第1-4期(2) 第十四章 全等三角形-【数理报】2025-2026学年新教材八年级数学同步测评（人教版2024 云南专版）

夯实基础 ①数理招° 第十四章 全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识提要：全等形、全等三角形的概念与性质 新知导学 5.如图4，在下列两个图中，沿正方形的网 格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等 1.形状、大小相同的图形放在一起能够完 的图形，将其中一部分涂上阴影 全重合.能够完全重合的两个图形叫作 2.能够 的两个三角形叫作全等三 角形.重合的顶点叫作 重合的边叫作 ,重合的角叫作 图4 3.全等三角形的 相等，全等三角形 的 相等 6.如图5，△ABC≌△DEB,顶点A,C分别 ◆基础练习 与顶点D,B对应，点E在边AB上. (1)请写出图中的对应边和对应角： 1.下列图形中，属于全等形的是 (2)若∠D=20°，∠C=60°，求∠DBC的 △△脚尔 度数 B D 2.如图1，△40C △DOB,点C和点B是对应J顶 点，则边AC的对应边是 ( 图5 D A.AB B.BD 图1 C.OC D.CD 3.如图2，已知△ABC≌△DEF,∠A和∠D 是对应角，AB和DE是对应边，那么∠C的度数 是 ( ) (巩固练习 709 659 7.如果△ABC的三边长分别为3,5,7， △DEF的三边长分别为3，x-2,2y-1,若这两 45°入 个三角形全等，则x+y= 图2 A.45° B.65° C.70° D.115° 拓展练习 4.如图3，点B,E在 8.如图6，△BFD≌ 线段AD上，△ABC≌ △CED,点B和点C是对应 △DEF,∠C和LF是对A J顶点，若△ACE的面积为 D 应角，若AD=9,BE= 图3 3,△BFD的面积为2，则 6,则AB的长为 △ABF的面积为 图6 --12 数理招① 夯实基础 14.2三角形全等的判定(SAS) 知识提要：三角形全等的判定方法—SAS 仙新知导学 =∠CAD.求证：△ABC兰△ADE. 两边和它们的 分别相等的两个三 角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”). ◆基础练习 1.如图1，AB=AC=6,∠BAD=∠CAD, 图5 BD=4,AD=3,则CD的长为 ( A.6 B.5 C.4 D.3 6.如图6，F,C是AD上两点，且AF=CD,点 E,F,G在同一直线上，且BC∥GF,BC=EF.求 证：AB∥DE. 图1 图2 2.同学们在学习完全等三角形之后，体会 到了全等具有转化等线段的作用.如图2，A,B两 E 图6 点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测 量A,B之间的距离，选定点O,连接A0,并延长 至点C,使OC=OA,连接B0,并延长至点D,使 OD=OB,则只需测量( )就可得到A,B之 间的距离 A.AC B.OC C.OD D.CD 巩固练习 3.如图3，FE=BC,DE=AB,∠B=∠E= 7.如图7，在3×3的正方形方格中，每个小 40°，∠F=70°，则∠A= )方格的边长均为1，则∠1+∠2的度数为 A.40° B.50° ( C.60° D.709 A.90° B.80° C.70° D.60° 4 D 人2 图3 图4 图7 图8 4.如图4，D,E分别在AB,AC上，若AB= 8.如图8，AB⊥BC,AC∥DF,且AC=DF, AC,AD=AE,∠A=60°，∠B=35°，则∠BDC:BE=CF=3,AB=5,D0=2,则阴影部分的面 的度数是 积为 () 5.如图5，已知AB=AD,AC=AE,∠BAE A.15 B.12 C.10 D.6 ---132-- 典》夯实基础 数理极° 14.2三角形全等的判定(ASA,AAS) 知识提要：三角形全等的判定方法一一ASA,AAS 新知导学 5.如图6，在△ABC中，D为边AC上一点，连 接BD并延长到点E,使DE=BD,过点E作EG 1.两角和它们的 分别相等的两个 ∥BC,交AC于点F,交AB于点G.求证：GE= 三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”) 1 BC+GF. 2.两角分别相等且其中 的对边相 等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或 “AAS”) ◆基础练习 图6 1.如图1，小明书上的 三角形被墨迹污染了一部 分，很快他就根据所学知 识画出一个与书上完全 样的三角形，则这两个三 巩固练习 图1 角形完全一样的依据是 () 6.如图7，点E,A,D,B A.SAS B.ASA C.SSA D.AAS 在同一直线上，EA=DB, 2.如图2，a,b,c为△ABC的三边长，则图3中 AC,DF交于点O,∠EDF= 甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( ∠BAC,增加下列条件不能 E A D B 推导出△ABC兰△DEF的 图7 b509 50 是 () 甲 丙 52°78 78°50 50°52A A.AC=DF B.∠E=∠B c B b C.EF BC D.∠C=∠F 图2 图3 A.甲和乙 B.乙和丙 7.如图8，在四边形ABCD中，点E在AD上， C.甲和丙 D.只有丙 连接CE,AC,∠B+∠AEC=180°，∠BAC= 3.要测量河岸相对 A ∠D,AB=DE. 两点A,B的距离，已知 (1)求证：△ABC≌△DEC; AB垂直于河岸BF,先在 B (2)若∠BCE=90°，AC=4,求△ACD的 BF上取两点C,D,使CD 面积 =CB,再过点D作BF的 图4 垂线段DE,使点A,C,E在一条直线上，如图4， 测出DE=20米，则AB的长是 米 4.如图5，点E,F分别在AB,AD的延长线 上，∠CBE=∠CDF,∠ACB=∠ACD.求证：AB 图8 AD. 图5 1 数理报① 夯实基础 14.2三角形全等的判定(SSS) 知识提要：三角形全等的判定方法 SSS 仙新知导学 5.如图5，AB=DE,BC=EF,AF=CD (1)求证：△ABC≌△DEF; 分别相等的两个三角形全等（可 (2)若∠A=30°，∠E=75°，求∠BCF的 以简写成“边边边”或“SSS”). 度数 ◆基础练习 1.如图1，在已知的 ∠AOB的两边分别取OM =OW,将无弹性的绳子对 图5 折标记折痕（即绳子中点 P),将绳子两端分别固定0 B N 在点M,N处，从折痕点P 图1 处拉直绳子，点P在∠AOB内，则OP平分 ∠AOB.原理是构造全等三角形，这里三角形全 Q巩固练习 等的判定方法是 () 6.如图6，AC=BD,连接AB,CD,且AB= A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA CD.求证：∠A=∠D. 2.下列三角形中，与图2所示的△ABC全等 的是 图6 图2 D 3.如图3，在等边 △ABC内，AD=BE,BD= 7.如图7，ED⊥BC于点D,AB=CE,AC= CE,点D在BE上，若∠E CD,BC=DE,试判断AC与DE的位置关系 =115°，则∠ADE的度数 D 为 B 4.如图4，点M是线段 图3 AB的中点，AC=BD,MC=MD.求证：∠C= ∠D. D 图7 C D 图4 15--- 典夯实基础 14.2三角形全等的判定（尺规作图） 参基础练习 5.如图4，在△ABC中，AB=AC,分别以B, C为圆心，AB为半径作弧，两弧在BC下方交于 1.如图1，已知△DEF为小明根据△ABC所 点D,连接BD,CD,AD.补全图形并证明△ABD 作的图形，若△ABC≌△DEF,则他作图的根据≌△ACD. 是 图4 图1 A.SSS B.ASAC.AAS D.SAS 2.如图2，已知∠A和一条长度为a的线段， 作一个以∠A为底角，α为腰长的等腰三角形的 6.如图5，已知：∠a,∠B,线段c,求作： 方法是： △ABC,使∠A=∠a,∠B=∠B,AB=2c(不写 ①连接DF,FG; 作法，保留作图痕迹) ②以点F为圆心，a为半径作弧，交射线DM 于点G(不同于点D); ③在∠A的两边上截取AB=a,AC=a; ④画射线DM,以点D为圆心，a为半径作 图5 弧，交射线DM于点E,并以点E为圆心，BC为半 径作弧，两弧交于点F. 以上作法正确的顺序是 Q巩固练习 图2 7.如图6，在Rt△ABC中，∠B=90°. A.③④①② B.④③②① (1)尺规作图：作出△ECD,使得△ABC≌ C.③④②① D.④③①② △ECD,其中点A和点E是对应顶点，点E在线 3.如图3，在△ABC D 段BC上，点D在点C上方； 中，∠B=49°，分别以点 (2)判断线段AC与DE的数量关系与位置 A,C为圆心，BC,AB为半 关系，并说明理由 径作弧，两弧相交于点 图3 D,连接AD,CD,则∠ADC的度数为 A.41° B.49° C.51 D.59° 4.下列能画出惟一△ABC的是 图6 A.AB 3,BC =4,AC =8 B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠A=60°，∠B=45°，AB=6 D.∠C=90°，AB=6 --16 数理报① 夯实基础 14.2三角形全等的判定(HL) 知识提要：直角三角形全等的判定方法—HL 仙新知导学 ! CF.求证：∠OFE=∠OEF. 分别相等的两个直角三角形全等 (可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). ◆基础练习 图5 1.如图1，已知AC⊥BD,垂足为点0，A0= CO,要根据“HL”证明Rt△ABO≌Rt△CDO,还 需要添加的一个条件是 ( A.AB∥CD B.OB =OD C.∠A=∠C D.AB CD Q巩固练习 B 6.如图6，AB=AE,BC=ED,AB1BF,AE ■ ⊥EF,F是CD上一点，∠C=∠D=90°.求证： 0 Rt△BCF≌Rt△EDF. 图1 图2 2.如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是 BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E,且AC =AE.若BE=3cm,BC=9cm,则△BDE的周 长为 () F A.6 cm B.8 cm C.12 cm D.18 cm 图6 3.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高， E是AD边上一点，且DE=DC,BE=AC,若BD 7.如图7，已知AD,AF分别是两个钝角 =4,则AD= △ABC和△ABE的高，AD=AF,AC=AE. D' (1)求证：BD=BF; 4 (2)求证：BC=BE. 人 B D B(B') 图3 图4 E 4.如图4，两个全等的正方形的一个顶点重 图7 合，CD'交AD于点E,若∠ABC'=60°，则 ∠ABE的度数为 5.如图5，已知∠A=∠D=90°，E,F在线 段BC上，DE与AF交于点O,且AF=DE,BE= --17-- 专题训练 数理极° 专题2 全等三角形的常见基本模型 类型( 倍长中线 类型 “手拉手” 【模型1】如图1，AD是△ABC的中线，且AB 【模型2】如图3，AB=AC,AB1AC,AD= >AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可AE,AD1AE,∠D=35°，∠B=25°，则∠CAE 证得△ADC≌△EDB. 的度数为 () B 的 D 图3 图1 (1)其中判定全等的依据为 A.35° B.25° C.30° D.45° (2)若AB=4,AD=3,则AC长的取值范 【变式2】已知△ABC和△DBE两个直角三 围是 角板按如图4所示的位置摆放，D,B,C在同一直 【变式1】如图2，点D,E,F分别在△ABC的 线上，AB=BC,DB=EB,试判断AD与CE的数 边AB,BC,CA上，D是AB边上的中点，DE1 量关系和位置关系，并说明理由. DF,连接EF.求证：EF>AF-BE. B 图4 图2 --18-- 数理报① 专题训练 类型3 一线三等角 【变式3】点B,C分别在∠MAN的边AM,AN 上，且AB=AC,射线AD在∠MAN的内部，点E, 【模型3】在△ABC中，AB=AC,直线m经F都在射线AD上. 过点A. (1)如图6-①，∠MAN=90°，CF⊥AD于 (1)如图5-①，若AB1AC,BD1直线m, 点F,BE⊥AD于点E,求证：△ABE≌△CAF; CE1直线m,垂足分别为点D,E,求证：DE= (2)如图6-②，∠1，∠2分别是△ABE, BD CE; △CAF的外角，且∠1=∠2=∠BAC.求证： (2)如图5-②，若∠BDA=∠AEC= △ABE≌△CAF. ∠BAC,请写出DE,BD,CE的数量关系，并说明 M 理由。 2 C ② m 7 图6 ① ② 图5 -19- 夯实基础 数理极° 14.3角的平分线 知识提要：角的平分线的性质与判定 仙新知导学 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是 M,N.求证：PM=PN 1.角的平分线上的点到角两边的距离 2.角的内部到角两边距离相等的点在 上 图5 ◆基础练习 1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠BAC的平分线，CD=6,则点D到AB的距离为 ( ) Q巩固练习 A.3 B.4 C.6 D.8 B 6.如图6，在△ABC 中，AD为BC边上的中线， CE⊥AB于点E,AD,CE相 交于点F,连接BF.若BF 平分∠ABC,EF=3,BC= 图1 图2 图6 2.两个完全一样的三角板如图2摆放，使三 9,则△CDF的面积为 角板的一条相等直角边分别与△ABC的边AB, 7.如图7，在△ABC中，∠C=90°，AD是 AC重合，它们的顶点重合于点M,则点M一定在 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,F在AC上， ( BD DF. A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的中线上 D.AB边的中线上 (1)求证：CF=EB: (2)求证：AB=AF+2EB. 3.如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为 圆心，任意长为半径作弧，分别交AC,AB于点 M,N,再分别以M,N为圆心，大于)MN的长为 半径作弧，两弧交于点O,作射线AO交BC于点 D.若CD=2,P为AB上一动点，则PD的最小值 D 为 图7 图3 图4 4.如图4，在△ABC中，∠B=70°，点D在 △ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC= 拓展练习 8.点P(a-2,3a+6)在两条坐标轴的角平 5.如图5，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,分线上，则点P的坐标为 --20 数理极① 同步检测 第十四章综合检测 (满分100分，时间45分钟) 一、选择题（每题4分，满分32分） 5.如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC 1.巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚 的平分线AE交BC于点E,ED⊥AB于点D,若 金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境 △ABC的周长为12，则△BDE的周长为4，则AC 外奥运会的最佳战绩.下列各组巴黎奥运会的 的长度为 项目图标中，是全等形的是 A.3 B.4 C.6 D.8 紧激袋爱染米以 6.小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐 园乘坐了海盗船，如图5，已知海盗船的转轴B A B C D 到地面的距离BD=10m,小华在乘坐的过程 2.如图1，点F,B,E,C在同一条直线上， 中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，AC⊥ △ABC兰△DEF,若∠A=30°，∠F=26°，则BD于点C,此时点C到地面的距离CD=7m,当 ∠DEC的度数为 ( 船头从A处摆动到A'处时，A'B⊥AB,则点A'到 A.54° B.56° BD的距离为 C.60° D.84° A.3m B.4m C.6m D.7m B D 图1 图2 图5 图6 3.如图2，△ABC是边长为7的等边三角形， 7.如图6，已知AE=DF,AB=CD,CE= E是边AC上的点，∠1=∠2，BE=CD,若AE= BF,以下结论：①△ACE≌△DBF;②∠A= 3,则AD的长为 ( LD;③AC=CD+DF;④L1=∠2；⑤SAACE= A.7 B.6 C.4 D.3 S△r,其中正确的个数为 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4.如图3，为了测量B点到目标A之间的距 8.如图7，在四边形 离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C,测得 ABCD中，AB∥CD,∠ADC ∠ABC=65°，∠ACB=30°，然后在M处立了标 +2∠BAC=180°，AB= 杆，使∠CBM=65°，∠MCB=30°，测得MB的 AD,E是AC上一点，连接 长是15米，BC的长是30米，CM的长是25米，则 DE,BE,则图中的全等三 D A,B两点间的距离为 图7 角形共有 ( A.10米 B.25米 C.15米 D.30米 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 二、填空题（每题4分，满分24分） 9.已知△ABC兰△DEF,BC=EF=6cm, M △ABC的面积为18cm2,则EF边上的高的长是 图3 图4 cm.初中数学·人教八年 所以∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-(90°- 3∠A)=90°+7∠A,即LBPC=90°+∠A 【变式1】120°. 【变式2】40°. 【模型2】30. 【变式3】∠BPC与∠A之间的数量关系是：2∠BPC= ∠A.理由如下： 因为BP平分∠ABC,CP平分△ABC的外角∠ACQ, 所以设∠ABP=∠CBP=a,LACP=∠QCP=B. 所以∠ABC=2a,∠ACQ=2B. 因为∠ACQ是△ABC的一个外角，所以∠ACQ=∠A+ ∠ABC,即2B=∠A+2a.所以2(B-ax）=∠A. 因为∠QCP是△PBC的一个外角，所以∠QCP=∠BPC +∠CBP,即B=∠BPC+a,所以B-a=∠BPC. 所以2∠BPC=∠A. 【模型3】根据三角形的外角性质，得∠DBC=∠A+ ∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC 因为O是△ABC的外角∠DBC与外角∠BCE的平分线 B0和C0的交点，所以∠0BC=子∠DBC,∠0CB= 3<c0E 又因为∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=50°，所以 ∠0BC+∠0CB=(LDBC+∠BCE)=2(∠A+∠ACB +∠A+∠ABC)=115° 所以在△OBC中，∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB)= 65. 【变式4】因为BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线， 所以∠2=7∠ABC,L1=子∠ACB 所以∠D=180°-(1+∠2)=180-7(LABC+ ∠ACB)=1809-2(180-∠A)=90°+7∠A 因为BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线， 所以∠3=7∠EBC=2(LA+LACB),L4= 子∠FCB=2(LA+∠ABC). 所以∠3+L4=之（∠A+LABC+LACB+LA)=90° +344 因为∠P+∠3+∠4=180°， 所以∠P=180°-（∠3+∠4）=180-(90°+7∠A) :90°-21A 所以∠D+∠P=90+∠A+00-号∠A=1808 级(YN)第1~4期 所以当∠A的大小变化时，∠D+∠P的度数不变 第十三章综合检测 题号 123 5 678 答案DAADBC D B 二、9.稳定；10.100°；11.5cm或9cm;12.115; 13.12;14.64°. 三、15.图略 16.因为CE平分∠ACD,∠DCE=35°，所以∠ACD= 2∠DCE=70°. 又因为∠B=37°，所以∠BAC=∠ACD-∠B=33°. 又因为∠BAC:∠CAD=3:2,所以∠CAD=22°. 所以∠D=180°-∠CAD-∠ACD=88° 17.(1)因为a=2,b=5,所以5-2<c<5+2,即3< c<7. 因为c为偶数，所以c=4或6. 当c=4时，△ABC的周长为：a+b+c=2+5+4=11: 当c=6时，△ABC的周长为：a+b+c=2+5+6=13. 综上所述，△ABC的周长为11或13. (2)因为△ABC的三边长为a,b,c,所以a+c>b. 所以Ia-b+cI-Ib-c-aI+1a+b+cI =a+c-b-(a+c-b)+a+b+c a+c-b-a-c+b+a+b+c a +b+c. 18.(1)因为∠A+∠C+∠A0C=180°，∠B+∠D+ ∠B0D=180°， 又因为∠AOC=∠BOD, 所以∠A+∠C=∠B+∠D (2)①LC+∠CAM=∠P+∠PDM; ∠B+∠BDN=∠P+∠PAN. ②如图，因为∠CAB和∠BDC 的平分线AP,DP相交于点P, 所以∠1=∠2，∠3=∠4. 因为∠C+∠1=∠P+∠3，A ∠B+∠4=∠P+∠2. 所以∠C+∠1+∠B+∠4=∠P+∠3+∠P+∠2， 即∠B+∠C=2∠P 又因为∠B=100°，∠C=120°， 所以∠P=100°+120°=110 2 ③LB+∠C=2∠P. 第十四章 全等三角形 14.1全等三角形及其性质 新知导学1.全等形 2.完全重合对应顶点 对应边对应角 3.对应边对应角 基础练习1.C;2.B;3.B;47.5. 初中数学·人教八年 5.如图： 6.(1)对应边：AB与DE,BC与EB,AC与DB. 对应角：∠A与∠D,∠ABC与∠DEB,∠C与∠DBE. (2)因为△ABC≌△DEB,所以∠A=∠D=20°，∠DBE =∠C=60°.所以∠ABC=180°-∠A-∠C=100°.所以 ∠DBC=∠ABC-∠DBE=40°. 巩固练习7.11或12. 拓展练习8.7. 14.2三角形全等的判定(SAS) 新知导学夹角 基础练习1.C;2.D;3.D;4.95. 5.因为∠BAE=∠CAD,所以∠BAE-∠BAD=∠CAD- ∠BAD,即∠DAE=∠BAC.在△ABC和△ADE中， rAB =AD, ∠BAC=∠DAE,所以△ABC兰△ADE(SAS). LAC AE, 6.因为AF=CD,所以AF+CF=CD+CF,即AC=DF 因为BC∥GF,所以∠ACB=∠DFE.在△ABC和△DEF中， BC EF. ∠ACB=∠DFE,所以△ABC≌△DEF(SAS).所以∠A= LAC DF, ∠D.所以AB∥DE. 巩固练习7.A;8.B. 14.2三角形全等的判定(ASA,AAS) 新知导学1.夹边2.一组等角 基础练习1.B;2.B;3.20. 4.因为∠CBE=∠CDF,所以180°-∠CBE=180°- ∠CDF,即∠ABC=∠ADC.在△ABC和△ADC中， r∠ABC=∠ADC, ∠ACB=∠ACD,所以△ABC≌△ADC(AAS).所以AB=AD. LAC AC, 5.因为EG∥BC,所以∠E=∠CBD.在△BCD和△EFD r∠CBD=∠E, 中，{BD=ED, 所以△BCD≌△EFD(ASA).所以BC I∠BDC=∠EDF, =EF.所以GE=EF+GF=BC+GF 巩固练习6.C. 7.(1)因为∠B+∠AEC=180°，∠DEC+∠AEC=180°， ∠BAC=∠D. 所以∠B=∠DEC.在△ABC和△DEC中 AB=DE,所 L∠B=∠DEC, 以△ABC兰△DEC(ASA). (2)因为△ABC≌△DEC,所以CD=AC=4,∠ACB= ∠DCE.所以∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE= 级(YN) 第1~4期 ∠ACD=90°.所以SA4w=三)AC·CD=8 14.2三角形全等的判定(SSS) 新知导学三边 基础练习1.A;2.C;3.65。 4.因为点M是线段AB的中点，所以MA=MB.在△ACM MA MB, 和△BDM中，{AC=BD,所以△ACM≌△BDM(SSS).所以 MC MD, ∠C=∠D. 5.(1)因为AF=CD,所以AF-CF=CD-CF,即AC= AB DE. DF在△ABC和△DEF中， BC=EF,所以△ABC≌ AC DF. △DEF(SSS). (2)因为△ABC≌△DEF,所以∠B=∠E=75°.所以 ∠BCF=∠A+∠B=105°. 巩固练习6.连接BC,图略.在△ABC和△DCB中， .AC DB, AB=DC,所以△ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. BC CB. 7.因为ED⊥BC,所以∠EDC=∠EDB=90°.在△ABC AB CE. 和△CED中， AC=CD,所以△ABC≌△CED(SSS).所以 BC ED. LACB=∠CDE=90°=∠EDB.所以AC∥DE. 14.2三角形全等的判定（尺规作图） 基础练习1.D;2.C；3.B;4.C. 5.由作图1知：BD=CD.在△ABD和△ACD中， AB AC. BD=CD,所以△ABD≌△ACD(SSS). ADAD, E 图1 图2 6.图略。 巩固练习7.(1)如图2，△ECD即为所求. (2)AC=DE,AC⊥DE.理由如下： 设AC,DE交于点F.由(1)知：DE=AC,△ABC≌△ECD, 所以∠A=∠CED.因为∠B=90°，所以∠A+∠ACB=90°. 所以∠CED+∠ACB=90°.所以∠EFC=90°.所以AC⊥DE. 初中数学·人教八年 14.2三角形全等的判定(HL) 新知导学斜边和一直角边 基础练习1.D:2.C;3.4:4.30° 5.因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE. 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ∫BF=CE,所以Rt△ABF兰 LAF DE, Rt△DCE(HL).所以∠OFE=∠OEF 巩固练习6.连接AF,如图.因 为AB⊥BF,AE⊥EF,所以∠ABF= ∠AEF=90°.在Rt△ABF和Rt△AEF 中， AF=AF,所以Rt△ABF≌ LAB AE, Rt△AEF(HL).所以BF=EF. 在Rt△BCF和Rt△EDF中， IBF=EF,所以Rt△BCF≌ BC ED, Rt△EDF(HL). 7.(1)因为AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高， 所以∠D=∠F=90°.在Rt△ABD和Rt△ABF中， AB=AB,所以R△ABD≌R△ABF(HL),所以BD=BF LAD AF, (2)在Rt△ADC和Rt△AFE中， AC=AE,所以Rt△ADC LAD AF, ≌Rt△AFE(HL).所以CD=EF.所以BD-CD=BF-EF,即 BC BE. 专题2全等三角形的常见基本模型 【模型1】(1)SAS;(2)2<AC<4. 【变式1】延长ED至点G,使DG= ED,连接AG,FG,如图1.因为D是AB的 中点，所以AD=BD.在△AGD和 AD BD, △BED中， ∠ADG=∠BDE,所以 ‘D DG DE, △AGD≌△BED(SAS).所以AG=BE. G 图1 因为DE⊥DF,所以∠FDG=∠FDE=90°.在△FGD和 FD FD. △FED中， ∠FDG=∠FDE,所以△FGD≌△FED(SAS).所 DG DE, 以GF=EF.因为GF>AF-AG,所以EF>AF-BE. 【模型2】C. 【变式2】AD=CE,AD⊥CE.理由如下： 延长DA交CE于点O,如图2.在 △DBA 和 △EBC 中， AB CB. ∠ABD=∠CBE,所以△DBA≌ b DB EB, B △EBC(SAS).所以AD=CE,∠ADB 图2 级(YN)第1~4期 =∠CEB.因为∠CEB+∠ECB=90°，所以∠ECB+∠ADB= 90°.所以∠D0C=90°.所以AD⊥CE. 【模型3】(1)因为AB⊥AC,BD⊥直线m,CE⊥直线m, 所以∠BAC=∠BDA=∠AEC=90°.所以∠BAD+∠CAE= 90°，∠BAD+∠ABD=90°.所以∠CAE=∠ABD.在△ABD和 ,∠ADB=∠CEA, △CAE中，{∠ABD=∠CAE,所以△ABD≌△CAE(AAS).所 LAB CA, 以BD=AE,AD=CE.所以DE=AE+AD=BD+CE (2)DE=BD+CE.理由如下： 因为∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠BDA+∠ABD,∠BDA =∠BAC,所以∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中， r∠ADB=∠CEA, ∠ABD=∠CAE,所以△ADB≌△CEA(AAS).所以BD= LAB CA, AE,AD=CE.所以DE=AE+AD=BD+CE. 【变式3】(1)因为CF⊥AD,BE⊥AD,所以∠AFC= ∠BEA=90°.所以∠BAE+∠ABE=90°.因为∠MAN=90°， 所以∠BAE+∠CAF=90°.所以∠ABE=∠CAF.在△ABE和 r∠BEA=∠AFC, △CAF中，{∠ABE=∠CAF,所以△ABE≌△CAF(AAS). LAB CA. (2)因为∠1=∠2，所以180°-∠1=180°-∠2，即 ∠AEB=∠CFA.因为∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠1=∠BAE +∠ABE,∠1=∠BAC,所以∠CAF=∠ABE.在△ABE和 r∠AEB=∠CFA, △CAF中，{∠ABE=∠CAF,所以△ABE≌△CAF(AAS). AB CA, 14.3角的平分线 新知导学1.相等2.角的平分线 基础练习1.C;2.A;3.2;4.125. 5.因为BD为∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD.在 AB CB. △ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD,所以△ABD≌ BD BD. △CBD(SAS).所以∠ADB=∠CDB.因为PM⊥AD,PN⊥ CD,所以PM=PN. 巩国练习6头 7.(1)因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC,所 以DE=DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中， rDF=DB,所以 DC DE. Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).所以CF=EB (2)在Rt△ADC和Rt△ADE中， [AD=AD,所以 LDC DE, Rt△ADC兰Rt△ADE(HL).所以AC=AE.所以AB=AE+EB AC EB AF+CF EB AF +2EB. 初中数学·人教八年 拓展练习8.（-6，-6)或(-3,3) 第十四章综合检测 题号 1 23 4567 8 答案 二、9.6；10.答案不惟一，如∠B=∠E;11.8; 12.28°；13.64；14.4. AB=DA,所以 三，5.在R△ABC和R△DAE中，{AC=DE, Rt△ABC≌Rt△DAE(HL). 16.(1)因为BF=DE,所以BF-EF=DE-EF,即BE= AB CD. DF.在△ABE和△CDF中， AE=CF,所以△ABE≌ BE DF. △CDF(SSS). (2)因为△ABE≌△CDF,所以∠AEB=∠CFD.所以 180°-∠AEB=180°-∠CFD,即∠AEF=∠CFE.所以AE∥ CF. 17.(1)因为EF⊥AB,所以∠F=90°.因为∠AEF= 50°，所以∠EAF=90°-∠AEF=40°.因为∠BAD=100°，所 以∠DAE=180°-∠BAD-∠EAF=40°=∠EAF.所以AE 平分∠FAD. (2)如图，过点E作EM ⊥AD于点M,EN⊥BC于点 N.因为BE平分∠ABC,EF B ⊥AB,所以EF=EN.因为 DN AE平分∠DAF,EF⊥AB,所以EF=EM.所以EM=EN.所以 DE平分∠ADC. (3)因为AD=4,CD=8,S△AcD=S△ADE+S△cDE= ·EM+CD:EN=(aD+GD)·EM=15,所以EM= 5 所以EF=多所以SE=方4B,EF=空 41 18.(1)因为PF⊥AD,所以∠FPD=∠APG=90°.所以 ∠FDP+∠F=90°.因为∠ACB=90°，所以∠CAD+∠FDP =90°.所以∠F=∠CAD.因为AD,BE是△ABC的角平分线， 所以∠ABP=∠FBP,∠BAD=∠CAD.所以∠BAD=∠F.在 r∠BAP=∠F, △ABP和△FBP中， ∠ABP=∠FBP,所以△ABP≌ BPBP. △FBP(AAS) (2)AB=AG+BD.理由如下： 因为△ABP≌△FBP,所以AB=FB,AP=FP.在△APG r∠PAG=∠F, 和 △FPD中， AP FP, 所以△APG≌ I∠APG=∠FPD △FPD(ASA).所以AG=FD.因为FB=FD+BD,所以AB= AG BD. 级(YN)第1~4期 第十五章轴对称 15.1.1轴对称及其性质 新知导学1.互相重合轴对称图形2.重合 3.(1)全等(2)垂直平分 基础练习1.C:2.C:3.5:4.13. 5.因为AD∥BC,∠D=120°，所以∠C=180°-∠D= 60°.因为直线l是四边形ABCD的对称轴，所以∠B=∠C= 60°. 巩固练习6.C;7.7.5. 8.(1)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，所以DF =BF=9.所以EF=ED-DF=6. (2)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，所以∠C= ∠E=65°.所以∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.因为∠BAE =16°，所以∠EAC=∠BAC-∠BAE=64°.因为线段AE与 AC关于直线MN对称，所以∠EAN=子∠EAC=32所以 ∠BAN=∠BAE+∠EAN=48°.所以∠BFN=∠B+∠BAN =83°. 15.1.2线段的垂直平分线 新知导学1.相等2.垂直平分线 3.互逆命题逆命题 4.互逆定理逆定理 基础练习1.B;2.有；3.22. 4.(1)如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数 字是5： (2)有两个角互余的三角形是直角三角形. 5.(1)因为EF垂直平分AC,所以AE=EC.因为AD⊥ BC,BD=DE,所以AB=AE.所以AB=EC (2)因为△ABC的周长为20cm,AC=9cm,所以AB+BC =11cm.因为AB=EC,BD=DE,所以DC=DE+EC= 5.5cm. 巩固练习6.A. 7.(1)因为1是AB边的垂直平分线，所以DA=DB.因为 ,是AC边的垂直平分线，所以EA=EC.因为△ADE的周长为 8cm,所以BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=8cm. (2)因为L1是AB边的垂直平分线，所以OA=OB.因为l2 是AC边的垂直平分线，所以OA=OC.所以OB=OC.所以点 O在线段BC的垂直平分线上 (3)因为△OBC的周长为18cm,BC=8cm,所以OB= 0C=5cm.所以OA=5cm. 15.2画轴对称的图形 新知导学(x,-y)(-x,y) 1 基础练习1.D;2.B;3.m>2 4.图略. 5.(1)(-2,4),(-5,2),(-4,5); (2)如图1；