专题04 二次函数（期中知识清单，6知识&12题型&4易错清单）九年级数学上学期苏科版

专题04 二次函数（6知识&12题型&4易错清单） 【清单01】二次函数的概念 （1）定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 形式： （2）一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0），其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 （3）特殊形式： y=ax²+c（a≠0） y=ax²+bx（a≠0） y=ax²（a≠0） 【清单02】二次函数的图像与性质 （1）图像：二次函数的图像是一条抛物线。 （2）性质： 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。 顶点坐标：二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为。 开口方向： a>0时，抛物线开口向上； a<0时，抛物线开口向下。 （3）最值： a>0时，抛物线有最小值，在顶点处取得； a<0时，抛物线有最大值，在顶点处取得。 （4）与y轴的交点：二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)。若c<0，则二次函数与y轴交于负半轴。 （5）函数值比较：二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 （6）对称性：二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 【清单03】二次函数的解析式 （1）一般式：y=ax²+bx+c（a≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），其中(h,k)为顶点坐标 （3）交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中x₁,x₂是抛物线与x轴两交点的坐标 【清单04】二次函数与一元二次方程的关系 （1）判别式：二次方程ax²+bx+c=0的解的情况由判别式Δ=b²-4ac决定。 （2）根与系数的关系：设二次方程ax²+bx+c=0的两个根为α和β，则α+β=-b/a，αβ=c/a。 【清单05】二次函数的实际应用 （1）建立模型：根据实际问题列二次函数关系式，一般方法包括找出题目中有关两个变量之间的等量关系，然后用题设的表示这个等量关系，列出相应二次函数的关系式。 （2）实际应用举例： 等边三角形的面积S与边长x的关系。 矩形面积或周长的变化问题。 利润最大化问题，如商品涨价与销售量的关系。 【清单06】常见题型与解题方法 （1）识别二次函数：根据二次函数的定义，判断函数关系式是否为整式、未知数最高次数是否为2次、二次项系数是否不为0。 （2）求参数值或取值范围：根据二次函数的定义，求参数的值或取值范围，确保二次项系数不为0。 （3）判断函数关系式：根据实际问题，判断两个变量之间的函数关系是否为二次函数。 （4）图像与性质应用：结合二次函数的图像与性质，解决实际问题，如求最值、判断函数值大小等。 【题型一】二次函数的定义 【例1】下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】已知函数 是关于x 的二次函数，则m= ． 【题型二】二次函数的关系式 【例2】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【题型三】二次函数的图象与性质 【例3】对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 【变式3-1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【变式3-2】已知点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系（用“”连接） ． 【题型四】二次函数的平移 【例4】要由抛物线得到抛物线，则抛物线（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【变式4-1】将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式为 ． 【题型五】二次函数与坐标轴的交点 【例5】抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】抛物线与y轴交点的坐标为 ，与x轴交点的坐标为 ． 【题型六】二次函数与一次、反比例函数结合图象 【例6】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【题型七】二次函数的最值问题 【例7】下列关于二次函数的最值，说法正确的是（　 　） A．有最小值，且最小值为1 B．有最大值，且最大值为3 C．有最大值，且最大值为1 D．有最小值，且最小值为3 【变式7-1】已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 【变式7-2】若，则的最大值是 ． 【题型八】二次函数图象与各项系数符号结合 【例8】已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有 ．（写出序号即可） 【题型九】二次函数的应用 【例9】某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设每天的销售利润为W元． (1)当销售价为每件30元时，每天销售利润是多少？ (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式9-1】圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【变式9-2】一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【题型十】二次函数与三角形 【例10】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的抛物线与x轴交于点A，抛物线的顶点为D，对称轴交直线于点H，点E为线段上动点，点F在上，连接，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是等腰三角形，求E点坐标； (3)点P是坐标平面内一点，当时，请直接写出的面积． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作垂直y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标． 【变式10-2】二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【题型十一】二次函数与四边形 【例11】综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【变式11-2】如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【题型十二】二次函数的新定义 【例12】我们定义：点P在一次函数的图象上，点Q在反比例函数的图象上，若存在P，Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，P，Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． (1)判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”．若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由； (2)若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； (3)已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A，B（A在B的左侧），其“向光函数”与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），若有以下条件：①，②“向光函数”经过点，③，记四边形的面积为S，求的取值范围． 【变式12-1】定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______． 【研究深入】 （2）经过点和的抛物线与y轴正半轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【深入拓展】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，点E是上一个动点，过点E作的垂线交抛物线的对称轴于点F，且． ①若点E是的中点，求点P的坐标； ②记线段的长度为y，求y与m的函数关系式； ③在②的条件下，若直线与②中的函数图象有两个交点，直线与②中的函数图象有一个交点，求t的取值范围． 【变式12-2】定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． (2)概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 【题型一】忽略二次函数系数的条件 【例1】二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【变式1-1】关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【变式1-2】当 时，函数是二次函数． 【题型二】二次函数对称轴判断失误 【例2】二次函数中的部分对应值如下表，则二次函数图像的对称轴为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 … A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2-1】若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【题型三】几何动态问题建模错误 【例3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． (1)求和的坐标； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【变式3-1】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． (3)探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【题型四】数形结合思想缺失 【例4】用图象法解一元二次不等式：： (1)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ； (2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：． 【变式4-1】方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； ③不等式的解集是______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【变式4-2】如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为_____，_____； (2)当时，直接写出的取值范围为______； (3)方程有实数根，的取值范围是_____； (4)当时，直接写出的取值范围是_____； (5)若不等式无解，则n的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数（6知识&12题型&4易错清单） 【清单01】二次函数的概念 （1）定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 形式： （2）一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0），其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 （3）特殊形式： y=ax²+c（a≠0） y=ax²+bx（a≠0） y=ax²（a≠0） 【清单02】二次函数的图像与性质 （1）图像：二次函数的图像是一条抛物线。 （2）性质： 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。 顶点坐标：二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为。 开口方向： a>0时，抛物线开口向上； a<0时，抛物线开口向下。 （3）最值： a>0时，抛物线有最小值，在顶点处取得； a<0时，抛物线有最大值，在顶点处取得。 （4）与y轴的交点：二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)。若c<0，则二次函数与y轴交于负半轴。 （5）函数值比较：二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；开口向下时，离对称轴越远的函数值越小。 （6）对称性：二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。 【清单03】二次函数的解析式 （1）一般式：y=ax²+bx+c（a≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），其中(h,k)为顶点坐标 （3）交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中x₁,x₂是抛物线与x轴两交点的坐标 【清单04】二次函数与一元二次方程的关系 （1）判别式：二次方程ax²+bx+c=0的解的情况由判别式Δ=b²-4ac决定。 （2）根与系数的关系：设二次方程ax²+bx+c=0的两个根为α和β，则α+β=-b/a，αβ=c/a。 【清单05】二次函数的实际应用 （1）建立模型：根据实际问题列二次函数关系式，一般方法包括找出题目中有关两个变量之间的等量关系，然后用题设的表示这个等量关系，列出相应二次函数的关系式。 （2）实际应用举例： 等边三角形的面积S与边长x的关系。 矩形面积或周长的变化问题。 利润最大化问题，如商品涨价与销售量的关系。 【清单06】常见题型与解题方法 （1）识别二次函数：根据二次函数的定义，判断函数关系式是否为整式、未知数最高次数是否为2次、二次项系数是否不为0。 （2）求参数值或取值范围：根据二次函数的定义，求参数的值或取值范围，确保二次项系数不为0。 （3）判断函数关系式：根据实际问题，判断两个变量之间的函数关系是否为二次函数。 （4）图像与性质应用：结合二次函数的图像与性质，解决实际问题，如求最值、判断函数值大小等。 【题型一】二次函数的定义 【例1】下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解析式形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、，等号右边不是整式，不是二次函数，不符合题意， 故选：C． 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，是一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 【变式1-2】已知函数 是关于x 的二次函数，则m= ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（，，为常数且）可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：或， 又∵， ∴， 综上所述：， 故答案为：． 【题型二】二次函数的关系式 【例2】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式2-1】在中，已知边BC的长为，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式。根据已知得出三角形的高，再利用三角形的面积公式列式即可． 【详解】解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1， ∴这条边上的高为：2x+1， 根据题意得出：. 故选：C． 【变式2-2】某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型三】二次函数的图象与性质 【例3】对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：A．