九年级数学上学期期中模拟卷01（苏科版第1～3章一元二次方程+对称图形—圆+数据的集中趋势和离散程度）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级数学上册第1~3章（一元二次方程+对称图形——圆+数据的集中趋势和离散程度）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若关于x的一元二次方程（，a、b为常数）的一个根是，则代数式的值为（   ） A．-2025 B．2025 C． D．2026 2．已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 3．某小组5人在一次数学测验中的成绩分别是：110，105，105，100，98，则他们的成绩的中位数和众数分别是（    ） A．110和105 B．110和100 C．105和100 D．105和105 4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．当 时，关于的方程是一元二次方程． 8．北京市某校名同学参加某区初中数学竞赛，其中位男同学的平均成绩为分，名女同学的平均成绩为分，则该校名同学的平均成绩为 分 9．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 10．在振兴乡村的农业发展中，为比较甲、乙、丙三种改良玉米种子的发芽情况稳定性，农业技术员在相同试验条件下，对每种玉米种子各随机选取 80 粒进行发芽试验，统计发芽数量．经计算，三种玉米种子的平均发芽数相同，甲、乙、丙三种玉米种子发芽数的方差分别是 2.3、6.7、9.4．由此可知， 种玉米种子发芽情况更稳定（填“甲”“乙”或“丙” ）． 11．某电子产品经过连续两次降价，售价由4900元降到了3600元．设平均每次降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 12．如图，是的弦，的延长线交过点B的的切线于点C，如果，则的度数是 ． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 14．如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 15．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 16．如图，中，，，，则外接圆的面积为 ． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）解下列方程： (1) (2) 18．（7分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． (2)在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 20．（8分）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 21．（8分）为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 160 168 172 162 162 172 172 176 【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高(单位：cm)如下表： 【数据分析】分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 a b 169 5.75 乙 168 170 172 31 请你根据以上信息完成下列问题： （1）此次采用的调查方式属于 ．(填“抽样调查”或“全面调查”) （2） ______，________． 【数据运用】 （3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由． （4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选 名队员． 22．（7分）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 23．（8分）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） (1)若该纪念品的销售单价涨价为5元时，则当天销售量为______件． (2)当该纪念品的销售单价涨价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． 24．（8分）如图，已知的直径，内接于，且，延长至点G，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 25．（8分）某数学兴趣小组进行数学实践活动，内容如下： 任务：测量圆口水杯的杯口直径 工具：一张宽度为（小于杯口半径）的矩形硬纸板、一支笔和一把刻度尺． 以下为小组成员耀耀和亮亮的测量方法 耀耀的测量方法：如图（1），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口，用笔标记上下边沿与杯口的交点C，D，连，利用刻度尺测得的长； 亮亮的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口，纸板的一边与杯口相切，用笔标记切点P及另一边与杯口的交点E，F，利用刻度尺测得长为． (1)①耀耀认为，他所测量出的长就是杯口的直径，他的依据是 ； ②请根据亮亮的测量方法和得到的数据，计算出杯口的直径 (2)请你利用提供的工具，设计另一种测量方案，在图（3）中画出示意图，并简述测量过程． 26．（8分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 27．（10分）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级数学上册第1~3章（一元二次方程+对称图形——圆+数据的集中趋势和离散程度）。 第一部分（选择题 共12分） 1、 选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若关于x的一元二次方程（，a、b为常数）的一个根是，则代数式的值为（   ） A．-2025 B．2025 C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 根据一元二次方程的解的定义，得出，整理得，然后代入求值即可． 【详解】解：将代入得， ， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离，即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线l的距离为，， ∴直线与相离， 故选：． 3．某小组5人在一次数学测验中的成绩分别是：110，105，105，100，98，则他们的成绩的中位数和众数分别是（    ） A．110和105 B．110和100 C．105和100 D．105和105 【答案】D 【分析】本题考查中位数和众数，将这组数字从小到大排列，根据中位数和众数的定义即可求解． 【详解】解：这5个数从小到大排列为：98，100，105，105，110， 中位数为排在第三位的105， 105出现次数最多，故众数为105， 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义得到，由根的判别式得到△，由此求得的值． 【详解】解：当时，此方程是一元二次方程， 方程有实数根， △，即△，解得． 综上所述，的取值范围是且 故选：C． 5．如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．当 时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 8．北京市某校名同学参加某区初中数学竞赛，其中位男同学的平均成绩为分，名女同学的平均成绩为分，则该校名同学的平均成绩为 分 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：其中位男同学的平均成绩为分，名女同学的平均成绩为分， 该校名同学的平均成绩为（分）， 故答案为：． 9．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．先明确圆锥侧面积公式，再代入底面半径和母线长计算． 【详解】解： 故答案为：． 10．在振兴乡村的农业发展中，为比较甲、乙、丙三种改良玉米种子的发芽情况稳定性，农业技术员在相同试验条件下，对每种玉米种子各随机选取 80 粒进行发芽试验，统计发芽数量．经计算，三种玉米种子的平均发芽数相同，甲、乙、丙三种玉米种子发芽数的方差分别是 2.3、6.7、9.4．由此可知， 种玉米种子发芽情况更稳定（填“甲”“乙”或“丙” ）． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差越小，数据的波动越小，稳定性越好是解题的关键．根据方差的意义，方差越小，数据的波动越小，稳定性越好，比较三种玉米种子发芽数的方差大小即可． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙三种玉米种子发芽数的方差分别是、、，且， ∴ 甲种玉米种子发芽情况更稳定． 故答案为：甲． 11．某电子产品经过连续两次降价，售价由4900元降到了3600元．设平均每次降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该电子产品经过两次降价后的价格原售价（每次降低百分率），即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 12．如图，是的弦，的延长线交过点B的的切线于点C，如果，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，三角形外角性质，首先利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得的度数，然后根据切线的性质可得是直角三角形，然后根据直角三角形两个锐角互余进行列式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵是的切线， ∴， 则， ∴． 故答案为：． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 利用根与系数的关系及多项式乘多项式的法则进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式， 故答案为：5． 14．如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理；连接，设圆的半径为r，则，由垂径定理得，由，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为r，则， ∵，且过圆心O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 15．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】，/， 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解． 【详解】解：， 整理得：， 方程的解是，， 方程的解是，， 解得：，． 故答案为：， ． 16．如图，中，，，，则外接圆的面积为 ． 【答案】 【分析】先连接，在截取一点，连接使得，证明是等腰直角三角形，结合三角形的外角性质以及角的和差关系得，即，设，则，得， 根据，得，整理得，运用圆周角定理以及勾股定理，得再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，在截取一点，连接使得， 如图所示： ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵，， ∴， 即， ∴， 设， 则， ∴， 过作， ∴， 同理证明是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， 整理得， 过作， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 即， ∴， ∴， 则 即 ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， 则外接圆的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，；······（5分） （2）解：， ， 或， 解得：，．······（5分） 18．（7分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． (2)在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②；③ 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质和定理进行推理和计算是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线性质找出圆的圆心即可； （2）①根据图形和已知点的位置写出坐标即可；根据勾股定理求出即可；求出，根据弧长公式求出弧的长，然后求出底面半径，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ······（2分） （2）解：①由（1）作图可知：，； 故答案为：，；······（1分） ②的半径是：．······（1分） 如图： 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， 弧的长为， 设底面的半径为r， 则，解得：． 扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是 ······（3分） 19．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根；······（3分） （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ．······（3分） 20．（8分）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米．······（8分） 21．（8分）为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 160 168 172 162 162 172 172 176 【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高(单位：cm)如下表： 【数据分析】分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 a b 169 5.75 乙 168 170 172 31 请你根据以上信息完成下列问题： （1）此次采用的调查方式属于 ．(填“抽样调查”或“全面调查”) （2） ______，________． 