第2期 21.2.3 因式分解法-21.3 实际问题与一元二次方程-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第1~6期 发理括 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY) 第1~6期 3)2>0且m≠0，所以m≠3且m≠0，所以m的取值范围是 第1期2版 m≠3且m≠0. 21.1一元二次方程 (2)证明：因为4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m 基础训练1.C;2.A;3.C; -3)=(m-3)2≥0， 4.12;5.(12-x)(8-x)=77;6.x=1. 所以x=-b±B-4ae_3(m-1)±(m-3) 7.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0,整理，得 2a 2m 2x2+(b-4)x+2-b+c=2x2-3x-1=0,所以b-4=-3, 所以x=3m-3+m-3=2m-3=2-3 2m ,x2三 m 2-b+c=-1,解得b=1,c=-2. 3m-3-m+3=1, 4 2m 8.(1)因为 =ad-bc,所以 =2×3 d 3 所以无论m为何值，方程总有一个固定的根是1. 4×(-1)=10. 第1期3版 (2)因为 =0,所以x(x+2)-m(1-x)= 1-xx+2 题号12345678 0.又因为方程的一个根为2，所以2×(2+2)-m(1-2)=0, 解得m=-8. 二、9.m≥0；10.x2-3x-4=0:11.-2; 21.2.1配方法 12.-3+7 4；13.0:14.6或10或12. 基础训练1.D;2.A;3.B; 4.3;5.x1=32=-2. 三、15.(1)x1=1,x2=-7; 6.(1)x1=-1+2,x2=-1-2; (2x=3，匝=3，而 2 2 (2)x1=2+5,2=2-5; (3)x1=5+5,2=5-5. (3)x1=1+5,2=1-5. 16.(1)根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25-25+7=(x 出现了错误故填一 +5)2-18,所以代数式x2+10x+7的最小值是-18. (2)正确解答过程如下： 21.2.2公式法 2x2-8x+3=0, 基础训练1.B;2.A;3.D; 系数化为1，得父-4+子0， 4-7.4-7.6,5四 配方，得(x-22=各 6=34D3-厄 4 解得x=4±0 2 23 (2)x1=3+5。 2； 所以名：4D=4,四 2 (3x=3，匝=3，回 17.(1)证明：因为4=[-(k+4)]2-4×1×4k=(k- 2 2 4)2≥0，所以该方程总有两个实数根。 能力提高7.(1)4=b2-4ac=[-3(m-1)]2-4m(2m -3)=(m-3)2,因为方程有两个不相等的实数根，所以(m- (2)根据求根公式得x=k+4)±k-④ 2 中考数学人教(GDY) 第1~6期 (k+4)±(k=4),所以1=4，西=k 2 (4)1=5+ 2 2,5=5- 2； 因为该方程有一个根小于1，所以k<1. (5)x1=4,x2=10: 18.(1)将x=1代入原方程得(a-1)-2+a2+1=0, (6)x1=√6+√T,x2=6-T. 整理，得a2+a-2=0,解得a1=1,a2=-2. 2.(1)k的取值范围为k≤5. 因为a-1≠0，所以a≠1，所以a的值为-2. (2)k1=3-5,k2=3+5 (2)将a=-2代入方程得-32-2x+5=0,即2+子 第2期2版 21.2.3因式分解法 配方，得(x+宁2=台开方，得+号=± 3 基础训练A;2.:3.B;4-分；5-3 所以方程的解为=1，=一号 6.(1)x1=x2=2; (2)x1=3,x2=-1; 19.(1)根据定义，得x2+2x-8=0的“倒序方程”为 -8x2+2x+1=0. (3)=名-分 (2)x2+2x-8=0,移项，得x2+2x=8, 能力提高7.(1)原方程的根为x1=-2,x2=1. 配方，得2+2x+1=8+1,即(x+1)2=9, (2)设3+2=y,原方程可化为y+2-3=0, y 解得x+1=±3，所以x1=2,x2=-4. 由(1)知，x2+2x-8=0的“倒序方程”为-8x2+2x+1 即y2-3y+2=0,解得y1=1,y2=2. =0. 当y=1时，x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的解； 这里a=-8,b=2,c=1. 当y=2时，3+2=2，解得x=-2,经检验是原方程的解 因为b2-4ac=22-4×(-8)×1=36, 解得=没爵：总兰 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. -16 ·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 所以名=分=子 基础训练1.B;2.C;3.10. 4.(1)因为2,3是方程x2+px+q=0的两根， 20.(1)(x+2)(x+6)=5, 所以[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, 所以2+3=-卡=-p,2×3=q, 所以(x+4)2-22=5, 所以p=-5,9=6. 所以(x+4)2=2+5,所以(x+4)2=9. (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ 两边直接开平方得x+4=±3，解得x1=-1,x2=-7, 5n-3=0, 所以a,b,m,n表示的数分别是4,2-1，-7. 所以m≠0，n≠0，m,n可看作方程x2+5x-3=0的两 故填4,2，-1，-7. 根，所以m+n=-5,mn=-3, (2)(x-3)(x+1)=5, 所以m+及= =（m+n)2-2mn n 所以[(x-1)+2][(x-1)-2]=5, m n mn 所以(x-1)2-22=5,所以(x-1)2=22+5=9. 二5》--》。-号即受+只的值为-号 -3 n 两边直接开平方得x-1=±3，解得x1=4,2=-2. 21,3实际问题与一元二次方程（第一课时） 第1期4版 基础训练1.B;2.B；3.12;4.6. 5.(1)由题意可得现在平均每天售卖(24+2x)盆，每盆盈 重点集训营 利为(90-60-x)元，即(30-x)元. 1 1.(1)x1=1,2=3 所以得(24+2x)(30-x)=784,解得x1=2,x2=16. (2)x1=1,西=-2； 3 答：当x为2元或16元时，平均每天的盈利为784元. (3)不能实现，理由如下： (3)无实数解； 由题可得(24+2x)(30-x)=900, 中考数学人教(GDY) 第1~6期 整理得x2-18x+90=0. 所以(2x-1)(2x-3)=0,解得新=方出=子 3 因为4=(-18)2-4×1×90=-36<0， 3 所以原方程无解，所以该销售商的这种想法不能实现 因为药=2=+1， 21.3实际问题与一元二次方程（第二课时） 所以方程4x2-8x+3=0是“连根方程”. 基础训练1.C;2.C;3.4;4.5. (2)因为x2+(2m-3)x-6m=0, 5)号 所以(x-3)(x+2m)=0,解得x1=3,x2=-2m. (2)由题意得BQ=4tcm,AP=2tcm, 因为x2+(2m-3)x-6m=0是“连根方程”， 因为AB=10cm,所以PB=AB-AP=(10-2t)cm. 所以x1=x32+1或1=32-1，即3=-2m+1或3= -2m-1, 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°. 所以m=-1或m=-2. 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PQ=PB+BQ,所以(10 19.(1)2,4 -2t)2+(4t)2=102, (2)①x1=-1,x2=6. 解得t1=0(舍去)，2=2， 所以当t=2时，PQ的长度等于10cm. ②解x2-9x+20=0,得x1=4,2=5.由三角形的三边 关系可知x=5,所以AB=AC=5.过点A作AD⊥BC于点D, (3)不存在.理由如下： 由题意得7(10-20)·4=28， 则BD=之BC=4,在R△ABD中，AD=√AB-BD=3,所 整理得2-5t+7=0, 以等腰三角形ABC的面积=BC·AD=12 所以4=(-5)2-4×1×7=-3<0， 20.(1)过点Q作QE⊥AB于点E, 所以该方程无解， 所以BE=CQ=tcm,AP=tcm,则PE=(8-2t)cm.在 所以不存在t的值，使得△PBQ的面积等于28cm2. Rt△PQE中，由勾股定理可得(8-2t)2+32=52, 第2期3版 解得t=2或t=6,即P,Q两点从出发开始到2或6秒时， 点P和点Q间的距离是5cm 题号12345678 (2)连接PD,当点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形时， 答案DA DBDCBA 分三种情况： 二、9.0；10.-5；11.-4或3；12.1；13.9； ①当PD=PQ时，过点P作PF⊥CD于点F,如图1所示， 14.√2. 所以DF=QF 三、15.(1)x1=7,x2=1 因为AP=CQ=tcm,所以DF=AP=tcm,即CD=DF (2)x1=-5,x2=4; +FQ+CQ=3t=8, (3)x1=-4,x2=1. 解得1=号即当P,Q两点从出发开始到号砂时，点P,.0, 16.因为关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1, D组成的三角形是等腰三角形； x2两个实数根， 所以x+x2=6,x1x2=2m-1. 因为1=1，所以1+2=6，所以x2=5, 所以2m-1=1×5=5,解得m=3. Q 17.(1)设该校八年级共有x个班， 1 图1 图2 根据题意，得2x(x-1)=45, ②当QP=QD时，过点P作PF⊥CD于点F,如图2所示， 解得x1=10,x2=-9(舍去). 因为AP=CQ=tcm,所以QP=QD=CD-CQ=(8- 答：该校八年级共有10个班. 1)cm,DF AP =t cm, (2)设小奉同学所在的班级胜了y场，则负了(9-y)场， 所以QF=CD-CQ-DF=(8-2t)cm. 根据题意，得2y+(9-y)≥14，解得y≥5. 在Rt△PQF中，由勾股定理可得(8-2t)2+32=(8-t)2, 答：小奉同学所在的班级至少要取得5场胜利， 18.(1）因为4x2-8x+3=0, 解得t=16±图=8±团，即当P,0两点从出发开 6 3 3 中考数学人教(GDY) 第1~6期 始到8-37或8+7秒时，点P,0,D组成的三角形是等腰 18.(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 3 3 根据题意，得2(1+x)+2(1+x)x=288, 三角形； 整理，得(1+x)2=144,解得x1=11,x2=-13(舍去) ③当DP=DQ时，过点P作PF⊥CD于 A 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑 点F,如图3所示， (2)由题意可知，288×(1+11)=3456（台）. 因为AP=CQ=tcm,所以DP=QD= 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台. CD -CO =(8-t)cm. 四、19.(1)解方程x2=2x得1=0，x2=2. 在Rt△ADP中，由勾股定理可得：+9=B 因为x1≤2，所以P(0,2): 图3 (像-，解得1=亮即当P,0丙点从出发开 (2)设方程x2-(k+1)x+k=0的两根为1和x2(x1≤ x2),则P(x1,x2) 始到瓷秒时，点PQ,D组成的三角形是等腰三角形 因为点P在直线y=-x上， 综上所述，当P.0两点从出发开始到-或弩或名 所以x1+x2=0,即k+1=0,解得k=-1 3 20.(1)△ABC是等腰三角形.理由：因为x=-1是方程的 或8+37秒时，点P,Q,D组成的三角形是等腰三角形. 根，所以a+c-2b+a-c=0,所以a-b=0,所以a=b, 3 所以△ABC是等腰三角形. 第2期4版 (2)△ABC是直角三角形.理由： 因为方程有两个相等的实数根，所以(2b)2-4(a+c)(a 重点集训营 c)=0,所以42-4a2+4e2=0, 1.A;2.D;3.2;4.19. 所以a2=b2+c2,所以△ABC是直角三角形. 5.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, (3)因为△ABC是等边三角形，所以(a+c)x2+2bx+(a 将点(25,70)，(35,50)代入得 70=25k+b, -c）=0可整理为2a.x2+2ax=0, 50=35k+b, 所以x2+x=0,解得x1=0,x2=-1. 解得-2， 21.(1)设每件商品的售价为x元，则每件的利润为(x- b=120. 40)元，销售量为200-10(x-50)=(700-10x)件， 所以y与x之间的函数关系式为y=-2x+120. 依题意，得(x-40)(700-10x)=2250,整理，得x2-110x (2)由题意得(-2x+120)(x-20)=600, +3025=0,解得x1=x3=55. 整理，得x2-80x+1500=0, 答：每件商品的售价为55元 解得x1=30,x2=50. (2)涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 因为商场规定这种商品每件售价不得高于40元， 2500元.理由如下： 所以x=30, 设每件商品的售价为y元，则每件的利润为(y-40)元，销 所以商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为 售量为200-10(y-50)=(700-10y)件， 30元. 依题意，得(y-40)(700-10y）=2500,整理，得y2-110y 第3期综合评估卷 +3050=0. 因为4=(-110)2-4×1×3050=-100<0，所以方 题号123456789 10 程无实数根， 所以涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到 二、11.3；12.0（答案不惟一，k≥0即可）；13.5； 2500元. 14.√34或4；15.4或-2. 五、22(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” 三、16x1=-3,x3=1. (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0,所以x=m或x= 17.因为关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个相 -1.因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 等的实数根， 程”，所以m=-1+1或m=-1-1,所以m=0或-2. 所以△=（-4)2-4a×2=0,解得a=2, (3)由题可得4=b2-4a×1=62-4a≥0，所以解方程 此时x=二，4)去面=1，即1=为=1 得x=二b±公二40因为关于x的方程ar2+b加+1=0(a, 2×2 2a 4 中考数学人教(GDY) 第1~6期 b是常数，a>0)是“差1方程"，所以二b+YF=40 5.m≥3；6.3≤y<11;7.8. 2a 8.(1)b的值为-8. =b--40=1,所以6=d2+4a.因为t=10a-,所 (2)小明的说法正确.理由如下： 2a 由题知二次函数y=-2(x-2a)2+3-a的顶点坐标为 以t=6a-a2=-（a-3)2+9≤9，所以t的最大值为9. (2a,3-a), 23.(1)(4a2-200a+2400). 3 将x=2a代人y=之+3中，得y=3-a,所以顶点坐 (2)由题意得60×40-(4a2-200a+2400)= 8 ×60 ×40,解得a1=5,a2=45(舍去). 标(2a,3-a)在直线)=-子x+3上，所以小明说法正确 答：此时通道的宽为5米. 能力提高9.(1)m=1,C(-1,0) (3)当a=10时，花圃面积为800平方米，所以花圃面积最 (2)在该二次函数的对称轴上，存在点Q,使得以A,C,Q 少为800平方米. 为顶点的三角形是等腰三角形. 根据图象可设y1=mx,3=kx+b,将点(1200,48000)代 由(1)知顶点坐标为C(-1,0),对称轴为直线x=-1, 入y1得1200m=48000,解得m=40,所以y=40x.将点(800， 过点A作AE⊥CD于点E,连接AC,在Rt△ACE中，由勾股 480).120,6200)代人为得s+6:4800,解得 定理，得AC=√AE+CE=25. L1200k+b=62000, ①当AQ=CQ时，设CQ=m,在Rt△AQE中，由勾股定 「k=35, 理，得AE2+EQ2=AQ2,所以22+(4-m)2=m2,解得m= 所以y2=35x+20000.因为花圃面积为4a2- 1L6=20000, 3,所以Q(-1,》: 200a+2400,所以通道面积为2400-(4a2-200a+2400) =-4a2+200a,所以35(4a2-200a+2400)+20000+ ②当AC=AQ时，根据等腰三角形的性质，得CE=QE= 4,所以CQ=2CE=8,所以Q(-1,8); 40(-4a2+200a)=105920,解得a1=2,a2=48(舍去). 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为 ③当CA=CQ=25时，可得Q的坐标为(-1,25)或 105920元， (-1,-25). 第4期2版 综上所述，点Q的坐标为(-1，吾)或(-1,8)或(-1， 25)或(-1，-25). 22.1.1二次函数 基础训练1.A;2.A;3.D;4.0:5.2025; 第4期3版 6.>；7.四. 8.(1)S=2[x2+2x(x+0.5)]=6x2+2x. 题号1 2345678 答案A ADACDBB (2)y=5S=30x2+10x. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 二、9.y=-2x2+3x-1；10.y=-(x-4)2；11.10; 基础训练1.D;2.A;3.A；4.-18<y≤0；5.4； 12.2(答案不惟-)：13.10；14.a>2或0<a<4 6.a>b>d>c;7.3. 三、15.(1)m的值为2或-3. 能力提高8.（1)a=1,B(2,4). (2)当m+2>0,即m>-2时，抛物线有最低点，故当m (2)因为A(-2,4),B(2,4),所以AB=4, =2时，抛物线的解析式为y=4x2+1,此时该抛物线的最低点 因为AB∥x轴，所以Sam=方AB小-41=方× 即顶点坐标为(0,1) 41yp-41=2,解得yp=3或yp=5. 16.(1)因为抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x= -2,所以h=-2 在y=x2中，当y=3时，解得x=±√5， 即抛物线的解析式为y=a(x+2)2。 当y=5时，解得x=±5， 所以点P的坐标为(-5,3)或(5,3)或(-5,5)或 将(1，-3)代人y=a(x+2)2中，解得a=-弓，所以地 (5,5) 物线的解析式为y=-3(x+2)只 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 基础训练1.A;2.B;3.B4.y=(x+1)2-2; (2)由(1)得抛物线解析式为y=- (x+22, 5 中考数学人教(GDY) 第1~6期 因为-弓<0，所以抛物线开口向下， 19.(1)令y=0,则(x+4)2=0,解得1=x2=-4, 所以点A(-4,0) 所以当x>-2时，y随x的增大而减小. 令x=0,则y=(0+4)2=16, 17.(1)把点B(-2,4)代入二次函数y=ax2,得a=1,所 所以点B(0,16). 以二次函数的解析式为y=x2 (2)在对称轴上存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边 将点A(1,m)代入y=x2中，得m=1, 形为平行四边形. 把点A(1,1),B(-2,4)代入一次函数y=kx+b,得 因为点P在对称轴上，所以AP=OB=16,①若点P在点 [h +b=1, 解得1， A的上方，易求得点P的坐标为(-4,16)； 1-2k+b=4,1b=2, ②若点P在点A的下方，易求得点P的坐标为(-4， 所以一次函数的解析式y=-x+2. -16). (2)设一次函数与y轴交于点C, 综上所述，当点P的坐标为(-4,16)或(-4，-16)时，以 在y=-x+2中，令x=0,得y=2, P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形. 所以C(0,2), 20.(1)-1. 所以Saw=Sam+5a=7×2x1+7x2×2=3 (2)抛物线y=-7(x-1)2+的顶点A的坐标为(1， 18.(1)由题意可设A(a,2a),则B(-a,2a), 因为点A在抛物线y=2x上， ),由题易求得点D的坐标为（女+1，）将点D的坐标代 所以2a=2a2,解得a=1或a=0(舍去)，所以A(1,2). 人y=-x-+6,得片=宁（宁+1-1P+6解得 1 (2)由(1)易得B(-1,2),D(1,0) 设直线BD的解析式为y=kx+b, k=4或k=0(舍去).故填4. 将B(-1,2),D(1,0)代入，得+6=2 (3)抛物线y=a(x-h)2+k的顶点A的坐标为(h,k),由 k+b=0, 题得点D的坐标为(+h,), 解得=-1， Lb=1, 将点D的坐标代人y=a(x-h)2+,得宁=a(受+h- 所以直线BD的解析式为y=-x+L. h)2+k,解得ah=-2. 联立=x+1 「x= 2 第4期4版 或 ly =2x, 解得-1， y=2 重点集训营 所以点P的坐标为宁，。 题型一：l.A;2.点M;题型二：l.B;2.D. —64 素养·拓展 数理极 专题辅导 元二次方程应用题 面面观 辅助线 周周练 ⊙四川季清林 一、传播问题 25% 1.如图1，直线1交正方形ABCD的对边 例1化学课代表在老师的培训下，学会了 (2)设当农产品每袋降价m元时，这种农产 AD,BC于点P,Q,正方形ABCD和正方形 高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，品在十月份可获利4250元 EFGH组成的图形关于直线l成轴对称，点H在 第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课 根据题意，得(40-25-m)(400+5m)=4250,1 CD边上，点A在边EF上，BC,HG交于点M, 会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多 AB,FG交于点N.若CD=5,DH=2,则△GQM 解得m1=5,m2=-70(舍去). 的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了， 的周长为 答：当农产品每袋降价5元时，这种农产品 H 问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 在十月份可获利4250元 解：设一个人每节课手把手教会了x名同学， 三、面积问题 根据题意，得(1+x)2=49, 例3有一个长、 解得x1=6,x2=-8(舍去) 宽分别为20m和12m 答：一个人每节课手把手教会了6名同学. 图1 2 的矩形水池ABCD,某 二、营销问题 2.如图2，在矩形ABCD中，AB=8,BC= 旅游景点要在水池中B 12,点F在线段AB上，AF=5,点E在线段AD 例2某网店于今年六月底收购一批农产 建一个与矩形的边互 品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅相平行的正方形观赏亭和连接观赏亭的四条道 上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边 销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与AB 上的点G处，点H在线段CD上，将矩形沿GH折 叠，点C恰好落在线段EG上的点M处，则点M 月份的销售量达到400袋. 平行，另两条与BC平行.已知道路的宽为正方 到线段DC的距离为 (1)求七月到九月销售量的月平均增长率； (2)该网店十月降价促销，经调查发现，若形边长的4，若道路与观赏亭的面积之和是原 口怕WW葛+￥匣诳三野g智‘W上 该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当 OTNN动Wg‘斗阴03R米￥厘 农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月 矩形水池面积的，则道路的完为 m. 张典三出唑‘0⊥H9卒Ob=OH= 份可获利4250元（农产品进价每袋25元，原售 解：设道路的宽为xm. WH=Ha用联‘HQ☒VH云HN☒V1H回 价为每袋40元)？ 因为道路的宽为正方形边长的}，所以正 H‘Ha瓣录‘乙=a0=Wa恬斗明Na‘aQ 解：(1)设七月到九月销售量的月平均增长 甲米‘QvTd09学平‘斗明9a34R￥ 率为x, 方形边长为4xm 由题意，得256(1+x)2=400」 根据题意，得x(12-4x)+x(20-4x)+ 沙赶率福哗曼4群【出群】，引之 9 =16=6×20×12. 口旧号拂/里世‘￥用业￥斗 解得x=↓ =0.25,x7=- 4 9W097琳‘80=O0看口必群‘y -2.25(舍去) 解得x1=1,x2=-5(舍去) =Na'Hy=HaE‘WgvVd云WyVVnd +答：上月到九月销售量的月平均增长率为 所以道路的宽为1m.故填1. HXVVId云HQVV1H伯1‘WV‘HW每 十…十十”十十十十…十十十…十十十…十十“十…十十“十十十 y学⊥OHTW助V学g【些群】￡I 那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石 榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得 重点集圳喜 第1期2版参考答案 到10个石榴，则这群人共有 人 21.1一元二次方程 5.某商场以每件20元的价格购进一种商 基础训练1.C;2.A;3.C; 品，经市场调查发现该商品每天的销售量y(件) 4.12;5.(12-x)(8-x)=77;6.x=1. 1.为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两 7.b=1,c=-2. 与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，其 8.(1)10.(2)m=-8. 次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台， 图象如图2所示 21.2.1配方法 则平均每次降价的百分率为 ( (1)求y与x之间的函数关系式： 基础训练1.D;2.A;3.B; A.20%B.36%C.18%D.24% (2)该商场规定这种商品每件售价不得高 4.3:5.1=x9=-2. 2.在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如 于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品 6.(1)x1=-1+万，x2=-1-万； 果一共碰杯66次，则参加聚餐的人数为() 的售价应定为多少元？ (2)x1=2+5,x2=2-5: A.9人B.10人 C.11人D.12人 ↑y(件) (3)x1=1+5,2=1-5. 3.如图1，学校生 70-- 能力提高7.x2+10x+7=x2+10x+25-25+7=(x +5)2-18,所以代数式x2+10x+7的最小值是-18. 物小组的试验园地是 21.2.2公式法 一块长36m、宽22m 基础训练1.B;2.A;3.D: 的矩形，为便于管理， 2535x(元) 4名=7+6 专5a-76,四 现要在中间开辟两横 图1 图2 一纵共三条等宽的小道.若要使种植面积为 6.1)1=34匝=3，五 4 4 612m2,则小道的宽为 _m. 25=345,33,5 4.数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之 2 2 钥》中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题： (3)1=3，五，2=-3，匝 一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了 能力提高7.(1)m≠3且m≠0. 1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘 数理报社试题研究中心 (2)证明略 了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面 (参考答案见4期)】 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：王晓萍 报纸编辑质量反馈电话 初中数学 0351-5271268 2025年7月10日·星期四 报纸发行质量反馈电话 益评极 第 2期总第1146期 人教 0351-5271248 中考(GDY) (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-157 第1期3版参考答案 名师课堂“： 对于二次三项式x2+px+q,如果能够把常 -、1.A;2.A; 3.C;4.D;5.B 选解法 有策略 数项g分解成两个因数a,b的积，并且a+b等于 6.C;7.C;8.D. 一次项系数p,那么它就可以分解因式，即x2+px 二、9.m≥0； +g=x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 10.x2-3x-4=0; ⊙湖北 白少杰 11.-2； 当g>0时，g分解的因数a,b同号，且a,b 解一元二次方程时究竟采用哪种解法呢？ 解：移项，得x2+4x=-2,配方，得x2+4x 12-3+位 符号与p符号相同，如x2+14x+45=(x+ 4 这就要求同学们仔细观察，捕捉方程的系数特 +22=-2+22,即(x+2)2=2,所以x1=-2 5)(x+9),x2-9x+14=(x-2)(x-7). 13.0; 点和结构特征，灵活选择适当的方法，力求解题 14.6或10或12. +2,x2=-2-2 当g<0时，g分解的因数a,b异号，且其中 三、15.(1)x1=1,x 过程简捷明快，也能提高准确率。 四、以上三种方法都不易求解时，考虑用公 绝对值较大的因数符号与p符号相同，如x2- =-7; 一、方程中无一次项或满足(x+m)2=n结 7x-60=(x-12)(x+5),x2+x-72=(x (2)x1=-3+7 式法求解 构时优先考虑直接开平方法 8)(x+9). 2 例1解方程：(x-2)2=4. 例4方程3x2+1=3√5x的根是 一般地，(a1x+c1)(x+c2)=a1a2x2+ 2 a cx +azcix+cicz aazx+(+azc)x+ (3)x1=5+5,x 解：两边开平方可得x-2=±2，即x=2± 5-5 2,所以x1=4,x2=0. 解：原方程可化为3x2-33x+1=0, 16.(1) 反过来，就得到a,a2x2+(a1c2+a2c1)x+ 二、方程缺少常数项或方程的两边有公因 由a=3,b=-35,c=1 (2)=4+1 cc2=(a1x+c1)(a2x+c2) 2 式时，优先考虑因式分解法 得4=b2-4ac=(-35)2-4×3×1= 思维拓展 4-10 2 例2解方程：5(x-1)2=2(x-1). 15>0, 17.(1)证明：因为4 解：移项，得5(x-1)2-2(x-1)=0,因式 探秘十字相乘法 =[-(k+4)]2-4×1× 分解，得(x-1)[5(x-1)-2]=0, 所以 -b±-4ac 4k=(k-4)2≥0，所以该 2a ◎山东李小洁 方程总有两个实数根 所以x-1=0或5(x-1)-2=0, (2)k<1. -(-33)±5=35±⑤ 我们发现，二次项ax2分解成axa2x,常数项 所以=1=子 2×3 6 18.(1)a的值为-2 c分解成c12,并且把ax,2x,c1,c2排列如下： 三、当方程的二次项系数为1，一次项系数 所以，=35+5 = 33-15 6 6 19.(1)-8x2+2x+ =0. 是偶数时，优先考虑配方法 (2)解x2+2x-8 例3 解方程：x2+4x+2=0 故填=35+5355 C2 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 6 6 0,得x1=2,x2=-4. “十“十十“十“十“十十“十“十 a1xc2+a2xc1,如果它们正好等于ax2+bx+c的 解-8x2+2x+1=0. 题型空间 -次项bx,那么ax2+bx+c就可以分解成(a,x 4 元二次方程携手三角形 +c)(ax+G),其中ax,G1位于上图的上 20.(1)4,2,-1,-7. 行，a2x,c2位于下一行. (2)x1=4,x2=-2. 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮 第1期4版参考答案 ⊙广东李欣瑶 助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫 重点集训营 一元二次方程是初中数学的重要知识点，分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数 做十字相乘法 1.(1)x1=1,为=3 也是每年中考必考的内容之一，其应用非常广根，所以解x2-6x+4=0,可得x= 一般地，我们也可以用这种方法解一元二 3 (2)x=1,2= 2 (3)无实数解； 泛，常常与其他知识联系在一起下面举例说明6±B6-16_6±25=3±5，所以根据勾 次方程，请看下面的例题， 元二次方程携手三角形的一些问题，供同学 2 2 例用十字相乘法解下列方程： (4)=5+ (1)x2+6x-7=0;(2)2x2-5x-3=0 ,2三 2 们学习时参考. 股定理可得直角三角形斜边的长是 5-6⑤ 例1已知a,b,c分别是三角形的三边，则√(3+5)2+(3-5)2=√28=2万.故填 解：(1)x2+6x-7=0: (5)x=4,=10: 方程(a+b)x2+2cx+a+b=0的根的情况是2万. ,1 (6)x1=6+,x2 ) 例3关于x的一元二次方程a(1-x2)- =6-. 2.(1)k的取值范围为 A.没有实数根 2√2bx+c(1+x2)=0中，a,b,c是Rt△ABC的 因为-x+7x=6x,所以(x+7)(x-1)=0, ≤5. B.有且只有一个实数根 三条边，其中∠C=90°.若方程的两个根是x1, 解得x1=1,x2=-7. (2)1=3-√5，k2= C.有两个相等的实数根 x2,且x+x2=12,求a:b:c的值 (2)2x2-5x-3=0. 3+5 (全文完) D.有两个不相等的实数根 解：因为方程的两个根是x1,2,所以x,+x2 解：因为A=(2c)2-4(a+b)(a+b)= =226 4c2-4(a+b)2=4[c2-(a+b)2]=4(c+a =22会=名长因为号+号=12，所以 c-a 因为2x×（-3)+x=-6x+x=-5x, +b)[c-(a+b)],根据三角形三边关系，得c+(x,+,)2-2,=12,即86 -2a+2c c-a a+b>0,c-(a+b)<0,所以A<0,所以该 (c-a)2 所以(2x+1)(x-3)=0,解得x1=-2, 方程没有实数根.故选A. =12.因为2=c2-,所以8(c-@) X2 =3. (c-a)2 例2若一个直角三角形两条直角边的长2红+2c=12,化简得6c+四=12，所以c+a 通过上面的例题，可以将十字相乘法解一 元二次方程分为以下步骤：(1)竖分二次项与 分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数 c-a c-a 常数项；(2)交叉相乘，积相加；(3)检验确定 根，则这个直角三角形斜边的长是 =2c-2a,所以3a=c,所以b2=c2-a2=8a2 横写结果即拆两头，凑中间，拆分常数项，验证 解：因为一个直角三角形两条直角边的长所以b=22a,所以a:b:c=1:22:3. 次项 素养·专练 数理极 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 出2盆现设售价降低x元，解答下列问题， 跟踪训练 (1)当x为何值时，平均每天盈利784元？ 基础训练 (2)若该销售商打算平均每天盈利900元，那 1.若x1,2是方程x2-3x+2=0的两个根， 么他的这种想法能实现吗？请说明理由。 21.2.3因式分解法 则 垦础训练 A.x1+x2=-3 B.x1+x2=3 1.一元二次方程x(x-4)=0的解为 C.=3 D.x1x2=-2 ( 2.已知x1,x2是方程x2+4x-3=0的两根， A.x1=0,x2=4 B.x=0 则上+上的值为 C.x=2,x2=-2D.x=0,x2=-4 X X2 21.3实际问题与一元二次方程（第二课时） 2.已知x=4和x=-2.5是方程(2x+m)(x B-子 c. 屋础训练 -4)=0的解，则m的值为 ( A.-5 B.5 3.已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2 1.如图1，小明家有一块长50m,宽30m的长 C.2.5 D.无法确定 -9x+20=0的两根，则菱形的面积是 方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵 3.等边三角形ABC的三边分别为a,b,c,且满 4.我们在探究一元二次方程根与系数的关系 方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要 足方程(a+2b)x2+2cx+(a-b)=0,则方程的 中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c=0的两 使种植面积为1260m,求小路的宽.设小路的宽 两根为 ( 个根是x1,x2,那么由求根公式可推出x,+x,=- 为xm,则可列方程为 () a 2 A.x1=0,x3= B.x1=0,x2=- 2 A.(50-2x)(30-x)=1260 3 1=台请根据这一结论，解决下列问题： B.(50-x)(30-2x)=1260 C.1=1,x3=3 2 D.x1=1,x3=-3 2 (1)若2,3是方程x2+x+g=0的两根，求 C.(50-x)(30-x)=1260 D.(50-2x)(30-2x)=1260 4.当x= 时，代数式4x2+7x+3与 p,q的值； 3x+2的值相等。 (2)已知两个不同的实数m,n满足m2+5m 5.对于实数a,b,定义运算“*”： -3=0,2+5n-3=0,求%+朵的值 a*b0-aba≥)若1，(，<)是一元 Lab-b2(a b), 二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1*名= 图1 图2 2.把一个正方形的一边增加2cm,另一边增 6.解方程： 加1cm,所得的长方形的面积为30cm2,那么原来 (1)3x(x-2)=6(x-2); 正方形的边长是 () A.3 cm B.5 cm C.4 cm D.6 cm 3.一个直角三角形的斜边长为25cm,两条 21.3实际问题与一元二次方程（第一课时） 直角边长的和是6cm,则这个直角三角形的面积 是 _cm2 (2)x2-2x-3=0; 垦础训练 4.如图2，要设计一本书的封面，封面长 1.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其 40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长宽比 他同学各送一张表示留念，共送1482张，如果全 例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面 班有x名同学，根据题意，列方程为 积是封面面积的，上下边衬等宽，左右边衬等 (3)9x2+6x+1=0. A.x(x+1)=1482 B.x(x-1)=1482 宽，则上下边衬的宽度为 cm. c子(x+1)=142 5.如图3，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC =12cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以 D.7(x-1)=1482 2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿 能刀提高 边BC向终点C以4cm/s的速度移动，如果P,Q分 2.某商品每件售价400元，经过连续两次降 别从A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停 7.材料：为解方程x4-x2-6=0,可设x2= 价后每件仍能获利56元，若每件商品进价为 止运动，设运动时间为t秒(0<t<3) y,于是原方程可化为y2-y-6=0,解得y1=-2, 200元，则平均每次降价的百分率为() (1)当t= 时，点B在PQ的垂直平 y2=3.当y=-2时，x2=-2不合题意舍去；当y A.10%B.20%C.25%D.60% 分线上； =3时，x2=3,解得x1=5,x2=-5,故原方程 3.为了宣传垃圾分类，小王在自己的朋友圈 (2)当t为何值时，PQ的长度等于10cm? 的根为x1=5,:2=-5. 发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个 (3)是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： 好友转发后，又邀请了x个互不相同的好友转发 28cm2?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请 (1)(x2+x)2+2(x2+x)-8=0: 若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活 说明理由. 22+年2=3 动，则x的值为 4.《李白饮酒》数谜诗一李白每天不离酒， 三餐依次增一斗；三餐斗数两两乘，乘积相加一四 六：要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗.则早餐饮 斗 5.某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每 盆进价为60元.当售价为90元时，平均每天能售 数理报社试题研究中心 出24盆；当售价每降低1元时，平均每天就能多售 (参考答案见4期) 数理极 素养·测评 】 18.(10分)如果关于x的一元二次方程ax2+ 步 大 检测题（二 bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比 另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程” 例如，一元二次方程x2-x=0的两个根是x1=0, x2=1,则方程x2-x=0是“连根方程”. 【检测范围：21.2.321.3】 (1)通过计算，判断方程4x2-8x+3=0是否 C.3或-1 D.3或1 (满分：120分) 是“连根方程”； 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (2)已知关于x的方程x2+(2m-3)x-6m= 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号1 234 5 67 8 9小明解方程3-本=0时得出解x=了，他0(m是常数)是连根方程，求加的值 遗漏的解是x= 答案 10.已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个 1.解方程x-97x=0较为合适的方法是 实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实数k= ( A.直接开平方法 B.配方法 11.连续两个整数的乘积为12，则这两个整数 C.公式法 D.因式分解法 中较小的一个是 2.若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的 12.若x2+1与x2-4x+1的值互为相反数，则 两个实数根，则x,+2的值为 ( ) x的值是 19.(10分)由多项式乘法：(x+a)(x+b)= A.-1B.1 C.-3 D.3 13.某种植物的主干长出若干数目的支干，每 x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得 3.山西垣曲县的菖蒲酒，远在汉代就已名噪 个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小 到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+ 酒坛，为历代帝王将相所喜爱，被列为历代御膳香 分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则 b)x+ab=(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x 醪.近年来，菖蒲酒在市场上的销量逐年增长.已 +6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). 知某代销商2022年售出菖蒲酒500瓶，2024年售 (1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+ 14.在平面直角坐标系中，已知，点P(m,n),m, 出菖蒲酒720瓶，若设这两年菖蒲酒销量的年平均n满足(m2+n2+1)(m2+2+3)=15,则0P的 )(x+ 增长率为a%,则可列方程为 ( (2)应用：①请用上述方法解方程：x2-5x-6 长为 A.500(1+a%)=720 =0: 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） B.500(1+a2%)=720 15.(12分)解方程： ②在△ABC中，AB=AC,BC=8,且AB的长 C.500(1-a%）=720 (1)x-7-x(x-7)=0; 是方程x2-9x+20=0的一个根，求等腰三角形 D.500(1+a%)2=720 ABC的面积 4.已知k,b是一元二次方程(2x+1)(3x-1) =0的两个根，且k>b,则函数y=x+b的图象 不经过 (2)(x-2)(x+3)=14: A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.取一张长与宽之 比为5：2的长方形纸 板，剪去4个边长为5cm (3)2+x- =0. 的小正方形（如图1），并 图1 用它做一个无盖的长方体形状的包装盒.要使包 20.(12分)如图2，已知A,B,C,D为长方形的 装盒的容积为200cm3(纸板的厚度略去不计)，则 四个顶点，AB=8cm,AD=3cm,动点P,Q分别 这张长方形纸板的周长为 ( 16.(10分)已知关于x的一元二次方程x2- 从A,C点同时出发，点P以1cm/s的速度向点B移 A.7 cm B.14 cm C.42 cm D.84 cm 6x+2m-1=0有：1，x,两个实数根若=1，求动，一直到点B为止，点Q以1cm/s的速度向点D 6.设a,b是两个整数，若定义一种运算“△”，2及m的值 移动，一直到点D为止.设运动时间为t秒. a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数 (1)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P和点 根是 Q间的距离是5cm? A.x1=x2=1 B.x1=0,x2=1 (2)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P,Q,D C.x1=2=-1 D.x1=1,x2=-2 组成的三角形是等腰三角形？ 7.某电商对一款成本价为40元的商品进行直 播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件. 17.(10分)为增强同学们的体质，丰富校园文 通过市场调查发现，每件商品售价每降低1元，日 化体育生活，某校八年级举行了篮球比赛，比赛以 销售量增加2件.若日利润保持不变，商家想尽快 循环赛的形式进行，即每两个班级之间都要比赛 销售完该款商品，每件售价应定为 () 场，共比赛了45场. A.45元B.50元C.55元D.60元 (1)问该校八年级共有几个班？ 8.数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转 (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，没 化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种 有平局，小奉同学所在的班级要想获得不低于 方法，我们可以用因式分解把方程x+x2-2x=0 14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 转化为x=0或x2+x-2=0,从而求出方程的三 个根：x1=0,x2=1,x=-2,再如，我们可以用两 边平方的方法把方程x+I=2转化为x+1= 4,从而求出方程的根：x=3,通过转化还可以求出 方程√2x+3=x的根为 数理报社试题研究中心 A.3 B.-1 (参考答案见4期)