第7期 23.1 图形的旋转-23.2.2 中心对称图形-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

4 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 2.如图2所示的10×10的正方形网格中， 19.(12分)如图16，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 重点集圳营 △ABC的三个顶点都在格点上，请在所给的平面 直角坐标系中解答下列问题： Rt△ADE,连接BD交AC于点G,并取BD的中点 (1)画出△ABC绕原点O旋转180°后的 F,连接AF,CF,EF 1.如图1，点A(4,3),B(2,4),0A与格线交△A,B,C1; (1)求∠ABD的度数； 于点C,在8×8的正方形网格中建立直角坐标 (2)将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，得 (2)求证：∠AGF=∠EAF; 系x0y,然后仅用无刻度直尺按要求完成下列作到△A,B,C2,顶点A,B,C的对应点分别为A,(2, (3)求证：F,C,E三点在同一直线上 图（作图过程用虚线，画图结果用实线，不写画-2），B2(4,-3),C2(3,-5),请画出△AB2C2, 法，保留画图痕迹) 并直接写出旋转中心点M的坐标. (1)画出△AB0绕点B顺时针旋转90°后 得到的△AB,01; (2)画出点C绕点B顺时针旋转90°后得到 的点C. 图1 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 第5期2版参考答案 (2)平移后函数的解析式为y=(x+2)2-1,顶点坐标为 22.1.4二次函数y=ax2+x+c的图象和性质 (-2,-1) 20.(12分)(1)问题发现：如图17-①，在 基础训练1.C;2.D;3.<;4.①③④. 17.(1)y关于x的函数表达式为y=-7x2+10x Rt△ABC中，AB=AC,D为BC边上一点（不与 5.(1)抛物线的顶点坐标为(-2,10). (2)当x=号时，透光面积最大最大透光面积是空平方米 (2)y的取值范围是1≤y≤10. 点B,C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90 18.(1)0B=8米 得到AE,连接EC,则线段BD与CE的数量关系 能力提高6(1)抛物线的表达式为y=子2-x-3 (2a的取值范围为-。<a<-0 是」 ,位置关系是 (2)由()知，抛物线的表达式为y=子2--3，令y 19.(1)T的最大值为32. (2)探究证明：如图17-②，在Rt△ABC与 0,即42-x-3=0,解得1=-2,3=6，所以4(-2,0)， (2)该商场建造的隔热层厚度为6cm时，总费用达到 Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点 202万元 A旋转，使点D落在BC的延长线上，连接EC,写 B(6,0).因为抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=2,所 (3)当隔热层修建8©m时，该商场未来5年的相关规划费 以当-2≤x≤6时，抛物线对应函数的值均不为正数.因为当用达到最小值206万元. 出此时线段AD,BD,CD之间的等量关系，并证 -2≤x≤g时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1， 20.(1)45. 明： 所以9>6将x=2代人y=子2-x-3,得y=-4,即函数 (3)拓展延伸：如图17-③，在四边形 (2)由圈易求得抛物线的对称轴为直线x=-2受=m,把 ABCF中，LABC=∠ACB=∠AFC=45°.若 最小值为-4，所以最大值为1-(-4)=5，令y=5,即2-xm代人y三-+2m*+2m+1,得y三m2+2m+1,所以 点D(m,m2+2m+1).设直线BC的解析式为y=kx+b,把 BF=13,CF=5,求AF的长 x-3=5,解得x=-4(舍去)或x=8,所以9的值为8. 22.2二次函数与一元二次方程 210.a0w+f人.0 基础训练1.A;2.A;3.-1<x<0: 4.k≤6且k≠2. 站直钱c的式为y21把s 5.(1)抛物线的解析式为y=x2-4x+3. m代人，得y=m+1,所以点E(m,m+1),所以DE=m2+2m (2)证明：当y=0时，即x2-(m+2)x+2m-1=0,因 为4=[-(m+2)]2-4x1×(2m-1)=m2+4m+4-8m+1-m-1=m2+m.因为h=0C-之DE,所以h=2m+1 +4=m2-4m+8=(m-2)2+4,(m-2)2≥0，所以(m 2)2+4>0,即4>0，所以不论m取何值，该抛物线与x轴总有 两个公共点 17 22.3实际问题与二次函数（第一课时）】 所以当m=子时，h有最大值，最大值为名 基础训练1.B;2.1556;3.2. (3)点0'能落在抛物线y=-x2+2mx+2m+1的图象上， 能力提有高日销件大销作单的效关系试光时m= 为y=-10x+500,销售核桃的最大日利润为2250元. (2)即当m为1.5时，可实现日销售量不少于160千克，且 第5期4版参考答案 最大日利润为2000元的目标 重点集训营 22.3实际问题与二次函数（第二课时） (1)c=5,J顶点M的坐标是(2,1 基础训练1.C;2.2;3.20. (2)因为点A在x轴上，点B的坐 能力提高4.(1)图中水柱所在抛物线的函数表达式为y标为(1,5)，所以点A的坐标是(1,0). =-12(x-6)2+13. ①当t=2时，点D',A'的坐标分 别是(2,0)，(3,0).当x=3时，y=(3 (2)所以此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离为18m -2)2+1=2,即点Q的纵坐标是2，当 第5期3版参考答案 x=2时，y=(2-2)2+1=1,即点F -题号12345678 的纵坐标是1.因为PG⊥A'B',所以点 答案C D C BA B A B G的纵坐标是1，所以QG=2-1=1. 二、9.110.4；11.-2；12.25；13.10： ②存在，1=7或习 14.n>25或n=4. 第6期综合评估卷参考答案 4 三、15.(1)x<0或x>3. -、题号12345678910 数理报社试题研究中心 (2)方程ax2+bx+=0的解为x1=-1,x2=3. 答案BB D A CC D C D B (参考答案见下期) 16.(1)二次函数的解析式为y=x2+2x-3. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 数评橘 2025年8月21日·星期四 初中数学 7期总第1151期 人教 0351-5271248 中考(GDY) (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-157 二、11.a<2: 1245:1ab≥- 品味方法 一、求角度 14.52;15.②③. 中心对称性质用处多 例1如图1，将 三、16.(1)顶点坐标 △ABC绕点A逆时针旋转 为(1,2). O江西王欣蕊 一定角度，得到△ADE.若 2m>子 一、进行计算 图中阴影部分的面积为3 ∠CAE=65°，∠E=70° 例1如图1，矩形 17.(1)证明：令x2 故填3。 且AD⊥BC,则∠BAC的 -3=-x,整理，得x2+ ABCD的对角线AC和BD相 二、分割图形 度数为 (1-m)x-3=0, 交于点0，过点0的直线分 例2如图2，四边形D 解析：因为将△ABC绕点A逆时针旋转 因为4=(1-m)2+ 别交AD和BC于点E,F,AB ABCD为矩形，四边形BEFG 定角度，得到△ADE, 12>0,所以该函数图象上 =2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 也是矩形，请你画一条直线 一定存在两个“M点”. 所以∠BAD=∠CAE=65°，∠C=∠E= (2)m>-1. 把整个图形分成面积相等的 图 70° 18.左起第一根柱子涂 分析：由于矩形是中心对称图形，所以根据 两部分 因为AD⊥BC,所以∠DAC=20°，所以 色部分的高度为0.12m 题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对 分析：矩形是中心对称图形，对称中心是对 ∠BAC=85° 四、19.(1)①函数解 称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转 角线的交点.因此只要经过矩形对角线交点的 故填85 析式分别为y=一方 化到Rt△ADC中，于是阴影部分的面积即可容 任意直线都能把矩形分成面积相等的两部分 重点精讲 t,y=-3t+66. 易求得 本图形可以看成是由两个矩形的和或差拼凑构 ②这两个位置之间的 解：因为矩形ABCD是中心对称图形，且对 成的，经过两个矩形对角线的交点就可以把整 旋转的性质赏析 距离为9.6km 个图形分成面积相等的两部分 ②)-号<a<0 称中心为对角线AC和BD的交点O,而EF是过 ⊙广东方瑾 点O的直线 解：图3中几条直线都可以把原图形分成面 二、求长度 20.(1)抛物线的解粉 所以△BOF与△DOE关于点O成中心对称， 积相等的两部分 式为y=x2-2x-3.点 例2如图2，在 所以图中阴影部分的三个三角形就可以转 的坐标为(3,0). Rt△ABC中，∠C=90° (2)PM+QN的最大 化到Rt△ADC中 AC=8,BC=6,以点B为 值为4，点Q的坐标为(2 又因为AB=2,BC=3 旋转中心，将△ABC旋转 -3). 21.(1)C1的解析式为 所以Rt△ADC的面积= ×3×2=3.即 到△DBE,使点E恰好落 图 -3(-3≤ 在AB上，则AE的长为 题型空间· 3).C2的解析式为y= 走进中心对称图形大观园 解析：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AC 2+1(-3≤x≤3) 8,BC=6,所以AB=10. (2)此时水面的直径 由旋转，知BE=BC=6,所以AE=4. 为25dm ○山东程继舟 (3)锅盖不能正常盖 中心对称图形是一种优美的图形.在现实 D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 故填4. 上，理由略 生活中，中心对称图形无处不在，下面我们一起选项不合题意 三、求坐标 五、22. (1)S 去赏析与中心对称图形有关的几种题型， 故选C. 例3如图3，将直角 -2+3(0≤t≤2) 一、识别题 二、作图题 △AB0放置在平面直角坐 -2t+6(2<t≤3) 2)在≤1≤ 例1剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间 例2如图1，在4×4的正方形网格中，每 标系中，其中0为坐标原 艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分 点，点B在x轴正半轴上 时，△PBQ的面积不小于 刀)为工具进行创作的艺术.民间剪纸往往通过是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方 ∠BA0=90°，A0=2,将 cm2. 谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构形).若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这 △AB0绕点A逆时针旋转 23.(1)证明略 成美丽的图案.下列剪纸中，既是轴对称图形， 两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形既 60°得到△AB'O',此时点0的对应点O'恰好 (2)此抛物线的解析 又是中心对称图形的是 是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点 落在OB上，则点B'的坐标为 式为y=-5(x-2)2+5 正方形的作法共有 解析：如图3，连接B'B, 或y=5(x-2)2-5. 由旋转性质可知OA=O'A,AB=AB′，OB (3)第2025次翻滚后 =O'B',∠OAO'=∠BAB'=60°，∠BOA= 抛物线2的顶点P的对应 ∠B'O'A, 点坐标为(40515,3) 所以△AOO'是等边三角形，△BAB'是等 边三角形 所以∠A00'=∠A0'0=60°，0A=0'A D A.2种 B.3种 解析：A.不是轴对称图形，是中心对称图 C.4种 =OO'=2,BB'=AB=AB′，∠ABB′=60° D.5种 形，故A选项不合题意； 解析：根据轴对称图形和中心对称图形的 因为∠BA0=90°，所以∠AB0=30°， 意义，可以作图2.显然，这四个阴影正方形都可 所以0B=0'B=20A=4,∠0BB'=90 B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 选项不合题意； 以使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的 在Rt△AB0中，由勾股定理，得AB=25, C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故 图形既是轴对称图形，又是中心对称图形 所以BB'=25,所以点B'的坐标为(4,23). C选项符合题意； 故选C 故填(4,25) 2 素养专练 数理极 23.2.1中心对称 23.2.2中心对称图形 跟踪训练 屋础训练 垦础训练 1.下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中 1.如图1所示为太极图，所谓太极即是阐明宇 23.1图形的旋转 阴影部分两个三角形成中心对称的是 宙从无极而太极，以至万物化生的过程，下列对太 极图的描述中，正确的是（不考虑颜色） () 垦砂训练 1.如图1，将△ABC 区☒ A.是中心对称图形 B.是轴对称图形 绕点O按逆时针方向旋 C.既是轴对称图形，又是中心对称图形 转一定的角度得到 2.如图1，△ABC与△AB,C,关于点0成中 D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 △DEF,其中点A,B,C 心对称，下列结论不正确的是 的对应点分别是点D, A.OB =OB E,F.在旋转过程中，与∠AOB始终相等的是 B.AC =A C 0 020304 C.∠A0C=∠A0B A.∠FOE B.∠BOC D.∠BAC=∠B,AC 图1 图2 C.∠DOE D.∠AOE 2.如图2所示的中心对称图形中，对称中心 2.如图2，将该图按顺时针方向旋转90°后的 图形是 A.01 B.02 C.03 D.04 3.如图3，点A,B,C的坐标分别为(0，-1)， (0,2),(3,0).从下面四个点M(3,3),N(3, 图1 图2 -3),P(-3,0),Q(-3,1)中选择一个点，以A, 图2 3.如图2，已知△AOB与△DOC成中心对称， B,C与该点为顶点的四边形是中心对称图形的个 3.如图3，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一 △A0B的面积是12，AB=3,则△DOC中CD边上 数有 ( 平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转α得到 的高是 ( A.1个 B.2个 △AB'C',且CC∥AB,则a的度数为 A.4 B.6 C.8 D.12 C.3个 D.4个 A.20° B.35° C.40° D.55° 4.如图3，在平面直角坐标系中，若△ABC与 △4，B,C,关于E点成中心对称，则对称中心E点 的坐标是 C 图3 图4 图3 4.如图4，两张完全重合在一起的正三角形 4.如图4，在一个4×4的正方形网格中，若两 硬纸片，点0是它们的中心，若按住下面的纸片不 个阴影部分的三角形绕某点旋转一定的角度后能 图3 图4 动，将上面的纸片绕O顺时针旋转，设旋转角为 互相重合，则其旋转中心可能是图中的 5.如图4，已知AB=4,AC=1,∠D=90°，若 x(0°<<360°)，当a= 时，两张硬纸 5.如图5，在Rt△ABC中， △DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长 片所构成的图形为中心对称图形 ∠ACB=90°，∠ABC=30°，现将 5.如图5，口ABCD △ABC绕点A逆时针旋转30°得 能刀提高 的周长为32cm,点0是 到Rt△ADE,连接CD,则SD 的值 口ABCD的对称中心， AC 6.如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，0是 A0=5cm,点E,F分别 为 AB上一点，△DEF和△ABC关于点O成中心对 是AB,BC的中点，则 能力提高 称，连接AF,CD. △OEF的周长为 (1)求证：四边形ACDF是平行四边形； 6.如图6，点P是正方形ABCD内一点，AP= (2)已知AC=4,BC=3,求四边形ACDF是 能刀提高 1,BP=22,DP=√I0,△ADP绕点A顺时针旋 菱形时A0的长 6.请你在图6的3个网格（两相邻格点的距离 转得到△ABP',连接PP',延长AP与BC相交于点 均为1个单位长度)内，分别设计1个图案，要求： Q (1)在图6-①中所设计的图案是面积等于 (1)求线段PP'的长； 3的轴对称图形； (2)求∠BPQ的大小； (2)在图6-②中所设计的图案是面积等于 (3)求正方形ABCD的面积 2√3的中心对称图形： (3)在图6-③中所设计的图案既是轴对称 图形又是中心对称图形，并且面积等于3√3 将你设计的图案用铅笔涂黑。 3 图6 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.(10分)如图13，方格纸上每个小方格的 同 步 达 检测题（五 边长都是1，△ABC与△A,B,C,成中心对称 (1)画出将△A,B,C向上平移6个单位长度 得到的△AB2C2; (2)△A,B,C,绕点C2按顺时针方向至少旋转 【检测范围：23.1~23.2.2】 多少度，才能与△CC,C2重合？ (满分：120分)】 △ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连 (3)在△ABC下方找一点P,使以点A,B,C,P 接EF,过点A作EF的垂线，垂足为H,与BC交于 为顶点的四边形为中心对称图形，画出点P. 一、精心选一选（每小题4分，共32分 G.若BG=3,CG=2,则CE的长为 题号1 23 45 67 8 C.4 0.2 答案 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 1.如图1，△ABC绕点P逆时针旋转一定角度 9.如图7所示的图形是中心对称图形，O是它 得到△DEF,则与AB相等的线段是 )的对称中心，E,F是两个对称点，则点E,F到点O A.DF B.DE C.PE D.EF 的距离OE,OF的大小关系是：OE OF(填 图1 >”“=”或“<”) 网1 17.(10分)如图14，在正方形ABCD中，点E 2.许多数学符号蕴含对称美.下列数学符号 图7 为对角线AC上一动点（点E不与A,C重合），连接 为中心对称图形的是 I0.正六边形绕它的中心旋转后能与自身完：BE,过点E作EF⊥BE交直线CD于点F,将线段 A.≥B.= C.∵ D.. 全重合，则旋转角度至少为 度 BE绕点B顺时针旋转90°得到线段BG,连接GA, 3.下列运动中，不属于旋转的是 ( 11.如图8，四边形ABCD是菱形，O是它的对GC,GF. A.电风扇叶片的转动 称中心，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分 (1)求证：△ABE兰△CBG: B.酒店旋转门的转动 和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和 (2)试探究CE+CG与BC的数量关系，并说 C.钟摆的摆动 15时，阴影部分的面积为 明理由 D.热气球点火升空 12.如图9，Rt△COB的斜边在y轴正半轴上， 4.如图2，△ABC与△A'B'C'关于0成中心对0C=2,∠B0C=30°，直角顶点C在第二象限，将 称，下列说法不成立的是 Rt△COB绕原点顺时针旋转90°后得到 A.OC OC Rt△C,OB,则点C的对应点C:的坐标是 B.∠ABC=∠A'B'C C.CC'=BB' D.BC∥B'C 5.围棋起源于中国，古代称之为“弈”.如图3 是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再 放人一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形 为中心对称图形，则放入白子的位置可以是 图g 110 13.如图10，□ABC0与口A'B'C'0关于点0成 A.点M处 B.点N处 中心对称，∠BAO的平分线交BC于点D,若BD= C.点P处 D.点Q处 3,CD=2,则口A'B'C0的周长为 18.(10分)如图15，△ABC和△DEF关于点 14.如图11，等边△ABC的 0成中心对称 周长为12，D是BC边的中点，E (1)若AB=6,AC=5,BC=4,求△DEF的 为AC边上的一点，将线段DE 周长； 绕点E逆时针旋转60°，得到线 (2)连接AF,CD,试判断四边形ACDF的形 状，并说明理由. 图3 段EF,连接CP,若CF=7,则 6.如图4，将△ABC绕点A逆时针旋转a(0°<CE的长是 图11 a<I80°)得到△ADE,点B的对应点D恰好落在 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） BC边上.若DE⊥AC,∠CAD=25°，则∠BAC的度 15.(10分)如图12，△AGB与△CGD关于点 数是 ( G成中心对称，点E,F分别在GA,GC上，且AF= A.65 B.75° C.85° D.95 CE.求证：BF=DE. 7.如图5，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB= 60°，AC=4.作出△ABC关于点A成中心对称的 △AB'C',其中点B对应点为B',点C对应点为C 连接B'C,BC',则四边形CB'C'B的面积是( A.128 B.643C.64 D.323 D 图5 图6 8.如图6，点E在正方形ABCD的边CD上，将 (下转第4版)中考数学人教(GDY)第5~8期 教评柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY) 第5~8期 (2)证明：当y=0时，即x2-(m+2)x+2m-1=0,因 第5期2版 为4=[-(m+2)]2-4×1×(2m-1)=m2+4m+4-8m 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 +4=m2-4m+8=(m-2)2+4,(m-2)2≥0，所以(m- 基础训练1.C；2.D;3.<;4.①③④ 2)2+4>0,即△>0，所以不论m取何值，该抛物线与x轴总 5.(1)把M(-4,6)代入y=-x2+mx+6,解得m=-4, 有两个公共点。 所以y=-x2-4x+6=-(x+2)2+10,所以抛物线的顶点坐 22.3实际问题与二次函数（第一课时） 标为(-2,10). 基础训练1.B;2.15563.2. (2)由(1)知，y=-(x+2)2+10,抛物线开口向下，所以 能力提高4.(1)由题意，得y=250-10(x-25)= 当x=-2时，y有最大值10，当x=-4时，y=-（-4+2)2+ -10x+500. 10=6,当x=1时，y=-(1+2)2+10=1,所以当-4≤x 设销售核桃的日利润为w元，则0=(x-20)(-10x+500) ≤1时，y的取值范围是1≤y≤10. =-10(x-35)2+2250, 能力提高6.(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x 因为-10<0，二次函数图象开口向下， =名=2，将点(（3，宁)代人抛物线得”=9a+3动 所以当x=35时，0有最大值，10最大=2250. 4 答：日销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+ =2, 2a 1 500,销售核桃的最大日利润为2250元. 3,联立 解得 4’所以抛物线的表 {9a+3b-3=-15 (2)由题意，得-10x+500≥160，解得x≤34. 4 b=-1, 又因为x>25,所以25<x≤34， 达式为)子--3 所以w=(x-20-m)(-10x+500)=-10x2+(700+ 10m)x-10000-500m. (2)由(1)知，抛物线的表达式为)=子2-x-3,令y 因为抛物线的对称轴为直线x=一9七册=35+受 0,即子2--3=0，解得=-2=6，所以4(-2,0)， >35,-10<0, B(6,0). 所以当25<x≤34，w随x的增大而增大， 因为抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=2,所以当 所以当x=34时，0有最大值，且0最大=(34-20-m) 一2≤x≤6时，抛物线对应函数的值均不为正数.因为当-2≤ (-10×34+500)=2000,解得m=1.5. x≤9时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1，所以q 即当m为1.5时，可实现日销售量不少于160千克，且最大 >6. 日利润为2000元的目标. 将x=2代人y=子-x-3,得y=-4,即函数最小值 22.3实际问题与二次函数（第二课时） 基础训练1.C;2.2;3.20. 为-4，所以最大值为1-(-4)=5，令y=5,即子2-x-3 能力提高4.(1)由题意，得A(0,10),抛物线的顶点坐 标为(6,13)， =5,解得x=-4(舍去)或x=8,所以q的值为8. 22.2二次函数与一元二次方程 设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+13,将A(0,10)代 基础训练1.A;2.A;3.-1<x<0; 人，解得a=-2 4.k≤6且k≠2. 1 5.(1)抛物线的解析式为y=x2-4x+3. 所以图中水柱所在抛物线的函数表达式为y=一2(x 中考数学人教(GDY) 第5~8期 6)2+13. 190)由题点，得7=40-+2，+5》=-与(x+ 5 （2)对于抛物线=-立x-6P+B,令y=1,即-bx 子产+器因为-与<0，所以当>子时，7随：的增大 -6)2+13=1,解得x1=18,2=-6(舍去)， 所以此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离为18m 而减小. 因为3≤x≤8，所以当x=3时，T有最大值，T=32。 第5期3版 (2)由题意，得y=15x+5[40-x+2)x+5]=- 题号12345678 +8.x+190=202,解得x=2或x=6. 答案C D CBABAB 因为3≤x≤8，所以x=2舍去，所以该商场建造的隔热 二、9.1；10.4；11.-2；12.25；13.10； 层厚度为6cm时，总费用达到202万元. 14a>停或n=4 (3)由(2)得W=y+2x=-x2+8.x+190+2x=-(x- 5)2+215,所以对称轴为直线x=5. 三、15.(1)x<0或x>3. 因为-1<0，所以离对称轴越远，W越小，因为5-3<8 (2)因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点 -5,所以当x=8时，W有最小值，最小值为206， (-1,0),(3,0),所以方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1,3 所以当隔热层修建8cm时，该商场未来5年的相关规划费 =3. 用达到最小值206万元. 16.（1)二次函数的解析式为y=x2+2x-3. 20.(1)把y=0代入y=-x2+2mx+2m+1,解得x1= (2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4,由平移规律得平移后 -1,x2=2m+1. 函数的解析式为y=(x+2)2-1,所以顶点坐标为(-2，-1). 因为m>0,所以2m+1>0,所以x2>x1. 17.(1)由题意知，下部分矩形的长=10,9x=（5 2 因为点A在点B的左侧，所以点A的坐标为(-1,0)，点B 号)米，所以y=(5-是+)2=-72+10放关于 的坐标为(2m+1,0),所以0B=2m+1. 把x=0代人y=-x2+2mx+2m+1,得y=2m+1,所 x的函数表达式为y=-7x2+10x 以点C的坐标为(0,2m+1),所以OC=2m+1,所以OB=0C. (2)由(1)得，y=-7x2+10x=-7(x- 马)2+ 5 因为∠B0C=90°，所以∠0BC=45°.故填45. 7 因为5-号>0，解得x<9 (2②)由题易求得抛物线的对称轴为直线=一号=m,把 x=m代人y=-x2+2mx+2m+1,得y=m2+2m+1,所以 因为-7<0，所以当x=号时，y有最大值，最大值为汽， 点D(m,m2+2m+1). 所以当x=号时，透光面积最大，最大透光面积是苧平方 设直线BC的解析式为y=x+b,把B(2m+1,0),C(0, 米 2m+1)代人，得2m+1)k+6=0解得=1， 所以 l0+b=2m+1, lb=2m+1, 18.(1)由题意得A(0,1.6),设y与x的函数解析式为y= 直线BC的解析式为y=-x+2m+1. a(x-2+1.8,将40,1.6)代入，解得a=-0所以y= 把x=m代人，得y=m+1,所以点E(m,m+1),所以DE =m2+2m+1-m-1=m2+m 方-2户+18令y=0,即0=分x-2户+18，解得 因为h=0C-之0，所以h=2m+1-子(m2+m) x1=8,x2=-4(舍去)，所以0B=8米. (2)由题意及(1)可得A(0,1.6),B(8,0),将A,B代入抛 2+2+1=-m-+, 物线解析式，得6=c, 所以b=-8a-0.2 l0=64a+8b+c. 所以当m=子时，A有最大值，最大值为号 b 当m=-2a 0时，可得6=0，解得a=- 40当m= (3)点0'能落在抛物线y=-x2+2mx+2m+1的图象上. 因为E(m,m+1),A(-1,0),所以根据平移的性质可知， 6 2a =3时，解得a=-0 1 点0'的横坐标为-m-1,点0'的纵坐标为-m-1,即点 0'(-m-1,-m-1). 1 所以a的取值范围为-10<a<-40 当点0'在抛物线上时，则-(-m-1)2+2m×(-m-1) 2 中考数学人教(GDY) 第5~8期 +2m+1=-m-1,整理得3m2+m-1=0,解得m=-1 =1,所以二次函数的解析式为y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 6 所以顶点坐标为(1,2) 或m=-压+山（舍去）， (2)把B(2,a),C(5,b)代入二次函数解析式，得a=6- 6 3m,b=27-9m.因为a>b,所以6-3m>27-9m,解得m> 所以点0'能落在抛物线y=-x2+2mx+2m+1的图象 7 上，此时m=-1 子故填m>子 6 17.(1)证明：令x2-mx-3=-x,整理，得x2+(1-m)x 第5期4版 -3=0, 重点集训营 因为4=(1-m)2+12>0,所以该函数图象上一定存在 (1)因为二次函数y=x2-4x+c的图象与y轴的交点坐 两个“M点” 标为(0,5)，所以c=5,所以y=2-4x+5=(x-2)2+1, (2)设y=x2+(1-m)x-3,则1，x2是x2+（1-m)x 所以顶点M的坐标是(2,1) -3=0的解，所以函数y=x2+(1-m)x-3的图象与x轴相 (2)因为点A在x轴上，点B的坐标为(1,5)，所以点A的 交于点(x1,0),(x2,0) 坐标是(1,0). 因为该函数图象开口向上，且x,<1<x2,所以当x=1时 ①当t=2时，点D',A'的坐标分别是(2,0)，(3,0) y<0,即1+1-m-3<0,所以m>-1. 当x=3时，y=（3-2)2+1=2,即点Q的纵坐标是2， 18.以A为原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y 当x=2时，y=(2-2)2+1=1,即点P的纵坐标是1. 轴，建立平面直角坐标系 因为PG⊥A'B',所以点G的纵坐标是1，所以QG=2-1 设抛物线的表达式为y=ax2+bx. =1. 因为AB=2.6m,所以B(2.6,0) ②存在.理由：因为△PGQ的面积为1，PG=1,所以QG= 因为栏杆的长AB被12根柱子等分成13份，所以AE= 2.根据题意，得P,Q的坐标分别是(t,子-4t+5),(t+1,-2t 2.6÷13×4=0.8(m),所以C(0.8,0.36) +2) 将B(2.6,0),C(0.8,0.36)代入y=ax2+bx,得 如图1-①，当点G在点Q的上方时，则QG=t-4t+5 1 r2.62a+2.6b=0, 「a=- 4 -(-21+2)=3-2=2,此时4=之（在0<1<3的范 解得 l0.82a+0.8b=0.36, =易 围内)， 所以揽物线的表达式为)=一+品 因为常=02(m,当x=0,2时，y=012,所以左起第 根柱子涂色部分的高度为0.12m. 0 D'A' ① ③ 四、19.(1)①因为火箭第二级的引发点的高度为3.6km, 图1 如图1-②，当点G在点Q的下方时，则QG=-2t+2 所以抛物线)=am2+和直线y=-子+b均经过点(9， -(2-41+5)=21-3=2,此时6=多（在0<1<3的范 3.6), 国内)，所以1=子或 5 所以3.6=81a+9,3.6=-号×”9+6，解得a=-5b =6.6 第6期综合评估卷 所以函数解析式分别为y=方+=-子+66 题号12345678910 ②(D知y5+=古x-学+所以火 箭运行的最高点为5km, =11a<2:12.45:136≥-3：1452： 4 15.②③ 由题意，得号-1,35=24(m).则-方2+=24，解 三、16.(1)将点(2,3)代入y=2-2mx+m+2,解得m得x1=12(舍去)，x2=3. 一3 中考数学人教(GDY) 第5~8期 对于y=-了+66，当x=9时y=36>24, 径为2,5dm (3)锅盖不能正常盖上，理由如下： 1 所以当)=2.4时，即-3x+66=24,解得x=12.6 当x=1时，对于Gy=了×P-3=- 3 因为12.6-3=9.6(km), 1 所以这两个位置之间的距离为9.6km. 对于Gw-号×1P+1=8， 9· (2)当水平距离为18km时，由题意，得火箭第二级的引发 点为(9,81a+9), 因为号-(-号)=号+号-号<36，所以锅益不能 将(9,81a+9),(18,0)代人y=-子+6，得 正常盖上 五、22.(1)设AB=acm,当0≤t≤2时，PB=(a-t)cm, f81a+9=- 3×9+6, rb=6, BQ 2t cm, 解得{ 0=-号×18+6， 2所以-<a<0. 2 a=-27 所以5=分PBB0=a-02=-+at 20.(1)把A(-1,0)和C(0,-3)代入y=x2+mx+n, 因为抛物线经过点(2,2)，所以a=3,所以S=-2+3. 得1-m+n=0 解得m=-2, 因为AB=3cm,所以t≤3. ln=-3, ln=-3, 当2<t≤3时，PB=(3-t)cm,BC=4cm,所以S= 2PB·BC=2(3-)·4=-2t+6, 1 所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3. 令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,2=3,所以点 所以S= 「-t+3t(0≤t≤2)， B的坐标为(3,0) l-2t+6(2<t≤3) (2)设直线BC的解析式为y=kx+b. 把B(3,0),C(0,-3)代入y=x+b,得 k+b=0解 (2)在二次函数S=-f+3(0≤1≤2)中，当5=子时， b=-3, 即-2+3t= 得1， 子解得与=分=三（合去） lb=-3, 在-次函数S=-2:+6(2<1≤3)中，当S=子时，即 所以直线BC的解析式为y=x-3. 设P(a,a2-2a-3)(0<a<2),则Q(a+1,a2-4), -2+6=子，解得=号 81 M(a,a-3),N(a+1,a-2), 所以在方≤1≤号时，△PB0的面积不小于子em。 所以PM=-a2+3a,QW=-a2+a+2,所以PM+QW= -2a2+4a+2=-2(a-1)2+4. 23.(1)证明：因为∠BAC=90°，点D是BC的中点，所以 因为-2<0，所以当a=1时，PM+QW有最大值4，此时 AD BD CD -7BC. a+1=2,a2-4=-3,所以点Q的坐标为(2，-3) 因为抛物线以A为顶点，与x轴交于D,C两点， 21.(1)因为抛物线C1和C2都过点A(-3,0),B(3,0), 所以AD=AC,所以AD=AC=CD, 所以设C和C2的解析式分别为y=a1(x-3)(x+3),y 所以△ACD是等边三角形， =a2(x-3)(x+3). 所以以点A为顶点，且与x轴交于D,C两点的抛物线是正 因为抛物线C经过D(0,-3),所以将D(0,-3)代人y= 抛物线。 a(x-3)(x+3)中，解得a=分，则C的解析式为y=弓 (2)因为E(1,0)且EF=2,点F在x轴上，且点E在点F -3(-3≤x≤3) 的左边，所以F(3,0) 因为抛物线C2经过C(0,1),所以将C(0,1)代人y=a2(x 由题意得，经过x轴的两点E,F的抛物线为正抛物线， -3)(x+3)中，解得=-g则6的解析式为y=-号 设顶点为G,所以△EFG是等边三角形， 所以6==2,11=√2-下=5 +1(-3≤x≤3). 2 (2)对于C:y=弓-3，当炒菜锅里的水位高度为1dm ①当G(2,3)时，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+ 5,把点E(1,0)代入，得a+5=0,解得a=-√5，所以y= 时，y=-2,即宁-3=-2，解得x=士万，则此时水面的直 -5(x-2)2+5; -4 中考数学人教(GDY)第5~8期 ②当G(2,-√5)时，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2形ACDF是平行四边形. -5,把点E(1,0)代入，得a-5=0,解得a=5,所以y= (2)连接CF,因为△DEF和△ABC关于点O成中心对称， 3(x-2)2-5 四边形ACDF是平行四边形，所以F,O,C三点共线。 因为∠ACB=90°，AC=4,BC=3,所以AB=5. 综上所述，此抛物线的解析式为y=-5(x-2)2+5或 因为四边形ACDF是菱形，所以CF⊥AD, y=5(x-2)2-5. (3)抛物线y1=-x2+25x+9=-(x-√5)2+12，由平 因为分4CCB=分4B.C0,所以c0=号所以40= 移得抛物线乃2=-(x-√5)2+3， 16 所以P(5,3),M(0,0),N(25,0), 23.2.2中心对称图形 所以PM=MW=PN=25, 基础训练 1.A;2.B;3.C;460°或180°或300°； 所以△PMW是等边三角形， 5.13. 所以第1次翻滚后顶点对应坐标为P,(4√5,0)，第2次翻 能力提高 6.图略 滚后P2与P重合，第3次翻滚后顶点P的对应坐标为 第7期3版 P(75,3) 每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数能被3整除时，顶点 题号 1 2 345678 的纵坐标为3，横坐标为5+n×25=(2n+1)5, 因为2025÷3=675，所以(2×2025+1)×√3=4051W5, 二、9.=；10.60；11.30；12.(3,1)；13.16； 所以第2025次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为 14子 (40515,3) 三、15.证明：因为△AGB与△CGD关于点G成中心对称， 第7期2版 所以BG=DG,AG=CG. 因为AF=CE,所以AF-AG=CE-CG,所以EG=FG. 23.1图形的旋转 又因为∠DGE=∠BGF,所以△DGE≌△BGF,所以BF 基础训练1.C;2.B;3.C；4.点C;5.√5. DE 能力提高6.(1)线段PP'的长为2 16.(1)图略. (2)因为△APP'是等腰直角三角形，所以∠APP'=45° (2)△A2B2C2绕点C2按顺时针方向至少旋转90°，才能与 在△BPP'中，PP=2,PB=22,P'B=PD=√10， △CCC2重合. 因为(2)2+(22)2=（√10）2，所以PP2+PB= (3)图略。 P'B2, 17.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CB, 所以△BPP为直角三角形且∠P'PB=90°，所以∠BPQ ∠ABC=90°，所以∠ABE+∠EBC=90 =180°-∠APP'-∠P'PB=45°. 又由旋转得∠EBG=90°，BE=BG,所以LCBG+∠EBC (3)过B作BE⊥AQ,垂足为E, =90°， 因为∠BPQ=45°，所以∠PBE=90°-∠BPE=45= 所以∠ABE=∠CBG,所以△ABE≌△CBG. ∠BPE,所以PE=BE. (2)CE+CG=√2BC. 因为BP2=PE2+BE=(22)2,所以PE=BE=2, 理由：因为△ABE≌△CBG,所以AE=CG,所以CE+CG 所以AE=3,所以AB=√AE+BE=√3，所以 CE AE AC. S正方形ABCD=AB2=13. 因为四边形ABCD是正方形，所以AC=√2BC,所以CE+ 23.2.1中心对称 CG =2BC. 基础训练1.A;2.C:3.C:4.(3,-1)；5.25. 18.(1)因为△ABC和△DEF关于点O成中心对称，所以 能力提高6.(1)证明：因为△DEF和△ABC关于点O成 △ABC≌△DEF. 中心对称，所以△ABC≌△DEF, 所以DF=AC=5,DE=AB=6,EF=BC=4, 所以∠BAC=∠EDF,DF=AC,所以DF∥AC,所以四边 所以△DEF的周长为EF+DF+DE=15. 中考数学人教(GDY) 第5~8期 (2)四边形ACDF是平行四边形 第7期4版 理由：连接AD,CF,因为△ABC和△DEF关于点O成中心 对称，所以AD与CF交于点O, 重点集训营 所以OA=OD,OC=OF,所以四边形ACDF为平行四边 1.(1)如图3，△A1BO1即为所作. 形 (2)如图3，点C1即为所作 19.(1)∠ABD的度数为45° (2)证明：由题意知∠BAC=∠DAE, 因为∠BAD=90°，AB=AD,∠ABD=45°，F是BD的中 B 点，所以∠BAF=∠DAF=45 因为∠AGF=∠ABD+∠BAC=45°+∠BAC,∠EAF= ∠DAF+∠DAE=45°+∠DAE,所以∠AGF=∠EAF 图3 图4 (3)证明：因为将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 2.(1)如图4，△A1BC1即为所求. Rt△ADE. (2)如图4，△A2B2C2即为所求.旋转中心点M的坐标为 所以AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，所以 (1,0) ∠ABG=∠ACE=45°. 因为∠AGB=∠CGF,所以∠BAC=∠CFB. 第8期2版 设AD,EF交于M,因为∠AEC=∠ADB=45°，∠AME= 23.2.3关于原点对称的点的坐标 ∠DMF,所以∠DAE=∠DFE. 基础训练1.D;2.B;3.D;4.-2;5.(2,-2); 因为∠BAC=∠DAE,所以∠CFB=∠DFE. 6.A(-1,2),B(-3,-2). 因为∠BFD=∠BFA+∠AFE+∠DFE=∠BFC+ 7.(1)图略.由坐标系可得，A1(-1,-4),B(1,-3), ∠AFB+∠AFE=180°， C1(-3,-2). 所以F,C,E三点在同一直线上 20.(1)BD=CE,BD⊥CE. (2)由勾股定理得，0A=√+4平=√/7，所以A4= (2)2AD2=BD2+CD2. 20A=217, 证明：因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD=∠CAE. 所以关于原点对称的A点和A,点之间的距离为2√7. 因为AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE, 能力提高8.(1)点P关于原点的对称点P'的坐标为(2， 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°， 1) 所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，所以DE2=CE2+ (2)因为P'(2,1),所以0P'=5. CD. 当T0=P'0=5时，△P'T0是等腰三角形，所以点 因为AD=AE,∠DAE=90°，所以DE=√2AD,所以2AD BD2 CD2. T(-5,0)或T(5,0),所以t=-5或t=5; (3)如图2，将AF绕点A逆时针旋转 G 当70=P时，F=(2-)2+1,解得1=子： 90°至AG,连接CG,FG, 当TP'=P'0=5时，5=(t-2)2+1,解得t=0(舍去) 则△FAG是等腰直角三角形，所以 或t=4. ∠AFG=45° 因为∠AFC=45°，所以∠GFC= 综上所述，符合条件的的值为-5，子，5,4 90° 图2 23.3课题学习图案设计 同理得△BAF≌△CAG,所以CG=BF=13. 基础训练1.D;2.C；3.③④； 在Rt△CGF中，因为CF=5,所以FG=12. 4.将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度； 因为△FAG是等腰直角三角形，所以AF2+AG=FG, 5.6 所以2AF2=144,所以AF=62. 6.如图5所示（答案不惟一） 6 中考数学人教(GDY)第5~8期 以DE=HF 因为M为AG的中点，所以AM=GM. 因为∠H=∠GCM,∠AMH=∠GMC,所以△AHM≌ △GCM,所以HM=CM. ① 图5 ② 因为CE=CF,所以FM+DE=FM+HF=HM=CM= CF-FM=CE-FM,所以2FM+DE=CE. 第8期3,4版综合评估卷 21.答案不惟一，如图6所示 、 题号12345678910 答案CC D CABC A B C 二、11.-2；12.60°；13.2<B'C'<4;14.1; 15.1+5. 三、16.(1)图略.A'(0,-6) (2)图略，D'(3,-5). 图6 17.略. 五、22.（1)对于y=2x+2,当x=0时，y=2,所以0K= 18.(1)AE的长为3. 2;当y=0时，x=-1,所以01=1. (2)因为∠C=110°，∠BAC=40°，所以∠ABC=30°. 如图7，点A为点J关于点K的顺时针“垂链点”，过点A作 因为将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE,所以∠DBE AB⊥y轴，由题易证得，△ABK兰△KOJ,所以AB=OK=2, =∠ABC=30°. BK=OJ=1,所以OB=3, 因为BD∥AC,所以∠DBC+∠C=180°，所以∠DBC= 所以点J关于点K的顺时针“垂链点”的坐标为(-2,3) 70°，所以∠ABE=10°. B7--C 四、19.(1)图略，C点坐标为(2，-2)，D点坐标为(-2， B/y=2x+2 D y=3x+2 -5). T/y=3x+2 4 (2)若点C在x轴上，设0C=h,由勾股定理，得3+42+ 0 0 3+=(4+)2,解得A=号，所以C(},0).因为线段cD D:IRO 图7 图8 图9 (2)对于y=3x+2,当x=0时，y=2,所以0Q=2;当 4+4三-。，所以】 与AB关于点P成中心对称，所以2 y=0时，=-子，所以0R=子设点C为点Q关于点P的 2 Pr-子0).同理，若D点在)轴上，可得P0,名 “垂链点” 综上，当C,D两点中有一点在坐标轴上时，P点坐标为 当逆时针旋转时，如图8，点P(-2,m)所在的竖直直线为 (-令0)或0.-名 L,作CB⊥1于点B,作QA⊥I于点A, 因为P点坐标为(-2，m),所以AQ=2,AP=m-2. 20.(1)证明：因为△ABC为等边三角形，所以AC=BC, 由题易证得，△PAQ兰△CBP,所以BP=AQ=2,BC= ∠ACB=60° AP m -2. 因为线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,所以CE 所以BD=m+2,所以C(m-4,m+2). =CF,∠ECF=60°， 因为点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线y=3x+2 所以∠BCE=∠ACF,所以△BCE≌△ACF,所以BE= 上，所以m+2=3(m-4)+2, AF. 所以m=6,所以C(2,8); (2)2FM DE CE. 当顺时针旋转时，如图9，点P(-2,m)所在的竖直直线为 证明：过点A作AH∥BC,交CF的延长线于点H,所以 l,作CB⊥1于B,作QA⊥I于A, ∠HAC=∠ACB=60°，∠H=∠GCM,所以∠HAC=∠ACB 因为P点坐标为(-2，m),所以AQ=2,AP=2-m =∠ABC 由题易证得，△PAQ≌△CBP,所以BP=AQ=2,BC= 因为BC=AC,∠BCE=∠ACF,所以△CBD≌△CAH,所 AP =2-m, 以CD=CH,由(I)得CE=CF,所以CD-CE=CH-CF,所 所以BD=2-m,所以C(-m,m-2) 7 中考数学人教(GDY)第5~8期 因为点Q关于点P的“垂链点”刚好落在直线y=3x+2: 证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°，此时AD与AB重 上，所以m-2=-3m+2, 合，点F转到点G,在AG上取AH=AN,连接HM,HB,所以 所以m=1,所以C(-1,-1) ∠BAG=∠DAF 综上可知，点Q关于点P的“垂链点”的坐标为(-1，-1) 又因为AH=AN,AB=AD,所以△ABH≌△ADN,所以 或(2,8) DN=BH,∠ABH=∠ADN 23.(1)EF AE +CF. 因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以∠ABD= (2)CW2+AM2=MW2. ∠ADB=30°，∠BAD=120°， 证明：在正方形ABCD中，AD=CD,∠ADC=90°， 所以∠HBD=∠ABH+∠ABD=60° 将△ADM绕着点D逆时针旋转90°，得到△CDP,连接 因为∠DAF=15°，∠EAF=60°，所以∠BAG=∠DAF= PV,则△ADM≌△CDP, 15,∠BAE=∠BAD-∠DAF-∠EAF=45. 所以∠ADM=∠CDP,AM=CP,DM=DP,∠DAM= 因为∠GAE=∠BAG+∠BAE=60°，所以∠GAE= ∠DCP=45°=∠DCN, ∠EAF=60. 所以∠PCN=∠DCP+∠DCN=90°. 因为AM=AM,所以△AMH≌△AMN,所以MH=MN, 又因为∠EDF=45°，所以∠PDW=∠CDP+∠CDN= ∠AMH=∠AMD ∠ADM+∠CDN=90°-∠EDF=45°=∠MDN. 因为∠ADB=30°，∠DAM=∠DAF+∠EAF=75°，所以 因为DN=DN,所以△PDN兰△MDN,所以PN=MN ∠AMD=75°， 因为∠PCN=90°，所以CN2+CP2=PW2,即CWN2+AM 所以∠AMH=∠AMD=75°，所以∠HMB=180°- =MN2. ∠AMD-∠AMH=30°，所以∠BHM=90°， (3)PN2 MN2 BM2. 所以BF+MH=BMP,所以DN2+MN2=BM. 一8一