【数据运用】 （3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由． （4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选 名队员． 【答案】（1）全面调查；（2）169，；（3）选择甲队比较合适，见解析；（4）5 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，抽样调查和全面调查的区别． （1）根据抽样调查和全面调查的区别即可解答； （2）根据平均数和中位数的定义即可解答； （3）利用方差的意义即可解答； （4）析两队队员的身高数据，即可解答． 【详解】（1）解：此次采用的调查方式属于全面调查 ， 故答案为：全面调查 ；······（2分） （2）解：， 将甲队的数据按从小到大的顺序排列，最中间的两个数是169，169， ， 故答案为：，；······（2分） （3）应选择甲队，理由： ∵， ∴甲队队员的身高比乙队更整齐， ∴选择甲队比较合适； ······（2分） （4）解：从甲队选择身高分别为169，169，169，172，173 的5名队员，从乙队选择身高分别为172，172，172 的3名队员组建新的舞蹈队．故应从甲队挑选5名队员， 故答案为：．······（2分） 22．（7分）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）设的半径为，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ；······（3分） （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． ······（4分） 23．（8分）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） (1)若该纪念品的销售单价涨价为5元时，则当天销售量为______件． (2)当该纪念品的销售单价涨价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． 【答案】(1)230 (2)当该纪念品的销售单价涨价为19元时，该纪念品的当天销售利润是2610元 【分析】（1）因为“当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，所以销售单价涨价为5元，当天销售数量将减少5个10件，结合已知的销售单价和销售量即可求解； （2）设该纪念品的销售单价涨价为元，用分别表示销售单价、每件的利润和每天的销售数量，根据“当天销售利润是2610元”列方程求解即可； 本题考查了一元二次方程的应用，设该纪念品的销售单价涨价为元，利用销售利润是2610元列方程并解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：230．······（3分） （2）设该纪念品的销售单价涨价为元，此时纪念品的销售单价为元，每件的利润为元，每天的销售数量为件， 由题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）． 则当该纪念品的销售单价涨价为19元时，该纪念品的当天销售利润是2610元．······（5分） 24．（8分）如图，已知的直径，内接于，且，延长至点G，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出相等的角，证明，得出对应角相等，根据垂径定理得出直角，即可得出结论； （2）根据圆周角和圆心角的关系求出，利用锐角三角函数求出，利用三角形的面积和扇形的面积差即可求解． 【详解】（1）证明：连接，连接交于点M， ， ， ， ， ， ， ， 于点M， ， 于点C， 又∵点C在上， ∴直线CG是的切线；······（4分） （2）解：， ， ， ， ∴ ．······（4分） 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边对等角，平行线的判定和性质，切线的判定，圆周角和圆心角的关系，锐角三角函数，扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 25．（8分）某数学兴趣小组进行数学实践活动，内容如下： 任务：测量圆口水杯的杯口直径 工具：一张宽度为（小于杯口半径）的矩形硬纸板、一支笔和一把刻度尺． 以下为小组成员耀耀和亮亮的测量方法 耀耀的测量方法：如图（1），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口，用笔标记上下边沿与杯口的交点C，D，连，利用刻度尺测得的长； 亮亮的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口，纸板的一边与杯口相切，用笔标记切点P及另一边与杯口的交点E，F，利用刻度尺测得长为． (1)①耀耀认为，他所测量出的长就是杯口的直径，他的依据是 ； ②请根据亮亮的测量方法和得到的数据，计算出杯口的直径 (2)请你利用提供的工具，设计另一种测量方案，在图（3）中画出示意图，并简述测量过程． 【答案】(1)①在圆中，圆周角所对的弦是直径；②杯口的直径为 (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． （1）①根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； ② （2）设圆心为O，连接交于点G，由垂径定理得，设，则．由勾股定理列方程，解得，即可得到答案． （2）利用提供的工具，设计另一种测量方案，并在图（3）中画出示意图，简述测量过程即可． 【详解】（1）解：①用到的几何知识是：在圆中，圆周角所对的弦是直径； 故答案为：圆周角所对的弦是直径；······（2分） ②如图（1），设圆心为O，连接交于点G， 则， ∴点G是的中点， ∴， 设，则． 在中，， ∴， 解得， 即， ∴杯口的直径为．······（2分） （2）解：示意图如图（2）所示 测量过程：将矩形硬纸板的一边与杯口相切，切点为P，另一边与杯口交于E，F两点，利用刻度尺找出的中点M，直线与杯口交于另一点N，用刻度尺测得的长，即为杯口的直径．······（4分） 26．（8分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)方程是“邻近根方程”，理由见详解 (2)0或 (3)t的最大值为 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻近根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程得大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由，得t与a的关系，化简即可． 【详解】（1）解：方程是“邻近根方程”， 理由：在方程中， ， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”．······（2分） （2）解：， ， ，， ，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”， ，即， ∴， 解得：或．······（3分） （3）解：∵关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，设两个根为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 即t的最大值为．······（3分） 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻近根方程”的定义． 27．（10分）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】(1)直角 (2)见解析 (3)①点O在半圆上，理由见解析；4；②；③或 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到答案； （2）以点B为圆心，的长为半径画弧交于P，以点P为圆心，以的长为半径画弧交于Q，连接，则四边形即为所求； （3）①连接，由垂径定理得到，，由勾股定理得，即，则点O在半圆上；，可得；由勾股定理得；过点Q作于H，证明，得到，则点Q到的距离为4； ②根据题意可得半圆与相切时，切点为点O，则可求出，； ③分当点在点O右侧时，当点在点O左侧时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形；······（2分） （2）解：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于P，以点P为圆心，以的长为半径画弧交于Q，连接，则四边形即为所求； ······（2分） （3）解：①点O在半圆上，理由如下： 如图所示，连接， ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴点O在半圆上； ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点Q作于H，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点Q到的距离为4； ······（2分） ②∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ······（2分） ③如图所示，当点在点O右侧时，过点作于N，过点P作于M， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为； 如图所示，当点在点O左侧时，过点作于S，过点P作于R， 同理可证明， ∴同理可得， ∴， ∴同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． ······（2分） 【点睛】本题主要考查了圆的综合，勾股定理，全等三角形的性质与判定，求扇形面积等，熟知圆的相关知识是解题的关键． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 B A D C B C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7． 8． 9． 10．甲 11． 12． 13．5 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，；······（5分） （2）解：， ， 或， 解得：，．······（5分） 18．（7分） 【详解】（1）解：如图：即为所求． ······（2分） （2）解：①由（1）作图可知：，； 故答案为：，；······（1分） ②的半径是：．······（1分） 如图： 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， 弧的长为， 设底面的半径为r， 则，解得：． 扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积是 ······（3分） 19．（6分） 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根；······（3分） （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ．······（3分） 20．（8分） 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米．······（8分） 21．（8分） 【详解】（1）解：此次采用的调查方式属于全面调查 ， 故答案为：全面调查 ；······（2分） （2）解：， 将甲队的数据按从小到大的顺序排列，最中间的两个数是169，169， ， 故答案为：，；······（2分） （3）应选择甲队，理由： ∵， ∴甲队队员的身高比乙队更整齐， ∴选择甲队比较合适； ······（2分） （4）解：从甲队选择身高分别为169，169，169，172，173 的5名队员，从乙队选择身高分别为172，172，172 的3名队员组建新的舞蹈队．故应从甲队挑选5名队员， 故答案为：．······（2分） 22．（7分） 【详解】（1）证明：， ， ；······（3分） （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． ······（4分） 23．（8分） 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：230．······（3分） （2）设该纪念品的销售单价涨价为元，此时纪念品的销售单价为元，每件的利润为元，每天的销售数量为件， 由题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）． 则当该纪念品的销售单价涨价为19元时，该纪念品的当天销售利润是2610元．······（5分） 24．（8分） 【详解】（1）证明：连接，连接交于点M， ， ， ， ， ， ， ， 于点M， ， 于点C， 又∵点C在上， ∴直线CG是的切线；······（4分） （2）解：， ， ， ， ∴ ．······（4分） 25．（8分） 【详解】（1）解：①用到的几何知识是：在圆中，圆周角所对的弦是直径； 故答案为：圆周角所对的弦是直径；······（2分） ②如图（1），设圆心为O，连接交于点G， 则， ∴点G是的中点， ∴， 设，则． 在中，， ∴， 解得， 即， ∴杯口的直径为．······（2分） （2）解：示意图如图（2）所示 测量过程：将矩形硬纸板的一边与杯口相切，切点为P，另一边与杯口交于E，F两点，利用刻度尺找出的中点M，直线与杯口交于另一点N，用刻度尺测得的长，即为杯口的直径．······（4分） 26．（8分） 【详解】（1）解：方程是“邻近根方程”， 理由：在方程中， ， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”．······（2分） （2）解：， ， ，， ，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”， ，即， ∴， 解得：或．······（3分） （3）解：∵关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，设两个根为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 即t的最大值为．······（3分） 27．（10分） 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形；······（2分） （2）解：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于P，以点P为圆心，以的长为半径画弧交于Q，连接，则四边形即为所求； ······（2分） （3）解：①点O在半圆上，理由如下： 如图所示，连接， ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴点O在半圆上； ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点Q作于H，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点Q到的距离为4； ······（2分） ②∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ······（2分） ③如图所示，当点在点O右侧时，过点作于N，过点P作于M， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴点P到的距离为； 如图所示，当点在点O左侧时，过点作于S，过点P作于R， 同理可证明， ∴同理可得， ∴， ∴同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． ······（2分） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级数学上册第1~3章（一元二次方程+对称图形——圆+数据的集中趋势和离散程度）。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．若关于x的一元二次方程（，a、b为常数）的一个根是，则代数式的值为（   ） A．-2025 B．2025 C． D．2026 2．已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 3．某小组5人在一次数学测验中的成绩分别是：110，105，105，100，98，则他们的成绩的中位数和众数分别是（    ） A．110和105 B．110和100 C．105和100 D．105和105 4．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．当 时，关于的方程是一元二次方程． 8．北京市某校名同学参加某区初中数学竞赛，其中位男同学的平均成绩为分，名女同学的平均成绩为分，则该校名同学的平均成绩为 分 9．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 10．在振兴乡村的农业发展中，为比较甲、乙、丙三种改良玉米种子的发芽情况稳定性，农业技术员在相同试验条件下，对每种玉米种子各随机选取 80 粒进行发芽试验，统计发芽数量．经计算，三种玉米种子的平均发芽数相同，甲、乙、丙三种玉米种子发芽数的方差分别是 2.3、6.7、9.4．由此可知， 种玉米种子发芽情况更稳定（填“甲”“乙”或“丙” ）． 11．某电子产品经过连续两次降价，售价由4900元降到了3600元．设平均每次降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 12．如图，是的弦，的延长线交过点B的的切线于点C，如果，则的度数是 ． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 14．如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 15．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 16．如图，中，，，，则外接圆的面积为 ． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）解下列方程： (1) (2) 18．（7分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，一段圆弧经过网格的交点为A、B、C． (1)在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，连接． (2)在（1）的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______； ②的半径是______结果保留根号； ③若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积（结果保留）． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 20．（8分）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 21．（8分）为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 160 168 172 162 162 172 172 176 【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高(单位：cm)如下表： 【数据分析】分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 a b 169 5.75 乙 168 170 172 31 请你根据以上信息完成下列问题： （1）此次采用的调查方式属于 ．(填“抽样调查”或“全面调查”) （2） ______，________． 【数据运用】 （3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由． （4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选 名队员． 22．（7分）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 23．（8分）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） (1)若该纪念品的销售单价涨价为5元时，则当天销售量为______件． (2)当该纪念品的销售单价涨价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． 24．（8分）如图，已知的直径，内接于，且，延长至点G，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 25．（8分）某数学兴趣小组进行数学实践活动，内容如下： 任务：测量圆口水杯的杯口直径 工具：一张宽度为（小于杯口半径）的矩形硬纸板、一支笔和一把刻度尺． 以下为小组成员耀耀和亮亮的测量方法 耀耀的测量方法：如图（1），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口，用笔标记上下边沿与杯口的交点C，D，连，利用刻度尺测得的长； 亮亮的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口，纸板的一边与杯口相切，用笔标记切点P及另一边与杯口的交点E，F，利用刻度尺测得长为． (1)①耀耀认为，他所测量出的长就是杯口的直径，他的依据是 ； ②请根据亮亮的测量方法和得到的数据，计算出杯口的直径 (2)请你利用提供的工具，设计另一种测量方案，在图（3）中画出示意图，并简述测量过程． 26．（8分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 27．（10分）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)连接，沿剪下，则是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)分别取半圆弧上的点P、Q和直径上的点O、B，已知剪下的图形由这四个点顺次连接构成的四边形是一个菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆． ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由．过点P作交于点C，并求出当时，点Q到的距离； ②半圆与相切时，直接写出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $