1.2 矩形的性质与判定 课件 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质、判定及直角三角形斜边中线性质，通过矩形对角线性质引入斜边中线性质，以定义为基础逐步推导矩形的三个判定方法，结合例题与变式题构建递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以几何直观呈现图形关系，通过规范证明过程培养推理能力，融入油菜花海小路总长等实际问题发展应用意识。例如课堂评价中矩形动点问题，引导学生用数学语言表达几何逻辑，助力学生提升空间观念与创新意识，也为教师提供系统的教学资源与分层练习设计。

2 矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行 四边形，就是矩形.有一个角是 的 四边形叫做矩形.请 自行证明矩形的特殊性质. 直角　 平行　 预习导学 知识点1　利用矩形的性质计算或证明 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAC ＝60°，AB＝3，求BC的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°. ∵∠BAC＝60°，AB＝3， ∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝6. ∴BC＝ ＝3 . 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°. ∵∠BAC＝60°，AB＝3， ∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝6. ∴BC＝ ＝3 . 课堂导学 【变式1】(1)如图，已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O. ①若AO＝1，∠AOB＝50°，那么BD＝ ，∠1＝ ⁠°. ②若AC＝4，∠BOC＝120°，求BC的长和矩形ABCD的面积. 2　 25　 解：②∵四边形ABCD是矩形，AC＝4， ∴OA＝OB＝OC＝2，∠ABC＝90°. ∵∠BOC＝120°， ∴∠1＝30°. ∴AB＝ AC＝2. 在Rt△ABC中， ∴BC＝ ＝2 . S矩形ABCD＝2×2 ＝4 . 课堂导学 (2)如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，AE与DF相交于点O. ①求证：AE＝DF. ②作OH⊥AD于点H，求证：点H是AD的中点. 证明：①∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF＝90°. ∵BF＝CE， ∴BF＋FE＝CE＋EF，即BE＝CF. 在△ABE和△DCF中， ​ ∴△ABE≌△DCF(SAS). ∴AE＝DF. 课堂导学 ②由①，得△ABE≌△DCF， ∴∠AEB＝∠DFC. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠DAO＝∠AEB，∠ADO＝∠DFC. ∴∠DAO＝∠ADO. ∴OA＝OD. ∵OH⊥AD， ∴点H是AD的中点. ②由①，得△ABE≌△DCF， ∴∠AEB＝∠DFC. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠DAO＝∠AEB，∠ADO＝∠DFC. ∴∠DAO＝∠ADO. ∴OA＝OD. ∵OH⊥AD， ∴点H是AD的中点. 课堂导学 知识点2　直角三角形斜边上的中线的性质 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，在Rt△ABC中，BO是斜边AC 上的中线，BO与AC有什么关系？根据矩形的性质知BO＝ BD＝ AC. 直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：如图，在Rt△ABC中， ∵ ⁠， ∴ ⁠. 点O是AC的中点　 OB＝ AC　 课堂导学 (1)若AC＝8，BC＝6，则CD＝ ⁠. (2)若∠A＝35°，则∠BCD＝ ⁠°. 【变式2】如图，有两条公路AC，BC互相垂直，点C与AB的中点M被 湖隔开，若AB的长为10 km，则M，C两点间的距离为(　B　) A. 2 km B. 5 km C. 10 km D. 20 km 5　 55　 B 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点. 课堂导学 1. 小卓的家乡有一片矩形“油菜花海”，政府决定在矩形油菜花田上建 两条如图所示的小路AC，BD，方便游客观赏(不考虑路宽)，已知AB＝ 30 m，BC＝40 m，那么两条小路的总长为 ⁠. 100 m　 课堂评价 2. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为边BC，DA延长线上的点， 且CE＝AF，连接AE，DE，BF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥=BC. ∵CE＝AF， ∴AF＋AD＝CE＋BC，即DF＝BE. ∴DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥=BC. ∵CE＝AF， ∴AF＋AD＝CE＋BC，即DF＝BE. ∴DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形. 课堂评价 2. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别为边BC，DA延长线上的点， 且CE＝AF，连接AE，DE，BF. (2)若AF＝1，AB＝2，AD＝ ，求证：AE平分∠DEB. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°. ∴∠FAB＝90°. ∵AF＝1，AB＝2， ∴BF＝ ＝ . ∵四边形BEDF是平行四边形， ∴DF∥BE，DE＝BF＝ . ∴∠DAE＝∠AEB，DE＝AD. ∴∠DAE＝∠DEA. ∴∠AEB＝∠DEA， 即AE平分∠DEB. ∴∠AEB＝∠DEA， 即AE平分∠DEB. 课堂评价 3. 如图1，在矩形ABCD中，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作 EF⊥AC分别交AB，DC于点E，F. (1)求证：AE＝CF. 证明：(1)在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴∠OCF＝∠OAE. ∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC. ∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE. ∴AE＝CF. 证明：在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴∠OCF＝∠OAE. ∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC. ∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE. ∴AE＝CF. 课堂评价 (2)如图2，若点G为AE的中点，且∠AOG＝30°，求证：DC＝3OG. 证明：如图2，连接OB. ∵EF⊥AC， ∴△AOE是直角三角形. ∵点G为AE的中点， ∴OG＝AG＝GE. ∴∠BAC＝∠AOG＝30°，∠AEO＝60°. ∴△OEG是等边三角形. ∴OG＝OE＝GE. 课堂评价 ∵在矩形ABCD中，OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAC＝30°. ∴∠AOB＝120°. ∴∠BOE＝∠AOB－90°＝30°. ∴∠BOE＝∠ABO. ∴OE＝EB. ∴OG＝AG＝GE＝EB＝OE. ∴OG＝ AB＝ DC. ∴DC＝3OG. ∴DC＝3OG. 课堂评价 第2课时　矩形的判定 1. 矩形的定义：有一个角是 的平行四边形是矩形. 2. 根据矩形的定义，下面我们探究并证明矩形的两个判定： (1)如图，在▱ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝DB. 求 证：▱ABCD是矩形. 直角　 证明：∵四边形ABCD是 平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵AC＝BD，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC＝∠DCB＝90°. ∴▱ABCD是矩形. 预习导学 (2)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形 ABCD是矩形. 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝∠B＋∠C＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝∠B＋∠C＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形. 预习导学 3. 矩形的三个判定方法： 图形 矩形的判定1 (定义法) 矩形的判定2 矩形的判定3 有一个角是 ⁠ 的平行四边形是 矩形. 对角线 ⁠的平行四边形是 矩形. 有三个角是 ⁠ ⁠的四边形是 矩形. ∵ ⁠ ⁠ ⁠， ∴四边形ABCD是 矩形. ∵ ⁠ ⁠ ⁠， ∴四边形ABCD是 矩形. ∵ ⁠ ⁠ ⁠⁠， ∴四边形ABCD 是矩形. 直角　 相等　 直 角　 四边形ABCD 是平行四边形， ∠BAD＝90°　 四边形ABCD 是平行四边形， AC＝BD　 ∠BAD＝ ∠ABC＝ ∠BCD＝90°　 预习导学 知识点1　矩形的判定1 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EG∥CB，FG∥CA. 求 证：四边形EGFC是矩形. 证明：∵EG∥CB，FG∥CA， ∴四边形EGFC是平行四边形. ∵∠C＝90°， ∴平行四边形EGFC是矩形. 证明：∵EG∥CB，FG∥CA， ∴四边形EGFC是平行四边形. ∵∠C＝90°， ∴平行四边形EGFC是矩形. 课堂导学 【变式1】(北师教材九上P16随堂练习)已知：如图，在▱ABCD中，M是 AD边的中点，且MB＝MC. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC. ∵M是AD边的中点， ∴AM＝DM. ∵MB＝MC， ∴△ABM≌△DCM. ∴∠A＝∠D. ∵∠A＋∠D＝180°， ∴∠A＝90°. ∴四边形ABCD是矩形. 课堂导学 知识点2　矩形的判定2 【例2】(北师教材九上P15例2)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积. 解：∵△ABO是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∴OA＝OC＝OB＝OD. ∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形. 课堂导学 ∴∠ABC＝90°. ∵OA＝AB＝4，AC＝2OA＝8， ∴由勾股定理，得BC＝ ＝4 . ∴▱ABCD的面积是BC·AB＝4 ×4＝16 . 课堂导学 【变式2】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝ OD，∠OAD＝50°，求∠OAB的度数. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OD. ∵OA＝OD， ∴AC＝BD. ∴平行四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB＝90°. ∵∠OAD＝50°， ∴∠OAB＝40°. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OD. ∵OA＝OD， ∴AC＝BD. ∴平行四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB＝90°. ∵∠OAD＝50°， ∴∠OAB＝40°. 课堂导学 知识点3　矩形的判定3 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB上的一点，作 DE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是矩形. 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠DFC＝∠DEC＝90°. ∵∠C＝90°， ∴四边形CEDF是矩形. 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠DFC＝∠DEC＝90°. ∵∠C＝90°， ∴四边形CEDF是矩形. 课堂导学 【变式3】如图，BD，BE分别平分∠ABC和它的邻补角∠ABP， AE⊥BE，AD⊥BD，点E，D为垂足.求证：四边形AEBD是矩形. 证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线， ∴∠ABD＋∠ABE＝ (∠ABC＋∠ABP)＝ ×180°＝90°，即 ∠EBD＝90°. ∵AE⊥BE，AD⊥BD， ∴∠E＝∠D＝90°. ∴四边形AEBD是矩形. 证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线， ∴∠ABD＋∠ABE＝ (∠ABC＋∠ABP)＝ ×180°＝90°，即 ∠EBD＝90°. ∵AE⊥BE，AD⊥BD， ∴∠E＝∠D＝90°. ∴四边形AEBD是矩形. 课堂导学 1. 下列命题是真命题的是(　C　) A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C 课堂评价 2. (北师教材九上P16习题T2改编)如图，点B在MN上，过AB的中点O作 MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D. (1)求证：OC＝OD； 证明：∵CD∥MN， ∴∠OCB＝∠CBM. ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM. ∴∠OCB＝∠OBC. ∴OC＝OB. 同理可证OB＝OD. ∴OC＝OD. 课堂评价 (2)试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论. 解：(2)四边形ACBD是矩形.理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∴四边形ACBD是平行四边形. ∵CD＝OC＋OD，AB＝OA＋OB， ∴AB＝CD. ∴四边形ACBD是矩形. 解：四边形ACBD是矩形.理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OC＝OD. ∴四边形ACBD是平行四边形. ∵CD＝OC＋OD，AB＝OA＋OB， ∴AB＝CD. ∴四边形ACBD是矩形. 2. (北师教材九上P16习题T2改编)如图，点B在MN上，过AB的中点O作 MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D. 课堂评价 第3课时　矩形的性质与判定综合 矩形不同于一般平行四 边形的性质 图示 矩形的三个判定方法 (1)四个角都是 ⁠； (2)对角线 ⁠； (3)矩形的面积＝ ⁠. (1)平行四边形＋ ⁠ ⇒矩形； (2)平行四边形＋ ⁠ ⇒矩形； (3)四边形＋ ⁠ ⇒矩形. 直角　 相等　 AB·BC　 一个角是 直角　 对角线相 等　 三个角是直 角　 预习导学 知识点1　矩形的性质 【例1】(北师教材九上P16例3)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线 AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE. 求AE的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD. ∴OA＝OB. ∵ED＝3BE， ∴BD＝ED＋BE＝4BE. 又∵BD＝OB＋OD＝2OB. ∴4BE＝2OB，即OB＝2BE. 课堂导学 ∴点E是OB的中点. 又∵AE⊥BD， ∴AE垂直平分OB. ∴AB＝OA. ∴OA＝AB＝OB. ∴△OAB是等边三角形. ∴∠ABD＝60°. ∴∠ADE＝90°－∠ABD＝30°. ∵AE⊥BD，AD＝6， ∴AE＝ AD＝3. ∴AB＝OA. ∴OA＝AB＝OB. ∴△OAB是等边三角形. ∴∠ABD＝60°. ∴∠ADE＝90°－∠ABD＝30°. ∵AE⊥BD，AD＝6， ∴AE＝ AD＝3. 课堂导学 【变式1】(北师教材九上P19T2)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E. 已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAO的度数. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OA＝OD. ∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠EAD＝3∠BAE， ∴∠EAD＝ ∠BAD＝ ×90°＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°. ∴∠OAD＝∠ODA＝∠AEB－∠EAD＝22.5°. ∴∠EAO＝∠EAD－∠OAD＝45°. 课堂导学 知识点2　矩形的判定 【例2】(北师教材九上P17例4)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC， AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， CE⊥AN，垂足为E. 求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形，∠ABC＝∠ACB. ∵AD是△ABC的一条角平分线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD. 又∵∠MAC＝∠ABC＋∠ACB＝2∠ACB，AN平分∠MAC， ∴∠NAC＝∠MAN＝∠ACB. 课堂导学 ∵∠MAN＋∠NAC＋∠BAD＋∠CAD＝180°， ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ ×180°＝90°. 又∵CE⊥AN，AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝ 90°. ∴四边形ADCE是矩形. ∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝ 90°. ∴四边形ADCE是矩形. 课堂导学 【变式2】(北师教材九上P19T3)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC， D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形. 求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD. ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD. ∴CD＝AE. 又∵CD∥AE， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°. ∴平行四边形ADCE是矩形. 课堂导学 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，CD＝ 6.5，AC＝12，则BC＝ ⁠. 5　 课堂评价 2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.有一点P从点B沿着BD往 点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交AD 于点F，则EF长度的最小值为(　B　) A. B. C. 5 D. 7 B 课堂评价 3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝2 ，点E为边BC上的一点， BC＝3BE. 将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线 AC上的点B'处，则AB＝ ⁠. 　 课堂评价 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点 E，使得BE＝BC，连接AE，过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接 OF. (1)求证：四边形AFBO是矩形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC. ∵BE＝BC，∴AD＝BE. ∴四边形AEBD是平行四边形. ∴AE∥BD. ∵BF∥AC， ∴四边形AFBO是平行四边形. ∵AC⊥BD，AE∥BD， ∴AE⊥AC. ∴∠OAF＝90°. ∴平行四边形AFBO是矩形. 课堂评价 (2)若∠E＝30°，BF＝1，求OF的长. 解：(2)由(1)，得四边形AFBO是矩形， ∴∠AFB＝90°，OF＝AB. ∴∠BFE＝90°. ∵∠E＝30°，BF＝1， ∴BE＝2BF＝2. 在Rt△AEC中，BE＝BC. ∴AB＝BE＝2. ∴OF＝2. 解：由(1)，得四边形AFBO是矩形， ∴∠AFB＝90°，OF＝AB. ∴∠BFE＝90°. ∵∠E＝30°，BF＝1， ∴BE＝2BF＝2. 在Rt△AEC中，BE＝BC. ∴AB＝BE＝2. ∴OF＝2. 课堂评价 5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AC交于点O，交CD 的延长线于点E，交BC于点F. 已知∠OEC＝∠DAC. (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由. 解：四边形ABCD是矩形.理由如下： ∵EF垂直平分对角线AC， ∴∠EOC＝90°. ∴∠OCE＋∠OEC＝90°. ∵∠OEC＝∠DAC， ∴∠OCE＋∠DAC＝90°. ∴∠ADC＝180°－(∠OCE＋∠DAC)＝180°－90°＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 课堂评价 (2)若AB＝6，AD＝8，求CF的长. 解：(2)如图，连接AF. 解：如图，连接AF. 由(1)，得▱ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC＝8. ∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF. 在Rt△ABF中，∠B＝90°， ∴AB2＋BF2＝AF2＝CF2＝62＋ ， 即CF2＝62＋ ， 解得CF＝ ，即CF的长为 . 由(1)，得▱ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC＝8. ∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF. 在Rt△ABF中，∠B＝90°， ∴AB2＋BF2＝AF2＝CF2＝62＋ ， 即CF2＝62＋ ， 解得CF＝ ，即CF的长为 . 课堂评价 $