∵二次函数，， ∴该函数图象开口向上，故选项A正确； B．函数的最小值为1，故选项B错误； C．函数图象的对称轴为直线，故选项C错误； D．当时y随x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 【变式3-1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、抛物线的开口向下，则A错误，故不符合题意； B、对称轴是直线，则B正确，故符合题意； C、当时，随的增大而增大，则C错误，不符合题意； D、顶点坐标为，则D错误，故不符合题意； 故选B． 【变式3-2】已知点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系（用“”连接） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据二次函数的对称轴及增减性求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型四】二次函数的平移 【例4】要由抛物线得到抛物线，则抛物线（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的平移规律：“上加下减，左加右减”，分析原函数到目标函数的平移方向和单位数。 【详解】解：∵原抛物线为，目标抛物线为， ∴抛物线，向左平移1个单位得， 再将抛物线向下平移3个单位得， 故选A． 【变式4-1】将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，得到； 故选A． 【变式4-2】若将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求得抛物线先向左平移2个单位的表达式，再求得向下平移3个单位得到新抛物线的表达式即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，得到， 再向下平移3个单位，得到新抛物线的表达式为． 故答案为：． 【题型五】二次函数与坐标轴的交点 【例5】抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键． 令，则，计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，， 故选：A． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴交点的性质，根与系数的关系（韦达定理）以及两点间距离公式的应用和解一元二次方程． 先将点的坐标代入得到关于，的关系式，再利用根与系数的关系得到，然后将代入求出，的值，从而得出抛物线表达式，最后令得到一元二次方程，解方程便可得到抛物线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：将点代入抛物线，得：， 化简得：，即， 设抛物线与x轴交点，，则： ，， ， ，即， ， ， 将代入得：， 化简得：，解得， ， ， 令，得，整理得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 故选： D． 【变式5-2】抛物线与y轴交点的坐标为 ，与x轴交点的坐标为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点坐标，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键； 抛物线与y轴交点满足横坐标为0，把代入解析式可求得y的值，进而可得交点坐标， 抛物线与x轴交点满足纵坐标为0，把代入解析式可求得x的值，进而可得交点坐标． 【详解】当时，， 抛物线与y轴交点的坐标为； 当时，由解得，， 抛物线与x轴交点的坐标为，； 故答案为：；，． 【题型六】二次函数与一次、反比例函数结合图象 【例6】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象，能发现一次函数和二次函数过定点且根据a的正负进行分类讨论是解题的关键．根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴二次函数过定点， 当时，一次函数中y随x的增大而减小， 此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧， 所以A、B、C都不符合，D符合； 当时，一次函数中y随x的增大而增大， 此时抛物线的开口向下，没有符合条件的选项， 故选：D． 【变式6-1】已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 【变式6-2】抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【题型七】二次函数的最值问题 【例7】下列关于二次函数的最值，说法正确的是（　 　） A．有最小值，且最小值为1 B．有最大值，且最大值为3 C．有最大值，且最大值为1 D．有最小值，且最小值为3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把二次函数利用配方法改为顶点式，利用函数的性质求得函数的最值即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，二次函数有最大值，且最大值为3． 故选：B 【变式7-1】已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解题的关键是运用分类讨论思想．首先根据待定系数法得到n与m的关系，再根据二次函数的对称轴位置分情况讨论，求出m的值． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 代入，得，即， 二次函数对称轴为直线， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线，即， 此时在上，y随x的增大而增大， 当时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线满足时，即， 此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值， 二次函数顶点纵坐标公式为，将代入， 可得， 解得或， ， ； ③对称轴为直线，即， 此时在上y随x的增大而减小， 当时，y有最小值， 令，解得，不符合题意，舍去； 故答案为， 故选：C． 【变式7-2】若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 【题型八】二次函数图象与各项系数符号结合 【例8】已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将，，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，， 由函数的对称轴， 则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵，对称轴在y轴左侧，， 则， 图象与y轴交于负半轴，则， 故；故②正确； ③当时，，③正确； ④当时，，④错误； ⑤当时，，⑤错误； 故正确的有①②③，共3个． 故选：C． 【变式8-1】已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出， 因为对称轴在轴右侧，对称轴为， 而，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，可知， 故，①正确； 由图象知，当时，， ，故②正确； 对称轴， ， ， 故③错误； 抛物线与轴有两个交点， ， 故④正确； 故选：C． 【变式8-2】如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有 ．（写出序号即可） 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出，，，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线的开口向下，得， 由抛物线的对称轴是直线，得、异号，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴，得， 所以，故①不正确； 由抛物线的对称轴是直线， 所以，即，故②错误； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，都等于c，又， 当时，，因此③正确； 由图象可知，当时，， 因为， 所以，即，故④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤， 故答案为：③⑤． 【题型九】二次函数的应用 【例9】某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设每天的销售利润为W元． (1)当销售价为每件30元时，每天销售利润是多少？ (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)当销售价为每件30元时，每天销售利润是2000元． (2)销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，解答本题的关键是明确题意、列出相应的方程和函数关系式． （1）根据题意列出算式，然后计算即可； （2）根据题意，可以写出销售利润W与售价x之间的函数关系式，然后化为顶点式，即可求得W的最大值． 【详解】（1）解：由题意可得： 当销售价为每件30元时，每天销售利润为： ． 答：当销售价为每件30元时，每天销售利润是2000元． （2）解：设销售单价应定为x元， 由题意可得：， ∴当时，W取得最大值，此时． 答：销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是2250元． 【变式9-1】圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)5，6，7，8 【分析】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）如图，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）甲桥的桥下水位上升了到，连接，连接与交于点E．求出甲桥此时的水面宽度为，再列出，解方程求解即可； （4）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m个单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 【点睛】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质，待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用． 【变式9-2】一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【答案】(1) (2)此时面碗中水面的宽度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可知点、点，设抛物线的表达式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知当与桌面的距离为时，则，然后代入二次函数解析式可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知点、点． 设抛物线的表达式为， ，解得； 抛物线的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当与桌面的距离为时，则． 当时，，解得． ． 答：此时面碗中水面的宽度为． 【题型十】二次函数与三角形 【例10】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的抛物线与x轴交于点A，抛物线的顶点为D，对称轴交直线于点H，点E为线段上动点，点F在上，连接，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是等腰三角形，求E点坐标； (3)点P是坐标平面内一点，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)或或． (3)8或12 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）求出，再将代入即可求得抛物线解析式； （2）设，分三种情况讨论：①当时，过点E作轴交于点G，在上截取，得到，可求；②当时，，可求；③当时，，可求； （3）设，由，可得，则有，能求出或，即可求的面积为8或12． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴． （2）解：设， ①当时，过点E作轴交于点G，在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得∶， ∴； 综上所述：E点坐标为或或． （3）解：∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或， ∵， ∴或， ∴的面积为8或12． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作垂直y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标是或 (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）将，两点代入列方程计算即可； （2）分、两种情况，分别求解即可； （3）为矩形，则，，据此计算最小值即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在． 理由：如图所示： ①当时，设直线交轴于点，则 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． ∵联立， 解得（舍去）， ∴． ②当时，设直线交轴于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． ∵联立， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，P的坐标是或． （3）解：如图2所示：连接． ∵， ∴设的解析式为． ∵将代入得，解得， ∴直线的解析式为． 设点，则点 则， ∵，故有最小值，此时， 即点， 将代入得到：， 解得， 故点P的坐标是或． 【变式10-2】二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． （1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可； （2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得或，代入求值即得出答案． 【详解】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 【题型十一】二次函数与四边形 【例11】综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，    ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【分析】对于（1），根据待定系数法，可得函数解析式； 对于（2），根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案； 对于（3），根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标． 【详解】（1）解：将B、C两点的坐标代入得， 解得． 所以二次函数的表达式为； （2）解：如图， 存在点P，使四边形为菱形． 设P点坐标为， 交于E 若四边形是菱形，则有． 连接则于E． ， ， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为； （3）解：如图1， ， 过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F，设， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 则Q点的坐标为． ∴． ， 当时，四边形的面积最大 此时P点的坐标为，四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形，菱形的性质和判定，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，理解用坐标差表示线段长是解题的关键. 【变式11-2】如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 【题型十二】二次函数的新定义 【例12】我们定义：点P在一次函数的图象上，点Q在反比例函数的图象上，若存在P，Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，P，Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． (1)判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”．若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由； (2)若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； (3)已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A，B（A在B的左侧），其“向光函数”与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），若有以下条件：①，②“向光函数”经过点，③，记四边形的面积为S，求的取值范围． 【答案】(1)存在，“幸福点”坐标为， (2)或 (3) 【分析】（1）设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则，分别代入一次函数和反比例函数，得到关于的一元二次方程，解方程可得m，n的值，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标； （2因为一次函数和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数与反比例函数的图象只有一个交点，联立一次函数与反比例函数得到关于的一元二次方程，得到关于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函数”的解析式； （3）一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在以及上，根据“向光函数”满足的条件可以得出，，进而表示边形的面积为S，即可求的取值范围． 【详解】（1）解：设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则， ∴， 解得：，， 经检验，，均为方程组的解， ∴一次函数和反比例函数存在“向光函数”，“幸福点”坐标为，； （2）解：∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， ∴一次函数与反比例函数的图象只有一个交点， ∴联立，得， 整理得：， ∴， 解得：，， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：， ∴“向光函数”的解析式为：或． （3）解：∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上， ∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标， ∴， 整理得：， 又∵“向光函数”为， ∴与“向光函数”为关于轴对称， ∴， ∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③， ∴， ∴， ∴， 即“向光函数”为 又∵， ∴， ∴， 又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 令“向光函数”中，， 得，即， 解得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数，理解题意是解答新定义题型的关键． 【变式12-1】定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______． 【研究深入】 （2）经过点和的抛物线与y轴正半轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【深入拓展】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，点E是上一个动点，过点E作的垂线交抛物线的对称轴于点F，且． ①若点E是的中点，求点P的坐标； ②记线段的长度为y，求y与m的函数关系式； ③在②的条件下，若直线与②中的函数图象有两个交点，直线与②中的函数图象有一个交点，求t的取值范围． 【答案】（1）和； （2） （3）①点P坐标为或；②；③ 【分析】（1）由题意得，抛物线的极限分割线为，当求出x的值，即可得极限分割线与这条抛物线的交点坐标； （2）把代入，得，由此得抛物线的极限分割线为，同（1）可求得极限分割线与这条抛物线的交点坐标，进而可得D点坐标． （3）①设与对称轴交于点G，则，由 E点是的中点，，可得，再由，可得 解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案． ②由①得，，由，且，可得，由即可得y与m的函数关系式． ③作出②中y 与x的函数图象，利用数形结合即可得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的极限分割线为， 当，时， 解得，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵点在抛物线上， ∴， 得， 由题意得，抛物线的极限分割线为， 由， 得，， ∵， ∴． （3）①由（2）知，且，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点P的坐标为， ∵C点在y轴的正半轴上， ∴， ∴， 设与对称轴交于点G，如图； 则， ∵E点是的中点， ∴， ∵，交对称轴于F， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得，或． 当时，，点P坐标为， 当时，，点P坐标为， ∴点P坐标为或． ②由①得，， ∵，    且 ∴ ∴ 当时， 当时， ∴y与m的函数关系式为． ③如图，②中y 与x的函数图象如图所示： 当时，， ∵直线与②中的函数图象有两个交点， ∴， ∵直线与②中的函数图象有一个交点， ∴或， ∴或， 综上，t的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象性质，抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点问题．熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系以及数形结合思想是解题的关键． 【变式12-2】定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． (2)概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 【答案】(1)①（答案不唯一）②和 (2)①不是，理由见解析② 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，写出一个对称轴为轴的二次函数，即可求解； ②根据关于轴对称的点的坐标特征，设对称点为和，分别代入反比例函数和二次函数，求得的值，即可求解； （2）①设点、均在直线上，得出，则点和点为同一个点，即可判断不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则，得出，根据点，均为抛物线与直线的交点，得出、是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而可得当时，，即可得出定点的坐标． 【详解】（1）解：①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，对称轴为轴的二次函数，都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）； ②设对称点为和，则，， ，解得， 当时，，所以纵坐标对称点坐标为和． （2）①不是，理由如下：设点、均在直线上， 则两式相减，得． ， ，此时点和点为同一个点， 故不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则， ． 当时，， 点，均为抛物线与直线的交点， 、是方程的两根， ，， ， ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 【题型一】忽略二次函数系数的条件 【例1】二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是， ∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故选：A． 【变式1-1】关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 【变式1-2】当 时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】根据函数是二次函数，得，解答即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据函数是二次函数，得， 解得， 故答案为：． 【题型二】二次函数对称轴判断失误 【例2】二次函数中的部分对应值如下表，则二次函数图像的对称轴为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 … A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴． 【详解】解：由图表可知：时，，时，， 二次函数的对称轴为， 故选：B． 【变式2-1】若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线与x轴的公共点的纵坐标都为0，可判定这两点是抛物线上的一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点为和，即这两个点关于抛物线的对称轴对称 ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且， ， ∴设点C的坐标为， 则点D的坐标为， ， ∴抛物线为， 把点代入，得， 解得：． 故答案为：5． 【题型三】几何动态问题建模错误 【例3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点． (1)求和的坐标； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②面积的最大值是8，此时点的坐标是 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）令抛物线，即解一元二次方程即可； （2）①设，根据，列出方程求的值即可求点坐标； ②设，过点作轴交于点，则，由此可得，当时，面积的最大值是8，此时点的坐标是． 【详解】（1）解：令抛物线，即， 解得， ∴； （2）解：①∵， 当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是． 【变式3-1】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． (3)探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的顶点坐标为 (2) (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及轴对称的性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接，交抛物线于点P，则此时最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点P坐标； （3）先求出长，设，由，得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， （2）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点P，如图，则此时的值最小， 将代入中，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入求得， ∴P点坐标为； （3）解：存在， 对于，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 解得：， ∴或； 当时， 解得：， ∴或， 综上：存在点M，使得的面积等于3，点的坐标为或或或． 【变式3-2】如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【题型四】数形结合思想缺失 【例4】用图象法解一元二次不等式：： (1)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ； (2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查的知识点是图象法解一元二次不等式，解题关键是利用函数图象确定出不等式组的解集． （1）先判断出抛物线的开口方向，然后求得抛物线与轴交点的坐标，画出函数的图象，最后根据函数图象回答即可； （2）先判断出抛物线的开口方向，然后求得抛物线与轴交点坐标，最后根据函数图象进行判断即可． 【详解】（1）解：设，则是的二次函数， ， 抛物线开口向上． 又当时，，解得，， 由此得抛物线的大致图象如图所示， 观察函数图象可知：当或时，， 的解集是或． 故答案为：或． （2）解：设，则是的二次函数， ， 抛物线开口向上， 又当时，，解得，， 由此得抛物线的大致图象如图所示， 观察函数图象可知：当或时，， 的解集是或． 【变式4-1】方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； ③不等式的解集是______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或  ②或  ③ (4)横 (5) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）①根据表格信息得到交点坐标即可； ②根据交点坐标得到方程的解即可； ③借助图象得到不等式的解集； （4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解； （5）联立两个函数表达式得 ， 即可得到 求出， 即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：根据表格数据描点连线绘制图象如下： （3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或， 故答案为：或； ②方程 的解为：或， 故答案为：或； ③观察图象知，不等式的解集是 故答案为： （4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解， 故答案为：横； （5）联立两个函数表达式得：， 则 则 故方程为：则 故答案为：． 【变式4-2】如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为_____，_____； (2)当时，直接写出的取值范围为______； (3)方程有实数根，的取值范围是_____； (4)当时，直接写出的取值范围是_____； (5)若不等式无解，则n的取值范围是______． 【答案】(1)；1 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． （1）利用因式分解法，即可求解； （2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可； （3）根据二次函数图象即可求解； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解； （5）将不等式无解转化为转化为函数图象在轴上或轴上方时，求的取值范围，则，即可求解． 【详解】（1）解： ∴，， 故答案为：，1； （2）解：∵的根为，1， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即：； 故答案为：； （4）解：∵， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：； （5）解： ， ∴， 令， ∴不等式无解，即无解， ∴问题转化为函数图象在轴上或轴上方时，求的取值范围， ∴， 解得：， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公2 / 63 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $