24.1.3弧、弦、圆心角（题型专练）数学人教版九年级上册

24.1.3弧、弦、圆心角 题型一、圆心角认识 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 题型二、弧、弦、圆心角之间的关系 4．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 6．（24-25六年级下·上海普陀·阶段练习）下列说法中错误的是（   ） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．圆周长与该圆半径的比值是定值 C．圆周率的值与圆的大小无关 D．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 题型三、用弧、弦、圆心角之间的关系求角度 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，若C是的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（20-21九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为 ． 10．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，已知，，则 ．    11．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的度数为 ．    题型四、弧、弦、圆心角的有关计算 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知，是的直径，，，求的度数． 13．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数． 题型五、用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明 16．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点都在上．若，求证：． 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的弦相交于点P，且．求证． 18．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 19．（2025·广东广州·二模）如图，在中，于于，求证：． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 题型一、圆心角的进一步认识 21．（2020九年级·山东·竞赛）如图，圆O为的外接圆，其中点D在弧上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·山东临沂·二模）如图，已知，求作，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交，于点E，F，连接； （2）以F为圆心，的长为半径作弧，交于点C，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的个数是（） ①作图构造的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②；③；④是等腰三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二、利用弧、弦、圆心角的对称性求最值 23．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 24．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 题型三、圆心角的有关计算与证明 25．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 26．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 27．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知中，，则弦和的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 28．（2025·浙江·一模）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（   ） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 29．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 30．（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，内接于，，请仅用无刻度直尺，分别在下列图中画出的角平分线．（保留画图痕迹） (1)如图1，点是弧的中点； (2)如图2，点是弦的中点． 31．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1.3弧、弦、圆心角 题型一、圆心角认识 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 题型二、弧、弦、圆心角之间的关系 4．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键． 根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意； B、，，，，该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意； D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意． 故选：C． 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 6．（24-25六年级下·上海普陀·阶段练习）下列说法中错误的是（   ） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．圆周长与该圆半径的比值是定值 C．圆周率的值与圆的大小无关 D．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，熟练准确掌握圆的相关概念是解题的关键． 利用圆周长，半径，圆周率，弧长公式判断即可得解． 【详解】解：A．周长相等的两个圆半径一定相等，正确，不符合题意； B．圆周长与该圆半径的比值是定值，正确，不符合题意； C．圆周率的值与圆的大小无关，正确，不符合题意； D．根据弧长公式可知， 弧长是由圆心角的度数和半径决定的，所以该选项说法错误，故符合题意． 故选：D． 题型三、用弧、弦、圆心角之间的关系求角度 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，若C是的中点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，等腰三角形的性质的应用，解决本题的关键是重点掌握这三个量之间的关系． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出,根据点C是弧的中点，得到． 【详解】解： 点是弧的中点， 故选：C． 8．（20-21九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为 ． 【答案】/60度 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数即可． 【详解】解：∵一条弦把圆周分成的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点． 10．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，已知，，则 ．    【答案】 【分析】根据在同圆中，同弧所对的圆心角是相等的可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴（同弧所对的圆心角相等）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，在同一个圆中同弧所对的圆心角相等是解题的关键． 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 题型四、弧、弦、圆心角的有关计算 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，已知，是的直径，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆心角相等是解题关键． 根据对顶角的性质，得，通过等弧所对的圆心角相等，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 13．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 连接，根据平行线的性质，得、，通过等腰三角形的性质，推得，利用圆心角、弧、弦的关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接，求出，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴． 题型五、用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明 16．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点都在上．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的弦相交于点P，且．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理，等角对等边， 连接,先确定，可得，然后说明，最后根据等腰三角形的判定得出答案. 【详解】证明：连接, ∵， ∴ ∴， 即， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键，证明即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ． 19．（2025·广东广州·二模）如图，在中，于于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：连接． ， ， ， ． 又， ， ． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出，再由平行线的性质可得出，， 故，进而得出结论． 【详解】证明：连接，，， 在与中， ， ， ， ，， ，， ， ． 题型一、圆心角的进一步认识 21．（2020九年级·山东·竞赛）如图，圆O为的外接圆，其中点D在弧上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 先根据圆周角定理求出和的度数，再由得出弧和弧相等，进而求出和的度数，最后通过角的和求出的度数． 【详解】解：连接、， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 22．（2025·山东临沂·二模）如图，已知，求作，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径作，分别交，于点E，F，连接； （2）以F为圆心，的长为半径作弧，交于点C，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的个数是（） ①作图构造的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； ②；③；④是等腰三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的定义，根据作图可得，，根据证明两三角形全等判断①；根据全等得到，即可判断②；利用圆周角定理判断③；根据等腰三角形的定义判断④解答即可． 【详解】解：由作图可得，， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴是等腰三角形，故④正确； 故选：C． 题型二、利用弧、弦、圆心角的对称性求最值 23．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 24．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点B是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点B是的中点， ， ， 点是点B关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：B． 题型三、圆心角的有关计算与证明 25．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 26．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 27．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知中，，则弦和的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．取中点为E，连接，根据题意结合同圆中弧、弦之间关系可得，再利用三角形三边关系即可解答． 【详解】解：取中点为E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 28．（2025·浙江·一模）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（   ） A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确 C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，分别根据方法①和方法②的描述，先作图，运用圆心角，弧，弦之间的关系，得，再结合圆周角定理进行作答即可． 【详解】解：方法①中，如图： ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 方法②中，如图： ∵点是的中点． ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 29．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：3． 30．（24-25九年级下·江西九江·期中）如图，内接于，，请仅用无刻度直尺，分别在下列图中画出的角平分线．（保留画图痕迹） (1)如图1，点是弧的中点； (2)如图2，点是弦的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的定义，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）如图1中，作射线即可； （2）如图2中，连接交射线于点，延长交于点，连接，延长交于点，连接延长交于点，作射线即可． 【详解】（1）解：如图1中，射线即为所求； ∵点是弧的中点 ∴ ∴射线是的角平分线． （2）如图2中，射线即为所求． ∵ ∴是的中线，是交点，即是的重心 ∴是的中线， ∴是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴射线是的角平分线． 31．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $