AB的方程． 解题技巧 关于x，y轴的对称问题 (1)根据镜面反射的原理，入射光线上的点关于镜面的对称点在反射光线上，反射光线上的点关于镜面的对称点在入射光线上； (2)求出入射光线或反射光线上点关于坐标轴的对称点，写出直线的两点式或点斜式方程，再整理得到一般式方程． 跟踪训练 若光线由点P(2，3)射到x轴上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线所在直线方程是__________. 学科网（北京）股份有限公司 $