精品解析：江苏省靖江高级中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段检测（9月月考）数学试题

2025—2026学年第一学期第一次阶段检测 高一数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各项中表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为全集，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 4. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若“，使得成立”是假命题，则实数可能为（ ） A. B. 5 C. D. 3 7. 若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题有（ ） A. 任意非零实数，都有 B. ，使得 C. ，都有 D. 函数的最小值为4 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数的零点是和 B. 正实数满足，则不等式的最小值为 C. “”是“关于的方程有一正一负两根”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 11. 设，且，那么（ ） A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最小值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，则用列举法表示为__________. 13. 不等式的解集为__________. 14. 正实数满足，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，且. （1）求和； （2）若集合，求实数的取值范围. 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若，使得，求实数的取值范围. 17. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数 （1）若该函数恰有一个零点，求实数的值； （2）若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19. 问题：已知，，均为正实数，且，求证：.证明：当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期第一次阶段检测 高一数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各项中表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 2. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由充分必要条件关系，，反之不成立，即可判断. 【详解】由，反之不成立，所以P：的一个充分不必要条件为：，其它选项均不符合. 故选：D. 3. 已知为全集，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算，逐项分析，即可求解. 【详解】解：A正确，因为，， 所以； B正确，，即集合，中均无任何元素，可得． C正确，因为，， 所以； D错误，若，则集合，不一定为空集，只需两个集合中无公共元素即可， 故选:D． 4. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定，将任意改为存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为. 故选：D 5. 设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合、，再根据补集和交集的定义可得出集合. 【详解】，， 又，因此，. 故选C. 【点睛】本题考查集合补集与交集的混合运算，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础题. 6. 若“，使得成立”是假命题，则实数可能为（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，为真命题，求出的最小值，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得，为真命题， 由于， 显然的最小值为， 故只需，所以满足要求. 故选：A 7. 若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式“1”的应用可得的最小值，再解出对应不等式即可得. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 则，即，解得. 故选：D. 8. 关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集可得是方程的两根，利用韦达定理求得，从而可得，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：因为关于x的不等式的解集为， 可知是方程的两根， 且，且， 可得， 则， 可得， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题有（ ） A. 任意非零实数，都有 B. ，使得 C. ，都有 D. 函数的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】非零实数异号时可判断A；利用基本不等式可得可判断B；利用作差法比较数的大小可判断C；利用基本不等式计算可判断D. 【详解】对于A，对于非零实数异号时，，不满足，故A选项不正确； 对于B，当时，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以，使得，故B选项正确； 对于C，因为， 所以，都有，故C选项正确； 对于D，由，得或， 所以函数的定义域为， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为4，故D正确. 故选：BCD 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数的零点是和 B. 正实数满足，则不等式的最小值为 C. “”是“关于的方程有一正一负两根”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据零点的概念判断A的真假；利用基本不等式求和的最小值，判断B的真假；根据充要条件的概念判断C的真假；利用特例判断D的真假. 【详解】对A：函数的零点是和5， 即函数的零点是数，不是点，故A错误； 对B：因为， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 对C：因为方程有一正一负两根，故C正确； 对D：当时，满足，但不成立，故“”不是“”的充分条件； 当时，满足，但不成立，所以“”不是“”的必要条件. 综上“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：AB 11. 设，且，那么（ ） A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由基本不等式构造的二次不等式求解判断；对B，由结合A结论判断；对C和D，由条件式消元，构造基本不等式求解判断. 【详解】对于A：因为，所以， 即，所以， 解得或（舍，因为）， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为，A正确； 对于B：由A，，当且仅当时取等号， 即的最小值为，B错误； 对于C：由得，所以， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为，C正确； 对于D：因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，D正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，则用列举法表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再根据集合的描述，应用列举法写出集合. 【详解】由， 由且，则，故. 故答案为： 13. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合分式不等式运算求解，注意符合不等式. 【详解】对于不等式， 显然，则，可得， 等价于，解得， 注意到时，， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 正实数满足，则的最小值是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】转化为利用基本不等式求和的最小值问题求解. 【详解】因为， 又，所以. 所以 ， 当且仅当即时取等号. 故答案为：7 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，且. （1）求和； （2）若集合，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，是方程的根，即可求，再根据集合中的元素为2，求，并验证互异性，以及； （2）由条件可知，，再分，，和，求得到取值范围. 【小问1详解】 由条件可知，，得， 当时，，得或， 即, 当时，，此时，，不成立， 当时，，此时，，不成立， 当时，，此时，满足，成立， 所以，； 【小问2详解】 由可知，， 当时，，得， 当时，，得， 当时，，不存在值使方程组成立， 当时，，得， 综上可知，或 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集并集运算得到答案； （2）由充分不必要条件转化为集合之间的包含关系，是的真子集，从而解得的取值范围； （3）由解得的取值范围，取补集得到时的取值范围. 【小问1详解】 时，，所以，； 【小问2详解】 因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 因为恒成立，所以恒成立，所以， 由，解得， 当时，，不符合是的真子集，舍去， 当时，是的真子集，符合题意， 所以要使得，则的取值范围是； 【小问3详解】 由“，使得”得， 若，则或，解得， 所以要使得，的取值范围是. 17. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） 当时，；当时， （2）年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 【解析】 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【小问1详解】 由题意可得当时，， 当时， 【小问2详解】 由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 因为，，所以： ， 即 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 18. 已知函数 （1）若该函数恰有一个零点，求实数的值； （2）若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用二次函数根的分布情况进行求解即可； （3）分、和三种情况讨论即可. 【小问1详解】 当时：函数为，恰有一个零点，符号题意； 当时： 函数是二次函数，， 化简得，解得或. 综上，或或. 【小问2详解】 函数， 函数有两个零点，故，即， ，即，解得且；  对称轴为，需满足，解得或， ， ，解得或，  综上的取值范围为：. 【小问3详解】 不等式对恒成立， 对恒成立， 分情况讨论： 当时： 即或， 当时，不等式变为，对恒成立。 当时，不等式变为，即，不满足对恒成立； 当时： 此时函数是二次函数，要使其对恒大于，需满足， 由得或， 计算，即， 解得或， 结合或，得到或， 综上，实数的取值范围是或. 19. 问题：已知，，均为正实数，且，求证：.证明：当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明如下： 由，，，均为正实数，且，所以 ， 即.当且仅当时等号成立，即，又，解得， 所以时，，时等号成立. 故. （3）；. 【解析】 【分析】（1）将条件转化为，再结合基本不等式可得； （2）直接由条件和基本不等式可得； （3）根据条件利用换元法转化为条件等式的最值问题，再利用（2）中结论可得最小值. 【小问1详解】 由，得，且，，均为正实数，所以 . 当且仅当时等号成立，又，得，，时等号成立. 故的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，即. 令，，则，，，，即. 所以，由（2）可得， 由，所以，当且仅当时等号成立，此时. 故时取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $