第4期 2.1 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

23.(9分)已知代数式A=2x2+5x-3,B=x2+x-8. 25.(10分)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法， 26.(10分)定义：如果一个数的平方等于-1，记为2=-1，这 (1)当x为何值时，代数式A比B的值大2： 如：解方程x(x+4)=6. 个数i叫做虑数单位.我们把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复 (2)求证：对于任意的x值，代数式A-B的值恒为正数 解：原方程可变形，得[(x+2)-2][(x+2)+2]=6,即(x+ 数，其中α叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、 2)2-22=6,移项得(x+2)2=10,直接开平方并整理，得x1=-2 减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似， +10,2=-2-10 例如：解方程x2=-1,解得x1=i,x2=-i 我们称小明这种解法为“平均数法”。 同样我们也可以化简√4=√4×(-1)=√22×平=2i (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+5)(x+9)=5时写 读完这段文字，请你解答以下问题： 的解题过程 (1)填空：= ,i4= ,i6= ,204= 解：原方程可变形，得[(x+a)-b][(x+a)+b]=5,即(x+ a)2-2=5,移项得(x+a)2=5+b2,直接开平方并整理，得x1= (2)在复数范围内解方程：(x-1)2=-1; c,2=d. (3)在复数范围内解方程：x2-4x+8=0. 上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为 (2)请用“平均数法”解方程：(x-5)(x+7)=12. 初中数学· 湘教中考同 24.(9分)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)满足b=a+c,那么我们称这个方程为“完美方程”. (1)下面方程是“完美方程”的是（填序号)； 达标检测卷 ①x2-4x+3=0:②2x2+x+3=0:③2x2-x-3=0. 初中数学·湘教中考同步达标检测卷 (2)已知3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”，若m是此“完 美方程”的一个根，求m的值 参考答案见下期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话 2025年7月24日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 数评橘 4期总第1148期 (湘教中考) 0351-5271248 参考答案 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 2期2版 思维拓展 G)(ax+c),其中ax,c1位于上图的上 行 重点精讲 1.3反比例函数的应用 ax,2位于下一行. 1.A;2.C;3.300 1 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮 巧用 a;5.(1)50(2)20 探秘十宇相乘法 6.(1)y= 助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫 -2x+10(0≤x≤3) """"""""""。。""。 做十字相乘法 根的定义求值 2(x>3) ◎山东李小洁 般地，我们也可以用这种方法解一元 ©湖南邱丹 (2)能，理由略 对于二次三项式x2+x+q,如果能够把常 重点集训营 次方程，请看下面的例题 例1 已知3是一元二次方程x2-2x+a 6(232. 数项g分解成两个因数a,b的积，并且a+b等于 例用十字相乘法解下列方程： =0的一个根，求a的值和方程的另一根. 一次项系数p,那么它就可以分解因式，即x2+ 4.(1)y=6 (1)x2+6x-7=0:(2)2x2-5x-3=0. 解：将x=3代入x2-2x+a=0中，得 px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). (2)4.5. 9-6+a=0,解得a=-3, 2期3,4版 当g>0时，9分解的因数a,b同号，且a,b 分析：先将二次项分解成两个因式的乘积 符号与P符号相同，如x2+14x+45=(x+5)(x 然后分解常数项，再验证 将a=-3代入x2-2x+a=0中，得 C. 3.D;4.C5 x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1, 6.C;7.A;8.B. +9),x2-9x+14=(x-2)(x-7). 解：(1)x2+6x-7=0: 二、9.2；10.300； 所以a=-3,方程的另一根为-1. 11.2:3:6;12.200 当9<0时，9分解的因数a,b异号，且其中 13.35≤L≤50. 例2若x=1是关于x的一元二次方程 三、14.(1)m= 240 绝对值较大的因数符号与p符号相同，如x2-7x +ax+2b=0的解，求a+2b的值. (2)2.4m/s -60=(x-12)(x+5),x2+x-72=(x-8)(x 1 解：将x=1代入x2+ax+2b=0中，得 15.(1)y=12 (s>0) +9). 因为-x+7x=6x,所以(x+7)(x-1)=0, 1+a+2b=0,所以a+2b=-1. (2)m=1.28,其表示的 一般地，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+ 解得x1=1,x2=-7. 实际意义为：面条的总长度 例3关于x的一元二次方程ax2+bx-3 为100m时，面条横截面的面 ac2x azcix+cic2=aazx+(aicz azc)x+ (2)2x2-5x-3=0. =0(a≠0)有一个根为x=2025,则方程a(x 积为1.28mm2. 6a= -1)2+bx-3=b必有一根为 反过来，就得到a,a2x2+(a,c2+a2c1)x+ (2)>; 解：a(x-1)2+bx-3=b可化为a(x-1)2 C1c2=（a1x+C1)(a2x+c2). +b(x-1)-3=0. 我们发现，二次项ax2分解成a1xa2x,常数 因为2x×(-3)+x=-6x+x=-5x, 因为关于x的一元二次方程ar2+bx-3= 100:任务2：空矿泉水瓶质量 项c分解成c192,并且把a1x,a2x,c1,c2排列如 所以(2x+1)(x-3)=0, 0(a≠0)有一个根为x=2025, 为10g 下： 3期 解得=-2=3。 所以x-1=2025,解得x=2026 4 A;3.D 所以a(x-1)2+bx-3=b必有一根为 通过上面的例题，可以将十字相乘法解 x=2026. 7.D;8.D;9.C; 10.C C2 元二次方程分为以下步骤：(1)竖分二次项与常 二、11.-8； 12.1(答案不唯一)： 这里按涂斜线交叉相乘，再相加，就得到a,xc, 数项；(2)交叉相乘，积相加；(3)检验确定，横 13.-1: 14.k<<k3 +axc1,如果它们正好等于ax2+bx+c的一次 写结果 式法解方程 项bx,那么ax2+bx+c就可以分解成(a,x+ 即拆两头，凑中间，拆分常数项，验证一次项， 三、19.(1)y=-6 牢记三点 (2)点B(-1,6)在，点 名师课堂日 的，由此可得x-2=√3或x-2=-3: C(2,3)不在 ©广西曲冰 20.(1)反比例函数y 配方法微课堂 (4)求解：解两个一元一次方程，得 一、分清a,b,c的符号 2,一-次数y=--1： x1=2+5,2=2-5. 例1解方程：x2+3x-1=0. (2)-2<x<0或x>1. ◎江西安泽 温馨提示：(1)如果方程的二次项系数不是 21.(1)y=12: 1,要先利用等式的基本性质将其化为1； 解：因为a=1,b=3,c=-1,所以2-4ac 一、配方法的基本思路 (2)4cm =32-4×1×(-1)=13,所以x= 22.(1)A(4,0),B(0 用配方法解一元二次方程的基本思路是将 (2)若一个方程完成配方后，方程右边的常 2) 方程转化为(x+m)2=n的形式，然后利用开平 数项是负数，这说明原方程在实数范围内无解. 6±y-4e--3±E-3±E 2k=02,2） 2a 2×1 2 23.(1)1=20: 方达到降次的目的.当n≥0时，根据平方根的 三、配方法的应用 (2)-4℃. 意义可求出它的根为x=-m±元 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还 解得=3，压，=二3， 2 2 4 24.(1)y=- 能巧解数学中的很多问题，下面我们就一起欣 (2)①h=4:②x<-2 二、配方法的步骤 二、将方程化为一般形式 赏如何巧用“配方法”解题吧！ 25.(1y=: 如果方程的二次项系数是1，且一次项系数 例2解方程：3x(x-1)-2=2x 例用配方法证明：无论x取何值，代数式 (2)存在r(4,多】 是2的整数倍，比如x2-4x+1=0,那么一般可 -2x2+8x-9的值总小于0. 解：方程整理为3x2-5x-2=0,所以a= 按以下步骤解方程： 分析：利用配方法把-2x2+8x-9转化成 3,b=-5,c=-2,所以b2-4ac=(-5)2-4 或(-4，)月 (1)移项：使方程的左边为含有未知数的项 -2(x-2)2-1,再证明-2(x-2)2-1≤-1<0 26.(1)y=x 4 (即二次项与一次项)，右边为不含未知数的项 ×3×(-2)=49,所以x=-6±B-4a 即可 2a E(4,1); (即常数项)，得x2-4x=-1; 证明：-2x2+8x-9 5±49 (2)m(o,): (2)配方：在方程的两边都加上一次项系数 =-2(x2-4x)-9 2×3 =5±7，解得x1=2,x=-了 6 (3)存在， 半的平方，把方程左边写成完全平方的形式， =-2(x2-4x+4)-9+8 三、2-4ac≥0的方程才有实数根 Q-4,-1或 即-4+()=-1+()，x-2y =-2(x-2)2-1, 例3解方程：2x2+3x+5=0 ( 因为(x-2)2≥0， 解：因为a=2,b=3,c=5,所以b2-4ac ≥3； 所以-2(x-2)2≤0， =32-4×2×5=-31<0,所以方程没有实 (3)开方：根据平方根的意义，直接开平方 所以-2(x-2)2-1≤-1<0， 数根 得到两个一元一次方程，从而达到“降次”的目 所以代数式-2x2+8x-9的值总小于0. 【对应练习见《重点集训营》】 2 素养专练 数理极 2.1一元二次方程 2.2.2公式法 重点集训营 1.一元二次方程5x2-2x+2=0的一次项系 1.用公式法解方程x2-2=-3x时，a,b,c的 1.用公式法解方程： 数是 ( )值依次是 (1)3x2+1=4x; A.5 B.-2 C.2 D.0 A.0,-2,-3 B.1,3,-2 2.已知关于x的一元二次方程kx2-(k-2)x C.1,-3,-2 D.1,-2,-3 +4=0的一个根是2，则k的值是 ( 2.解一元二次方程ax2+bx+c=0,其中一 A.2 B.-2C.4 D.-4 3.某校截止到2024年底，校园绿化面积为 个根为b±4，则c等于 (2)5x2-5x+3=0; 1000平方米.为美化环境，该校计划2026年底绿 A.1 B.-1 化面积达到1690平方米.利用方程思想，设这两 C.0 D.2 年绿化面积的年平均增长率为x,则依题意列方 3.若关于x的一元二次方程x2-(k+4)x+ 程为 3+k=0恰有一个根小于0，则k的取值范围是 4.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有 (3)x2-26x-5=0. 一个公共根，则a的值是 4.解方程： 5.关于x的一元二次方程2(x-1)2+b(x- (1)2x2+x-2=0; 1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,试 求b,c的值. 2.已知关于x的方程x2-2(k-3)x+2-4-1 =0. (1)若这个方程有实数根，求k的取值范围； (2)若这个方程有一个根为1，求k的值. (2)(x-2)2=6-x. 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 2.2.1配方法 2.2.3因式分解法 1.用配方法解方程x2-4x-1=0时，配方后 1.解方程x2-97x=0较为合适的方法是 辅助线周周练 正确的是 () ( 1.如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6. A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 A.直接开平方法 B.配方法 点E为边BC上的动点，连接AE,过点E作EF1 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 C.公式法 D.因式分解法 + AE,且EF=AE,连接CF,则线段CF长度的最小 2.若关于x的方程(x-2)2=1-m无实数 2.如果二次三项式x2+px+g能分解成(x+ 值为 根，那么m满足的条件是 5)(x-1)的形式，则方程x2+px+q=0的两个 3.把一元二次方程x2-4x-8=0化成(x- 根为 ( m)2=n的形式，则m+n的值为 A.x1=-5,x2=-1 B.x1=-5,x2=1 4.解方程： C.x1=5,x2=-1 D.x1=5,x2=1 (1)(x+3)2-25=0: 3.若x2+1与x2-4x+1的值互为相反数，则 2 x的值是 2.如图2，正方形ABCD的边长为22，点E是 4.解方程： AB边上的一个动点，点F是CD边上的一个动点， (1)(2x-3)2=3(2x-3); 且AE=CF,过点B作BG⊥EF于点G,连接AG, 则AG长的最小值为 十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十 a怕 窖葛1‘兰关q三：，三群￥‘O‘HV斜买‘H 学中9a0准‘a0TV0百‘0学☑aM‘☑a瓣 (2)x(x-6)=6. (2)x2-x-12=0. 县学中9OV音0学‘HOaV张本适‘O 学学阴Ha与OV‘Dva0‘V瓣录乙 普具40 HXT 40系‘g买于4y衫鸦尹4学吊 9=qV=Oa‘b=8V=aD如单阴 :并甲‘b=a=Ya钢：琪三義专出 「唑H‘。Sb=OyH7影到‘y学一雄丁Oa尹 La瓣买‘☒8=L8到‘L学一组丁V8尹1 【些】 规定，若maxx,-x=x2-3x-5,则x的值是 20.(6分)若x=3是关于x的方程ax2-bx=3的解，求2025 2.1~2.2同步达标检测卷 A.5 B.5或1-6 -3a+b的值 C.-1或1-6 D.5或1+6 ◆数理报社试题研究中心 二、填空题（每小题3分，共24分） (答题时长120分钟，满分120分) 11.若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根 一、选择题（每小题3分，共30分） 为2，则该方程为 1.下列方程中，一元二次方程是 12.一元二次方程x2-36=0的根是 A.x+2y=4 B.3x=4 13.如果将关于x的一元二次方程x2-2x-2=0配方成(x C.x=2x3+6 D.x2-2=9 1)2+a=2,那么a= 2.将方程4x2+8x=25化成ax2+bx+c=0的形式，则a,b, 14.嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2-6x+口=0.若 c的值分别为 ( “口”表示一个数字，且一元二次方程x2-6x+口=0有实数根，则 A.4,8,25 B.4,2,-25 “☐”的最大值为 ,此时方程的根为 15.若n(n≠0)是关于x的方程x2-mx+2n=0的根，则m 21.(8分)小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的 C.4,8,-25 D.1,2,25 3.将一元二次方程x2+6x-2=0配方后可化为 n的值为 过程如下框： 小敏： 小霞： A.(x+3)2=11 B.(x-3)2=11 16.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数 两边同除以(x-3),得 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0, C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=2 根，则m的取值范围是 3=x-3, 提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0 4.关于x的方程(m+1)x+1-mx+6=0是一元二次方程，则 17.在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系 则x=6. 则x-3=0或3-x-3=0, 初 m的值是 ( 数b,得到的解为x,=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x 解得x1=3,x2=0. 中数学 A.-1 B.3 =1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程： 判断他们的解法是否正确？并写出你的解答过程. C.1 D.1或-1 18.将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px 初中数学， 5.一元二次方程2x2+x-a=0的一根是3，则另外一根是 q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目 報 的，又如x=x·x2=x(x-q)=…,我们将这种方法称为“降次 必 ( 考 1 法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式根据“降次法”，已 同 A.-2 B.1 知x2+x-1=0,且x>0,则x4-2x3+3x的值为 步 C.-3 D.3 三、解答题（共66分） 达 标 6.2023年~2025年某地区居民人均可支配收入由5.4万元增 19.(6分)解方程： 检 测 长至5.96万元，设人均可支配收人的平均增长率为x,下列方程正确 (1)(x-2)2=4; 湘教中考同步达标检测卷 卷 的是 ( A.5.4(1+x)2=5.96 B.5.4(1+x2)=5.96 C.5.4(1+2x)=5.96 D.5.4x2=5.96 22.(8分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c) 7.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的解是1=2，x2=-4, =0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长 那么一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的解是( (1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理 A.x1=-1,x2=5 B.x1=1,x2=5 (2)x2-6x+5=0: 由； C.x1=1,x2=-5 D.x1=-1,x2=-5 (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根， 8.已知k,b是一元二次方程(2x+1)(3x-1)=0的两个根，且 k>b,则函数y=x+b的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35= (3)4x2-25x-1=0. 0的根，则该三角形的周长为 A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对 10.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max(a,b)表示 a,b中的较大值，如：max(3,5)=5,max(-3,-5)=-3.按照这个