专题03 二次函数 18个题型（期中专项训练）九年级数学上学期苏科版

专题03 二次函数 题型1 二次函数的定义 题型11 待定系数法求二次函数解析式（重点） 题型2 二次函数的关系式（常考点） 题型12 二次函数的应用——喷水、拱桥问题 题型3 y=ax²的图象与性质（常考点） 题型13 二次函数的应用——销售问题（重点） 题型4 y=ax²+k的图象与性质（常考点） 题型14 二次函数的应用——图形问题 题型5 y=a（x-h）²的图象与性质（常考点） 题型15 二次函数与特殊三角形结合（重点） 题型6 y=a（x-h）²+k的图象与性质（常考点） 题型16 二次函数与特殊四边形结合（重点） 题型7 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型17 二次函数与圆结合 题型8 二次函数的平移（常考点） 题型18 二次函数的新定义（难点） 题型9 二次函数的最值（难点） 题型10二次函数的图象与各项系数符号（难点） 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的定义 1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．若关于x的函数 是二次函数，则m的值为 ． 题型二 二次函数的关系式（常考点） 4．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 5．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 6．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 题型三 y=ax²的图象与性质（常考点） 7．二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．若二次函数 过点， 则 ． 题型四 y=ax²+k的图象与性质（常考点） 10．关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A．y的最大值为1 B．开口向上 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 11．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 12．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 题型五 y=a（x-h）²的图象与性质（常考点） 13．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 14．若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 15．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 题型六 y=a（x-h）²+k的图象与性质（常考点） 16．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 17．如图所示的是二次函数的图象，若是该函数图象上的两点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 18．已知点，在抛物线（为常数）上，则，的大小关系是 ． 题型七 y=ax²+bx+c的图象与性质 19．已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C．若点在该二次函数的图象上，则 D．若点，都在的图象上，则 20．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 21．如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 题型八 二次函数的平移（常考点） 22．将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 23．将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 24．将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的二次函数表达式为 ． 题型九 二次函数的最值（难点） 25．二次函数的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 26．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 27．已知抛物线（为常数，且），当时，该抛物线对应的函数值有最大值，则的值为 ． 题型十 二次函数的图象与各项系数符号（难点） 28．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 29．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 30．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②（m为任意实数）；③若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ．（填序号）    题型十一 待定系数法求二次函数解析式（重点） 31．已知抛物线经过点和点，求抛物线的解析式，并化成的形式． 32．已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)当时． ①求这个二次函数的解析式； ②当y随x的增大而减小时，求x的取值范围； (2)如果m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 33．已知二次函数． (1)若它的图象经过点，求，满足的关系式； (2)在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围． 题型十二 二次函数的应用——喷水、拱桥问题 34．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 35．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 36．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 题型十三 二次函数的应用——销售问题（重点） 37．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出 2 件． (1)若每件衬衫降价x元，商场每天盈利y元，写出y与x的函数关系式； (2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最多盈利多少元？ 38．公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． (1)直接写出y关于x的函数关系式； (2)该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 39．电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来．已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该玩偶每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销量每件的利润） 题型十四 二次函数的应用——图形问题 40．如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 41．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 42．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型十五 二次函数与特殊三角形结合（重点） 43．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)将沿x轴向右平移m个单位长度（）得到另一个三角形，将所得的三角形与重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 45．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十六 二次函数与特殊四边形结合（重点） 46．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； (4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 题型十七 二次函数与圆结合 49．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 50．如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点，  与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点． (1)求“果圆”中的抛物线的解析式． (2)“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值． 51．如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点A，B的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 题型十八 二次函数的新定义（难点） 52．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点． (1)点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由； (2)若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值； (3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：． 53．定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（是常数，且），则称点，是一对“阶差值点”． (1)在点，中，能与点构成一对”阶差值点”的是 ； (2)已知点，点在函数的图象上，若点，是一对“阶差值点”，求点的坐标； (3)如图，抛物线交轴于点，点在抛物线的对称轴上．点的纵坐标为，且． 若点与点是一对“阶差值点”，求的值； 点为平面内一点，点为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“阶差值点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)点，是一对“阶差值点”，且直线过点，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于的点，请直接写出的取值范围． 54．定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“2倍函数”．该点称为该函数的“2倍点”．例如：“2倍函数”，其“2倍点”为． (1)函数__________“2倍函数”；（填“是”或“不是”） (2)请直接写出函数的图像上“2倍点”的坐标___________； (3)若关于x的函数的图像上有两个“2倍点”，求m的取值范围； (4)若关于x的函数的图像上存在唯一的“2倍点”，且当时，n的最小值为k，请求出k的值． $专题03 二次函数 题型1 二次函数的定义 题型11 待定系数法求二次函数解析式（重点） 题型2 二次函数的关系式（常考点） 题型12 二次函数的应用——喷水、拱桥问题 题型3 y=ax²的图象与性质（常考点） 题型13 二次函数的应用——销售问题（重点） 题型4 y=ax²+k的图象与性质（常考点） 题型14 二次函数的应用——图形问题 题型5 y=a（x-h）²的图象与性质（常考点） 题型15 二次函数与特殊三角形结合（重点） 题型6 y=a（x-h）²+k的图象与性质（常考点） 题型16 二次函数与特殊四边形结合（重点） 题型7 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型17 二次函数与圆结合 题型8 二次函数的平移（常考点） 题型18 二次函数的新定义（难点） 题型9 二次函数的最值（难点） 题型10二次函数的图象与各项系数符号（难点） 3 / 69 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的定义 1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是二次函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，不是二次函数，则此项不符合题意； C、是二次函数，则此项符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，则此项不符合题意； 故选：C． 2．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据二次函数的定义“形如的函数叫做二次函数”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、当时，函数才是二次函数，故不符合题意； 故选C． 3．若关于x的函数 是二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中，且）的函数叫做二次函数，据此可得，，则． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 题型二 二次函数的关系式（常考点） 4．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解； 【详解】解：第三季度总值为； 故选：C 【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键． 5．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键． 6．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意再表达另一边的长度为米，运用矩形的面积公式进行列式，得，即可作答． 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 题型三 y=ax²的图象与性质（常考点） 7．二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键． 根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向下， 故选：A． 8．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数解析式，结合二次函数的图象与性质,得抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．根据，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大． ∵抛物线经过三点， 则，，， ∵， ∴ 故选：D． 9．若二次函数 过点， 则 ． 【答案】2 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 将点代入二次函数的解析式即可得出a的值． 【详解】解：将点代入二次函数得：， ∴， 故答案为：2． 题型四 y=ax²+k的图象与性质（常考点） 10．关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A．y的最大值为1 B．开口向上 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．分析开口方向、对称轴、最值及增减性，逐项判断即可． 【详解】A．函数中，二次项系数，抛物线开口向上，顶点为最低点，其纵坐标为，即函数有最小值1，而非最大值，说法错误； B．，抛物线开口向上，说法正确； C．对称轴为轴（），当时（对称轴左侧），函数值随的增大而减小，说法正确； D．二次函数的对称轴是y轴，说法正确； 故选：A． 11．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式确定顶点坐标，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 12．已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 题型五 y=a（x-h）²的图象与性质（常考点） 13．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据的顶点坐标是，进行作答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 14．若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则 ∵， ∴ 故选：B 15．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 题型六 y=a（x-h）²+k的图象与性质（常考点） 16．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，抛物线的顶点式为，其顶点坐标为，据此解答即可. 【详解】解：，对照顶点式， 得：，， ∴顶点为. 故选：B. 17．如图所示的是二次函数的图象，若是该函数图象上的两点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得二次函数的对称轴是，则，代入和求解即可． 【详解】解：根据图象可得二次函数的对称轴是， 则， 令，则， 令，则，解得：或， ∴， 故选：C． 18．已知点，在抛物线（为常数）上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．根据解析式求得开口方向和对称轴，然后二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ， ． 故答案为：． 题型七 y=ax²+bx+c的图象与性质 19．已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C．若点在该二次函数的图象上，则 D．若点，都在的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 20．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 21．如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 题型八 二次函数的平移（常考点） 22．将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为， 故选：D． 23．将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式即可求得平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 把抛物线向右平移个单位后，顶点的坐标是， 把抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是． 故选：B． 24．将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的二次函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图像的平移．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的二次函数表达式为， 故答案为：． 题型九 二次函数的最值（难点） 25．二次函数的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，理解图象的开口向上是解本题的关键. 对于二次函数 当， 函数图象的开口向上，函数有最小值，当时，最小值为， 据此直接可得答案. 【详解】解：由二次函数可得：， ∴函数图象的开口向上，函数有最小值， 当时，． 故选：D． 26．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 27．已知抛物线（为常数，且），当时，该抛物线对应的函数值有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及其性质，二次函数的最大值． 由二次函数的解析式可得顶点坐标和开口方向，根据的取值范围，对顶点横坐标的取值范围进行分段讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 顶点为，开口向下， ∵ ， 若，则抛物线的最大值为，不符合题意， 若，则当时，抛物线取最大值， ∴，， 解得， ∴的值为． 故答案为：． 题型十 二次函数的图象与各项系数符号（难点） 28．二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，根据图像依次判断即可． 【详解】①对称轴 ②二次函数与轴有两个不同的交点 ； ③将代入二次函数解析式，得 时, 二次函数图像与轴交于正半轴 ④当时，根据图像可知 即 将代入，得 即 故选：C． 29．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数的部分对应值如下表： … … … … 且当时，．有以下结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在和之间；④若点和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴确定a与b的关系，结合开口方向及特殊点判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由和时，， ∴对称轴为，即，得， 当时，， 当时，， 则， ∴，故，结论①错误； ∵关于直线对称，代入得，，∴， 由时，， 解得， 故，结论②正确； 时，， 时，，故方程正根在1和2之间， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， 故正根在1和之间，结论③错误． ∵抛物线开口向下时，点离对称轴越近y越大，横坐标，横坐标， 当时，，离对称轴更近， 故，结论④正确 综上，正确结论为②④， 故选：D． 30．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②（m为任意实数）；③若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ．（填序号）    【答案】② 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据图象判断的符号，可判断①，最值判断②，对称性判断③． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； 当时，函数有最大值为， ∴， ∴（m为任意实数），故②正确； 若是抛物线上不同的两个点，则点关于对称轴对称， ∴，故③错误； 故答案为：②． 题型十一 待定系数法求二次函数解析式（重点） 31．已知抛物线经过点和点，求抛物线的解析式，并化成的形式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，将二次函数一般式化为顶点式．将点和点代入求出待定系数，然后通过配方化为顶点式． 【详解】解：将、代入中，得： 解得 ∴抛物线的解析式为． 32．已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)当时． ①求这个二次函数的解析式； ②当y随x的增大而减小时，求x的取值范围； (2)如果m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、抛物线的性质以及根据函数值的情况确定参数的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①通过已知的与的对应值，代入二次函数表达式，构建方程组求解、，从而得到解析式； ②将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线的开口方向和对称轴，确定随增大而减小的的取值范围． （2）先根据和时函数值相等，得出对称轴，再结合、、只有一个正数的条件，分析抛物线的开口方向和的取值范围，进而求出的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意得， 解得， ∴二次函数的表达式是； ②∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小； （2）解：∵和时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点，和关于对称轴对称， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数， 则抛物线必须开口向下，且， ∵， ∴， ∴二次函数为， ∴， ∴． 33．已知二次函数． (1)若它的图象经过点，求，满足的关系式； (2)在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键． 将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解； 当自变量的值满足时，随的增大而增大，则抛物线的对称轴在的右侧，即且，即可求解； ①当在对称轴直线的左侧，又由题意，也在左侧，，则，即可求解；在对称轴直线的两侧，同理可解． 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：， 即； （2）当自变量的值满足时，随的增大而增大， 则抛物线的对称轴是直线或在直线的右侧， 且且， 解得：； （3）由题意，二次函数过点，， 对称轴是直线． 当时，， 二次函数图象过． 抛物线开口向下， 在对称轴直线右侧随的增大而减小，在对称轴的左侧是随的增大而增大． 图象过， ，而， 在对称轴直线的左侧或两侧． 当在对称轴直线的左侧， 又由题意，也在左侧，， ， ． 在对称轴直线的两侧， 在左侧，在右侧． ， ， ． 综上，或． 题型十二 二次函数的应用——喷水、拱桥问题 34．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)点A、B的坐标分别为：，． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数和二次函数图象的性质，解决此题的关键是正确计算； （1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）根据题目令函数值为6，得到方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的函数表达式为， ∵在抛物线上 ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6， ∴， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为：，． 35．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)能 (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数对称轴等知识点，解决此题的关键是熟练运用二次函数图象的性质； （1）根据二次函数待定系数法求解析式即可； （2）先求出对称轴， 根据对称轴求出最高处，求出题中的高度，进行比较即可； （3）此题要进行分类讨论，注意其结果的取舍； 【详解】（1）解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 36．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点远 【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 题型十三 二次函数的应用——销售问题（重点） 37．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出 2 件． (1)若每件衬衫降价x元，商场每天盈利y元，写出y与x的函数关系式； (2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最多盈利多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为 (2)每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多，最多盈利1250元 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设降价为x元，盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （2）根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设降价x元，则盈利元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理得． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且时，y取得最大值，且最大值为1250元． 故每件降价15元时，每天盈利最多，最多盈利1250元． 38．公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． (1)直接写出y关于x的函数关系式； (2)该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，利润最大，最大值为12250元 【分析】本题考查了二次函数，一次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列出关系式即可求解； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：． （2）解：根据题意得： ． ∴当元时，取最大值元． 39．电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来．已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该玩偶每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销量每件的利润） 【答案】(1) (2)每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为，再利用待定系数法即可求解； （2）由题意得，，根据二次函数的性质，结合自变量x的取值范围，求出的最大值以及对应的值，即可解答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 代入和得，， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元． 题型十四 二次函数的应用——图形问题 40．如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 【答案】(1)；； (2)长为，宽为或长为，宽为； (3)； 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． （2）由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； （3）自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 41．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当时，矩形实验田的面积S能达到， (3)当时，S有最大值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键； （1）根据，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式； （2）先求出x的取值范围，再将代入函数中，求出x的值； （3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， ； （2）解：当时，， 即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积S能达到； （3）解：将函数解析式化为顶点式可得： ， 当时，S有最大值． 42．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2时，； (2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； （2）存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； （3）存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 题型十五 二次函数与特殊三角形结合（重点） 43．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，其顶点为C，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标； (3)将沿x轴向右平移m个单位长度（）得到另一个三角形，将所得的三角形与重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S． 【答案】(1)； (2)点M的坐标为：； (3)当时，；当时，． 【分析】（1）根据对称轴、与x轴的另一个交点为、与y轴的交点为可得关于a、b、c的方程组，解出即可； （2）设M点坐标为，分；；三种情况讨论可得点M的坐标． （3）记平移后的三角形为．由待定系数法可得直线AB的解析式为．易得直线EF的解析式为．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连接，直线交于G，则．在沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：当时；当时；讨论可得用m的代数式表示S． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线与x轴的另一个交点为， 则， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）依题意：设M点坐标为， 当时： 解得， 故； 当时： 解得（舍去）或， 故； 当时， ， 解得， 故或， 所以点M的坐标为：、、、； （3）解：平移后的三角形记为． 设直线的解析式为， 则， 解得， 则直线的解析式为． 沿x轴向右平移m个单位长度（）得到， 易得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 则， 解得， 则直线的解析式为． 连接，直线交于G，则． 在沿x轴向右平移的过程中． 当时，如图1所示： 设交于K，交于M．则，， 联立， 解得， 即点， 故 ； 当时，如图2所示： 设交于K，交于H． 因为，所以， 又因为直线的解析式为， 所以当时，得， 所以点． 故 ． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及抛物线对称轴、待定系数法求抛物线和直线解析式、等腰三角形的性质、图形平移以及分类讨论思想，掌握这些是解题的关键． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求解，的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可． （2）设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．可得，结合，再建立方程求解即可． （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，表示，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴当时，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数为：． （2）解：由（1）得：，， ∴， 设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴， ， ， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线的解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，抛物线与特殊三角形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 45．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求b、c的值． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为4 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，作出辅助线，证明，根据全等三角形的性质，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， 则 ， 解得：； （2）解：由（1）得：抛物线表达式为，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由点P的运动可知： ， 过点P作轴，垂足为H，如图， ∴，即， 又， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ，， ∴， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）解：存在．假设点M是线段上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与交于F，连接，． ∵是等腰直角三角形，，， ∴，又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴点M的坐标为， ∵点M在抛物线上， ∴， 解得：或（舍）， ∴M点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 题型十六 二次函数与特殊四边形结合（重点） 46．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【分析】（1）利用轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把时，代入抛物线的表达式求出； （3）先求出点，然后根据三角形面积公式进行计算即可； （4）根据抛物线的对称轴为直线，设点Q的坐标为，根据以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解． 47．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； (4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值是 (3)或 (4)或或或或． 【分析】（1）根据，，得，，，再由待定系数法即可求出解析式； （2）作轴于点F，交于点E，用含m的式子表示出D、E的坐标，进而表示出，根据，列出S关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意知，，设对称轴与轴交点为点，过点作对称轴的垂线交于点，可证明，得到，再根据线段顺时针或逆时针旋转，分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式，与抛物线联立求交点即可； （4）分为边和为对角线两种情况，根据菱形的邻边相等以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴可设抛物线的表达式为， 把代入得，，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，且点D在抛物线上， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值是； （3）解：由题意知，， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设对称轴与轴交于点， 如图，过点作交直线于Q， ①当线段顺时针旋转得到线段时， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为； ②当线段逆时针旋转得到线段时， 同理可证， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或； （4）解：设， 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，旋转的性质，两点距离公式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，中点坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 48．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 题型十七 二次函数与圆结合 49．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)弦的长度是定值．弦的长为6 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，利用垂径定理结合勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可； （3）求出直线的解析式，设，则且，求出，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）弦的长度是定值．理由如下： 如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：， 设点的坐标为，则． ， ∴． ， ． ， ， ∴弦的长度为定值． （3）证明：设直线的解析式为， 直线过点， ，解得：， ∴； 设，则且， ， ， ． ①当时，点在对称轴左侧，如图2， ． ， 的坐标为， ，又， 三角形是等边三角形． ②当时，在对称轴右侧，如图3， ， ， 的坐标为， ， ，又， 三角形是等边三角形． 50．如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点，  与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点． (1)求“果圆”中的抛物线的解析式． (2)“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值． 【答案】(1) (2)使,点坐标为或 (3) 【分析】（1）先求出点，坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）求出线段，进而得出，判断出满足条件的一个点和点重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点． （3）先判断出要的最小值，只要最大即可，再求出直线解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线解析式，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，交坐标轴 两点， ，， ∵抛物线过，两点， ∴， 解得：， 即， （2）解：如图2， 是半圆的直径， 半圆上除点，外任意一点，都有， 点只能在抛物线部分上， ，， ， ， ， ， 当时，点和点重合，即：， 由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为， 即：使，点坐标为或． （3）如图3， ，， ， 过点作交轴于， 的边上的高和的边的高相等，设高为， ，， ， 的最小值，即最小， ， ， 当最大时，即最小，的最小值， 和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大， 直线的解析式为， 设直线的解析式为①， 抛物线的解析式为即②， 联立①②化简得，， ，抛物线和直线只有一个交点． 解得：， 直线的解析式为， 直线与轴交点坐标 ， ； 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键． 51．如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点A，B的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答； （2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：令，则有：，解得：或， ∴． （2）解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为， 设， ∵， ∴, 如图：连接，则， ∴， ∴切线为边长的正方形的面积为， 过点P作轴，垂足为H，则：， ∴ ∵， ∴， 假设过点,则有以下两种情况： ①如图1：当点M在点N的上方，即 ∴，解得：或， ∵ ∴； ②如图2：当点M在点N的下方，即 ∴，解得：， ∵ ∴； 综上，或． ∴当不经过点时，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 题型十八 二次函数的新定义（难点） 52．定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点． (1)点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由； (2)若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值； (3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：． 【答案】(1)在一次函数的图象上，见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）点的3级摆动点为即，代入一次函数计算解答即可； （2）确定点的“级摆动点”为，结合已知，得，解方程解答即可； （3）根据这两个点的“1级摆动点”都在直线上，结合点在抛物线上，求得，,构造一元二次方程，利用根的判别式确定，结合，展开移项变形，构造不等式解答即可． 【详解】（1）解：点的3级摆动点为即， 当时，， 故在一次函数的图象上． （2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为， 由函数的图象上存在点的“级摆动点” 得， 整理，得， 解得（舍去）， 故． （3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为 ，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上， ∴，， ∴，， ∴，， ∵的二次函数的图象上恰有两个点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根, ∴ ∵， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，构造一元二次方程，根的判别式的应用，解不等式，完全平方公式的变形应用，． 53．定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（是常数，且），则称点，是一对“阶差值点”． (1)在点，中，能与点构成一对”阶差值点”的是 ； (2)已知点，点在函数的图象上，若点，是一对“阶差值点”，求点的坐标； (3)如图，抛物线交轴于点，点在抛物线的对称轴上．点的纵坐标为，且． 若点与点是一对“阶差值点”，求的值； 点为平面内一点，点为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“阶差值点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)点，是一对“阶差值点”，且直线过点，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)的值是或； (4)的取值范围为或． 【分析】（）根据“阶差值点”的定义，逐一分析判断即可； （）根据题意，可设，根据“阶差值点”的定义可得关于的方程，整理并求解，即可获得答案； （）首先确定点坐标，点坐标，结合“阶差值点”的定义，即可求解； 根据题意，可知点，或点，可以是一对“阶差值点”， 当点，是一对“阶差值点”时， 首先确定点坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足为，证明 ，结合全等三角形的性质可确定点坐标，进而确定的值；同理当点在点上方时，求解的值，即可求解； （）首先根据题意确定直线的解析式为，结合直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于的点，易知直线经过由，，，组成的正方形区域 (含边界) ，然后分和两种情况讨论，分别求解即可. 【详解】（1）解：对于点，， ∵， ∴点，不是一对“3阶差值点”； 对于点，， ∵， ∴点，是一对“3阶差值点”； 故答案为：； （2）解：根据题意，可设， ∵点， 是一对“阶差值点”， ∴，整理可得， 解得，， 经检验，，是该方程的解， ∴点的坐标为或； （3）解：∵抛物线 的对称轴为， ∴， 将代入可得， ∴点， ∵点，是一对“阶差值点”， ∴， 解得； 存在， 根据题意，可知点，或点，可以是一对“阶差值点”， 当点，是一对“阶差值点”时， 如图，过点，分别作轴的垂线，垂足为， 则有， 解得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 将点代入，得； 同理当点在点上方时，如下图， 可得， 将点代入，得， 综上所述，的值是或； （4）解：若点，是一对“阶差值点”， 则有， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 又，可得， ∴， 又∵直线过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于的点， 即直线经过由，，，组成的正方形区域 (含边界) ，如图， 当时， 令，则有， 此时，解得， 即的取值范围为， 当时， 令，则有， 此时，解得， 即的取值范围为 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了新定义 阶差值点”、 一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的应用等知识，综合运用相关知识是解题的关键. 54．定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“2倍函数”．该点称为该函数的“2倍点”．例如：“2倍函数”，其“2倍点”为． (1)函数__________“2倍函数”；（填“是”或“不是”） (2)请直接写出函数的图像上“2倍点”的坐标___________； (3)若关于x的函数的图像上有两个“2倍点”，求m的取值范围； (4)若关于x的函数的图像上存在唯一的“2倍点”，且当时，n的最小值为k，请求出k的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)且 (4)或 【分析】本题考查了函数解析式与函数图像上点的坐标关系、二次函数根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识并采用分类讨论思想是解题关键． （1）假设是“2倍函数”函数，设出“2倍点”坐标代入函数看是否有解， （2）设出“2倍点”坐标代入函数解方程即可得解； （3）设出“2倍点”坐标代入函数得到一元二次方程，令判别式即可求出的取值范围； （4）设“2倍点”坐标为，代入函数得到一元二次方程，然后令，得到关于的二次函数关系，求出对称轴，根据图像对称轴的位置与的取值范围，分情况进行讨论，不同情况下与取得最小值构成关于未知数的方程，然后分别解方程即可． 【详解】（1）解：假设函数是“2倍函数”，设“2倍点”横坐标为，纵坐标为，代入，得 此方程无解，故函数不是“2倍函数”， 故答案为：不是； （2）解：设函数的图像上的“2倍点”是，代入得 解方程得 故答案为：或； （3）解：设抛物线（），“2倍点”的坐标为， 则 整理得 ∵有两个“2倍点” ∴ 解不等式得： 即m的取值范围是且； （4）解：设函数的“2倍点”的坐标为 则 整理得 ∵存在唯一的一个“2倍点”， ∴ 整理得 则关于的二次函数关系，其图像对称轴为直线 当时，则时， 值最小为 整理得， 解得（舍去）， 当时，则时， 值最小为 整理得 当时，则时， 值最小为 整理得， ，方程无解 综上得k的值为或． $