第1期 1.1 反比例函数 1.2 反比例函数的图象与性质（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

21.(8分)已知反比例函数)=：2的图象分别位于第二、四 23.(9分)已知反比例医数y=-兰 25.(10分)设函数1=点，函数=x+b(k1,k,b是常数， 象限 k1≠0，k2≠0) (1)求k的取值范围： ()若点(-1+多，-2)在此反比例函数图象上，求的值； (1)如图12，若函数y,和函数y2的图象交于点A(1,m),点 (2)若点A(-4,y1),B(-1,y2)是该反比例函数图象上的两 (2)若点(xy)和(x2,2)是此反比例函数图象上的任意两 B(3,1),求函数y1,y2的表达式； 点，试比较函数值y,y2的大小 喻 (2)若点C(2,)在函数y1的图象上，将点C先向下平移3个单 ①当>0,4>0，且x1=西+2时，求2上的值： 位，再向左平移5个单位后得到点D,点D恰好落在函数y,的图象 yIy2 上，求n的值. ②当x1>x2时，试比较y1,y2的大小 初中数学 留 擊 湖 26.(I0分)如图13，反比例函数y=点(k>0)与长方形0ABC 湘 教 教中考同 6 22.(8分)已知函数)，小明研究该函数的图象及性质 在第一象限相交于D,E两点，04=2,0C=4,连接0D,0E,DE.记 时，列出y与x的几组对应值如下表，请解答下列问题： 24.(9分)如图11，点A的坐标是(0,6)，点B的坐标是(-2， △OAD,△0CE的面积分别为S1,S2 x…-4-3-2-11234… 0),将线段AB绕点A逆时针旋转90°后得到线段AC. (1)填空： y… -2-3-6-3 (1)求点C的坐标： ①点B坐标为 测卷 (1)完成表格； (2)若反比例函数y=左的图象恰好经过AC的中点D,求k的 ②S1S2(填“>”“<”或“=”)； 中考同步达标检测卷 (2)在如图10所示的平面直角坐标系x0y中，描出以各对对应 y (2)当S1+S2=2时， 值 值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①求k的值及点D,E的坐标； (3)写出该函数的两条性质：① ②试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积 ② 6-5-4-3-2 2345678 参考答案见下期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话， 2025年7月3日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 数评橘 期总第1145期 (湘教中考) 0351-5271248 2025~2026学年 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F 《中考数学湘教〉 九年级上册 专通销导 如图1，过反比例函数y= (k≠0)图象 编辑计划 反比例函数与一次函数心连心 上任意一点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，连接 第1期 A0,则S=k1,SAw=Sn=', 1.1反比例函数 ⊙山东魏雨萱 这就是反比例函数k的几何意义.下面举例加 一、图象问题 1.2反比例函数的图象与 例1在同一平面直角坐标系中，函数y= B(-1,-m),由图象可知，当kx≤ 2时，x的 以说明， 性质 x+1(k≠0)和y=k(k≠0)的图象大致是 取值范围是-1≤x<0或x≥1.故选A. 第2期 三、综合问题 1.3反比例函数的应用 例3如图2，一次函数 第3期 +b的图象与反比例 《反比例函数》章节测试 函数y2= 6的图象交于点 例1 第4期 如图2，反比例函数y= 的图象经 A(1,m)和点B(n,-2) 2.1一元二次方程 (1)求一次函数的表达式； 过矩形ABCD对角线的交点E和，点A,点B,C在 221 元二次方程的解法 解：当k>0时，一次函数y=hx+1经过第 (2)结合图象，写出当x>0时，满足y x轴上，△OCE的面积为6，则k= 第5期 三象限，反比例函数y= k位于第一、三 y2的x的取值范围： 解析：过点E作EF⊥BC,则EF=之AB, 一元二次方程根的判 (3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标 象限；当k<0时，一次函数y=x+1经过第 设E点坐标为(a,b),则A点的纵坐标为 别式 原点，请直接写出一个反比例函数表达式，使它 2b,则可设A点坐标为(c,2b), *2.4一元二次方程根与 、二、四象限，反比例函数y=位于第二、四 的图象与平移后的一次函数图象无交点 因为点A,E在反比例函数y=冬上，所以 系数的关系 象限.故选D 解：(1)由题意，得m=6,n=-3,所以 2.5一元二次方程的应用 A(1,6),B(-3,-2), b =k=2bc,解得a=2c,故BF=FC=c,所 二、取值范围问题 第6期 例2如图1，正比例函 一元二次方程》章节测 由题意得+6=6， 解得k=2,所 以0C=3c,故soam=7×0C×EF=2×3c 数y=kx与反比例函数y= L-3k+b=-2, b=4, ×b=6,解得bc=4,所以k=2bc=8.故填8. 试卷 第7期 2的图象交于A(1,m),B两 次函数的表达式为y=2x+4, 重点精讲 (2)由图象可知，当x>0时，满足y1> 3.1比例线段 位时，x的取值 的x的取值范围为x>1. 3.2平行线分线段成比例 点，当kx≤ (3)一次函数y=2x+4的图象平移后为3 )的几何意义解密 3.3相似图形 范围是 =2x,函数图象经过第一、三象限，要使正比例 ◎湖南孙菊香 第8期 A.-1≤x<0或x≥1 函数y=2x与反比例函数没有交点，则反比例 例2 如图3，A是双曲 3.4.1相似三角形的判定 B.x≤-1或0<x≤1 的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的 十 线y= 8(x>0)上的一点， 第9期 C.x≤-1或x≥1 k<0,所以当k=-1时，满足条件， 点C是OA的中点，过点C作 3.4.2相似三角形的性质 D.-1≤x<0或0<x≤1 所以反比例函数的表达式为y= 3.5相似三角形的应用 解：因为正比例函数y=kx与反比例函数 1(答案 y轴的垂线，垂足为D,交双 曲线于点B,则△ABD的面 0 3.6位似 三的图象交于A(1,m),B两点，所以 不唯一，k<0即可) 积是 第10期 【对应练习见《重点集训营》】 解析：因为点C是OA的中点，所以S△Aw= 《图形的相似》章节测试 S△ocD,S△ACB=S△o,所以S△AcD+S△Ac 题型空间 象的另一个交点为 SAocD+S△cB,所以S△BD=S△BD, 第11期 解析：因为正比例函数y=ax与反比例函 因为点B在双曲线y= 8上，BD1y轴，所 4.1正弦和余弦 曲线的对称性妙解题 数y=名的图象都关于原点对称，两函数图象 4.2正切 ⊙甘肃陈炜 以SAORD=2 ×8=4,所以SD=4.故填4 交于点A(m,n),所以这个函数图象的另一个交 第12期 、轴对称性 点为(-m,-n).故填(-m,-n) 例3如图4，平行于y 4.3解直角三角形 例1 互不重合的两，点A(x1,y1),B(x2,2) 例3如图，点P(3a,a) 轴的直线与函数y1= 4.4解直角三角形的应用 第13期 皆落于反比例函数y=了的图象上，当直线AB是反比例函数y=←(k>0) >0)和，=2(x>0)的 《锐角三角函数》章节测 与第二象限角平分线垂直时，x1,的值等于 的图象与⊙0的一个交点，若 图象分别交于A,B两点，OA 试卷 图中阴影部分的面积为5π 交双曲线y2= 第14期 解析：由直线AB与第二象限角平分线垂直则反比例函数的表达式为 2于点C,连接CD,若△0CD的 5.1总体平均数与方差的 可知A,B关于直线y=-x对称，所以1=-y2, 面积为2，则k= 估计 2=-y,因为互不重合的两点A(x1,),B(名2， 解析：因为反比例函数y=k(k>0)的图 解析：设A(m, ),C(, 2),则B(m, 5.2统计的简单应用 《用样本推断总体》章节 )皆落丁反比例函数y=子的图象上，所以象是中心对称图形，所以·0P=5,解得 2).D(m,0),因为San=20Dy= ·m 测试卷 x1y=x22=7,所以x1x2=x(-y)=-x1y10P=25,故有(3)2+a2=(25)2,解得a= 2 =2,所以m=2,即” 1 n 二1 第15期 =-7.故填-7. 2(负值舍去)，所以点P(32,2) 1 九年级上册复习 二、中心对称性 k- 例2已知正比例函数y=ax与反比例函 把点P(32,2)代人y=中，解得k=6, 又因为Saon=S△D-S△4cm= 数y=产的图象交于点4(m,),则这个函数图所以反比例函数的表达式为y=。故填y=名 m (m-n）=2 =4,所以k=2 十 解得k=8.故填8. 2 素养专练 数理极 1.1反比例函数 4反比例函数y:女的图象 重点集训营 1.下列函数中，是反比例函数的是 如图1所示，则k的值可能是 1.一次函数y=ax+1与反比例函数y=-” A.y=2026 B.y=2026 ( 在同一坐标系中的大致图象是 A.-2 B.2 C.y=2025x2+2026x D.y=-2026 C.4 D.8 图 2.下面每个选项中的两种量成反比例关系的 5.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y 产子 是 ( 3与一次函数y=x+3的图象大致是 A.a和b互为倒数 2.正比例函数y=x的图象与反比例函数 B.圆柱的高一定，体积和底面积 C.被减数一定，减数和差 k的图象有一个交点的纵坐标是2，当-3< D.除数一定，商和被除数 <-1时，反比例函数)=上的取值范围是 3.已知函数y=(k-2)x3(k为整数)，当 k为 时，y是x的反比例函数 4.若函数y=4+3是关于x的反比例函数， 3.如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象 6.在反比例函数y= -2-E(k为常数)的 与反比例函数为=”(m≠0)的图象交于点A, 则a满足的条件是 5.已知y与2z成反比例，比例系数为k,z与 图象上有三个点(m,y),(-2,2),(-√0，)，B,与x轴交于点F,与y轴交于点C,点A的坐标为 则函数值y1,y2,y3的大小关系为 ) (6,2),点B的坐标为(a,-6). 之成正比例，比例系数为么和，是已知数， A.y1<y3<y3 B.y1<5<2 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 且k·k2≠0，则y关于x成比例（填“正” C.y2<y3<y1 D.y3<y1<y2 (2)若点E是点C关于x轴的对称点，求 7.如图2，反比例函数的图象与一次函数△ABE的面积. 或“反”) y=-2x+3的图象相交于点P,点P到y轴的距 6.写出下列函数表达式，指出其中的正比例 函数和反比例函数，并写出它们的比例系数。 离是1，则这个反比例函数的表达式是 (1)火车从石家庄驶往相距约277km的北 京，若火车的平均速度为60km/h,求火车距石家 数理报社试题研究中心 庄的距离s(km)与行驶的时间t(h)之间的函数 参考答案见下期 表达式； (2)某中学现有存煤20t,如果平均每天烧煤 辅助线周周练 xt,共烧了y天，求y与x之间的函数表达式 图3 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往是 8.反比例函数y=(x<0)的图象如图3 难点，因此本学期我们将开辟一个专门练习添加 辅助线的学习板块，希望同学们好好练习. 所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为3，则k的值为 1.如图1，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点A的坐标为(-1,2)，点B在x轴正 9.如图4，点A(1,-3)在反比例函数y= 半轴上，点D在第三象限的双曲线y=15上，过点 7.已知关于x,y的反比例函数的表达式为 点(x>0)的图象上，AM上x轴于点M,点B是反 y=+3 C作CE∥x轴交双曲线于点E,则CE的长为 号，确定a的值，求这个函数表达式 比例函数y=(x>0)的图象上一动点，过点B 作BW⊥y轴于点N. (1)求反比例函数的表达式； (2)连接MN,BM,小华说：“当xg>√5时， SAv随着xB的增大而减小.”你同意小华的说法 吗？请说明理由. 图1 2.如图2，菱形OABC的两个顶点A,C在反比 例函数y=冬（≠0）的第一象限内的图象上，已 1.2反比例函数的图象与性质 知菱形OABC的面积为6，点B坐标为(3√2， 1.若反比例函数的图象经过(-2,2)，(1， 32),则k的值为 a),则a的值为 () B.-1C.4 D.-4 Y匿▣怕uwH米9头￥厘明Oav0: A.1 2若反比例函数y=4-2m的图象在一、三 亲Y单环学中出唑‘(wu)D道‘(uw)V1‘HO =Q0‘IO=IW适徵‘H03V云Q0VVI1孙 象限，则m的值可以是 () 阴等部‘a学上陟xTa门‘1学上陟*TJV'd A.1B.2 C.3 D.4 学上陟(TIV0学士卒‘OVa0买乙 3.在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y= 半口目 图象经过点P(1,m),且在每一个象限内，随x 4乐9I学￥‘HV=30=NV适徵‘O9aV云 aNvV‘a的3V云VH0V▣‘W学土哦xTNV 的增大而减小，则点P在 ( V学‘H学上形斗明Q日交形本陟x A.第一象限 B.第二象限 V学丹3学士a0衫锤聘x0学丹1 C.第三象限 D.第四象限 【兰群】 C.y= 2 16.如图7，点D是矩形A0BC的对称中心，A(0,6),B(8,0),若 1.1~1.2同步达标检测卷 D- 反比例函数y=上的图象经过点D,交AC于点M,则点M的坐标为 9.若b<0,则反比例函数y=b与一次函数y=ax+6在同 ◆数理报社试题研究中心 坐标系中的大致图象可能是 ) 17.如图8，已知一次函数y=x+b的图象经过点P(4,6),与 (答题时长120分钟，满分120分)】 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列函数中不是反比例函数的是 水轻 反比例函数)=是的图象在第一象限交于点Q(m,).若一次函数) 的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 A.y=2 B.y=x C.xy =3 D.y=2* 2.已知函数y=上的图象过点(2，-1)，则该函数的图象在 10.如图3，在平面直角坐标系中，0为坐标原 点，直线y=-x+b交反比例函数y=3(x>0) 2 ( 2026￥ A.第二、三象限 B.第二、四象限 的图象于点A,B(点A在B的左上方)，分别交x轴 图8 图9 C.第一、三象限 D.第三、四象限 y轴于点C,D,AE⊥x轴于点E,交OB于点F.若图 18.如图9，在反比例函数y=1的图象上有P,P,P,…,P6 图3 3.如果等腰三角形的面积为10，底边长为x,底边上的高为y,那 中四边形BCEF与△A0F的面积差为)，点E(1, 等点，它们的横坐标依次为1,2,3，·，2026，分别过这些点作x轴与 么y与x之间的函数关系式为 ( 0),则△ABF与△OEF的面积差为 y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S,S2, Ay=10(x>0) Ry=2(x>0) 初 A.1 B方 C.2 0. S3,…,S2024,S25,则S1+S2+S3+·+S224+S2025= 三、解答题（本题共8小题，共66分） 初 中 cy-2x>0) D.y=0(x>0) 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 中 19.(6分)已知y与x成反比例，并且x=3时，y=2. 数学 4.若函数y=(m-1)x-2是反比例函数，则m的值是 11.反比例函数y=- 系的比例系数为 (1)求y和x之间的函数表达式； 湘教· (2)当y=3时，求x的值. 中 A.±1 B.-1 C.0 D.1 12.若反比例函数y= 4的图象经过点(-2，m),则m的值是 考 同 5.如图1，点A是反比例函数y=- (0) 步 达 的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD,使点 13.如图4，反比例函数y=6的图象经过点A(m,3),则当y< 标 B,C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD 检 3时，x的取值范围为 湘教中考同步达标检测卷 测 的面积为 ( 图 卷 A.2 B.4 C.8 D.16 6.已知反比例函数y=-三，则下列描述正确的是 A.图象位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大 20.(6分)已知关于x的反比例函数y=?的图象经过点 C.图象不可能与坐标轴相交 n.图象必经过点（子，-号）】 5 14.如图5，四边形ABCD是平行四边形，点A(1,0),B(3,1), P(-2,18). 7.若点A(x1,-1),B(x2,2),C(x3,3)在反比例函数y= C(3,3),反比例函数的图象经过点D,则反比例函数的表达式是 (1)求这个反比例函数的表达式： 二m-山的图象上，则1，出2x,的大小关系是 (2)当4≤x<6时，请直接写出y的取值范围. ( x A.x3>x2>x1 B.x3>x1>x2 15.如图6，正比例函数)=x与反比例函数y=4的图象相交 C.x1>x2>x3 D.x1>x3>x2 于A,C两点，AB⊥x轴于点B,CD⊥x轴于点D,则四边形ABCD的 8.如图2，正比例函数y=x与反比例函数y 面积为 =的图象相交于A,B两点，4C1y轴，垂足为C, 若△ABC的面积为4，则此反比例函数表达式为 A.y= B.Y=