精品解析：河北省辛集中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段测试数学试题

河北辛集中学2025-2026学年第一学期第一次阶段考试 高三数学试卷 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知指数函数是减函数，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 5. 当时，取得最大值，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为2 C. D. 在上有解 7. 函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（　　） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 10. 已知，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 关于中心对称 D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分．） 12. 函数的单调递增区间是______． 13. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，若，则的值为__________． 14. 已知函数的最小值为1，则实数a的最小值为______． 四､解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演 15. 设函数，其中．已知． （1）求的值； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间． 16. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值． 18. 已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，的解析式； （2）若方程有解，求实数m的取值范围． 19. 已知函数（）． （1）当时，求函数的最小值； （2）设为函数的极值点，且，若是一个三角形的三边长，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2025-2026学年第一学期第一次阶段考试 高三数学试卷 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法得，由对数函数的性质可得，再由交集的定义求解即可. 【详解】解：由，可得， 所以； 由，可得，解得， 所以； 所以. 故选：B. 2. 已知指数函数是减函数，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质得到，再利用指对数函数的性质可得，，即可求解. 【详解】因为指数函数是减函数，则， 所以，即， 又，，所以， 故选：B. 3. 成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则， 则，即，解得， 则是成立的充要条件， 是成立的必要不充分条件， 是成立的充分不必要条件， 是成立的既不充分也不必要条件. 故选：B． 4. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 5. 当时，取得最大值，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，求得其取得最大值时的取值情况，再其正切值即可. 【详解】因为 ， 故当取得最大值时，若，则， 则. 故选：D. 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为2 C. D. 在上有解 【答案】C 【解析】 【分析】 可得，得出是以为周期的函数，故只需考虑即可. 【详解】， 是以为周期的函数， 当时，， 则，， 根据函数的周期性可得的最小值为1，最大值为，故AB错误， 在上无解，故D错误， ，故C正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出是以为周期的函数，故只需考虑即可. 7. 函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 8. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导分析单调性可得，选项A错误；把不等式等价转化，通过构造函数可得选项B正确；由条件得，根据可得，选项C错误；令可得选项D错误. 【详解】对于A选项：令，，， 令，，令，则， 当时，，单调递减，单调递减； 当时，，单调递增，单调递增， 所以有最小值， 所以在区间上单调递增，故，所以，即，故A选项错误； 对于B选项：由A可知，要证，即证， 即证，即证，即证. 令，则， 令，，令，则， 当时，，单调递减，单调递减； 当时，，单调递增，单调递增， 所以有最小值，由得， 所以在区间上单调递增，故， 所以成立，故B选项正确； 对于C选项：由得，因为，所以，所以，故C选项错误； 对于D选项：令，则，故D选项错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（　　） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集合表达式判断C；利用正切函数求出定义域判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得， 解得，因此扇形的弧长为，B正确； 对于C，终边落在射线上的角集合为， 终边落在射线上的角集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，D正确. 故选：ABD 10. 已知，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到；B选项，计算出，展开后代入求解；C选项，得到，结合角的范围得到；D选项，在C基础上，得到，结合求出. 【详解】A选项，由，得， 所以，则， 所以，A正确； B选项，由，得， 即，又， 解得，B错误； C选项，， 又，故，所以，C错误； D选项，由，得， 所以， 与联立，得，D正确. 故选：AD. 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 关于中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，令得或，令得，结合求得；对B，令，结合利用偶函数定义判断；对C，令得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的周期为4，从而可判断D. 【详解】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为， 所以一个周期的和为， 所以，故D正确. 故选：ACD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分．） 12. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 13. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，若，则的值为__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由倍角公式和辅助角公式可得，再由三角函数的定义即可求结论. 【详解】圆的半径为1. 又，为等边三角形，， 所以的终边为， . 由三角函数的定义可得，. 故答案为： 14. 已知函数的最小值为1，则实数a的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，且，将问题化为与图象有交点，利用导数研究的最值，即可得参数范围. 【详解】由， 对于函数，有， 当，则，在上递减； 当，则，在上递增； 所以． 若，则有解，即与图象有交点． 由，令，解得． 当，，在上递增；当，，在上递减． 所以当时，．当，， 所以取值范围为， 所以，即． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：函数化为，并将问题化为与图象有交点． 四､解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演 15. 设函数，其中．已知． （1）求的值； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差公式以及辅助角公式整理函数解析式，根据题干中的等式，建立方程，可得答案； （2）由题意，根据函数变换可得函数的解析式，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由 ， 且，则，解得，即， 由，则. 【小问2详解】 函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得函数的图象； 再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 16. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. 【小问2详解】 因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求出和，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【小问1详解】 因为，则， 可得，，即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 由（1）可知：， 当时，，所以， 则函数在上单调递增， 当时，，所以， 则函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且函数的极小值为，无极大值. 18. 已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，的解析式； （2）若方程有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数， 且满足①， 所以，． 所以，即②． 由①②解得，． （2）方程有解，即． 令，当且仅当时取等号， 所以在上有解，即．当时，不成立． 当时，， 当且仅当时取等号， 故实数m的取值范围是． 19. 已知函数（）． （1）当时，求函数的最小值； （2）设为函数的极值点，且，若是一个三角形的三边长，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，研究导数的区间符号确定单调性，进而求得最小值； （2）对函数求导，由已知得，进而得，则，利用三角形三边关系缩小的范围，且并利用单调性求其范围. 【小问1详解】 当时，且， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 【小问2详解】 由题意得且， 因为为函数的极值点，且， 则， 所以，即，显然，则， 由，则，故，所以，易知， 由是一个三角形的三边长，则，即， 所以， 令且，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，故时，， 综上，而， 由在上单调递增， 当，则， 当时，， 则， 故，即的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $