专题05 图形的相似 11大高频考点（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题05 图形的相似 11大高频考点概览 考点01 黄金分割 考点02 平行截线求相关线段的长或比值 考点03 比例的性质 考点04 相似多边形的性质 考点05 相似图形与多边形 考点06 相似三角形的性质求解 考点07 相似三角形的应用 考点08 位似图形求坐标 考点09 相似三角形的性质与判定 考点10 在坐标系中画位似图形 考点11 相似三角形的比值问题 地 城 考点01 黄金分割 一、单选题 1.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为4.14米，则车头A与后视镜C的水平距离约为（    ） A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米 二、填空题 1.在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 2.已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为 ． 地 城 考点02 平行截线求相关线段的长或比值 一、单选题 1.如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2.如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．2 D．3 二、填空题 1.在中，，，，为中点，点在射线上运动，直线交直线于点，若，则的长为 ． 2.如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和D，E，F，，，，那么的长为 ． 3.如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为 ． 3、 解答题 1.如图，，．    (1)若，，求的长． (2)若，求的长． 地 城 考点03 比例的性质 一、单选题 1.如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（    ） A． B． C． D． 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 1.已知，则 ． 2.若，则 ． 3.若，且，则 ． 地 城 考点04 相似多边形的性质 一、单选题 1.两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 2.如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1.如果两个相似多边形面积之比为，则它们的边长之比为 ． 三、解答题 1.（1）解方程：； （2）如图，在矩形中，，E、F分别是、上的点，且，若矩形矩形，求的长． 地 城 考点05 相似图形与多边形 一、单选题 1.下列图形中一定是相似图形的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正五边形 2.下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 3.如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 地 城 考点06 相似三角形的性质求解 一、单选题 1.已知，且面积比为，则与的对应中线之比为（    ） A． B． C． D． 2.若，相似比为：，则与的周长的比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1.在中，，，是边上的一点，是边上的一点，若与相似且相似比为1：2，则的长为 ． 2.如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止，经过 秒后，与相似． 地 城 考点07 相似三角形的应用 一、单选题 1.某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．如果测得，，，则河的宽度是（    ）    A． B． C． D． 2.数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为（   ） A． B． C． D． 3.如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使，若小吴测得的长为200米，则的长为（　　） A．100米 B．200米 C．300米 D．400米 二、填空题 1.如图是木杆在路灯下形成影子的示意图，路灯和木杆均垂直于地面，经测量，，木杆的影子．若，则路灯的长为 ． 2.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则的面积为 3、 解答题 1.数学实践课上，小明准备用所学的相似知识测量教学楼前一座雕塑的高度，如图，小明将一根长为的竹竿竖立在地面上的点F处，此时点F与雕塑顶端A、教学楼顶端C在一条直线上，竹竿另一个端点E与教学楼顶端C、地面上点G在一条直线上，测得，小明询问学校了解到，教学楼的高度为、雕塑底部距教学楼底部为，点D、B、F、G在一条直线上，，，． (1)求的长； (2)求雕塑的高度（结果精确到）． 2.一多层等腰三角形货架的截面图如图所示，，，每相邻两层之间的高度为，且每层货架中间部分被设计出截面为正方形的小长方体隔间． (1)求第一层货架与第二层之间的隔板的长度； (2)若第层仍能设计出长方体隔间，则的最大值为______． 3.如图，小艺同学为了测量学校旗杆的高度，在离点10米的处水平放置一个平面镜，小艺沿射线方向后退到点时，正好从镜子中看到旗杆顶端点，若米，小艺的眼睛离地面的高度米，请你帮助小艺计算一下旗杆的高度． 地 城 考点08 位似图形求坐标 一、单选题 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2.如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 3.如图，在直角坐标系中，有两点、．以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1.在平面直角坐标系中，已知，以原点为位似中心，相似比为，将缩小得到，若点，则的坐标为 ． 2.三个顶点的坐标分别为、、，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且面积之比是，则点A的对应点的坐标是 地 城 考点09 相似三角形的性质与判定 一、单选题 1.已知菱形中，点G是对角线上一点，分别交边和的延长线于点E，，则的长为（    ） A． B．4.3 C．4.5 D． 2.如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是的中点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.如图，和两个全等的直角三角形，，连结交于点F．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1.如图，矩形中，，，的直角顶点P在的延长线上且，E在边上，，与边交于点M，若，则线段的长是 ． 2.如图，在中，，以C为圆心，长为半径作弧交边于点D，再分别以点A，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，连接交边于点E，若，，则 （用含a，b的代数式表示）． 3.如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连接，下列结论：①；②；③．正确的有 ． 三、解答题 1.如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 2.如图，在中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)与的面积之比． 3.如图，在平行四边形中，连接，F是边上一点，连接并延长，交的延长线于E，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 地 城 考点10 在坐标系中画位似图形 三、解答题 1.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：    (1)在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应 ，，； (2)以点为位似中心，在x轴上方作出，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； (3)直接写出点的坐标． 2.平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． (1)将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． (2)连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． (3)请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 3.如图，在网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出先向上平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的； (2)以点为位似中心，将按相似比放大，画出放大后的，直接写出的面积． 地 城 考点11 相似三角形的比值问题 三、解答题 1.如图，在矩形中，点O为对角线中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F；四边形与关于所在直线对称，射线分别与线段、射线交于G、H两点． (1)求证：； (2)已知，； ①当点H在线段上时，求的值； ②当为等腰三角形时，求的长． 2.如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． (1)如图1，当，时， ① 求证：； ② 连接、，求证：； (2)如图2，当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连接、，若，，当时， ①求的长； ② = ． 3.小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动． 问题原型： 如图（1），在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接．则的长为_______________；（直接填空） 问题变式： （1）如图（2），小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出的值=______________，_______________（直接填空） （2）如图（3），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 问题拓展： 若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形．当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图（4）位置时，连接、．请帮助小明求出的值______________．（直接填空） 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的相似 11大高频考点概览 考点01 黄金分割 考点02 平行截线求相关线段的长或比值 考点03 比例的性质 考点04 相似多边形的性质 考点05 相似图形与多边形 考点06 相似三角形的性质求解 考点07 相似三角形的应用 考点08 位似图形求坐标 考点09 相似三角形的性质与判定 考点10 在坐标系中画位似图形 考点11 相似三角形的比值问题 地 城 考点01 黄金分割 一、单选题 1.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长约为4.14米，则车头A与后视镜C的水平距离约为（    ） A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜C到车尾B的水平距离为，再由即可求解． 【详解】解：∵汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置， ∴（米）， ∴（米）， 即车头A与后视镜C的水平距离约为1.58米． 故选：A 二、填空题 1.在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：“一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的”．根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可 【详解】解：书的宽与长之比为黄金比，长为厘米， 它的宽厘米． 故答案为：． 2.已知点是线段的黄金分割点，且，若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 根据题意，可得，得到，由即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 地 城 考点02 平行截线求相关线段的长或比值 一、单选题 1.如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2.如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质等知识点，准确找出成比例的对应线段是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， 故选：． 3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：D． 二、填空题 1.在中，，，，为中点，点在射线上运动，直线交直线于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理，过作于，根据中位线定理可知、，根据，可知，根据平行线分线段成比例定理可知，根据，可得，在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，过作于， ， ，而为中点， ，， 又， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为： ． 2.如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和D，E，F，，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3.如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形和相似三角形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质、平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据平行四边形对角线平分面积可得，，再结合O为的中点可得，，并由和平行线分线段成比例的性质可得，，最后转化得到即可解答本题． 【详解】解：平行四边形， ， 点O为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3、 解答题 1.如图，，．    (1)若，，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1)9 (2)15 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． （1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 【详解】（1）解：， ， ，，， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 地 城 考点03 比例的性质 一、单选题 1.如图1称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的重量为，那么能汲起水的重量B为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵物体A的质量为， ∴， 故选：D 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，设，得出，，，，再代入求出比值即可． 【详解】解：设， ∴，，，， ∴， 故选：A． 3.已知，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，， 只有C符合题意， 故选：C． 2、 填空题 1.已知，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质得出，，，再代入化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 2.若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质，由，可得，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 3.若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查比例的性质，根据比例性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， 故答案为：6． 地 城 考点04 相似多边形的性质 一、单选题 1.两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于多边形的相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质“相似多边形的面积比等于相似比的平方”即可直接得出答案． 【详解】解：两个相似多边形的相似比为， 它们的面积比为：， 故选：． 2.如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质可得，再结合四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵ 四边形 四边形 ， ， ∴， ∵，， ∴； 故选：D 3.如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质及多边形内角和，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 1.如果两个相似多边形面积之比为，则它们的边长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方解决问题即可． 【详解】解：∵两个相似多边形面积之比为， ∴它们的边长之比为． 故答案是：． 三、解答题 1.（1）解方程：； （2）如图，在矩形中，，E、F分别是、上的点，且，若矩形矩形，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，相似多边形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）根据相似多边形的性质得出，再根据矩形的性质得出，，列式，求解即可得出答案． 【详解】解：（1） ，； （2）∵矩形矩形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 地 城 考点05 相似图形与多边形 一、单选题 1.下列图形中一定是相似图形的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握“角分别对应相等，边分别对应成比例的两个多边形相似”是解本题的关键． 根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故它们不一定相似； B、两个菱形的对应角不一定相等，故它们不一定相似； C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故它们不一定相似； D、两个正五边形，每个内角都为，边对应成比例，符合相似图形的定义，故它们一定相似． 故选：D 2.下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 3.如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得，进行计算即可得． 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴即， ∴， ∴， 故选：B． 地 城 考点06 相似三角形的性质求解 一、单选题 1.已知，且面积比为，则与的对应中线之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．直接根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答． 【详解】解：∵与相似，面积比， ∴两三角形的相似比等于， ∴与的对应中线之比为， 故选：A． 2.若，相似比为：，则与的周长的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， 与的周长的比为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 二、填空题 1.在中，，，是边上的一点，是边上的一点，若与相似且相似比为1：2，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意分类讨论，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：与相似且相似比为1：2，，， 当时， ，则； 当时，，则； 所以的长为或； 故答案为：或． 2.如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止，经过 秒后，与相似． 【答案】或 【详解】分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过x秒后，得，代入用x表示的线段计算即可． 本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【解答】解：①设经过x秒后， ∵， ∴ ∴ 解得； ②设经过x秒后， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴经过或秒，与相似． 故答案为：或． 地 城 考点07 相似三角形的应用 一、单选题 1.某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．如果测得，，，则河的宽度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可得，即得，得到，据此解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴ ∴， 解得， 故选：． 2.数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端，此时，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为，同时测得，，则旗杆的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先根据光的反射定律得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：已知，，， 故， 根据光的反射定律，， 又， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：A． 3.如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点C，连接和，延长到D，延长到E，，连接，使，若小吴测得的长为200米，则的长为（　　） A．100米 B．200米 C．300米 D．400米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，利用两角相等可以得到，再利用相似性质即可求解； 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即：，米， ∴，米 故选：D． 二、填空题 1.如图是木杆在路灯下形成影子的示意图，路灯和木杆均垂直于地面，经测量，，木杆的影子．若，则路灯的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，即得，进而根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则的面积为 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．利用已知得出：，进而利用相似三角形的性质求出小孔O到的距离，再根据三角形的面积公式得出答案即可． 【详解】解：设小孔O到的距离为x， 由题意可得：， 则， 解得：． 的面积为， 故答案为： 3、 解答题 1.数学实践课上，小明准备用所学的相似知识测量教学楼前一座雕塑的高度，如图，小明将一根长为的竹竿竖立在地面上的点F处，此时点F与雕塑顶端A、教学楼顶端C在一条直线上，竹竿另一个端点E与教学楼顶端C、地面上点G在一条直线上，测得，小明询问学校了解到，教学楼的高度为、雕塑底部距教学楼底部为，点D、B、F、G在一条直线上，，，． (1)求的长； (2)求雕塑的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)雕塑的高度为． 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． （1）证明，求出，再根据，即可求出； （2）证明，由（1）求出，利用三角形相似的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，则 ∴， ∴， 答：雕塑的高度为． 2.一多层等腰三角形货架的截面图如图所示，，，每相邻两层之间的高度为，且每层货架中间部分被设计出截面为正方形的小长方体隔间． (1)求第一层货架与第二层之间的隔板的长度； (2)若第层仍能设计出长方体隔间，则的最大值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过相似三角形的性质求相应未知量是解题的关键． （1）过点作于点，则，根据等腰三角形的性质得，进而根据勾股定理求出，，根据相似三角形的性质求出即可； （2）由（1）知，每相邻两层之间的高度为，可得的最大值为5． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ，， ， 在中，根据勾股定理得， ， 每相邻两层之间的高度为， ， ， ， ， 即， 解得， 即第一层货架与第二层之间的隔板的长度为； （2）解：设第层时，隔板的长度为，则， 解得， 第层仍能设计出长方形隔间， ， 即， 解得， 为整数， 最大值为， 故答案为：． 3.如图，小艺同学为了测量学校旗杆的高度，在离点10米的处水平放置一个平面镜，小艺沿射线方向后退到点时，正好从镜子中看到旗杆顶端点，若米，小艺的眼睛离地面的高度米，请你帮助小艺计算一下旗杆的高度． 【答案】8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 米，米，米， （米） 答：旗杆的高度为8米． 地 城 考点08 位似图形求坐标 一、单选题 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 2.如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 3.如图，在直角坐标系中，有两点、．以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，根据位似变换的性质可知，相似比是，根据已知数据可以求出点的坐标．掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 【详解】解：由题意得：，相似比是， ∴， ∵、， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：A． 二、填空题 1.在平面直角坐标系中，已知，以原点为位似中心，相似比为，将缩小得到，若点，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为��，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵相似比为，将缩小得到，点， ∴的坐标为或 故答案为：或． 2.三个顶点的坐标分别为、、，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，且面积之比是，则点A的对应点的坐标是 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，先根据面积比得到相似比，利用位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与位似，且面积比是，即， 与的相似比为， 点A的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为或点的横坐标为，纵坐标为， ∴点A的对应点的坐标是或， 故答案为：或． 地 城 考点09 相似三角形的性质与判定 一、单选题 1.已知菱形中，点G是对角线上一点，分别交边和的延长线于点E，，则的长为（    ） A． B．4.3 C．4.5 D． 【答案】D 【分析】本题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，根据菱形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2.如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是的中点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形中位线的定义和性质， 先根据题意可知是的中位线，可知，再根据正方形的性质可知,进而得出，然后根据相似三角形的性质得出答案． 【详解】∵点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：D． 3.如图，和两个全等的直角三角形，，连结交于点F．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，延长交延长线于M，设，证明，得到，得到，通过，再得出再证明得即可求出． 【详解】解：如图，延长交延长线于M， ∵ ∴ ∵ 设 ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴     ∴     ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题 1.如图，矩形中，，，的直角顶点P在的延长线上且，E在边上，，与边交于点M，若，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识．作交的延长线于点，交的延长线于点，由，，，得，可证明，则，求得，由，得，求得，再证明四边形是矩形，则，，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，交的延长线于点， 四边形是矩形，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 故答案为：． 2.如图，在中，，以C为圆心，长为半径作弧交边于点D，再分别以点A，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，连接交边于点E，若，，则 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，由作图可得 垂直平分，则可证明，再利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3.如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连接，下列结论：①；②；③．正确的有 ． 【答案】①③#③① 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．证明，推出，可得，判断①；过点F作于点G，设，则，证，推出，求出和，判断②；计算出，，判断③ 【详解】解：∵E为中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； 如图，过点F作于点G， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即，， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故③正确； 故答案为：①③ 三、解答题 1.如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，则，求出，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2.如图，在中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)与的面积之比． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质和已知关系，得出和之间的关系，即，再根据相似三角形的判定及性质得，求出，进而可求解； （2）由，得出，再根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即，即得与的面积之比 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ， ∴， ∴与的面积之比为． 3.如图，在平行四边形中，连接，F是边上一点，连接并延长，交的延长线于E，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形对角相等可得，又，等量代换可得，再结合公共角，即可证明； （2）根据（1）的结论，列出比例式代入数值计算可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ，， ． 地 城 考点10 在坐标系中画位似图形 三、解答题 1.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：    (1)在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应 ，，； (2)以点为位似中心，在x轴上方作出，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； (3)直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查在平面直角坐标系中作轴对称图形，位似图形，理解轴对称图形与位似图形是解题的关键． （1）作出各顶点关于轴对称的点、、，依次连接即可解答； （2）延长到使，延长到使，延长到使，从而得到； （3）直接由平面直角坐标系得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所求；    （2）解：如图，为所求； （3）解：点的坐标为． 2.平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． (1)将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． (2)连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． (3)请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】本题考查了作图位似变换，旋转及对称作图：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了一次函数． （1）利用网格特点和旋转的性质，画出点，对应点，，从而得到； （2）连接，分别作出点的对应点，将缩小得到； （3）作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，再用待定系数法求出其坐标即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：如图，作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，点为所作， ， ， 设直线的函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线的函数关系式为， 令，则，解得：， 3.如图，在网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出先向上平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的； (2)以点为位似中心，将按相似比放大，画出放大后的，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，的面积为10 【分析】本题考查了作图-位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了平移变换． （1）把点A、B、C分别先向上平移4个单位长度，再向右平移4个单位得到对应的点，从而得到； （2）延长到点使，延长到点使，延长到点使，从而得到，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如图，为所作， 的面积 地 城 考点11 相似三角形的比值问题 三、解答题 1.如图，在矩形中，点O为对角线中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F；四边形与关于所在直线对称，射线分别与线段、射线交于G、H两点． (1)求证：； (2)已知，； ①当点H在线段上时，求的值； ②当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，推出，根据对称的性质可得，推出，即可证明； （2）由点O为中点，可得，设，，则，，证明，得到： ①证明，得到，设，，则，，即可求解； ②分两种情况讨论：当时，过点H作于T，当时，过点H作于R，根据矩形的判定与性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形时矩形， ∴， ∴， 由对称的性质得：， ∴， ∴； （2）解：∵点O为中点，， ∴， ∵， ∴设，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 由1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当为等腰三角形时， 由①知，，， ∴， 分以下三种情况讨论： 当时，如图1，过点H作于T， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∴， 在中，； 当时，如图2，过点H作于R， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， 解得：，，不合题意，舍去， ∴此种情况不成立； 当，且H在延长线上时，如图3，过H作交延长线于点K， 有得， ， 解得（舍去），， 此时； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 2.如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． (1)如图1，当，时， ① 求证：； ② 连接、，求证：； (2)如图2，当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连接、，若，，当时， ①求的长； ② = ． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)①② 【分析】（1）①由垂直的定义及等量代换得，由菱形的性质得，，，由即可得证； ②连接，由菱形的性质得，，由全等三角形的性质得，，由线段是垂直平分线的判定方法得垂直平分，即可得证； （2）①由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由等腰三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求 ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，则，代入即可求解； ②过作交于，过作交于，由勾股定理及三角形面积得，由勾股定理得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）； ②证明：如图，连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ； （2）①解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 同理可证：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 整理得：， 解得，， 由图得：， ； ②解：过作交于，过作交于， ， ， ， ， 解得：， ， 由①得：， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，掌握菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，能根据题意添加恰当的辅助线，构建直角三角形熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 3.小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动． 问题原型： 如图（1），在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形．连接．则的长为_______________；（直接填空） 问题变式： （1）如图（2），小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出的值=______________，_______________（直接填空） （2）如图（3），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（3）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 问题拓展： 若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形．当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图（4）位置时，连接、．请帮助小明求出的值______________．（直接填空） 【答案】（1）5；（2），；（3）不变，[问题拓展] 【分析】问题原型：如图1中，延长交于，则四边形是矩形．在中，利用勾股定理即可解决问题； 问题变式：（1）如图2中，作于．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出、即可解决问题； （2）不变．理由如下：连接、．只要证明，列比例式即可解决问题； 问题拓展：在图4中，计算的长，同理得，通过计算即可解决问题． 【详解】 解：问题原型： 如图1中， 延长交于， ∵矩形，矩形，，，、分别是、边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴ ∴在中，． 故答案为5． 问题变式： （1）如图2中，过作于，则． 在矩形中，，， ∴由勾股定理得， ∴， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：，； （2）不变，理由如下：连接、， 由旋转可知：， 同上在中，由勾股定理可知：， ，， ， ， ； 问题拓展：如图4中，过作于，连接， ， 是等腰直角三角形， ， ∴由勾股定理得：， ∴， ， 由勾股定理得：， ， 如图5，连接、． ∴在中，，， 同上可求：， ， ∴ 由旋转得： ， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $