精品解析：湖南省株洲市第天元区株洲二中学初中部2019-2020学年八年级上学期 期中考试数学

株洲市二中初中部2020年上学期期中考试试卷 初二年级 数学学科 时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点位于哪个象限？（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（　　） A. 对角线垂直且相等 B. 四边都互相垂直 C. 四个角都相等 D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 5. 的对角线交于点，且，的周长为13，则的两条对角线的和是（ ）     A. 18 B. 16 C. 8 D. 26 6. 点M（﹣5，y）向下平移5个单位所得的点与M是关于x轴对称，则y的值是（　　） A. ﹣5 B. 5 C. D. 7. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积(cm2)关于(cm)的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2m－2，3），（m，3），且点A在点B的左侧，若线段AB与直线y＝－2x＋1相交，则m的取值范围是（ ） A. －1≤m≤ B. －1≤m≤1 C. －≤m≤1 D. 0≤m≤1 9. 设是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是___________. 12. 如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于________米． 13. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 14. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 15. 如图所示，在中，，，，在边上（不与重合的一个动点），过点分别作于点，于点，则线段的最小值是______． 16. 如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是___________． 17. 定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”比如3与－4是关于－1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（k为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于________的“平衡数”． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______. 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 计算或解方程： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校对八年级学生掌握“新型冠状肺炎防控知识”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格．现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如右图不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 36 0.4 27 0.2 请根据统计图表，解答下列问题： 填空： （1）______，______，______； （2）补全频数直方图； （3）若成绩在80分以上的记为优秀，求成绩优秀的人数占被选取人数的百分比． 22. 某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼O的距离为．在A处测得望海楼O位于A的北偏东方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达B．在B处测得望海楼O位于B的北偏东方向．求此时游轮与望海楼之间的距离（结果保留根号）． 23. 如图中，，点、分别是、的中点，，．     （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形面积． 24. 已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 25. 在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与x轴交于点B．直线与直线相交于点，点A的坐标为． （1）求n的值及直线的解析式； （2）求的面积； （3）点是直线上的一点（不与点重合），且点的横坐标为，求的面积S与m之间的关系式． 26. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中初中部2020年上学期期中考试试卷 初二年级 数学学科 时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点位于哪个象限？（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点坐标为，则它位于第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列各式，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，当自变量取一个确定的量时，因变量有唯一一个值与之相对应，则称因变量是自变量的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：当取一个值时，有唯一的一个值与之对应， 能表示是的函数， 故A选项不符合题意； B选项：当取一个值时，有唯一的一个值与之对应， 能表示是的函数， 故B选项不符合题意； C选项：当取一个大于的数时，有两个值与之对应， 不能表示是的函数， 故C选项符合题意； D选项：当取一个值时，有唯一的一个值与之对应， 能表示是的函数， 故D选项不符合题意． 故选：C． 4. 对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（　　） A. 对角线垂直且相等 B. 四边都互相垂直 C. 四个角都相等 D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误； B、矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误； C、矩形的四个角都相等，正确； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误． 故选C 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，正确把握矩形的性质是解题关键． 5. 的对角线交于点，且，的周长为13，则的两条对角线的和是（ ）     A. 18 B. 16 C. 8 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对边相等． 根据平行四边形对角线互相平分，对边相等可得，，，再由的周长为13可得，然后可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为13， ∴， ∴， 故选：B． 6. 点M（﹣5，y）向下平移5个单位所得的点与M是关于x轴对称，则y的值是（　　） A. ﹣5 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可. 【详解】点M(−5,y)向下平移5个单位得到的点的坐标为（-5，y-5）， ∵两点关于x轴对称， 则有所以y的值是， 解得： . 故选C. 【点睛】考查点的平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 7. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积(cm2)关于(cm)的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象． 【详解】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x， 当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2， 符合题意的函数关系的图象是A； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围． 8. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2m－2，3），（m，3），且点A在点B的左侧，若线段AB与直线y＝－2x＋1相交，则m的取值范围是（ ） A. －1≤m≤ B. －1≤m≤1 C. －≤m≤1 D. 0≤m≤1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线y=3与直线y=-2x+1的交点为（-1，3），由点A在点B的左侧，得出2m-2≤-1≤m，然后解关于m的不等式组即可． 【详解】当y=3时，-2x+1=3，解得x=-1， 所以直线y=3与直线y=-2x+1的交点为（-1，3）， ∵点A在点B的左侧， ∴2m-2≤-1≤m，解得-1≤m≤； 所以m的取值范围为-1≤m≤， 故选A． 9. 设是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义可得：，整理可得：，，整体代入代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， 可得：，， ． 故选：A． 10. 如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【详解】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=AB， ∵AD=AB， ∴AE=AD， 又∠ABE=∠AHD=90° ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE=DH， ∴AB=BE=AH=HD， ∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°， ∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠AED=∠CED，故①正确； ∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等）， ∴∠OHE=∠AED， ∴OE=OH， ∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°， ∴∠OHD=∠ODH， ∴OH=OD， ∴OE=OD=OH，故②正确； ∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°， ∴∠EBH=∠OHD， 又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45° ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH=HF，HE=DF，故③正确； 由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF， ∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确； ∵AB=AH，∠BAE=45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH， ∴即AB≠HF，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选C． 【点睛】考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是___________. 【答案】6 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB=BC，再由∠ABC=60°得△ABC为等边三角形即可求得答案． 【详解】根据菱形的性质可得AB=BC=6， ∵∠ABC=60°， 则△ABC为等边三角形， 则AC=AB=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 12. 如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于________米． 【答案】1.2 【解析】 【详解】试题分析：解：∵EF⊥AC，BC⊥AC， ∴EF∥BC， ∵E是AB的中点， ∴F为AC的中点， ∴BC=2EF， ∵EF=0.6米， ∴BC=1.2米， 故答案为1.2． 考点：三角形中位线定理. 13. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 14. 如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 15. 如图所示，在中，，，，在边上（不与重合的一个动点），过点分别作于点，于点，则线段的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得． 即线段的最小值是， 故答案为： ． 16. 如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解：、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为： ． 17. 定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”比如3与－4是关于－1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与（k为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于________的“平衡数”． 【答案】11 【解析】 【分析】根据定义计算即可求得 【详解】解：∵， ∴ ，k为常数 则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的加减中无关类型，理解题意求得的值是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______. 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：当x=0时，y=1，则B（0，1）， 当y=0时，x=﹣，则A（﹣，0）， ∴OA=，OB=1， ∵tan∠OAB= ， ∴∠OAB=30°， ∵△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形， ∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°， ∴∠OB1A=∠AB2A1=∠AB3A2=30°， ∴OB1=OA=，A1B2=AA1，A2B3=AA2， 则OA1=OB1=，A1B2=AA1=2， ∴A1A2=A1B2=AA1=2OA1=2， 同理：A2A3=A2B3=2A1A2=4， A3A4=2A2A3=8， A4A5=2A3A4=16， A5A6=2A4A5=32 ∴A6A7=2A5A6=64， ∴△A6B7A7的周长是：3×64=192． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，掌握实数的运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用负整数指数幂、零指数幂、立方根的定义分别运算，再合并即可求解； （2）利用因式分解法解答即可求解； 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，， 解得：，． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题对括号里面进行通分化简，对因式分解，然后将分式的除法换成分式的乘法进行计算，求得，然后把代入即可求解； 【详解】解：原式， 当时，原式． 21. 某校对八年级学生掌握“新型冠状肺炎防控知识”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格．现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如右图不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 36 0.4 27 0.2 请根据统计图表，解答下列问题： 填空： （1）______，______，______； （2）补全频数直方图； （3）若成绩在80分以上的记为优秀，求成绩优秀的人数占被选取人数的百分比． 【答案】（1），，18 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图、频数（率）分布表，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案． （1）先根据第 2 组频数及频率求出样本容量，再依据频率频数样本容量求解即可； （2）根据的值即可补全频数分布直方图； （3）利用第3组和第4组频率的和即可． 【小问1详解】 解：∵样本容量为， ， 故答案为：，，18； 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：， 答：成绩优秀的人数占被选取人数的． 22. 某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼O的距离为．在A处测得望海楼O位于A的北偏东方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达B．在B处测得望海楼O位于B的北偏东方向．求此时游轮与望海楼之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形在方位角问题中的应用，解题的关键是构造直角三角形，将已知与待求联系起来；过点作，交的延长线于点，则由方位角的知识可得，，此时出现、；先在中求出，再在中运用三角函数求出． 【详解】解：根据题意得：，，， 如图，过点作，交的延长线于点， 在中，∵， ∴， 在中，， 答：此时游轮与望海楼之间的距离为． 23. 如图中，，点、分别是、的中点，，．     （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：，得证； （2）由三角形中位线定理和勾股定理求得边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形为平行四边形． 又 ∵中，，点是的中点， ， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵点分别是的中点，， ∴是的中位线，， ， 又 ∵， ， ∵平行四边形是菱形， ． 【点睛】该题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练掌握相关的定理与性质即可解题，难度中等． 24. 已知关于x的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程． （1）将代入方程中，化简即可得出，即可得出结论； （2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用建立方程，即可得出，进而得出结论； （3）先判断出，再代入化简即可得出方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：是等腰三角形， 理由：当时，， 化简得：， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形， 理由：方程有两个相等的实数根， ， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：是等边三角形， ， 原方程可化为：， 即：， ， ，， 即：这个一元二次方程的根为，． 25. 在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与x轴交于点B．直线与直线相交于点，点A的坐标为． （1）求n的值及直线的解析式； （2）求的面积； （3）点是直线上的一点（不与点重合），且点的横坐标为，求的面积S与m之间的关系式． 【答案】（1）， （2）24 （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线的解析式；（2）（3）利用三角形的面积公式求值． （1）将代入直线即可求出值，由此即可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）令直线解析式中求出值，由此即可得出点的坐标，再由点、的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）过点作轴，交于点，由点的横坐标即可得出点、的坐标，进而可得出线段的长度，再利用三角形的面积公式结合点、的纵坐标即可得出的面积与之间的关系式． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：令中，则，解得：， ， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴，交于点，如图所示． ∵点是直线上的一点（不与点重合），且点的横坐标为， ， ， ， ． 26. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长． 【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD； （2）成立， ∵正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF，CF=BD ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD； ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （3）. 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论; （3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD； ②△DAB≌△FAC， ∴CF=BD， ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （2）略； （3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴BC=AB=4，AH=BC=2， ∴CD=BC=1，CH=BC=2， ∴DH=3， 由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=DE，∠ADE=90°， ∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF， ∴四边形CMEN是矩形， ∴NE=CM，EM=CN， ∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°， ∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°， ∴∠ADH=∠DEM， 在△ADH与△DEM中， ， ∴△ADH≌△DEM， ∴EM=DH=3，DM=AH=2， ∴CN=EM=3，EN=CM=3， ∵∠ABC=45°， ∴∠BGC=45°， ∴△BCG是等腰直角三角形， ∴CG=BC=4， ∴GN=1， ∴EG=． 【点睛】考点：四边形综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $