第9期 二次根式 章节检测-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

八年级数学湘教第6一9期 教理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教 第6~9期(2025年8月) 6期检测卷 由题意得：”=治+品 x 一、选择题 解方程，得x=30. 题号1 23 45 6 7 8910 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意， 答案B 则1.8x=1.8×30=54. 提示： 所以走路线二的平均车速是每小时54千米， 9.解：因为x※(x+1)=2: 3 18.解：将方程两边同乘x+1,得kx-(x+1)=3, 4 所以1+L 3 +x+x+=2, 解得x=-了 由于分式方程的解为整数， 即 1 所以k-1=±1或k-1=±2或k-1=±4， 方程两边都乘2(2x+1),得2=2x+1. 解得k=2或k=0或k=3或k=-1或k=5或k=-3. 由于分式方程的增根为x=-1, 解得x=2 当x=-1时，k-1=-4,解得k=-3, 检验：当x=7时，2(2x+)≠0 因此k≠-3， 又k为负整数，所以k=-1. 所以原方程的解为x=子 三、解答题 a 1=5时， + 19解：(1)原式=-a5.4ed 2e 5a'b C 2bd abe 1 =-5ae ab bc +ca ab bc ca abc 2题武=+÷() 1 x-3 x-3 c a (x+3)÷x+3 2 2+6+ 动 1 2 =x+了 20.解：(1)由于最简公分母为2(2x-1), a 于是将方程两边同乘2(2x-1), 2 21 =3+4+5=12=6 得2(x-2)+2(2x-1)=-3, 二、填空题 解得x=2 1 10:126:13.8g;147;150:16.5: 检验：将x:代入原分式方程，方程右边的值为。，不 17.54;18.-1. 提示： 存在这种数，因此：=宁不是原分式方程的解，从面原分式方 17.解：设走路线一的平均车速是每小时x千米，则走路线 程无解。 二平均车速是每小时1.8x千米， (2)由于最简公分母为(2x+5)(5x-2), 八年级数学湘教第6~9期 于是将方程两边同乘(2x+5)(5x-2),得 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意. 2x(5x-2)-5(2x+5)=(2x+5)(5x-2), 答：这项工程的规定时间是30天 解得=一 (2)设该工程由甲、乙队合做完成需要m天. 经检验：=一号是原分式方程的解。 根据题意，得（分+3丈动加：山 解得m=22.5. 业解源实[别昌 22.5×(6500+3500)=225000(元). =-3x+2.-1 答：该工程的施工费用为225000元. (x-1)2x-2 26.解：(1)-2，-3. =x-2)(x-12.(x+1)(x-1) (2)根据题意，得mn=-5,m+n=-2, (x-1)2 x-2 =x+1. 所以+”=m+.m+m2-2m。-4 m n mn mn 要使分式(2+己：号的值作在。 (3)原方程整理，得x-2-2+3业：-k-3, x-2 则x-1≠0，x+1≠0，x-2≠0， 所以x-2+=2k,3》=k+(-2k-3), 解得x≠1，x≠-1，x≠2，所以x=3. x-2 当x=3时，原式=3+1=4. 所以x1-2=k,x2-2=-2k-3, 22.解：设上个月鸭蛋的价格为x元/千克，则本月鸭蛋的 所以支~2 k 1 价格为(1+25%)x元/千克. 6+1=-2k-1+1=-2 根据题意，得60-160 7期2版 x(1+259%)x=2.解得x=16. 3.1.1二次根式的有关概念 经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题意. 1.B;2.-2. 所以(1+25%)x=20. 3.解：(1)因为x2≥0，所以x2+2≥2>0， 答：本月鸭蛋的价格为20元/千克. 所以当x取任何值时，√2+2都有意义， 2双解：由p-+方知x≠0 故x为全体实数 所以-3x+1=5. (2)由题意，知x-4≥0， 所以当x≥4时，√x-4有意义. 即x+↓-3=5， x+1≥0， (3)由题意，知 1-x≥0， 所以x+1=8. 解得-1≤x≤1， 所以1=++1(+-1=6级 所以当-1≤x≤1时，x+1+√个-x有意义. 2x2 x2 1 所以+2+1=63 (4)由题意，知-1≥0， x-3≠0， 解得x≥1且x≠3， 24解：方程，525=2严两边乘（任-2 得4x-5(x-2)=-mx. 所以当≥1且x学3时，写有意义 整理，得(1-m)x=10. 3.1.2二次根式的性质 因为关于x的方程2-5=无解， 1.C;2.A;3.2x-7. 所以x=2或1-m=0, 4解：(-8√食) 解得m=-4或m=1. 25.解：(1)设这项工程的规定时间是x天 =-8P×(√食) 根据题盆，得（生+安x15+9=1, =64x 解得x=30. =24; 2 八年级数学湘教第6~9期 (2)-√(1-2)月 (3)由题意，得c>0,a≥0，b≥0， =-11-21 所以ab(√ac÷) =1-2; ·c=√a6 =c (3)√+(2- =aB. =+622+ 7期3,4版 一、选择题 =++ 题号12345678910 答案BC B CCADDD D 可 提示： =2+1. 9.解：因为√x-3≥0，√3-x≥0， 所以x-3≥0,3-x≥0， 3.2.1二次根式的乘法 所以x=3, 1.B:2.D:3.6;4.3;5.x≤4；6.2 所以y=x-3+3-x+2=2, 7.解：(1)√14×2=√7×2×2 所以x=32=9. =7×2=2万； 10.解：因为x=a,代数式x2+2x+√n-2的值为-1， (2)√gx25x(-而) 所以a2+2a+n-2=-1, 所以(a+1)2+n-2=0, =厚x25x(3而) 所以a=-1,n=2. 所以x=-a时， =2×(-)×√停x3x10 x2+2x+n-2 =-4⑧=-√4x3 =(-a)2-2a+√n-2 =-45 =12+2+0=3. (3》2b·√4 二、填空题 1.2:2x≥8：1332,146：15.1516.> √12ab.9g 4 =√27ab n.13,2);18 =√9a.√/36 提示： 18.解：如图所示，延长AP交BC于 =3a2√3b. 点D, 3.2.2二次根式的除法 过点A作BC的垂线交BC于点E. 1.B;2.5;3.2. 4.解：(1)3√27÷22 在Rt△APB中，AP=√5cm, 厚月 ×3×3×2 BP=2√5cm, 2×2 则AB=√(5)2+(25)2=√23(cm). 6 对于Rt△APB和Rt△DPB, 2后×写(-v 因为BP是∠ABC的平分线， 所以∠ABP=∠DBP. 又因为BP=BP,∠APB=∠DPB=90°， 所以△APB≌△DPB(ASA), 所以BD=AB=√23cm,DP=AP=√5cm. 又因为AB:BC=2:3,所以BC=号√2万(m), 一3 八年级数学湘教第6~9期 所以c=Bc-B助=(m。 所以a-2026+√a-2027=a, 所以√a-2027=2026, 所以San=号×AD×BP=子×BD×AE, 所以a-2027=20262, 即片x2x25=?×万×A北 所以a-20262=2027. 解得AE=4 2解：要使该二次根式有意义.需十6三0 (cm). √23 由除法法则，得-1≥0，或-1≤0， 过点P作BC的垂线交BC于点F. l3x+6>0l3x+6<0. 在Rt△DPF和Rt△DAE中， 解得x≥1或x<-2. ∠PDF=∠ADE,∠PFD=∠AED, 所以，当x≥1或x<-2时，√于6有意义 所以∠FPD=∠EAD, 所以△DPF∽△DAE, 24.解：y=0-4x+4-x+3 所以货-器=宁 =√(x-2)7-x+3 =1x-21-x+3. 所以PF=号AE=2(m. 2 当x=1时，y=3; /23 当x≥2时，y=x-2-x+3=1, 则S△APc=SAADC-S△PnC 即当x分别取2,3，…，2026时，y的值均为1. 1 =2×DC×AE-2×DC×PF 综上所述，当x分别取1,2,3，…，2026时，所对应的y值的 总和是：3+2025×1=2028. 23 25.解：根据二次根式有意义的条件，得 j0+b-23≥0解得a+b=23, l23-a-b≥0， 三、解答题 所以√3x-y-7+√x-2y-4=0, 1 19解：(1)√2× 所以3x-y-7= 0解得=2， lx-2y-4=0,y=-1. 图* 所以7x-y26=7×2-(-1)226=13 26.解：(1)3； =2=25: (2)根据题意，得13-a1+1a-71=4. ②5万x5方 当a<3时，3-a>0,a-7<0, 所以(3-a)+(7-a)=10-2a=4, =5x75÷(万×月 解得a=3(舍去)； =21. 当3≤a≤7时，3-a≤0，a-7≤0， 20.解：32×25×26 所以(a-3)+(7-a)=4; 当a>7时，3-a<0,a-7>0, =3×2×2×/2×3×6 所以(a-3)+(a-7)=2a-10=4, =72(cm3). 解得a=7(舍去). 答：这个长方体的体积为72cm3. 综上所述，a的取值范围是3≤a≤7. 21.解：(56)2=150，(65)2=180. 8期2版 因为150<180， 3.3.1二次根式的加减运算 所以56<65. 1.C;2.A;3.D;4.1-25. 所以-56>-65. 22.解：根据二次根式有意义的条件，得a-2027≥0， 5.)-3B;(2)-5,;(3)7+3 所以a≥2027. 6.解：85+25+33+65+5=203（千米）. 因为|a-20261+√a-2027=a, 答：他们共走了203千米， 4 八年级数学湘教第6~9期 7.解：(1)答案不唯一，如3+√2,3-√2. =5-42, (2)设这两个共轭实数为x+yWE与x-y. 所以若输入数字3，则输出的结果是5-42. 因为这两个共轭实数的和是10，差的绝对值是46， 10解：分压+6√后-4店 所以(x+yt)+(x-yE)=10, I(x+y)-(x-y)1=46, =2+6誓-4 所以2x=10,12yE1=46, =x+2x-4x 解得x=5,y=2或y=-2,t=6. =-x√E. 所以这两个共轭实数是5+26,5-26. 因为有意义，所以x≥0，WE≥0， 3.3.2二次根式的混合运算 1.A;2.C;3.B;4.D; 所以-x≤0，所以-x√≤0. 5.xs-5+3 二、填空题 4 11.56;12.5；13.x=22;14.363; 6.(1)-6;(2)-2;(3)-122. 15.5;16.45-2;17.√2+5；18.4. 7.解：原式=E-(E++(E- 提示： +√厅 E-厅 15.解：a2=(万+3)2=16+67， =E-万+E-万 62=(3-万)2=16-6万， =2R-2. 两式相加并化简，得a2+2=32, 当=5y=与时， 所以a+6-7=√32-7=25=5 原式252月 16.解：因为3<8,27>2， 所以3*8+27*2 =25-25 =(5-⑧)+(27+2) 5 =5-22+35+2 =8⑤ 51 =45-2 重点集训 17.解：设C的长为x,宽为y, 1.A;2.A;3.D;4.6. 则B的长为x+y,宽为y, 5.解：根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边 A的边长为x 长是3， 因为A的面积为2，所以x=√2 所以阴影部分的宽是2-√3， 因为拼接后的大正方形的面积为5， 长是5-(2-5)=25-2. 所以x+y=5,所以y=5-2, 所以阴影部分的面积为(23-2)(2-√3)=65-10. 所以题图5中原长方形的长为 8期3,4版 x +x+y=2x+y 一、选择题 =22+5-2 题号12345678910 =2+5 答案BBCDCBADDB 18.解：因为a+36=8,b+3a=8, 提示： 所以a-b+3万-3a=0, 8.解：由题意，得AB=CA=√2-1， 故(a+b)(a-5)-3(a-√b) 则点C的坐标为x=1-(2-1)=2-2, =(a-6)(a+b-3) 故x+2=2-2+2=2. =0. 9.解：由题意，得3÷3-√2=1-2<1， 因为a≠b,所以a≠√b,√a-√b≠0， 所以(1-2)×(3-2) 所以a+√6=3. =3-2-32+2 因为a+b+3(a+6)=16, -5 八年级数学湘教第6~9期 所以a+b=7, 所以5+√5的整数部分a=6, 即（√a)2+(b)2=(a+b)2-2ab=7, 小数部分b=5+√3-6=5-1： 所以√ab=1, 3-3的整数部分c=1, 则原式=3+1=4. 小数部分d=3-√5-1=2-5， 三、解答题 所以ab-cd=6(√5-1)-(2-√5) 19解：瓜-5×√层 =65-6-2+5 =32-2=22; =75-8. 2厄÷(+等) 24.解：由题意，得正方形纸板的边长为√50cm,剪掉的小 正方形的边长为√2cm =(语+9】 (1)这个长方体盒子的容积为 (/50-22)2×2=182(cm3). =厄： (2)这个长方体盒子的侧面积为 =25×12 (√50-22)×√2×4=24(cm2). 115 25.解：(1)(2，-2)★(5,3-5) 浩 =-25-2×(3-5) 20.解：(1)(2+5-√6)（√2+5+6） =-25-6+25 =(2+5)2-(6)2 =-6. (2)(x+y,2x+y)★(2x-y,4x-y+5) =2+26+3-6 =(2x+y)(2x-y)-(x+y)(4x-y+5) =26-1: =4x2-y2-(4x2-xy+5x+4xy-y2+5y） 211-51+音41- =4x2-y2-[4x2-)2+5(x+y）+3xy] =-5(x+y）-3xy =5-1+26-95 5x5+1 将x+y=√2，xy=-5代人，得 =√5-1+26-33+1 原式=-5×2-3×(-5) =26-25. =-52+35. 21.解：原式=5+√-4-x= 26.解：(1)因为x=√10-3，所以x+3=√10. 当=方y=4时， 两边平方，得(x+3)2=10, 所以x2+6x+9=10, x5-5 原式√兮×4=√ 所以x2+6x=1, 所以x2+6x-8=1-8=-7. 22.解：(1)②： ②原式(6-号)-(+) (2)因为x=5-1 2 所以2x=5-1, =26---6 所以2x+1=5. =26-6-(Ξ+) 两边平方，得(2x+1)2=5, 所以4x2+4x+1=5, =6-32 所以4x2+4x=4,所以x2+x=1, 4 所以x3+2x2=x2+x2+x2 23.解：因为1<3<4， =x(x2+x)+x2 所以1<5<2，-2<-5<-1， =x+x2 所以6<5+5<7,1<3-5<2， =1. 一6 八年级数学湘教第6~9期 9期检测卷 所以当√m-4>0时， 一、选择题 m-4+ 1 -≥2 /(m-4) -=2 题号12 3 4 5 6 7 8 910 m-4 /m-4 答案DB BC 当且仅当√m-4= 1 ,即m=25时取等号， m-41 提示： 9.解：当腰长为√2时，三角形的三边长分别为√2， 所面+22+4=6， 2,√50，不满足三角形的三边关系； 当且仅当m=25时取等号， 当腰长为√50时，三角形有三边长分别为√12,50， 所以当m>1时，m+ 1一的最小值为6. √50，满足三角形的三边关系，此时周长为 √m-4 2+250=25+102. 18保将厅分母有理化，得 综上可知，三角形的周长为25+102. 1 3+万 =3+万 10.解：设x=√6-3万-√6+3万， 3-万(3-万)(3+万) 2 因为√6+35>√6-35， 因为2<万<3，则5<3+万<6， 所以x<0, 所以25<3+万<3， 2 所以x2=6-35-2√(6-35)(6-35)+6+35， =12-2×3=6, 所以2专的整数部分是。：2， 所以=-6. 小数部分是6=3+万-2， 二、填空题 2 11.x≥19；12.3；13.3；14.2-5；15.25； 即6=万-1 2 16.-2a-b;17.6;18.10. 将a,b的值代入a2+(1+万)ab,得 提示： 15.解：因为x+y>0,且xy=3, 2+(1+万)x2x万-1 2 所以x>0,y>0, =4+(万+1)（万-1） Y =4+7-1=10, =y+x 所以a2+(1+万)ab的值为10. y 三、解答题 =xy+xy 19解号-4厄+3√ =2√y =25. =子×35-4×26+3× 16.解：由题图得b<-√2,0<a<2, =25-85+5 所以a-2<0,b+2<0,a>b, =-55； 所以原式=(2-a)-(b+2)-(a-b)+(-b) (2)(万+5)（万-5）+（万+1） =2-a-b-2-a+b-b =7-5-(7+2万+1) =-2a-b. =7-5-7-2万-1 17.解：由题意，得 =-6-2万. m+1 m-4 20.解：原式=3aa+4√a-5a=(3a-1)√a. =√m-4+ 1一+4. √m-4 当a=之时，原式= 41 因为m-4与1同号， m-4 21.解：因为4=2+3,6=5+3， 2 7 八年级数学湘教第6~9期 所以原式=(a-b)2 (2)因为a+63=(m+n√5)2=m2+3n2+2mn5, =(+3-竖-3月 a,m,n都是正整数， 所以a=m2+3n2,2mn=6, =()- 所以mn=3, 所以m=1,n=3或m=3,n=1. 22.解：(1)根据题意，得h=20×3=60(米)， 当m=1,n=3时，a=12+3×32=28: 所以=V图--2（梦 当m=3,n=1时，a=32+3×12=12. 综上所述，a的值为28或12. 答：该物品落地的时间为23秒. 64 (3)设21+45=(x+y5)2,x,y都是正整数， (2)该玩具最低的下落高度h=10×0.=64(米)， 展开，得x2+5y2+2y5=21+45, 所以t= √便-V-3576 所以x2+5y2=21,2y=4, 解得x=1,y=2, 答：最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人 故√/21+45=1+25. 23.解：因为a一 b a(2+1) 5-12(2-1)(2+、2 原式=√6-25+W6+25 =ia+a-经0 =(5-1)+(5+1) =25 =(a-）E+a =3-22, a,b都是正整数， 所以a--2.a=3, 解得b=10. 24.解：(1)长方形绿地的周长为 （√128+√50)×2=262（米）. (2)通道的面积为 128×√50-2×（√13+1）×（√13-1）=56（平方 米)， 购买地砖需要花费6×56=336（元）. 1 /1 25.解：(1)√4+6=5√6 (2)/n+ 1 n+2 =(n+)√n+2 证明如下： m2+2n+1 (n+1) n+2=√n+2 =√n+2 =(n+1)√n+2 1 (3)原式 1 /1 =100√0×200√20×/40×/1T 1 1 =100×200×√10×√201 ×2×/20I×√01 =200002. 26.解：(1)m2+7n2,2mn; 一8《二次根式》章节检测卷 ◆数理报社试题研究中心 (答题时长120分钟，满分120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列式子中，不是二次根式的是 A.5 B.0.6 c月 D.3-m 必 2.化简(-√万)2的结果是 A.-7 B.7 C.±7 D.49 3.计算√125-45的结果是 A.1 B.5 C.35 D.5 4.最简二次根式2n与6可以合并，则m,n的值分别 为 A.3,2 B.2,2 布 C.2,3 D.3,3 5.关于x的方程3x-3=5的解为 A.x=5 B.x=1-√3 C.x=1+3 D.x=1 6.使等式√2(x+1)=-x√x+I成立的x的取值范 围在数轴上表示为 01 -101 -10 A B C D 7.已知y=√x-8+√8-x+18,则代数式：+厅的 阳 值为 A.52 B.55 C.-2 D.-√3 8.对于任意的实数m,n,定义一种运算“*”，m*n= m(m-n)+n(m+n),则2*5 = () A.5 B.6 C.7 D.8 9.若等腰三角形的两边长分别为√12和50，则这个三 角形的周长为 ( A.25+102 B.45+52 C.43+102 D.45+52或25+102 10.我们可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特 点的无理数，如：对于√3+√5-√3-5，设x=√3+5 -√3-5，易知√3+5>√3-5，故x>0,由x2= (√3+5-√3-5)2=3+5+3-5-2 √(3+5)(3-5)=2，解得x=2,即√3+5 √3-5=2.根据以上方法，化简√6-35-√6+3万 后的结果为 () A.-65 B.-6 C.6 D.-12 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11.若式子√x-9在实数范围内有意义，则实数x的取 值范围是 12.化简：6×E 2 13.已知12x是整数，则正整数x的最小值是 14.计算(5+2)23×(5-2)24的结果是 15.已知x+y>0,且xy=3,则yA 16.实数a,b在数轴上对应的点b 如图1所示，化简：1a-√21+1b+-V2 0 图1 21-la-b1+= 17.由于对任意正整数a,b,有(a-√万)2≥0，所以a 2√ab+b≥0，所以a+b≥2√ab,当且仅当a=b时，等号 成之.根据上述信息，得当m>1时，m+后4有最小值 为 18.设 3-万 的整数部分是a,小数部分是b,则a2+(1+ 万)ab的值是 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19.(6分)计算： )号m-4厄+3 (2)(万+5)（万-5）-（万+1）2. 20(6会)先化简，再求值：vo厅+1而-2√臣，其 中a=2 21.(8分)已知a=反+3,6=竖+3，求代数式 a2-2ab+b2的值. 22.(8分)小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见 24.(9分)如图2，某居民小区有块形状为长方形的绿 提示的“高空抛物害人害己”广告牌.为进一步研究高空 地，长BC为√128米，宽AB为√50米，现在要在长方形绿地 抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时 中修建两个形状、大小相同的长方形花坛（图中阴影部分），每 间1（单位：）和高度（单位：m)近似满足公式1-√西（不 个长方形花坛的长为（√13+1）米，宽为（√13-1）米. (1)求长方形绿地的周长（结果化为最简二次根式）； 考虑风速的影响，g≈10m/s2,√5≈2.236). (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通 (1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m,假如从 道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则 小明家顶部坠落一个物品，求该物品落地的时间（结果保留 购买地砖需要花费多少元？ 根号)； (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的 动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度 (米)，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过 图2 几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 25.(10分)综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到 一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的 探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 等式1：√1+写 =2 等式2：2+子 3 V4; 23.(9分)已知正整数a,b满足万“，-名=3-22， 1 等式3：√3+5 =4/ 1 2-12 5 求a,b的值 等式4：」 (2)观察、归纳，得出猜想 n为正整数，猜想等式n可表示为 ,并证明你的 猜想 (3)应用运算规律化简：√99+10×√199+ 01 /402×101. 26.(10分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一 些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22= (2+1)2,善于思考的小明进行了以下探索：设a+b√2= (m+n√2)2（其中a,b,m,n均为整数），则有a+b2=m2+ 2n2+2mn2,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到 了一种把类似a+b2的式子化为完全平方式的方法，请你 仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若a+b万=(m+n万)2，当a,b,m,n都是整数时， 用含m,n的式子表示a,b,得a= ,b= (2)若a+65=(m+n5)2,且a,m,n都是正整数， 求a的值； (3)化简：√7-√21+45+√5+√21+45 些 烯 参考答案见下期