专题01 空间直线与平面（必备知识+20题型+分层检测）（期中复习讲义）高二数学上学期沪教版必修第三册

专题01 空间直线与平面（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平面的基本事实与推论； 2. 空间平行直线、异面直线夹角问题； 3. 直线与直线平行和垂直的判定和性质 4. 线面角、二面角 1. 概念与定理： 准确理解平面的基本事实、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的定义。 熟练掌握线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，明确定理的条件与结论，避免遗漏关键条件（如“平面外直线”“相交直线”等）。 2. 技能与方法： 具备空间想象能力，能借助长方体、正方体等模型分析空间点、线、面的位置关系。 掌握异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的求解步骤，能熟练运用平移法、垂线法、射影法等方法构造角并计算。 学会运用反证法、辅助平面法等解决空间中的共面、共线、共点问题。 3.综合应用： 能将线线、线面、面面的平行与垂直关系进行综合转化，解决复杂的空间位置关系证明题。 能结合空间向量（若已学习）辅助解决角的计算、位置关系判定等问题，提升解题效率。 1.选择题、填空题常考查基本概念（如异面直线的判定、线面位置关系的判断）、空间角的计算（异面直线所成角、线面角、二面角的小范围计算）。 2.解答题第一问多考查线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的证明；第二问常考查空间角的计算（如异面直线所成角、二面角）或点到平面的距离等 知识点01 平面及其基本性质 1.平面 （1）平面的概念 与平面几何中的点与直线一样,平面也是一个从实际生活中抽象出来的数学概念. （2）平面的表示方法 平面通常用一个小写希腊字母表示,如平面等,有时也可以用一个或多个大写英文字母表示,如平面M、平面等.为了叙述方便,我们一般用大写的英文字母等表示点,用小写的英文字母等表示直线, （3）平面的画法 习惯上,我们用一个平行四边形来表示平面.当平面是水平放置时,通常把这个平行四边形的锐角画成45°左右，且横边长约为邻边长的2倍;当平面是竖直放置时,通常将平行四边形的一边画成竖向.如果一个平面被另一个平面遮挡住,应将被遮挡的部分画成虚线，以增强立体感,如图 2.点与直线、点与平面的位置关系 （1）点与直线、点与平面的位置关系的三种表示 位置关系 符号表示 图形表示 点与直线 点在直线上,也称直 线经过点 点不在直线上，也称 直线不经过点 点与平面 点在平面上,也称平 面经过点 点不在平面上,也称 平面不经过点 （2）公理 1 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果一条直线上有两 点在一个平面上，那 么这条直线上所有的 点都在这个平面上 （3）公理2及其推论 文字语言表示 符号表示 图形表示 公理2 不在同一直线上的三点确定 一个平面 、、 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 ， 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 ， 推论2 两条相交直线确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 推论3 两条平行直线确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 ， 3.平面与平面之间的位置关系 （1）平面与平面之间的位置关系的两种表示 位置关系 文字语言表示 符号表示 图形表示 相交 平面a与平面β相交于一条公共直线 平行 平面a与平面β没有公共点 或 （2）公理 3 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4.斜二测画法 斜二测画法是一种常用的工程制图方法,通过将物体投影到斜平面上进行绘制,可以更清晰地表现物体的形状和结构.斜二测画法是人为规定的,并没有计算原理.在画法中,垂直于轴的线段倾斜 45°且长度要减半等规定，只是为了让人能对平面图形产生更好的立体感,从而达到作图目的.斜二测画法是作空间几何直观图的一种有效方法,是空间几何直观图的画法基础 （1）用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ①画轴:在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点〇,建立直角坐标系.在画直观图时,画出对应的 '轴和 轴,两轴相交于点 O' ,且使 ②画线:已知图形中平行于轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段,已知图形中平行于轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于轴的线段,长度为原来的一半,对于一般线段,要在原来的图形中从线段的两个端点引垂线,再按上述要求画出这些垂线,确定端点，从而画出线段. ③擦去辅助线:图画好后,要擦去辅助线, （2）画空间几何体直观图的方法与步骤 ①画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个轴,直观图中与之对应的是轴 ②画底面:平面表示水平平面,平面表示竖直平面 ③画侧棱:已知图形中平行于轴(或在轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变 ④成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线 知识点02直线与直线的位置关系 1.公理 4 文字语言表示 符号表示 图形表示 平行于同一条直线的 两条直线互相平行 若 ，且 ，则 2.等角定理及其推论 （1）等角定理 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 在 与 中， ，且方向相同， （2）等角定理的两个推论 文字语言表示 符号表示 图形表示 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 在中或 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或 直角)相等 则 3.空间四边形 由空间不共面四点首尾相接所成的四边形叫做空间四边形 知识点03 异面直线 1.异面直线 （1）定义 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线 （2）画法(通常用平面衬托) 2.异面直线判定定理 （1）定理 过平面外一点与平面上一点的直线,和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 （2）图形语言 3.两条异面直线所成的角 （1）定义 两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角. （2）范围 两条异面直线所成的角的范围是 知识点04 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 公共点个数 图形语言 符号语言 直线在平面上 有无数个公共点 直线和平面相交 只有一个公共点 直线和平面平行 没有公共点 2.直线与平面平行及其判定 （1）直线与平面平行的定义按照直线与平面的公共点的个数来划分了空间直线与平面的位置关系,其中,当直线与平面没有公共点时,我们说直线与平面平行. （2）直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行 直线 不在平面 上｝ 3.直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面平 行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行 、、 ｝ 4.直线与平面垂直的有关概念 定义 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直,就说这条直线与这个平面互相垂直 记法 有关概念 直线叫做平面的垂线(或者法线),与的交点叫做垂足，平面叫做直线的垂面 图示 画直线与平面垂直的示意图时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 5.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直,那么此直线与该平面垂直 图形语言 符号语言 作用 证明线面垂直的主要工具 6.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 符号语言 图形语言 →揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系 作用 ①线面垂直→线线平行;②作平行线 7.点、直线与平面的距离 过平面外任意给定的一点M,有且只有一条直线与平面垂直,从而把点 M与垂足N之间的距离叫做点 M 到平面的距离,如图1.利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面。,那么直线l上任意两点到平面的距离都相等,从而就可以把直线上一点M到平面的距离定义为直线到与它平行的平面的距离,如图2. 8.直线与平面所成的角 （1）有关概念及定义 ①斜线:一条直线和一个平面虽然相交,但不与这个平面垂直,称之为斜交、如图1,此时直线称为平面的斜线,②斜足:直线与平面的交点A称为斜足 ③投影:如图2,在直线上任取一个不同于斜足的点P,过点 P作平面α的垂线,垂足记为 0.连接 OA,直线 OA 叫做斜线在平面a上的投影(也称射影).线段PA的投影是线段 OA. ④斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 （2）范围 ①约定:如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;如果一条直线和平面平行或在该平面上,就说二者所成的角是 0°的角 ②范围：直线与平面所成的角 的取值范围是 或 ．特别地，平面的斜线与该平面所成角的范围是 ． 9.三垂线定理 （1）定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 （2）定理中的三种垂直关系 关系 线面垂直 线射垂直 线斜垂直 文字语言 直线与平面垂直 平面内的直线和 平面一条斜线的 射影垂直 平面内的直线和 平面的一条斜线 垂直 图形语言 符号语言 10.外心、内心与垂心 （1） 是 所在平面外一点，若点 到 三个顶点的距离相等，则点 在平面 A B C 上的射影 是 的外心． （2） 是 所在平面外一点，若点 到 三边的距离相等，则点 在平面 A B C 上的射影 0 是 的内心． （3） 是 所在平面外一点，若点 P A、P B、P C 两两垂直，则点 在平面 A B C 上的射影 是 的垂心． 知识点05 平面与平面的位置关系 1.两个平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数 两平面平行 0个 两平面相交 无数个(共线) 2.两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 简记 若线面平行,则面面平行 3.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 符号语言 图形语言 作用 判断空间中直线与直线平行的重要依据 简记 若面面平行,则线线平行. 知识点06 异面直线的距离 1.异面直线公垂线定理 （1）内容：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 （1）两条异面直线的距离相关概念 （2）公垂线 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 （3）公垂线段 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 （4）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 异面直线的距离可转化为：①直线a上任意一点P到过直线b且与a平行的平面的距离； ②直线a上任意一点P到直线c的距离（c为过b且平行于a的直线）。 求异面直线距离的常用方法 1.直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。 2.转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离。 3. 转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离。 异面直线上两点间的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . 题型一、空间中的点（线）共面问题 ①两直线共面:若两条直线平行或相交，则它们共面(由"经过两条平行/相交直线，有且只有一个平面" 直接可得);若异面，则不共面。 ②多边形(如四边形)共面:若四边形的两条对角线相交(确定一个平面)，则四边形的四个顶点都在这个平面内，从而四边形为平面图形。 ③多线/多点共面:先由部分点/线确定一个平面，再证明其余点/线也在这个平面内(利用“若点在直线上且直线在平面内，则点在平面内“等性质)。 【典例1】（上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 【变式1】（上海市浦东新区上海海洋大学附属大团高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考）如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】由题意可得，，从而得，即可判断①，②；由与的数量关系可得，四边形为梯形，为腰，设，由点线面的位置关系及公理2，可得，从而判断③；求得，，即可判断④. 【详解】解：由题意可得，， ，， 所以且， 所以四点共面，故①，②正确； 所以四边形为梯形，为两底， 因为四边形为梯形，为腰， 所以设， 所以平面，平面， 又因为平面平面， 所以， 所以三线共点，故③错误； 易知三角形为等腰直角三角形， 所以； 设正方体的棱长为1， 在中，, 所以 又因为， 所以， 所以，故④错误. 故答案为：①② 【变式2】（上海市三林中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 题型二、由直观图还原几何图形 1.斜二测画法的核心规则（逆向还原依据） 坐标轴与角度：直观图中，x轴与y轴夹角为（或）；还原后，轴与轴垂直. 长度变化：平行于x'轴的线段，还原后长度不变；平行于y'轴的线段，还原后长度变为直观图中长度的倍. 2. 解题关键步骤 分析直观图的线段关系：确定哪些线段平行于x'轴，哪些平行于y' 逆向还原长度与角度： 平行于x'轴的线段，直接保留长度; 平行于y'轴的线段，长度乘以2; 角度方面，将直观图中与y'轴相关的45°(或135°)角还原为90°. 计算原图形的边长、面积等：根据还原后的线段长度和角度，结合几何图形的面积公式（如三角形面积、平行四边形面积等）计算. 【典例2】（上海市三林中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    【答案】 【分析】根据斜二测画法的几何特点，还原图形，即可求解. 【详解】    在直观图中，设与交于点， 根据题意，为矩形，， 则，所以， 在平面直角坐标系下还原图形，如图：   ， 所以原图形的周长为：. 故答案为： 【变式1】（上海市进才中学2024-2025学年高二上学期期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【答案】 【分析】由平行四边形的面积求出，再结合斜二测画法分析可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，则为等腰直角三角形， 由平行四边形的面积为8得， ∵，∴，∴， ∴原平面图形中，，. 故答案为：. 【变式2】（上海市桃浦中学2024-2025学年高二上学期期中）已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为 . 【答案】21 【分析】由直观图还原出原图形，并得出相应线段的长度，然后计算三角形面积． 【详解】由直观图还原原图形，如图，，， 则， 故答案为：21. 题型三、斜二测画法中有关量的计算 【典例3】（上海市格致中学2024-2025学年高二上学期期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【答案】 【分析】先推导出原三角形的面积与其直观图面积之间的关系，并求出的面积，由此可得出的面积. 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 【变式1】（上海市崇明中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【答案】 【分析】根据平面图形为直角梯形可求其面积. 【详解】由直角梯形可得，，， ， 而，故， 故直角梯形的面积为， 故答案为： 【变式2】（上海市松江区华东师范大学松江实验高级中学2024-2025学年高二上学期期中）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    【答案】2 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出结论. 【详解】如图，在直观图中，则. 故答案为：2 【变式3】（上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为 .    【答案】 【分析】根据直观图的面积和原图形的面积比进行求解. 【详解】设直观图的面积为，原图形的面积为，则， 故原三角形的面积为. 故答案为： 题型四、异面直线的判定 判定或证明两条直线异面的常用方法 1. 定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面。 2. 常用结论：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。我们称其为异面直线的判定定理。 3. 推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线。 4. 证明立体几何问题的一种重要方法（反证法）：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的。 【典例4】（上海市进才中学2024-2025学年高二上学期期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【变式1】（上海市市西中学2024-2025学年高二上学期期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，分每条棱与其他棱构成异面直线，每条棱与面对角线构成异面直线，每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，三种情况讨论即可. 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故选：D. 【点睛】思路点睛：根据异面直线的定义结合图形分类讨论求解. 【变式2】（上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中）若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（   ） A．至少与、中的一条相交 B．与、都相交 C．至多与、中的一条相交 D．与、都不相交 【答案】A 【分析】举出实例，得到至少与、中的一条相交，A正确，BC错误；与、都不相交，故与平行，但此时和不是异面直线，D错误； 【详解】BC选项，如图1，与、都相交，如图2，与相交、与平行，BC错误； D选项，与、都不相交，故与平行，但此时和不是异面直线，D错误； A选项，至少与、中的一条相交，A正确. 故选：A 【变式3】（上海市崇明中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线性质，结合平行公理即可求证． （2）利用反证法来证明． 【详解】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且，所以且， 所以四边形为平行四边形． （2）证明：（反证法）假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以，，，， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线． 题型五、求异面直线所成的角 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. (2)证明:证明作出的角就是要求的角. (3)计算:求角度(常利用三角形的有关知识). (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. 【典例5】（上海市静安区风华中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线判定定理进行证明. （2）找出异面直线所成的角，解三角形求角的大小. 【详解】（1）如图： 因为平面，平面，平面，所以直线与直线是异面直线. （2）因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，, 所以，所以. 【变式1】（上海大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    【答案】 【分析】取中点，可证明，从而异面直线与所成角即为直线与所成角，为，再通过余弦定理求解即可. 【详解】取中点，连接，，，    因为是中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，为. 由题意知，， 故在△ 中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角为. 【变式2】（上海市浦东区2024-2025学年高二上学期期中联考）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小． 【答案】 【分析】由题意知，则异面直线与所成角即为，再利用余弦定理计算夹角即可求解． 【详解】由题意知，则异面直线与所成角即为， 又， 在中，又， ， ． 则异面直线与所成角的大小为． 【变式3】（上海市位育中学2024-2025学年高二上学期10月期中）已知三棱锥满足. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)求异面直线与所成角大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得. 【详解】（1）因为直线平面，点平面，点，点平面， 所以直线与直线是异面直线. （2） 如图：取的中点，的中点，的中点，连接，，， 所以，， 所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，，， 所以有， 由余弦定理得 ， 所以异面直线与所成角大小为. 题型六、由异面直线所成的角求其他量 【典例6】（上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【答案】或 【分析】取中点为，连接，根据已知得出，，或.然后在中，根据余弦定理，即可得出答案. 【详解】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 【变式1】如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则 ．    【答案】/0.5 【分析】构造平行使异面直线夹角化为共面直线夹角，在平面中解边长即可. 【详解】如图所示，作，连接AF，则，且AD=EF， 即四边形ADEF为平行四边形，所以AF⊥， 故在矩形中， 解得 故答案为：    【变式2】（上海市松江一中2024-2025学年高二上学期阶段测试1）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______． 【答案】或 【分析】由题意可知四边形为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为，再由所给边长即可求得的长. 【详解】如图，    由分别是的中点，得， ，则四边形为菱形，又与所成的角为， 于是直线与所成角为，即菱形的边长为1，相邻两个内角分别为， 即或，当时，, 当时，， 所以或. 故答案为：或 【变式3】（上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为______. 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 题型七、判断线面平行 使用直线与平面平行的判定定理的关键点 使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行。 【典例7】（上海市崇明中学2024-2025学年高二上学期期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据题意只需作出过点并且和平行的平面即可得出平面的个数. 【详解】分别在上取点，使得，连接，如下图所示： 易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等， 显然这样的平面可以作出无数个. 故选：D 【变式1】（上海市三林中学2024-2025学年高二上学期期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是________． 【答案】平行或相交. 【分析】若在平面的同侧，可判断直线和平面平行；若在平面的两侧，可判断直线和平面相交； 【详解】若、在平面的同侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面平行； 若、在平面的两侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面相交； 综上所述:直线和平面的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交. 【变式2】（上海市民办扬波中学2024-2025学年高二上学期期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 【答案】③④ 【分析】对①，举例子即可说明①错误；对②，根据直线与平面平行的性质即可判断②错误；对③，利用反证法结合线面平行的判定定理可判断③正确；对④，根据直线与平面平行的性质即可判断④正确. 【详解】对于①，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误； 对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误； 对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确； 对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确. 故答案为：③④. 【变式3】（上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 【答案】平行 【分析】根据题干信息，利用距离构建直角梯形，利用梯形中位线的长度公式，则中位线长度为，则直线上有两个点到平面距离都，从而可以判断直线与平面的位置关系. 【详解】根据题干信息，连结，相交于点.则点为的中点， 分别作平面，平面，平面. 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线， 因为，两点到平面的距离分别为1、3. 则，点到平面的距离也为2，直线在平面的同侧， 所以上有两个点距离都为2，则直线平面. 故答案为：平行. 题型八、证明线面平行 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点。 (2)利用直线与平面平行的判定定理：，，，则。使用三个条件缺一不可。 定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整。 (3)利用面面平行的性质：若平面平面，直线，则。 (4)利用反证法。这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，解题时往往易忽略“直线在平面内”的情形，应引起重视。 【典例8】（上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦. 【详解】（1）如图：连接，. 因为为正方体，所以. 又，、分别是、的中点，所以， 所以，平面，平面，所以平面. （2）如图：连接、 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，. 所以. 所以异面直线与所成的角为：. 【变式1】（上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)为线段的中点，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置, （2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）为线段的中点，证明如下： 由于相交于，四边形为正方形，故是的中点， 由于平面，平面，且平面, 故, 由于是的中点，故为线段的中点. （2）由球的表面积公式，得球的半径， 设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上， 连，则,，故, 则在，有， 即，可得正方形的边长为， 侧棱． 由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角， 由于为等腰三角形，且, 故， 异面直线与所成的角为； 【变式2】如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证: 直线平面; (2)求异面直线、所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设和交于点O，则O为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）由（1）知，，得到异面直线与所成的角就等于与所成的角，在直角中，即可求解. 【详解】（1）由题意得O为的中点， 连结，又因为P是的中点，故， 又因为平面，平面， 所以直线平面. （2）由（1）知，， 所以异面直线与所成的角就等于与所成的角， 故即为所求；因为，为的中点，则， 则易知，因为为中点，则， 在直角中，可得， 又因为，所以. 题型九、证明线面垂直 利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； (3)根据判定定理得出结论。 说明:证明垂直关系时，一般是本题型中三种垂直关系的综合应用，注意根据题目特点灵活选择。 【典例9】（上海市松江一中2024-2025学年高二上学期期中）已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 【答案】内 【分析】若面，且，连接，利用线面垂直的判定、性质定理证、，结合题设二面角相等，即可判断. 【详解】如下图，若面，且，连接， 由面，则， 又均在面内，则面，面，即， 同理可证，结合二面角、大小相等， 结合下图示，、对应二面角分别为， 在中，， 所以，则， 综上，到距离相等，同理到距离与到距离也一样， 所以点在平面内的射影是的内心. 故答案为：内 【变式1】（上海市民办扬波中学2024-2025学年高二上学期期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 【答案】 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 【变式2】（上海市卢湾高级中学2024-2025学年高二上学期期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】利用正方体的特征及线面垂直的判定计算即可. 【详解】如图所示，E为侧面的中心， 根据正方体的特征可知平面， 平面，所以， 又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 故答案为： 【变式3】（上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量检测）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，所以与的夹角为或其补角，求出的值，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，与的夹角的余弦值为. 题型十、求点面距离 【典例10】（上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【答案】 【分析】证明线面平行，得到点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，证明出⊥平面，故的长即为到平面的距离，结合，，利用勾股定理等知识进行求解. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 即点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作⊥于点， 因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故的长即为到平面的距离， 因为，，故， 则. 故答案为： 【变式1】（上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【答案】5 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 【变式2】已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则的中点P到平面的距离是 . 【答案】3或1 【分析】根据点到平面距离的意义，分A，B在同侧和A，B在异侧两种情况求解即可. 【详解】设点A、B在平面的投影分别为点，，依题意，，， 若A，B在同侧，如图1，设点P在平面的投影为点， 则P到的距离为； 若A，B在异侧，如图2，设点P在平面的投影为点O， 过A作，交的延长线于点C，延长交于点， 则P到的距离为， 所以的中点P到平面的距离为3或1. 故答案为：3或1.    【变式3】（上海市延安中学2023-2024学年高二上学期期中）在正方体中，，则直线到平面的距离为 ． 【答案】2 【分析】根据已知先得出平面.然后求出点到平面的距离，即可得出答案. 【详解】根据正方体的性质可知，. 又平面，平面， 所以，平面. 所以，点A到平面的距离，即等于直线到平面的距离. 又平面，所以点A到平面的距离即为. 所以，直线到平面的距离为2.    故答案为：2. 题型十一、线面垂直证明线线垂直 【典例11】（上海市浦东区2024-2025学年高二上学期期中联考）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【答案】A 【分析】根据条件，利用线面垂直的性质定理和判定定理，对各选项分析判断，即可求解. 【详解】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面， 又面，所以，故选项C正确， 又，，面，所以平面， 又面，所以，故选项B和D正确， 对于选项A，若，又，面， 则面，又面，所以，与相矛盾 故选：A. 【变式1】如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（    ）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）    A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B．保持与垂直时，点的轨迹长度为 C．若保持，则的轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为直角梯形 【答案】B 【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D． 【详解】对于A，将正方体的下底面和侧面展开可得如图图形，    连接，则，故A错误； 对于B，如图：   平面，平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，，平面，所以平面． 所以过点作交于，过作交于， 由，可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面，则平面平面． 设平面交平面于，则的运动轨迹为线段， 由点在棱上，且，可得， 连接，则，所以，又，所以， 所以，故B正确； 对于C，如图：    若，则在以为球心，为半径的球面上， 过点作平面，则， 此时． 所以点在以为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为． 点的运动轨迹长度，故C错误； 对于D，如图：    延长交于点，连接交于，连接， 所以平面被正方体截得的截面为． ，所以， ，所以， 所以，所以且， 所以截面为梯形，， 所以截面为等腰梯形，故D不正确． 故选：B． 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 【变式2】（上海市卢湾高级中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合可得证明平面，再由线面垂直的性质即可证明； （2）由（1）可得，可求得和，根据棱锥的体积公式即可求解； （3）过作，垂足为，根据等面积法及勾股定理求出即可. 【详解】（1）因为正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点， 所以. 因为平面，平面， 所以. 因为平面， 所以平面. 因为平面, 所以. （2）由（1）可得平面， 所以直线和平面所成的角为，即. 因为正方形的边长为4， 所以， 所以,， 所以. （3）过作，垂足为， 因为, 所以. 由等面积法可得， 所以. 易知圆柱的外接球的半径为，即, 所以, 所以直线与球的两个交点间的距离为. 【变式3】（上海市黄浦区向明中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由底面上的，可得平面，从而证得线线垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法表示线面垂直，求得，得其长度． 【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，面，面，面，∴，. 在直角梯形中，，. 又面面，,∴平面，又面，∴； （2）由题意及（1）得，存在一点，使得直线垂直平面. 在四棱锥中，，， 以为轴建立空间直角坐标系如图所示： 根据题意可得：， ∴. 根据点在线段上，∴. 设，则， 由得，得，∴， ∴. 题型十二、求线面角 求直线与平面所成的角的一般步骤 (1)作:在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在这一步确定垂足的位置是关键. (2)证:证明所找到的角为直线与平面所成的角,其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义. (3)求:一般借助三角形的相关知识求角. 【典例12】（上海市黄浦区2024-2025学年高三上学期期终调研测试）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方体的性质易得，，进而求证即可； （2）过作，交于，连接，易得是直线与平面所成的角，进而结合直角三角形中正切的定义求解即可. 【详解】（1）证明：连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2）过作，交于，连接， 在正方体中，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以是直线与平面所成的角. 由题意，设，则， ，所以， 所以在，， 故直线与平面所成角的大小是. 【变式1】（上海市通河中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到异面直线所成的角，进而解出即可； （2）取BC中点E，然后证明平面，进而得到线面角，解出即可； 【详解】（1）∵，∴与所成的角就是（或其补角）. ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，而， ∴平面，又平面，∴. 在中，，，， ∴.即与所成角为. （2）如图，取BC中点E，连接，易知O为的中点， ∴且， ∴平面，∴为与平面所成的角. 在中，，， ∴. 即与平面所成角的正切值为.    【变式2】（上海市三林中学东校2024-2025学年高二上学期期中）正四棱柱的底面边长，．求： (1)直线与平面所成角大小； (2)异面直线与所成角大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面，可得即为直线与平面所成角的平面角，再解即可； （2）证明，则即为异面直线与所成角的平面角，再解即可. 【详解】（1）因为平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 在中，，则， 所以， 即直线与平面所成角大小为； （2）连接， 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与所成角的平面角， 在中，， 则， 所以， 即异面直线与所成角大小为. 【变式3】（上海市卢湾高级中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由; (2)若，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线性质即可判断； （2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案． 【详解】（1） 因为为的中点，为中点， 所以且， 又， 所以且， 所以直线与相交. （2）连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 题型十三、由线面角的大小求值 【典例13】（上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【答案】 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 【变式1】（上海市延安中学2024-2025学年高二上学期期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的 心. 【答案】外 【分析】设侧棱与底面所成角为，则，故，从而判断即可. 【详解】三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为， 顶点在底面的射影在内， 所以， 所以，故是的外心. 故答案为：外 【变式2】（上海市洋泾中学2023-2024学年高二上学期期中）正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为 ． 【答案】 【分析】由正直棱柱的性质得到为直线与底面所成的角，从而求出的长度，即可求出侧面积. 【详解】在正四棱柱中，平面，则为直线与底面所成的角， 依题意可得，又，所以， 所以正四棱柱的侧面积为.    故答案为： 【变式3】已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，与平面所成的角大小为，求异面直线与所成角的大小（精确到）. 【答案】(1)作图见解析 (2)26.57° 【分析】（1）在平面中，延长与即可得到交点；（2）由线线平行确定为所求角，再由线面垂直找到与平面所成的角，代入数值结合余弦定理计算可求出余弦值，反三角函数求出所求角. 【详解】（1） （2）连接，则，又平面，所以 所以是异面直线与所成角. 连接，平面，为与平面所成的角，故 在中，，所以， 在中，， ， 由余弦定理得. 题型十四、三垂线定理 【典例14】（上海市第五十二中学2023-2024学年高二上学期期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为 ．    【答案】 【分析】先作出直线上的点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度即可. 【详解】    连接交于点，则， 在正方体中，因为底面，底面， 所以， 又，平面， 所以平面. 在正方体中，因为，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线到平面的距离， 又因为正方体的棱长为1，所以. 故答案为：. 【变式1】已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为 ． 【答案】/ 【分析】过作交于点，连接， 由三垂线定理证即可得E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【详解】如图，过作交于点，连接， 则，所以， 因为平面，平面、平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 【变式2】已知P为所在平面外一点． (1)若O为P在平面上的投影，，，证明：O为的垂心； (2)若、、两两垂直，且，求直线与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线与平面的夹角的大小为 【分析】（1）通过证明三垂线交于点即可证明结论； （2）通过证明线面垂直得出所求角，即可求出直线与平面的夹角的大小. 【详解】（1）O为P在平面上的投影，则面， 由可得，同理， 所以，O为的垂心. （2）取中点D，连接，过P作于O， 因为，，所以，， ∵面，面，，面， 所以面， ∵面， 所以， 因为，面，面，，面， 所以平面，所以即为所求角. ∵、、两两垂直，且， 设， ∴，是等边三角形，，，， ∴，， ∴夹角大小为. 题型十五、证明面面平行 平面与平面平行的判定方法 (1)根据定义:证明两个平面没有公共点,但有时直接证明非常困难. (2)根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,则这两个平面平行. (3)根据判定定理的推论:在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行,则这两个平面平行. (4)根据平面平行的传递性:若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面平行. (5)利用反证法. 【典例15】（上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高二上学期期中）下列命题中，是真命题的选项为（    ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C．分别在两个平行平面上的两条直线平行 D．与两条异面直线都平行的两个平面平行． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用面面平行的判定推理判断D. 【详解】如图，正方体，    对于A，平面与平面都与直线平行，而平面与平面相交，A是假命题； 对于B，相交平面与平面分别经过直线，且，B是假命题； 对于C，直线平面，直线平面，且平面平面， 而直线与直线是异面直线，C是假命题； 对于D，直线是两条异面直线，是两个不同平面，， 过直线上的点作直线，则直线确定平面，由，得点， 而，于是，因此，所以，D真命题.      故选：D 【变式1】如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是 ・ 【答案】 【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解. 【详解】解：如图，连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 故答案为：. 【变式2】（上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而可得面面平行，利用面面平行的性质即可求证， （2）根据可得为异面直线与所成角，即可利用余弦定理求解，在中利用余弦定理计算． 【详解】（1）取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面    （2）由（1）知， 或其补角为异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则，， ，所以异面直线与所成角的大小为.    【变式3】已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据直线与平面夹角的定义即可知即为直线与平面所成的角，然后利用线段长直接求解即可. （2）利用面面平行的判定定理直接证明即可；根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）    因为平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 又，，， 为中点，可得，， 所以， 即直线与平面所成的角的正切值为. （2）由题知，平面，平面， ，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， 所以就是直线到平面的距离， 又为中点， 则， 即直线到平面的距离为. 题型十六、求二面角 (1)二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点，为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析. (2)求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 【典例16】（上海市实验学校2024-2025学年高二上学期期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接延长交于，则是中点，得是二面角的平面角．求出可得结论． 【详解】依题意，是中心， 连接延长交于，则是中点，连接，则，， 而平面，则平面， cc以平面，则，因此是二面角的平面角． 由，，得，， 又，由平面，平面，得， 所以二面角的余弦值. 故选：B 【变式1】（上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中）若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 【答案】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，说明即为二面角的平面角，再分别在和求出，进而可得出答案. 【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理，故四点共面， 则即为二面角的平面角， 在中，，则， 在中，，则， 所以，所以， 即二面角的大小为. 故答案为：. 【变式2】（上海市延安中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求：    (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，易证得平面，，则即为二面角的平面角，再解即可； （2）由平面，可得线段的长度即为点到平面的距离，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接， 在正四面体中，的中点为， 则， 因为为的中点，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，则， 所以二面角的大小为；    （2）由（1）知平面， 所以线段的长度即为点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 【变式3】（上海市三林中学东校2024-2025学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直得判定定理即可得证； （2）根据棱锥的体积公式求出，根据线面垂直的性质可得，则即为二面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）在直角梯形中，，，，， 则， 则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又，所以即为二面角的平面角， 由，得， 在中，， 所以， 即二面角的大小为． 题型十七、由二面角大小求线段长度或距离 【典例17】已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作交于，连接，作，，证明为二面角的平面角，以及，；在，中分别求出，，再在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，作交于，连接，作，， 因为，，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 即， 因为平面，平面，所以， 又，， ，，所以， 所以， 同理，所以， 在中，，，所以， 在中，，，所以， 在中，， 所以. 故选：. 【变式1】（上海市崇明中学2023-2024学年高二上学期期中）在的二面角的一个面上有一点，它到棱的距离等于，则点到另一个平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】利用二面角的定义，点到平面距离的意义求解即得. 【详解】二面角大小为，点，于，且， 过作于，连接，显然，而平面， 则平面，又平面，因此，是二面角的平面角， 即，于是， 所以点到另一个平面的距离为1. 故答案为：1 【变式2】一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了_____米． 【答案】 【分析】作出示意图，作出坡角，即二面角的平面角，结合直道的长，求解三角形，即可求得答案. 【详解】如图，CD表示斜坡上的直道，AB表示坡脚水平线， 由题意知CD＝100米，作DH⊥过BC的水平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度， 在平面DBC内，过点D作，连接GH， ∵平面BCH，平面BCH， ∴，又，平面DGH， ∴平面DGH，又平面DGH， ∴， ∴为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则， 依题意，,则, 故（米）， 故答案为： 【变式3】（上海市南汇中学2023-2024学年高二上学期期中）若一个二面角的大小为，且点到平面的距离为，则点到棱的距离为 ． 【答案】 【分析】利用二面角的定义，构造直角三角形即可得解.. 【详解】过作，垂足为，过作，垂足为，连接，则，    因为，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角，即， 所以点到棱的距离为. 故答案为：. 题型十八、证明面面垂直 利用判定定理证明面面垂直的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直:若这样的垂线不存在,则需通过作辅助线来证明. 【典例18】（上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期期中）如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为    【答案】3 【分析】根据给定的侧面展开图及信息，还原该几何体，再借助面面垂直的判定即可得解. 【详解】依题意，直线，点直线，点直线， 在几何体中，两两垂直，而平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 又平面，因此平面平面， 而，则平面，又平面，因此平面平面， 令平面平面，由，平面，平面， 得平面，而平面，于是，同理平面， 则平面，平面，则，是平面与平面的夹角， 而是锐角，因此平面与平面不垂直， 所以与平面垂直的平面个数为3. 故答案为：3    【变式1】（上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明侧面，再根据面面 垂直的判定定理即可得证； （2）先证明侧面，则即为与侧面所成角的平面角，再解即可. 【详解】（1）因为面，面， 所以， 又侧面， 所以侧面， 又因为侧面， 所以侧面侧面； （2）因为，为的中点， 所以，， 因为侧面，侧面， 所以， 又因为侧面， 所以侧面， 所以即为与侧面所成角的平面角， 在中，， 在中，，所以， 在中，，所以， 即与侧面所成角的大小为． 【变式2】（上海大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，四棱锥 的底面是 的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面 (1)证明平面PAB⊥平面PBC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，再得面面垂直即可证明； （2）证明平面，得出二面角的平面角，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在矩形 中，，平面， 又平面 平面 ，平面 平面， 平面， 平面 ， 平面 平面 . （2）取中点， CD中点F，连接, 是等边三角形， ， 又，平面， 所以平面，因为， 所以平面，平面， 所以, 为平面 与平面 所成的角， 又， 在中，， 所以. 【变式3】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直的性质及正方形的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论. 【详解】（1）连接交于点，连接， 四边形为正方形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，； ，平面，平面， 平面，平面平面. 题型十九、面面垂直证线面垂直 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直! 【典例19】（上海市晋元高级中学2024-2025学年高二上学期期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】根据空间中垂直关系的转化可得点在平面上的投影点的轨迹为圆弧，故可求其长度. 【详解】 设将沿折起后得到的平面为平面， 在矩形中，过作，垂足为， 旋转后，故为二面角的平面角， 因平面平面，，故， 而，平面， 故平面，故为在平面上的射影， 因为，故在以为直径的半圆上（如图所示，去除）， 连接，交半圆于， 因为，故，故在劣弧（去除）上， 其长度为， 故答案为： 【变式1】（上海市浦东区2024-2025学年高二上学期期中联考）命题：“若两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，不一定在第一个平面上.”上述命题为 （选填“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【分析】利用面面垂直的性质求解即可. 【详解】如图，我们将垂直的两个平面记为，两条直线分别记为，点记为， 由题意得，，且设， 过点作，故， 由面面垂直的性质得，因为过一点有且只有一条直线与垂直， 所以直线与直线重合，故. 故答案为：假命题. 【变式2】（上海市金山区上海师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明出和，从而证明出面面平行； （2）证明出线面垂直，从而得到面面垂直，作出辅助线，再由面面垂直得到线面垂直，得到点到平面的距离为的长，求出答案. 【详解】（1）连接，因为正三棱柱中，分别是的中点， 所以，，故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 故，， 又，，所以，， 故四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）因为为等边三角形，为的中点，故⊥， 又三棱柱为直三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 过点作⊥于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 故点到平面的距离为的长， 因为，是的中点， 所以， 由勾股定理得， 故， 点到平面的距离为. 【变式3】（上海市川沙中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面⊥平面，求证：； (3)若平面⊥平面，且，求直线与平面所成角. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）由中位线和平行四边形得到线线平行，证明出线面平行，面面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直； （3）在（2）基础上得到直线与平面所成角为或其补角，再求出各边长，求出，得到答案. 【详解】（1）因为分别为棱中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，分别为棱中点， 所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面； （2）因为平面⊥平面，两平面交线为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）由（2）可知，平面， 故直线与平面所成角为或其补角， 又平面，所以， 因为，，且，所以， 故，故 故直线与平面所成角为. 题型二十、求异面直线的距离 【典例20】（上海市格致中学2023-2024学年高二上学期期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 【变式1】（上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上学期期中）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 【答案】 【分析】由条件计算各边长度，将棱锥补成长方体，在长方体找到的公垂线段，求出长度即可. 【详解】因为平面，所以， 所以，所以， 因为 因此我们将四棱锥构建成长方体. 接下来我们寻找异面直线的公垂线 在平面上的投影为，， 易证平面，故得，， 连接，与相交于，则为的中点， 作的中点，连接，则，，， 所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离. 且， 故答案为：. 【变式2】（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中）已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由定义说明是异面直线与所成角或其补角，然后计算． 【详解】因为，所以是异面直线与所成角或其补角， 在直角中，，， 故答案为：．    【变式3】（上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取中点，连接，作，垂足为，再过点A作，连接，通过构造线面垂直，确定二面角的一个平面角，由等面积法及勾股定理计算即可； （2）利用线面平行的判定，确定异面直线的距离为线面距离结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1） 取中点，连接，作，垂足为， 再过点A作，连接， 根据题意可知为正三角形， 则，， 又平面，则平面， 因为平面，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以二面角的余弦值为. （2）根据底面是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 故平面， 所以线段的长度即为直线与平面间的距离， 也即异面直线和之间的距离. 由上可知，所以异面直线和之间的距离为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（上海市高境第一中学2024-2025学年高二上学期期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】取中点，连结，推导出是异面直线与所成的角（或所成角的补角），或，由，得是异面直线和所成的角，由此能求出异面直线和所成的角． 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：C. 2．（上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高二上学期期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 3．（上海市静安区上海戏剧学院附属高级中学2024-2025学年高二上学期期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个） 【答案】垂心 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定与性质推理判断. 【详解】连接，由，，平面， 得平面，而平面，则，又平面， 则，又平面，因此平面， 而平面，则，同理， 所以点是的垂心. 故答案为：垂心 4．（上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中）三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的 ．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”） 【答案】外心 【分析】由已知可得顶点在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离相等，即为的外心. 【详解】如图，设顶点在底面内的射影为，则平面， 连接，，，   ，，在平面内， ，，， ，，都是直角三角形， ， ，和三个三角形全等， 从而有， 所以为的外心. 故答案为：外心. 5．（上海市格致中学2024-2025学年高二上学期期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为 . 【答案】 【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，结合圆的面积公式作差即可． 【详解】如图， 过作，则， 当时，，当时，． 所以，满足条件的点构成的区域的面积为. 故答案为：. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用等腰三角形性质及线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）可得二面角的平面角，并利用几何法求出角的大小. 【详解】（1）在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 2．（上海市浦东新区上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高二上学期期中）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）新的几何体是大圆锥减去小圆锥的部分，结合圆锥体积公式可计算出结果； （2）作出辅助线先证明与底面所成角即为，利用线段长度表示出，根据的范围求解出的取值范围. 【详解】（1）连接，在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. （2）如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 3．（上海市松江区华东师范大学松江实验高级中学2024-2025学年高二上学期期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 4．（上海市晋元高级中学2024-2025学年高二上学期期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【答案】(1) (2) (3)当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为 【分析】（1）由等体积法可得，代入计算，即可得到结果； （2）过作于，连接，由题意可得为二面角的平面角，进而求解即可； （3）由题意可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，设直线与平面所成的角为，可得，要使最大，则需使最小，可求解. 【详解】（1）由题意可得都是边长为2的等边三角形， 所以，则， 所以，因为， 所以， 设点到平面的距离为， 则，可得， 即，解得， 则点到平面的距离为. （2） 过作于，连接，因为平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，由， 知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． （3）因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，因为， 所以，即， 所以， 即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，， 所以， 即， 故当点在线段上靠近点的处时， 直线与平面所成的角最大，最大角为． 5．（上海市华东师范大学附属周浦中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，.    (1)证明：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在，. 【分析】（1）连接交于点，由面面垂直的性质定理可证平面，进而得证； （2）过点作，连接，可得即是二面角的平面角，运算得解； （3）在的延长线上取点，使得，可证，得解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以. （2）由（1），平面，过点作，连接， 则，是平面内两条相交直线，所以平面， 平面，则， 所以即是二面角的平面角， ，， 在中，可得， 又，， ， 所以锐二面角的余弦值为.    （3）存在这样的点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 在的延长线上取点，使得，连接， ，， ，，所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，平面，平面， 所以平面， 所以在直线的延长线上存在点，使得平面，此时满足. 试卷第1页，共3页 1 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间直线与平面（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 平面的基本事实与推论； 2. 空间平行直线、异面直线夹角问题； 3. 直线与直线平行和垂直的判定和性质 4. 线面角、二面角 1. 概念与定理： 准确理解平面的基本事实、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的定义。 熟练掌握线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，明确定理的条件与结论，避免遗漏关键条件（如“平面外直线”“相交直线”等）。 2. 技能与方法： 具备空间想象能力，能借助长方体、正方体等模型分析空间点、线、面的位置关系。 掌握异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的求解步骤，能熟练运用平移法、垂线法、射影法等方法构造角并计算。 学会运用反证法、辅助平面法等解决空间中的共面、共线、共点问题。 3.综合应用： 能将线线、线面、面面的平行与垂直关系进行综合转化，解决复杂的空间位置关系证明题。 能结合空间向量（若已学习）辅助解决角的计算、位置关系判定等问题，提升解题效率。 1.选择题、填空题常考查基本概念（如异面直线的判定、线面位置关系的判断）、空间角的计算（异面直线所成角、线面角、二面角的小范围计算）。 2.解答题第一问多考查线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的证明；第二问常考查空间角的计算（如异面直线所成角、二面角）或点到平面的距离等 知识点01 平面及其基本性质 1.平面 （1）平面的概念 与平面几何中的点与直线一样,平面也是一个从实际生活中抽象出来的数学概念. （2）平面的表示方法 平面通常用一个小写希腊字母表示,如平面等,有时也可以用一个或多个大写英文字母表示,如平面M、平面等.为了叙述方便,我们一般用大写的英文字母等表示点,用小写的英文字母等表示直线, （3）平面的画法 习惯上,我们用一个平行四边形来表示平面.当平面是水平放置时,通常把这个平行四边形的锐角画成45°左右，且横边长约为邻边长的2倍;当平面是竖直放置时,通常将平行四边形的一边画成竖向.如果一个平面被另一个平面遮挡住,应将被遮挡的部分画成虚线，以增强立体感,如图 2.点与直线、点与平面的位置关系 （1）点与直线、点与平面的位置关系的三种表示 位置关系 符号表示 图形表示 点与直线 点在直线上,也称直 线经过点 点不在直线上，也称 直线不经过点 点与平面 点在平面上,也称平 面经过点 点不在平面上,也称 平面不经过点 （2）公理 1 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果一条直线上有两 点在一个平面上，那 么这条直线上所有的 点都在这个平面上 （3）公理2及其推论 文字语言表示 符号表示 图形表示 公理2 不在同一直线上的三点确定 一个平面 、、 三点不共线 有且只有一个平面 ，使 ， 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 ， 推论2 两条相交直线确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 推论3 两条平行直线确定一个平面 存在唯一的平面 ，使得 ， 3.平面与平面之间的位置关系 （1）平面与平面之间的位置关系的两种表示 位置关系 文字语言表示 符号表示 图形表示 相交 平面a与平面β相交于一条公共直线 平行 平面a与平面β没有公共点 或 （2）公理 3 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4.斜二测画法 斜二测画法是一种常用的工程制图方法,通过将物体投影到斜平面上进行绘制,可以更清晰地表现物体的形状和结构.斜二测画法是人为规定的,并没有计算原理.在画法中,垂直于轴的线段倾斜 45°且长度要减半等规定，只是为了让人能对平面图形产生更好的立体感,从而达到作图目的.斜二测画法是作空间几何直观图的一种有效方法,是空间几何直观图的画法基础 （1）用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤 ①画轴:在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点〇,建立直角坐标系.在画直观图时,画出对应的 '轴和 轴,两轴相交于点 O' ,且使 ②画线:已知图形中平行于轴或轴的线段,在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段,已知图形中平行于轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于轴的线段,长度为原来的一半,对于一般线段,要在原来的图形中从线段的两个端点引垂线,再按上述要求画出这些垂线,确定端点，从而画出线段. ③擦去辅助线:图画好后,要擦去辅助线, （2）画空间几何体直观图的方法与步骤 ①画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个轴,直观图中与之对应的是轴 ②画底面:平面表示水平平面,平面表示竖直平面 ③画侧棱:已知图形中平行于轴(或在轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变 ④成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线 知识点02直线与直线的位置关系 1.公理 4 文字语言表示 符号表示 图形表示 平行于同一条直线的 两条直线互相平行 若 ，且 ，则 2.等角定理及其推论 （1）等角定理 文字语言表示 符号表示 图形表示 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 在 与 中， ，且方向相同， （2）等角定理的两个推论 文字语言表示 符号表示 图形表示 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 在中或 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或 直角)相等 则 3.空间四边形 由空间不共面四点首尾相接所成的四边形叫做空间四边形 知识点03 异面直线 1.异面直线 （1）定义 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线 （2）画法(通常用平面衬托) 2.异面直线判定定理 （1）定理 过平面外一点与平面上一点的直线,和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 （2）图形语言 3.两条异面直线所成的角 （1）定义 两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角. （2）范围 两条异面直线所成的角的范围是 知识点04 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 公共点个数 图形语言 符号语言 直线在平面上 有无数个公共点 直线和平面相交 只有一个公共点 直线和平面平行 没有公共点 2.直线与平面平行及其判定 （1）直线与平面平行的定义按照直线与平面的公共点的个数来划分了空间直线与平面的位置关系,其中,当直线与平面没有公共点时,我们说直线与平面平行. （2）直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行 直线 不在平面 上｝ 3.直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面平 行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行 、、 ｝ 4.直线与平面垂直的有关概念 定义 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直,就说这条直线与这个平面互相垂直 记法 有关概念 直线叫做平面的垂线(或者法线),与的交点叫做垂足，平面叫做直线的垂面 图示 画直线与平面垂直的示意图时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 5.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直,那么此直线与该平面垂直 图形语言 符号语言 作用 证明线面垂直的主要工具 6.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 符号语言 图形语言 →揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系 作用 ①线面垂直→线线平行;②作平行线 7.点、直线与平面的距离 过平面外任意给定的一点M,有且只有一条直线与平面垂直,从而把点 M与垂足N之间的距离叫做点 M 到平面的距离,如图1.利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线平行于一个平面。,那么直线l上任意两点到平面的距离都相等,从而就可以把直线上一点M到平面的距离定义为直线到与它平行的平面的距离,如图2. 8.直线与平面所成的角 （1）有关概念及定义 ①斜线:一条直线和一个平面虽然相交,但不与这个平面垂直,称之为斜交、如图1,此时直线称为平面的斜线,②斜足:直线与平面的交点A称为斜足 ③投影:如图2,在直线上任取一个不同于斜足的点P,过点 P作平面α的垂线,垂足记为 0.连接 OA,直线 OA 叫做斜线在平面a上的投影(也称射影).线段PA的投影是线段 OA. ④斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 （2）范围 ①约定:如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;如果一条直线和平面平行或在该平面上,就说二者所成的角是 0°的角 ②范围：直线与平面所成的角 的取值范围是 或 ．特别地，平面的斜线与该平面所成角的范围是 ． 9.三垂线定理 （1）定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 （2）定理中的三种垂直关系 关系 线面垂直 线射垂直 线斜垂直 文字语言 直线与平面垂直 平面内的直线和 平面一条斜线的 射影垂直 平面内的直线和 平面的一条斜线 垂直 图形语言 符号语言 10.外心、内心与垂心 （1） 是 所在平面外一点，若点 到 三个顶点的距离相等，则点 在平面 A B C 上的射影 是 的外心． （2） 是 所在平面外一点，若点 到 三边的距离相等，则点 在平面 A B C 上的射影 0 是 的内心． （3） 是 所在平面外一点，若点 P A、P B、P C 两两垂直，则点 在平面 A B C 上的射影 是 的垂心． 知识点05 平面与平面的位置关系 1.两个平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数 两平面平行 0个 两平面相交 无数个(共线) 2.两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 简记 若线面平行,则面面平行 3.两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 符号语言 图形语言 作用 判断空间中直线与直线平行的重要依据 简记 若面面平行,则线线平行. 知识点06 异面直线的距离 1.异面直线公垂线定理 （1）内容：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 （1）两条异面直线的距离相关概念 （2）公垂线 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 （3）公垂线段 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 （4）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 异面直线的距离可转化为：①直线a上任意一点P到过直线b且与a平行的平面的距离； ②直线a上任意一点P到直线c的距离（c为过b且平行于a的直线）。 求异面直线距离的常用方法 1.直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。 2.转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离。 3. 转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离。 异面直线上两点间的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . 题型一、空间中的点（线）共面问题 ①两直线共面:若两条直线平行或相交，则它们共面(由"经过两条平行/相交直线，有且只有一个平面" 直接可得);若异面，则不共面。 ②多边形(如四边形)共面:若四边形的两条对角线相交(确定一个平面)，则四边形的四个顶点都在这个平面内，从而四边形为平面图形。 ③多线/多点共面:先由部分点/线确定一个平面，再证明其余点/线也在这个平面内(利用“若点在直线上且直线在平面内，则点在平面内“等性质)。 【典例1】（上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（上海市浦东新区上海海洋大学附属大团高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考）如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是 . 【变式2】（上海市三林中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 题型二、由直观图还原几何图形 1.斜二测画法的核心规则（逆向还原依据） 坐标轴与角度：直观图中，x轴与y轴夹角为（或）；还原后，轴与轴垂直. 长度变化：平行于x'轴的线段，还原后长度不变；平行于y'轴的线段，还原后长度变为直观图中长度的倍. 2. 解题关键步骤 分析直观图的线段关系：确定哪些线段平行于x'轴，哪些平行于y' 逆向还原长度与角度： 平行于x'轴的线段，直接保留长度; 平行于y'轴的线段，长度乘以2; 角度方面，将直观图中与y'轴相关的45°(或135°)角还原为90°. 计算原图形的边长、面积等：根据还原后的线段长度和角度，结合几何图形的面积公式（如三角形面积、平行四边形面积等）计算. 【典例2】（上海市三林中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    【变式1】（上海市进才中学2024-2025学年高二上学期期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为 . 【变式2】（上海市桃浦中学2024-2025学年高二上学期期中）已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为 . 题型三、斜二测画法中有关量的计算 【典例3】（上海市格致中学2024-2025学年高二上学期期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【变式1】（上海市崇明中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【变式2】（上海市松江区华东师范大学松江实验高级中学2024-2025学年高二上学期期中）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    【变式3】（上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为 .    题型四、异面直线的判定 判定或证明两条直线异面的常用方法 1. 定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面。 2. 常用结论：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。我们称其为异面直线的判定定理。 3. 推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线。 4. 证明立体几何问题的一种重要方法（反证法）：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的。 【典例4】（上海市进才中学2024-2025学年高二上学期期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【变式1】（上海市市西中学2024-2025学年高二上学期期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【变式2】（上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中）若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（   ） A．至少与、中的一条相交 B．与、都相交 C．至多与、中的一条相交 D．与、都不相交 【变式3】（上海市崇明中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 题型五、求异面直线所成的角 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. (2)证明:证明作出的角就是要求的角. (3)计算:求角度(常利用三角形的有关知识). (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. 【典例5】（上海市静安区风华中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 【变式1】（上海大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）已知正方体 的棱长为2，，分别为，的中点，求异面直线与所成角.    【变式2】（上海市浦东区2024-2025学年高二上学期期中联考）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小． 【变式3】（上海市位育中学2024-2025学年高二上学期10月期中）已知三棱锥满足. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)求异面直线与所成角大小. 题型六、由异面直线所成的角求其他量 【典例6】（上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【变式1】如图所示，是长方体，其中，，点是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则 ．    【变式2】（上海市松江一中2024-2025学年高二上学期阶段测试1）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH=______． 【变式3】（上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为______. 题型七、判断线面平行 使用直线与平面平行的判定定理的关键点 使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行。 【典例7】（上海市崇明中学2024-2025学年高二上学期期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【变式1】（上海市三林中学2024-2025学年高二上学期期中）如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是________． 【变式2】（上海市民办扬波中学2024-2025学年高二上学期期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 【变式3】（上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 题型八、证明线面平行 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点。 (2)利用直线与平面平行的判定定理：，，，则。使用三个条件缺一不可。 定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整。 (3)利用面面平行的性质：若平面平面，直线，则。 (4)利用反证法。这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，解题时往往易忽略“直线在平面内”的情形，应引起重视。 【典例8】（上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【变式1】（上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 【变式2】如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证: 直线平面; (2)求异面直线、所成角的大小. 题型九、证明线面垂直 利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； (3)根据判定定理得出结论。 说明:证明垂直关系时，一般是本题型中三种垂直关系的综合应用，注意根据题目特点灵活选择。 【典例9】（上海市松江一中2024-2025学年高二上学期期中）已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 【变式1】（上海市民办扬波中学2024-2025学年高二上学期期中）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为 . 【变式2】（上海市卢湾高级中学2024-2025学年高二上学期期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 【变式3】（上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量检测）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值. 题型十、求点面距离 【典例10】（上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【变式1】（上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【变式2】已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则的中点P到平面的距离是 . 【变式3】（上海市延安中学2023-2024学年高二上学期期中）在正方体中，，则直线到平面的距离为 ． 题型十一、线面垂直证明线线垂直 【典例11】（上海市浦东区2024-2025学年高二上学期期中联考）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【变式1】如图，在棱长为5的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且则以下命题正确的是（    ）（动点的轨迹：指动点运动所形成的图形）    A．沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B．保持与垂直时，点的轨迹长度为 C．若保持，则的轨迹长度为 D．平面被正方体截得截面为直角梯形 【变式2】（上海市卢湾高级中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点. (1)求证：； (2)若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离. 【变式3】（上海市黄浦区向明中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由． 题型十二、求线面角 求直线与平面所成的角的一般步骤 (1)作:在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在这一步确定垂足的位置是关键. (2)证:证明所找到的角为直线与平面所成的角,其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义. (3)求:一般借助三角形的相关知识求角. 【典例12】（上海市黄浦区2024-2025学年高三上学期期终调研测试）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 【变式1】（上海市通河中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【变式2】（上海市三林中学东校2024-2025学年高二上学期期中）正四棱柱的底面边长，．求： (1)直线与平面所成角大小； (2)异面直线与所成角大小． 【变式3】（上海市卢湾高级中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由; (2)若，求直线与平面所成角的大小. 题型十三、由线面角的大小求值 【典例13】（上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【变式1】（上海市延安中学2024-2025学年高二上学期期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的 心. 【变式2】（上海市洋泾中学2023-2024学年高二上学期期中）正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为 ． 【变式3】已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，与平面所成的角大小为，求异面直线与所成角的大小（精确到）. 题型十四、三垂线定理 【典例14】（上海市第五十二中学2023-2024学年高二上学期期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为 ．    【变式1】已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为 ． 【变式2】已知P为所在平面外一点． (1)若O为P在平面上的投影，，，证明：O为的垂心； (2)若、、两两垂直，且，求直线与平面的夹角的大小． 题型十五、证明面面平行 平面与平面平行的判定方法 (1)根据定义:证明两个平面没有公共点,但有时直接证明非常困难. (2)根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,则这两个平面平行. (3)根据判定定理的推论:在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行,则这两个平面平行. (4)根据平面平行的传递性:若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面平行. (5)利用反证法. 【典例15】（上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高二上学期期中）下列命题中，是真命题的选项为（    ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C．分别在两个平行平面上的两条直线平行 D．与两条异面直线都平行的两个平面平行． 【变式1】如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是 ・ 【变式2】（上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【变式3】已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 题型十六、求二面角 (1)二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点，为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析. (2)求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 【典例16】（上海市实验学校2024-2025学年高二上学期期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中）若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 【变式2】（上海市延安中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，正四面体中，棱长为，的中点为.求：    (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 【变式3】（上海市三林中学东校2024-2025学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 题型十七、由二面角大小求线段长度或距离 【典例17】已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（上海市崇明中学2023-2024学年高二上学期期中）在的二面角的一个面上有一点，它到棱的距离等于，则点到另一个平面的距离为 ． 【变式2】一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了_____米． 【变式3】（上海市南汇中学2023-2024学年高二上学期期中）若一个二面角的大小为，且点到平面的距离为，则点到棱的距离为 ． 题型十八、证明面面垂直 利用判定定理证明面面垂直的一般方法 先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直:若这样的垂线不存在,则需通过作辅助线来证明. 【典例18】（上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期期中）如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为    【变式1】（上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 【变式2】（上海大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，四棱锥 的底面是 的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面 (1)证明平面PAB⊥平面PBC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【变式3】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 题型十九、面面垂直证线面垂直 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直! 【典例19】（上海市晋元高级中学2024-2025学年高二上学期期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 【变式1】（上海市浦东区2024-2025学年高二上学期期中联考）命题：“若两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，不一定在第一个平面上.”上述命题为 （选填“真命题”或“假命题”）． 【变式2】（上海市金山区上海师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，在正三棱柱中，已知，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面平面，并求点到平面的距离． 【变式3】（上海市川沙中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面⊥平面，求证：； (3)若平面⊥平面，且，求直线与平面所成角. 题型二十、求异面直线的距离 【典例20】（上海市格致中学2023-2024学年高二上学期期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【变式1】（上海市杨浦高级中学2021-2022学年高二上学期期中）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 【变式2】（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中）已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【变式3】（上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（上海市高境第一中学2024-2025学年高二上学期期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 2．（上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高二上学期期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（上海市静安区上海戏剧学院附属高级中学2024-2025学年高二上学期期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个） 4．（上海市同济大学第二附属中学2024-2025学年高二上学期期中）三棱锥中，三条侧棱，则顶点在平面内的射影是的 ．（填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”） 5．（上海市格致中学2024-2025学年高二上学期期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为 . 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 2．（上海市浦东新区上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高二上学期期中）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 3．（上海市松江区华东师范大学松江实验高级中学2024-2025学年高二上学期期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 4．（上海市晋元高级中学2024-2025学年高二上学期期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 5．（上海市华东师范大学附属周浦中学2024-2025学年高二上学期期中）如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，.    (1)证明：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 1 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $