第5期 2.3 一元二次方程根的判别式-2.5 一元二次方程的应用（答案见第7期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

23.(9分)渡江战役纪念馆位于巢湖之滨，犹如一艘乘风破浪 25.（10分)对于代数式ax2+bx+c,若存在实数n,当x=n时， 26.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+2+ 的巨型战舰.据统计，2025年2月份接待人数为30000人，4月份增 代数式的值也等于n,则称n为这个代数式的不变值.例如：对于代 3k+2=0. 加到36300人. 数式2，当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们 (1)试判断上述方程根的情况； (1)求2月份到4月份接待人数的月平均增长率； 就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时，该代 (2)已知△ABC的两边AB,AC的长是关于上述方程的两个实 (2)如果接待人数继续保持这个增长率不变，预测6月份接待 数式的最大不变值与最小不变值的差记作A.特别地，当代数式只有 数根，BC的长为5. 人数能否突破43500人？ 个不变值时，则A=0. ①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ (1)代数式x2-12的不变值是 ,A= ②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的 (2)求证：代数式2x2-x+1没有不变值； 周长 (3)已知代数式x2-nx+n,若A=0,求n的值. 初中数学· 湘教中考同 步达标检测卷 24.(9分)定义新运算：对任意实数m,n都有m☆n=m'n+n, 初中数学·湘教中考同步达标检测卷 例如：-3☆2=（-3)2×2+2=20.根据以上知识解决问题： (1)x☆4=20，求x; (2)若2☆a<0,请判断方程：2x2-bx+a=0的根的情况 参考答案见7期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 2025年7月31日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 第 5期总第1149期 (湘教中考) 0351-5271248 教理橘 参考答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 4期2版 疑难解析 解：根据题意，得△=22-4m =0, 课堂在线 2.1一元二次方程 解得m=1. 1.B;2.D; 3.1000(1+x)2 判别式的妙 用 此时方程为x2+2x+1=0, 690;4.2. ⊙安徽 王芷涵 解得x1=2=-1. 选癬透有策略 5.b=1,c=-2. ©四川叶静月 2.2.1配方法 1.C;2.m>1; 例1 关于x的一元二次方程x2+4x+4 所以m的值为1，方程的根为-1. 、方程中无一次项或满足(x m) 3.14； =0有实数根，则k的取值范围是 ( 例3已知关于x的一元二次方程x2+(m 结构时优先考虑直接开平方法 4.(1)x1=2,x2=-8; -6)x-6m=0.求证：不论m取何值时，该方程 (2)x1=3+5,x2 A.k<1 B.<1且k≠0 例1解方程：(x-2)2=4 =3-15. 总有两个实数根 C.k≤1且k≠0 D.k≤1 2.2.2公式法 分析：根据根的判别式△=b2-4ac的符号 分析：方程满足(x-m)2=n结构，利用直 1.B;2.B; 分析：根据一元二次方程的定义得k≠0， 3.k<-3. 来证明结论成立 接开平方法即可求解。 4.(1)x=-1+7 再根据一元二次方程x2+4x+4=0有实数根， 证明：因为A=b2-4ac 解：两边开平方，得x-2=±2， 得4≥0，即可得到k的取值范围. 名=1-顶 =(m-6)2-4×(-6m)×1 即x=2±2，解得x1=4,x2=0. 解：由题意，得 =m2+12m+36 2厘 二、方程缺少常数项或方程的两边有公因 ∫4=16-16k≥0 =(m+6)2≥0， k≠0， 式时，优先考虑因式分解法 所以不论m取何值时，方程总有两个实数根 例2解方程：5(x-1)2=2(x-1). 2.2.3因式分解法 解得k≤1且k≠0.故选C 方法总结：在解与一元二次方程根的判别 1.D:2.B;3.1: 例2若关于x的一元二次方程x2+2x+m 分析：注意到方程两边都有因式(x-1), 4(0)==3 式有关的问题时，一般分两种情况：一种是直接 =0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程利用判别式判断方程根的情况：另一种是根据 宜用因式分解法 (2)x1=4,x2=-3 重点集训营 的根 方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围。 解：移项，得5(x-1)2-2(x-1)=0, 1.(1)x1 =1,x2 分析：根据根的判别式的意义得到22-4m 前者可由判别式的正负确定根的情况；后者根 因式分解，得(x-1)[5(x-1)-2]=0, (2)无实数解； =0,再解关于m的方程得到m的值，然后解方 据根的情况，列出不等式求取值范围（需注意二 所以x-1=0或5(x-1)-2=0, (3)x1=6+T,x 程即可 次项系数不能为零这一隐含条件) =6-. 解得1=1，=5 2.(1)k≤5. (2)k1=3-5, 3+ 次方程的 当x=16时，72-2x=72-32=40: 三、当方程的二次项系数为1，一次项系数 当x=20时，72-2x=72-40=32. 是偶数时，优先考虑配方法 4期3,4版 、l.D;2.C;3.A 应用问题 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为 例3解方程：x2+4x+2=0. 4.C;5.A;6.A; 32m,宽为20m时，能围成一个面积为640m2的 7.C;8.B;9.B: ◎湖南罗玲 羊圈 分析：注意到原方程中二次项系数和一次 10.B. 一、增长率问题 (2)不能.理由如下： 项系数的特征，可考虑运用配方法求解 11.x2-2x=0; 例1为了让学生养成热爱图书的习惯，某 由题意，得x(72-2x)=650, 12.x1=6,x2=-6; 学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2022 解：移项，得x2+4x=-2, 13.-1; 化简，得x2-36x+325=0. 14.9,1=3=3: 年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024 配方，得x2+4x+22=-2+22, 因为4=(-36)2-4×325=-4<0， 15.2: 年用于购买图书的费用是7200元，求2022~ 所以一元二次方程没有实数根， 即(x+2)2=2, 16.m≤2且m≠1： 17.x2-6x+6=0: 2024年买书资金的年平均增长率. 所以羊圈的面积不能达到650m 18.6-25. 解：设2022年到2024年该校买书资金的年 解得x1=-2+万，x2=-2-√2. 三、营销问题 平均增长率为x, 四、以上三种方法都不易求解时，考虑用公 19.(1)x1=4,3=0 例3国际风筝节期间，王大伯决定销售 (2)x1=1,x2=5; 则5000(1+x)2=7200 式法求解 (3)x=B+万 解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去). 批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝每个进价为10 4 答：2022年到2024年该校买书资金的年平 元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若 例4解方程：3x2+1=35x 名月-万 售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答 均增长率为20% 分析：原方程既不能运用因式分解法，又不 4 20.2024 以下问题： 二、面积问题 能运用配方法，故应化为一般式，把“难题”交 21.都不正确，解法略 (1)求蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价 x1=3,=6 例2如图，老李想用长为70m的栅栏，再 给公式法来解决 2.(1)等腰三角形 借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊 x(元)之间的函数关系式(12≤x≤30)； 理由略； (2)王大伯为了让利给顾客，且同时能获得 解：原方程可化为3x2-35x+1=0, (2)x1=0,2=1 圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在 23.(1)-1或-3； EF处，另用其他材料) 840元利润，则售价应定为多少？ 由a=3,b=-33,c=1,得 (2)略 解：(1)由题意，得y=180-10(x-12) 24.(1)③： 4=b2-4ac (2)-1或子 =-10x+300, 即蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元) =(-35)2-4×3×1=15>0. 25.(1)7,2,-4,-10: (2)1=-1+45, B E 之间的函数关系式为y=-10x+300(12≤x≤ (1)当羊圈的长和宽分别为多少m时，能围30) 所以x=二b±√BF-4ac 2a 成一个面积为640m2的羊圈？ (2)由题意，得 (2)x1=1+i, 2=1-i (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果能 (x-10)y=-10x2+400x-3000=840, =-(-35)±5 (3)x1=2+2i, 2×3 x2=2-2i 请你给出设计方案；如果不能，请说明理由， 整理，得x2-40x+384=0, 解：(1)设矩形ABCD的边AB的长为xm, 解得x1=16,x2=24(不合题意，舍去) =35±5 则BC=70-2x+2=(72-2x)m 答：王大伯为了让利给顾客，且同时能获得 6 根据题意，得x(72-2x)=640, 840元利润，则售价应定为16元 解得x1=16,x2=20. 【对应练习见《重点集训营》】 解得x,=35+ ,x2=35-5 6 6 2 素养专练 人 数理极 2.3一元二次方程根的判别式 2.5-元二次方程的应用 3.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC= 1.用公式法解方程x2-4x-11=0时，△= 1.为打造书香校园，某校积极开展“图书漂 6cm.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即 ( 流”活动，旨在让全体师生共建共享.校团委学生 停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点 A.-43 B.-28 C.45 D.60 处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现， C即停止，点P,Q的速度都是1cm/s,连接PQ,AQ 2.若关于x的方程2x2+4x+c=0没有实数 在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，6月 CP.设点P,Q运动的时间为ts. 根，则c的值可能为 份增加到1440名，则从4月份到6月份全校借阅 (1)是否存在某一时刻t,使得PQ⊥PC?如 A.-1 B.1 C.2 D.3 名著类书籍的学生人数的平均增长率是 ( 果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由. 3.在平面直角坐标系中，若直线y=-x+m A.10% B.20% (2)在运动过程中，沿着AQ把△ABQ翻折， 不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1=0 C.30% D.40% 当1为何值时，翻折后点B的对应点B'恰好落在 的实数根的个数为 2.某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天 PQ边上？ A.0个 B.1个 可以销售20条.商店决定降价销售，经调查，每降 C.2个 D.1个或2个 价1元，商店每天可多销售2条连衣裙.若想要商 4.定义新运算：a*b=a2+4ab+1,例如：店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价( 2*3=22+4×2×3+1=29.若方程x*1=m A.5元 B.10元 有两个相等的实数根，则m的值为 C.20元 D.10元或20元 5.关于x的一元二次方程(k-3)x2+2x+1 3.如图1，已知AB⊥BC,AB =0有两个不相等的实数根，那么满足条件的所 = 12cm,BC=8cm.一动点N 有非负整数k的和为 从C点出发沿CB方向以1cm/s 6.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0. 的速度向B点运动，同时另一动 (1)当b=a+4时，利用根的判别式判断方 点M由点A沿AB方向以2cm/sA 程根的情况； 4 的速度也向B点运动，其中一点 图1 (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组 到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积 满足条件的a,b的值，并求此时方程的根. 为24cm2时，运动的时间t为 S. 4.某种植物的主干长出若干数目的支干，每 个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干和小 分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则 数理报社试题研究中心 参考答案见7期 +4十+十十十“+4十+十+4+十4+ 5.学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m 的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的 辅助线周周练 2.4一元二次方程的根与系数的关系 苗圃园，设平行于墙一边CD的长为xm. 1.如图1，直线l交正方形ABCD的对边AD 1.关于x的一元二次方程x2+mx-2=0有 (1)如图2，如果矩形苗圃园的一边靠墙AB, BC于点P,Q,正方形ABCD和正方形EFGH组成 个解为x=1,则该方程的另一个解为x= 另三边由篱笆ECDF围成，当苗圃园的面积为60 的图形关于直线l成轴对称，点H在CD边上，点A ( m时，求x的值； 在边EF上，BC,HG交于点M,AB,FG交于点N.若 A.0 B.-1 C.2 D.-2 (2)如图3，如果矩形苗圃园的一边由墙AB CD=5,DH=2,则△GQM的周长为 2.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是 和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成， -2和1，则n的值为 当苗圃园的面积为60m2时，求x的值， A.-8B.8 C.16 D.-16 墙☐B 3.关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+ m2+2=0两个实数根的倒数和为1，则m的值为 图1 图2 ) 2.如图2，在矩形ABCD中，AB=8,BC=12, A.-2或0 B.2或0 点F在线段AB上，AF=5,点E在线段AD上，将 C.2 D.0 矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点G 4.已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个 处，点H在线段CD上，将矩形沿GH折叠，点C恰 实数根为x1,x2,若xx2+2x1+2x2=1,则实数k 好落在线段EG上的点M处，则点M到线段DC的 距离为 5.已知a,b是方程x2-x-1=0的两根，则 口怕WW葛 代数式2a+5a+3b+3b+1的值是 ￥厘涨，三g窖‘W士O T NW,N码 6.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0. 重点集训营 斗903用米▣￥厘张，三出Y‘0⊥H的 (1)若1是方程的一个根，求m的值和方程的 1.某市为了更好的吸引外资，决定改善城市 卒WO县‘b=OH=WH=HQ用‘HQ☒V1H 另一根； 容貌，绿化环境，计划用两年时间，使得绿地面积 云Ha又1HI1口H‘H双刻‘乙=IQ=W网 (2)若x1,x2是方程的两个实数根，且满足 增加449%，则这两年平均每年绿地面积的增长率恬散‘斗明☒‘a0R米‘QVTd的3学‘斗 x好+x号+2xx2-xx号=0，求m的值， 为 ( ) 998‘94H平駐兴邵☑唑晏野乙 A.22% B.10% C.20% D.11% 回怕号搏 2.某商场将进价为45元的某种服装以65元 /韩阴严更興量‘米业￥斗图N037*‘a0 售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商 =O0血唑X￥‘NY=Wa‘Hy=Ha庋 场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价 ngvnd云WXVVd‘HXVVId云HQWV1H自 1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元， ‘WVHV‘y学士OH T YVV学丹T 每件应降价 元 【些群】 9.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的一元二 2.3~2.5同步达标检测卷 20.(6分)已知关于x的方程x2-(a+1)x+子2+1=0有 次方程ax2+bx+c=0的根的情况为 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值. ◆数理报社试题研究中心 C.没有实数根 D.无法判定 (答题时长120分钟，满分120分) 10.已知ab≠1，且5a2+2025a+9=0,962+20256+5=0, 一、选择题（每小题3分，共30分） 则号的值为 ( ) 1.一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是 ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 A.-402 Bg C.9 D.670 3 C.只有一个实数根 D.没有实数根 二、填空题（每小题3分，共24分） 2.下列方程中有实数根的是 ( 11.一元二次方程x2+3x+1=0 实数根（填“有”或 A.3x2+1=0 B.x2-x-3=0 “没有”). C.x2-5x+10=0 D.x2-5x+1=0 12.若x,x2是一元二次方程x2+7x-5=0的两个根，则x1+ 3.已知一元二次方程x2+ax-8=0的一个根是2，则另一个根 2= 是 () 13.若x,x2是方程4x2+3x-2=0的两个根，则x1·x2= 21.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-6x-k=0(k为常 A.-2 B.4 C.-4 D.0 数).设a,B为方程的两个实数根，且+2B=14,试求出方程的两 4.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门 14.已知关于x的方程x2-2x-k=0有两个不相等的实数根， 个实数根和k的值. 外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及 则k的取值范围是 警 时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比 15.在教师节当天，学校老师互送贺卡，共送了90张，则一共有 初中数学· 为x,根据“两天不练丢一半”，可列方程 ) 老师 名 教 A.(1-x)2=509% B.(1+x)2=509% 16.已知关于x的方程(a+1)x2-2x+3=0有实数根，则整数 必 C.1-2x=50% D.(1-x)(1+x)=50% 考 a的最大值是 同 5.关于x的一元二次方程x2-2x+1=0有两个不相等的实数 17.关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有两个实数根x1, 根，那么正数k的可能值是 x2,若x1,x2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为√0，则 标检测 A号 B.0 C.1 D.3 的值为 湘教中考同步达标检测卷 18.如图2，已知AG∥CF,AB⊥CF,垂足 卷 6.连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是 为B,AB=BC=3,点P是射线AG上的动点 ( A.3 (点P不与点A重合)，点Q是线段CB上的动 B.-4 图2 C.-3或4 D.-4或3 点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交 22.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的 7.取一张长与宽之比为5：2的长方 BF于点E,连接PQ,设AP=21,CQ=t,当△PQE是以PE为腰的 两个实数根的平方和为7，求m的值， 等腰三角形时，t的值为■ 形纸板，剪去4个边长为5cm的小正方形 (如图1)，并用它做一个无盖的长方体形 三、解答题（共66分） 图1 19.(6分)某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间 状的包装盒.要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚度略去不计)， t(s)之间的关系式为：s=10t+3t,那么行驶200m需要多长时间？ 则这张长方形纸板的周长为 ( A.7cm B.14 cm C.42 cm D.84 cm 8.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两 根之积是n,则关于t的方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之 积是 () A.n +m-1 B.n +m +1 C.n-m +1 D.n -m-1