第8期 23.3.3 相似三角形的性质 23.3.4 相似三角形的应用 23.4 中位线-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

中考数学华东师大第6~9期 线理柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学华东师大第6~9期 第6期2版 6.设运动ts能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，由题意得 23.1.1成比例线段 9=孚或=号解得4=4或：=1所以当M,N运动4。 基础训练1.D;2.D;3.B; 或1s能使矩形CFVM与矩形AEFD相似. 4.2;5.3；6.6. 能力提高7.(1)证明：因为∠BAD的平分线交BC于点 7.△ABC是直角三角形，理由：设44=6十3=c+8= 3 2 4 E,所以∠BAE=∠EAF.因为四边形ABCD是平行四边形，所 k,则a=3k-4,b=2k-3.c=4h-8. 以AD∥BC.所以∠EAF=∠AEB.所以∠BAE=∠AEB.所以 因为a+b+c=12,所以3k-4+2k-3+4-8=12, AB=BE.同理AB=AF.所以BE=AF.因为AD∥BC,所以四 所以k=3,所以a=5,b=3,c=4,所以62+c2=32+42= 边形ABEF是平行四边形.因为AB=BE,所以四边形ABEF是 25=a2,所以△ABC是直角三角形 菱形. 能力提高8.(1)BD=12. (2)由(1)知，四边形ABEF是菱形，所以AB=BE=EF (2)根据题意可设AD=x,则BD=5x,所以AB=6x. =FA.又因为四边形CDFE是平行四边形，所以FD=CE,EF 因为点C把线段AB分为2：3的两段，所以4C=号4B =CD,所以AB=BE=EF=FA=CD. 设FD=CE=x,因为四边形ABCD是平行四边形，且AD 号所以cD=AC-0=号-=子 =BC=4,所以AF=BE=CD=EF=4-x,因为□ABCD∽ 因为CD=7,所以了=7，解得x=5.所以4B=6x=30, 口6C0P,所以是-号即。=4：整理得-12x+16 =0,解得x=6±25，因为x<4,所以x=6-25,所以AF 23.1.2平行线分线段成比例 =4-6+25=25-2. 基础训练1.D:2.B:3.2;4.6;5. 3 第6期3版 6.证明：因为口ABCD,所以AB∥CD,AD∥BC,所以CS EF 题号12345678 答案BBCD CD BB 器-年所u紫-乐即c=·6R =9了；10.8：11.18：12号或-2 能力提高7.（①）因为AD∥BE∥CF,所以5=E= AC DF 13.51.2;14.22. 号，所以70=号.所以E=4,所以nF-DE+5F=4 三、15.证明：因为菱形AEFG菱形ABCD,所以∠DAB= ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= +10=14 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB (2)因为点G是DE的中点4D∥E,0G=3,所% =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 16.(1)因为(a+b):(b+c):(c+a)=7:14:9,设a %=宁所以01=6，因为A0∥BE∥CP,所以盟-能 +b=7k,b+c=14h,c+a=9k,则a+b+c=15k,所以a= 所以品=号，所以PH=15 k,b=6k,c=8k,所以a:b:c=1:6:8. 23.2相似图形 (2,驶的值为-品 基础训练1.C:2.D:3.5 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 2；46； 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 5.2y=3x或3y-2x=10. 以BE=BC 中考数学华东师大第6~9期 (2)A北=BC理由：因为D∥BP,所以S-能因为DF ×( CD BD )= AP AD =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC. 第6期4版 18.(1)过点D作DG∥CF,交AB于点G.因为DG∥CF 重点集训营 所以C=BD,因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC,所以 AGF=DC' 1:2 9 BG=GF, a 4.26. 因为DG∥CP,所气-品因为E为AD的中点，所以 第7期2版 AE=ED,所以AF=FG=BG,所以A 1 23.3.1相似三角形 BF=2 基础训练1.C；2.A；3.12;4.2√13 (2)过点D作DH∥CF,交AB于点H.因为DH∥CF,所 能力提高5.(1)因为AB∥CD,所以△ABE∽△DCE, 嘴=畿 所以荒-提=吕=子又因为B∥R,所以器=荒= 因为瓷=士，所以品=太，所以FH=MF,由)知m 3 =BH,所以BH=FH=kMF,所以BF=2AF,所以S AF BF 2kAF (②)因为cD∥E,所以△BEF~△BCD,所品-品， 1 二2水 又因为C0=15,器=子所以EP=CD影-15×2子3 2 19.(1)如图1，连结BC,设AB=x,由翻折的 6. 性质得，∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF =∠BDF=90°. 23.3.2相似三角形的判定（第一课时） 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF= 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 能力提高5.(1)作图略. 图1 ∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD=BC= (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= ∠BAC, 2x,所以AD=AB+BD=(√2+1)x,所以EF=CE=AD= (2+I)x,因为DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF=(2 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=∠BAC,所以∠BAD=∠C, 浙和-得a 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD∽△CBA. 23.3.2相似三角形的判定（第二课时） (2)相似.理由：由(1)知：A5纸长边为A4纸短边，长为 基础训练1.D;2.C；3.2或8； (万+D,A5纸短边长为兰)：，所以在5纸中，长边 4.(1,4)或(3,4). 能力提高5.(1)证明：因为正方形ABCD,所以∠A= 短边=5+)正=万，所以A4纸与A5纸相似. x ∠D=90°，AB=CD,因为CF=3FD,所以FD=子CD,因为 20.(I)过点D作DE∥PM交AB于E,因为点D为BC中 6是40的中点，所以能=D=分4D,所以治=需=宁 点，所以点E是4中点，且品所以他=方 所以△ABE∽△DEF. =3 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD=4a, (2)证明：延长AD至点Q,使DQ=AD,连结BQ,CQ,则四 因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE=2a,DF= 边形AB0c是平行因边形，所以PM∥B0.PN∥c0,所以出 a,所以BE=25a,EF=5a,BF=5a,所以BF2=EF2+BE2, =68=6所= 即LBEF=90°，所以∠A=∠BEF=90,因为Ag==2, AE 2a (3)证明：过点D作DE∥Pw交B于，所以是-品 =-22-2,所以是-华所以△4E△EB歇 5a 又因为P∥AC,所以DE∥4C.所以始=忌所以铝-栏 AB AE 23.3.2相似三角形的判定（第三课时） ×铝-品品同理可得之出品所瑞+光治 基础训练1.A;2.C；3.18;4.①③. AB AC AD 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 一2 中考数学华东师大第6~9期 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5,BC=25, 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC 在△4c和A40D0中，图为品=卓=5%29。 ∠BAE=LBCF=45°.因为BE=BF,所以∠BEF=∠BFE, 所以∠AEB=∠CFB.所以△ABE≌△CBF.所以AE=CF 5铝-言=5，所以%-8%-装所以△AC~△ACn (2)证明：因为∠BEC=∠BAE+∠ABE=45°+∠ABE, 5 ∠ABF=∠EBF+∠ABE=45°+∠ABE,所以∠BEC= 第7期3版 ∠ABF.因为∠BAF=∠BCE=45°，所以△ABF△CEB. 题号12345678 (3)EB=EG,BE⊥EG.理由如下： 答案C CB C CB BB 因为∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC,所以 二9.∠AED=LB(答案不惟-)：10.3；11.丁： 4. △BEF△c6P,所以器-器脚部-8器 12.30°或60°；13.(-4,0)，(-1,0)或(1,0)； 因为∠EFG=∠BFC,所以△EFG∽△BFC.所以∠EGF 14.4或7. =∠BCF=45°.所以∠EBF=∠EGF=45°.所以EB=EG, 三、I5.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= ∠BEG=90°，所以BE⊥EG. ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°，因为∠BFE+ 20.(1)证明：因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE, 以∠B=∠C=45.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以 又∠DGE=∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又∠ACB= ∠BPE+∠BEP=135°. ∠FEG=90°，所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°， 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 所以∠EAC=∠BEF,所以△AGC∽△EFB. ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以∠ADC= ∠C,所以△BPE∽△CFP. ∠BEC=90°，因为LC=LC,所以△ACD△BCE,所以 CE (2)△BPE∽△CFP.理由如下： -能即光-是又因为上C=∠G,所以△CB△6E 因为在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,所以∠B=∠C =45°.因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°，所以∠BPE+ (2)因为点D是BC的中点，AD⊥BC,所以AB=AC,在 ∠BEP=135°. Rt△BEC中，因为CE=6,BE=8,所以BC=10,所以CD= 因为∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，所以 2BC=5, ∠BPE+∠CPF=135°，所以∠BEP=∠CPF,又因为∠B= ∠C,所以△BPE∽△CFP. 因为△4CD~△BCE,所以品所以4D= 所 (3)动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似， AC=空所以AB=AC= 理由如下： 3 同(2)，可证△BPE∽△CFP,得CP:BE=PF:PE,而CP 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠CAB.因 =BP,因此PB:BE=PF:PE.又因为∠EBP=∠EPF,所以 为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC△ACB,所以AD:AC= △BPE∽△PFE. AC:AB,所以AC=AB·AD. 第7期4版 (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为∠DAC= 重点集训营 ∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD=∠CFE,所以 △AFD∽△CFE 1.D:22或号 18I)证明：因为号-能-长所以△ABC一△4DE, 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- (2)因为△ACE兰△ABF,所以AE=AF,∠CAE= ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 ∠B,因为A=A0·AB,4C=AB,所以5-提即号- ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 ∠EBC=∠BAD=21° 长所以△4ACE∽△40 (3)证明由(1)知∠BAD=∠C4E因为光-长所以光 第8期2版 23.3.3相似三角形的性质 =是所以△MBD△ACE 基础训练1.C;2.A;3.A; 3 中考数学华东师大第6~9期 46:516:630 第8期3版 能力提高7.因为DE∥AB,所以∠A=∠CED,因为∠A 题号 1234 5678 答案CA CBBBDA =∠EDF,所以∠CED=∠EDF,所以DF∥AC,所以△BDF 一△BCA,所以Am=( 二、9.10； 10.3；11.22；12.3:13.2;14. 2 SABCA BC 为铝子所以 三、15.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB= 因为 BD BC=BD+CD= ，所以兰 SABCA CD,AB∥CD,所以∠B=∠HCE,因为点E为BC边的中点，所 （822=去因为S=0,所以Sm=8 以BE=EC, 因为∠AEB=∠HEC,所以△ABE≌△HCE,所以AB= 同理可证得△CDE∽△CB,所以2二=(0：=号， CH,所以DC=CH,因为G为DF的中点，所以CG是△DFH的 SABCA BC 中位线，所以CG∥EH,因为DF⊥AE,所以CG⊥DF 所以SACDE=18,所以四边形AFDE的面积为SAc-S△BmF- 16.因为A0⊥OE,且BF⊥DF,所以△AOD∽△BFD, S△cDE=24. 23.3.4相似三角形的应用 △A0E~△CPE,所以品=器-8号=1，设0F=,则40 基础训练1.B;2.3.6;3.12. =0D=x+0.7, 能力提高4.由题意得，AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,EF 又因为△40E一△GFE,所以品华即吗- 2.8+x2.8 =GH=1.5m,EG=8m,ED=2m,CG=3m,因为∠FDE= 解得x=5.6,经检验x=5.6是原方程的解，所以A0=x+0.7 ∠ADB,∠C=∠C,所以△ABD△FED,△ABC△HGC,所 =6.3m 嘴品悠瓷 答：0A的高度是6.3m 因为EF=G=15m,所品=品因为BD=B比+ 17.(I)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, DE =2+BE,BC BE EG+CG =3+8+BE =11+BE, △E△4wc,所器-器器-所以器-器又 所以E=E解得E=16m,则BD=E+DE= 3 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN 16+2=18(m), (2)因为DE∥Bc,所以器=8%=号.因为DE∥BC, 因为品-铝所以哈-品解得B=13.5m 所以△D0E△C0B,所=-8=号 答：该龙形雕像的高度为13.5m. 因为DE∥BC,所以△M0E△MBC,所以=（瓷 23.4中位线 基础训练1.C;2.D:3.B:4.142;5.3. 25,设5A0E=4x(x>0),则SA4t=25x,因为四边形BCED 4 能力提高6.(1)H是OE的中点. 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以SB=50, 证明：取AD中点M,连结OM,因为四边形ABCD是矩形 18.(I)因为AD∥A'D',所以∠PAD=∠PA'D',∠PDA= 对角线AC,BD交于点O,所以点O是AC的中点， 乙Pm所以△PD一△PO,所以品=品所以号- 因为点M是AD的中点，所以CD∥OM,OM= P-30,解得PM=180,所以灯泡离地面的高度PM为 PM AB=3=DE,所以∠M0H=∠DEH因为∠0M= 180cm ∠EHD,所以△OHM≌△EHD,所以OH=EH,即H是OE的中 (2)设横向影子A'B,DC的长度和为xcm,同理可得 点 △PD△PD,所以治-微即0”=器解得x (2)连结OF,因为点M是AD的中点，所以AM= 12cm,所以横向影子A'B,D'C的长度和为12cm 2,所以FM=FA+AM=4, 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC,因 因为OM∥CD,所以∠FMO=∠ADC=90°，所以FO= 为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O°-∠BGF,因为∠AGB= FM+MO=5,因为点G是EF的中点，点H是OE的中点， 18O°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB.又因为∠ABG=∠MBA,所 以△BAG∽△BMA 所以GH=之0=多 5 (2)连结CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 4 中考数学华东师大第6~9期 CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 能力提高6.(1)如图2所示，△MBN即为所求. CB =CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥BC,所 以C1上BC由)得品一能所以BG·BM=AB.所以 BG·BM=BC.所以EC=BC B元=BM 图2 图3 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC△BCM.所以 (2)如图3所示，△BDE即为所求，此时△ABC∽△EBD, ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 20.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,所 相似比为√2. 23.6.1用坐标确定位置 以∠ADG=∠EBG,∠DAG=∠BEG,所以△ADG△EBG, 基础训练1.D;2.D;3.C; 所u%-瓷 4.(北偏东40°，35海里)；5.(5,150°)；6.(3,120). 由题意，得AD∥CE,AD=CE,所以四边形ACED是平行 7.根据图象可得，湖心亭(2,5)，望春亭(3,2)，牡丹亭(8， 四边形，所以AC∥DE,所以∠AFG=∠EDG,∠FAG= 6),东门(9,3)，游乐园(7,1). ∠D5c所以△46rAc0.所%=能所以%-形 23.6.2图形的变换与坐标 DG' 基础训练1.A;2.D;3.(4,-3)；41:3;5.9. 所以DG2=FG·BG. 6.(1)图略. (2)因为四边形ACED为平行四边形，AE,CD相交于点H, (2)图略. 所以DH=DC=2AB=7,AD=CE=24 (3)点A2的坐标为(3,6)，△ABC与△AB2C2的周长比是 1:2. 在Rt△ADH中，AF=AD2+Df,所以AH=7+24 能力提高7.(1)(-5,6). =25,所以AE=50. (2)当△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单 因为△ADG~△EBC,所以架=提=子，所以AG= 位长度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F 2CE,所以AG=号4E=9,所以Gh=AH-AG=亭 的坐标是(4，-1)； 当△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长 第8期4版 度得到△DEF,平移后D,E两点都在坐标轴上，此时点F的坐 重点集训营 标是(5，-5).故填(4，-1)或(5，-5) 1.40;2.32 (3)若平移方式为：向上平移1个单位长度，向右平移3个 2 单位长度，则点Q(0,y+1),分别过点Q,B作x轴，y轴的平行 3.(1)因为E,F分别为线段OA,OD的中点，所以OE= 线，两平行线交于点H,则BH=y+2,QH=4, 01.,0F=0D.即EF为△A0D的中位线，所以EF=4D 因为S△BN=S△m观-SABm-S△H0P,所以5= 2×(y+ =6,因为四边形ABCD为矩形，所以AC=BD,OA=OC,OD= OB,所以OD=OA=16,所以OE=OF=8,所以△OEF的周 2)×4-分×(y+2)×1-分×4×1，解得y=弩，因为号 长为0E+0F+EF=22. <3,所以点P的坐标是(-3号： (2)证明：由(1)可知，EF=2AD,且EF∥AD,因为四边 若平移方式为：向下平移3个单位长度，向右平移4个单位 形ABCD的对角线交于点O,所以点O为BD的中点，又因为G 长度，则点Q(1,y-3),分别过点Q,B作y轴的平行线，再过点 为边AB的中点，所以OG为△ABD的中位线，所以OG= P作x轴的平行线，三条平行线交于点M,N,则BM=y+1,QW 之4D.0c∥AD,所以EF∥0c,BF=0G,所以四边形0PEG =3,NP=4,PM=1,MN=5, 是平行四边形 因为Sa叫=S#形mw-S6BP-SA0,所以5=Y+)+3 2 第9期2版 23.5位似图形 ×5-号×(g+1)x1-方x3x4,解得y=子，因为子< 基础训练 1c,2.:3.C,41:2:5 3,所以点P的坐标是(-3，子) 中考数学华东师大第6~9期 所以点P的坐标为(-3，弩)或(-3，子》。 al×3=号，所以a=3或a=5, 第9期3版 所以点P的坐标为(3,0)或(5,0). 题号1234 567 8 20.(1)因为(a+b-6)2+√6-a-2=0,所以 [+6-6=0所以0=2 所以A(0,2),B(4,2), 0.(2,4:.(54；2多或 b-a-2=0, 1b=4, 二、9.2车3号； 将点A,B分别向下平移2个单位长度，再向左平移1个单 17,2:14号 位长度，分别得到点A,B的对应点C,D,所以C(-1,0),D(3, 0) 三、15.略. 16.(1)如图4所示，△ABC1即为折求. 因为AB∥CD,AB=CD=4,所以SaBm=2×CD×OA (2)如图4所示，△AB,C2即为所求. =4. (2)因为△BMD的面积是△BCD面积的子，所以△BMD 的面积=子×4=5， 当点M在x轴正半轴上时，设点M(m,0),所以S△D=2 012345678910x 图4 ×DM×A0=5,所以DM=5,且点D(3,0),所以点M(8,0)或 17.(1)建立平面直角坐标系略.坐标为：点A(-3,-1), 点M(-2,0)(舍去)； 点B(-2,0),点E(1,3),点F(2,4) 当点M在y轴正半轴上时，设点M(0,n),点M在线段OA (2)0.3×(8+7)×2=9(平方米). 上时，因为S△wD=S梯形4ODB-S△Aw-S△OD=5,所以 答：地毯要9平方米. 3+到2-宁x3xa-分×4x(2-)=5,所以m=4(含 2 1&()因为△4BC与△DEF的相似比为1：2，所以祭= 去).当点M在线段OA的延长线上时，因为S△BwD=S梯形ODB+ 3,所以DF=2AC=4 5am-56n=5,所以8+9x2+分×4xa-2)-号 2 (2)因为∠0=22°，∠ABC=38°，所以∠0CB=180°- ×3×n=5,所以n=4,所以M(0,4). 22°-38°=120° 综上所述，当点M(0,4)或(8,0)时，△BMD的面积是 4BC与△DEF位似，点0为位似中心 △BCD面积的子 器 第9期4版 EE 重点集训营 所以△OBC∽△OEF,所以∠OFE=∠OCB=120°. 19.（1)图略，顶点A的坐标为(0,3). 1.(2m,2m:2.(3,0. (2)△ABG的面积=4×4-分×2x4-号×2×1 3.(1)图略. (2)(-4,-6) 7×4×3=5 (3)6×4-7×4x4-方×2×2-7×2×6=8 (3)设点P的坐标为(a,0),由(1)得点C1的坐标为(4， 所以△ABC1的面积为8. 0),则CP=14-a1, 因为以A,G,P为顶点的三角形面积为子，所以？×4- —64 素养·拓展 A 数理极 (上接第3版) 20.(12分)如图19，矩形ABCD的对角线 19.(12分)如图18，在菱形ABCD中，M为AC,BD相交于点F,延长BC到点E,使CE= AD的中点，BM与AC的交点为E,点F在边BCBC,连结DE,连结AE交BD于点G,交CD于点 重点集圳营 上，AF交BM于点G,且∠BGF=∠ABC. H. (1)求证：△BAG∽△BMA: (1)求证：DG2=FG·BG: L.如图1，DE是△ABC的中位线，若 (2)若∠ABC=60°，连结CG,求证：CG1 (2)若AB=14,BC=24,求线段GH的长∠BDE=140°，则∠B的度数为 BM. 度 A 1 图2 2.如图2，四边形ABCD是正方形，边长为 6,M是AD边上的动点，在正方形ABCD的外侧 以AM为边作正方形AMEF,连结BE,若V为 BE的中点，连结MN,则线段MN的最小值为 3.如图3，已知矩形ABCD的对角线交于点 O,E,F分别为线段OA,OD的中点. (1)若A0=16,AD=12,求△0EF的周 长； (2)若G为边AB的中点，求证：四边形 OFEG是平行四边形 数理报社试题研究中心 （参考答案见下期) 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 辅助线 周周练 第7期2版参考答案 第7期3版参考答案 23.3.1相似三角形 题号12345678 1.如图1所示，AB=4,AC=2,以BC为底 基础训练1.C;2.A;3.12;4.2√13 答案C CBCC BBB 边向上构造等腰直角三角形BCD,连结AD并 能力提高5.(1)BF 二9.∠AED=∠B(答案不惟一)片10.号； 延长至点P,使PD=AD,则PB的最大值为 (2)EF=6. 11.丁；1230°或60°；13.(-4,0)，(-1,0)或(1,0)： 14.4或7. 23.3.2相似三角形的判定（第一课时） 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG 基础训练1.D;2.B;3.70;4.1.4. =∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°.因为 能力提高5.(1)作图略. ∠BFE+∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE.又 (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= ∠DGE=∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又∠ACB= LBAC因为∠BAC=2∠C,所以∠C=7∠BAC,所∠FEG-90°，所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC =90°，所以∠EAC=∠BEF,所以△AGC△EFB. 2.如图2，在口ABCD中，对角线AC和BD 以∠BAD=∠C.又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD 16.(1)证明：因为AD,BE是△ABC的高，所以 相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6,延长BC △CBA. ∠ADC=∠BEC=90°.因为∠C=∠C,所以△ACDM 至点E,连结OE交CD于点F,若∠E= 23.3.2相似三角形的判定（第二课时） 基础训练1.D;2.C;3.2或8； △6cE,航保-品即号-能又因为∠c=∠C, RAC=BC ?LACD,则线段0F的长为 4.(1,4)或(3,4). 所以△CAB∽△CDE. 能力提高5.(1)证明略. (2)AB=3 山情满半头乡4与容·号-光 (2)△ABE与△BEF相似，理由：设AB=AD=CD 17.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC= =4a,因为E为边AD的中点，CF=3FD,所以AE=DE ∠CAB.因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB 币“9a7~017a∥0号 =2a,DF=a,所以BE=25a,EF=5a,BF=5a,所所以AD:AC=AC:AB,所以AC=AB·AD. 以BF2=EF2+BE2,即∠BEF=90°，所以∠A= (2)因为EA=EC,所以∠EAC=∠ECA.因为 =a子=0恬制‘用朗继封=出 ∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为∠AFD EP=0e因为B42能：22.所DE上CPE.所△AFD ACF吧 Y量‘b=O0=A3用业联‘处等音aO8v AE 2a 张血I‘N学⊥aaTN0W0学‘O 18.(1)证明略. -.以△ME△EB (2)因为△ABC∽△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因 累W学中a0谊【些群】0广乙 为∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD, 23.3.2相似三角形的判定（第三课时） 所以∠EBC=∠BAD=21° ￥弯厚9ad形并学三d 基础训练1.A;2.C;3.18;4.①③ a‘a示‘aa=Va庋形华本厚垂 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到 （a)证明：由(1)知∠B40=∠cE因为端-器， 群“乙乙=☑亿=da‘乙=4I度钢 0M=3,0B=4,0=1,D=2,所以AB=5,AG=5,m号=2所以△AB0△4CE 9:典三斟斯褂‘。S=H8V7=Qa07 BC=25.在△4C和△4CD中，因为光-9=5， 19.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB ·砂=得-得质垂华4纳国切 =BC,∠BAE=∠BCF=45°.因为BE=BF,所以 %-9:5是-后=5始-倍-把么报mR△ 处典三其厚瑞郢‘H0‘Aa‘d双早买‘☒ =V单‘I学王V斗‘HVVH金WT 所以△ABC∽△ACD. (下转1,4版中缝) 耳项烤，8Ψ【些群】乙+b‘I【嵩是】 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 羞理极 2025年8月21日，星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 8期总第1152期 华东师大 0351-5271248 中考 上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-207 (2)证明：因为 ∠BAE+ 名师课堂 例1 在《数书九 ∠BEC ∠ABE=45°+∠ABE 章》（宋·秦九韶）中记载了 ∠ABF ∠EBF 性质应用小超市 一个测量塔高的问题：如图 ∠ABE=45°+∠ABE 1所示，AB表示塔的高度， 所以∠BEC=∠ABF ○山东王文静 因为∠BAF=∠BCE CD表示竹竿顶端到地面的 图1 =45°，所以△ABF 相似三角形具有“周长比等于相似比；对应 AE F.若 AEF △CEB. 中线的比、对应角平分线的比、对应高的比都等 EB 高度，EF表示人眼到地面的高度，AB,CD,EF 3 △CDF 在同一平面内，点A,C,E在一条水平直线上 (3)EB EG,BE 于相似比；面积比等于相似比的平方”等性质， 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所 ⊥EG.理由如下： 已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF= 因为∠EBF 灵活运用上述性质，可以帮助同学们解决许多以AB∥CD,所以△EAF∽△DCF, AEAE 1.4米，人从点F远跳塔顶B,视线恰好经过竹竿 ∠GCF=45°，∠EFB= 相关问题. AE 2 ∠GFC,所以△B 应用一：相似三角形周长的比等于相似比 因为品=子，所以北=”=，所以 2 的顶端D,可求出塔的高度.根据以上信息，塔的 △CGF,所uEE」 BE 高度为 米 4 例1若两个相似三角形周长的比为1：4， 25 EF GF 则这两个三角形对应边的比是 ( SACDF 热点直击0 BF CF 因为 ∠EFG=∠BFC,所以 A.1:2 B.1:4 故填25 △EFG∽△BFC.所以 C.1:8 D.1:16 应用三：相似三角形对应高的比等于相似 相似三角形 ∠EGF=∠BCF 解析：因为两个相似三角形周长的比为1： 比 45°.所以∠EBF ∠EGF=45°.所以EB 4,所以相似三角形对应边的比为1：4. 例3已知△ABC∽△DEF(点A,B,C分 用途多 =EG,∠BEG=90°，所 故选B. 别与点D,E,F对应)，且AC:DF=2:3,BC与 ◎江西陈冬波 以BE⊥EG 应用二：相似三角形面积的比等于相似比 20.(1)证明略 EF边上的高分别记为h,和h2,则h1:h2等于 解析：过F作FQ⊥AB于Q,交CD于H,则 (2)△BPE 的平方 FH=CE=10米，QH=AC=20米，FQ=AE △CFP.理由如下： 例2 如图，在平行四 解析：因为△ABC∽△DEF,AC:DF=2: 因为在△ABC中， =AC+CE=30米，EF=CH=AQ=1.4米， 边形ABCD中，E是线段AE 3,所以h,:h2=AC:DF=2:3. BAC=90°，AB 所以DH=7-1.4=5.6(米). AC,所以∠B=∠C= 点，连结AC,DE交于点 故填2：3. 因为DC∥BA,所以△FDH△FBQ,所 45°.因为∠B+∠BPE ∠BEP=180°，所以 重点精 BPE+ ∠BEP 以200m以8-06e特0R=168米。 BO 135°.因为∠EPF 角形中位线才艺 经检验符合题意，所以AB=AQ+QB= 45°，∠BPE+∠EPF ∠CPF=180°，所以 1.4+16.8=18.2(米) ∠BPE ∠CPF 李天华 故填18.2. 135°，所以∠BEP= 一、求线段 △BCD的中位线，所以PE=2 D,PF=2 BC. 例2如图2是凸透 ∠CPF,又因为∠B= 例1 如图1，△ABC ∠C,所以△BPE 镜成像示意图，CD是蜡 中，AD是中线，AE是角平 因为AD=BC,所以PE=PF,所以∠PEF △CFP. ∠PFE.因为∠EPF=120°，所以∠PEF= 烛AB通过凸透镜MN所 (3)动点P运动到 分线，CF⊥AE于F,若AB 成的虚像，已知蜡烛的高 B O BC中点位置时，△BPE =13,AC=8,则DF的长为 30° 与△PFE相似，理由如 ( 故选B. AB为4.8cm,蜡烛AB离 图2 A.3 B.1.5 三、求最值 凸透镜MN的水平距离OB=6cm,该凸透镜的 同(2)， 可 证 焦距OF为10cm,AE∥OF,则像CD的高为 △BPE∽△CFP, C.2 D.2.5 例3如图3，在平 CP:BE=PF:PE,而 解析：如图1，延长CF交AB于点G,因为AE行四边形ABCD中，AD cm. CP=BP,因此PB:BE 平分∠BAC,所以LGAF=∠CAF.因为CF⊥ =6,BD=8,AD⊥DB 解析：因为AE∥OF,所以△CAE∽ PF:PE.又因为 ∠EBP=∠EPF,所以 AE,所以∠AFC=∠AFG,所以AG=AC,GF=点M,N分别是边AB △c0F,所==合=所 △BPE∽△PFE. CF. BC上的动点（不与A,B,C重合），点E,F分别为 第7期4版参考答案 又因为点D是BC中点，所以DF是△CBG DN,MW的中点，连结EF,则EF的最小值为 2 5 重点集训营 ( 1.D:22或号 的中位线，所以DF=2BG=(AB-AG)= 因为AB∥CD,所以△OAB∽△OCD,所 A.2.4 B.3 3.证明：(1)因为 AB=AC,所以∠B= 2(AB-AC)=2.5. C.4 D.4.8 以-品所以号-解得cD=12em ∠C.因为CE=BF,所以 解析：如图3，连结DM,因为点E,F分别为 故选D. 所以像CD的高为12cm. △ACE≌△ABF,所以 故填12. ∠CAE=∠BAF. 二、求角度 DN,MN的中点，所以EF=DM,当DM⊥AB (2)因为△ACE兰 例2如图2，在四 时，DM最小，则EF最小 △ABF,所以AE=AF 边形ABCD中，P是对角 ∠CAE=∠BAF.因为 因为AD=6,BD=8,AD1DB,所以AB 本周主讲 AE=AQ·AB,AC= 线BD的中点，点E,F分 /AD2+BD2=10 ,所以-即 别是AB,CD的中点，AD 23.3.3相似三角形的性质 =BC,∠EPF=120°，则 设△ABD中AB边上高为h,则S△D 23.3.4相似三角形的应用 -华所以△4cE AE LPEF的度数是 24D:BD=7ABh,所以×6×8=× 23.4中位线 ∽△AFQ.（全文完) A.20° B.30° 10h,所以h=4.8,所以DM最小值为4.8，则EF 主要内容：本期同学们需要掌握相似三角 C.40° D.50 解析：因为P是BD的中点，点E,F分别是 最小值为分×4.8=24. 形的性质，以及三角形中位线的性质，并能够 运用相似三角形解决实际问题 AB,CD的中点，所以PE,PF分别是△ABD 故选A 素养专练 数理极 23.3.4相似三角形的应用 23.4中位线 跟踪训练 屋础训练 堡础训练 1.如图1-①，“矩”在古代指两条边成直角 1.如图1，D是△ABC内一点，BD⊥CD,AD 23.3.3相似三角形的性质 的曲尺，它的两边长分别为a,b.中国古老的天文 =6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC, 和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了 CD,BD的中点，则四边形EFGH的周长是 垦础训练 “矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把 ( 1.若两个相似三角形的相似比为2：3，其中 “矩”仰立放可测物体的高度，如图1-②，从 A.9 B.10 C.11 D.12 较小的三角形的周长为8，则较大的三角形的周 “矩”AFE的一端A望向树顶端的点C,使视线通 长为 ( 过“矩”的另一端E,测得AB=1.5m,BD= B.8 C.12 D. 6.2m.若“矩”的边EF=30cm,边AF=60cm, A.6 3 则树高CD为 ( 2.两个相似三角形的面积之比为1：4，小三 A.3.1m B.4.6m 角形一条边上的中线长为4，则另一个三角形对 C.5.3m D.4.2m 应边上的中线长为 ( 图1 图2 A.8 B.6 C.4 D.5 2.如图2，在△ABC中，点D在BC上，BD 3.如图1是某家用晾衣架的侧面示意图，已 AB,BM⊥AD于点M,N是AC的中点，连结MN,若 知AB∥PQ,根据图中数据，P,Q两点间的距离是 AB=6,BC=10,则MN的长为 ( ① 图2 A.3 B.4 C.1 D.2 0.4n 2.如图2，数学兴趣小组下午测得一根长为 3.如图3，在口ABCD中，E是CD上一点，连 0.8m的竹竿影长是1m,同一时刻测量树高时发 结AE,BE,若点F是△ABE的重心，则SAEF: 现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得 SOARCD的值为 () 留在墙壁上的影高1.2m,地面上的影长为3m A. 1 B. D. 4 6 C.6 2 请你帮算一下，树高是 m. 3.如图3，AD,BC为两 A.0.6mB.0.8mC.0.9mD.1m 路灯，身高均为1.8m的小 4.如图2，D,E分别是△ABC的边AB,BC上的 明、小亮站在两路灯之间， 点，DE∥AC,若S△E:SACDE=1:3,则SADE: 两人相距6.5m,小明站在 SAOC的值为 P处，小亮站在Q处，小明在 图3 图4 路灯C下的影长AP为2m,路灯BC高9m,则路灯 4.如图4，在四边形ABCD中，点E,F分别是 AD的高为 m. 边AB,AD的中点，BC=10,CD=6,EF=4, ∠AFE=52°，则∠ADC的度数为 能刀提高 5.如图5，点G是△ABC 4.龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神 的重心，延长AG交BC于点 5.如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，棱长为 异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一 F,GD∥BC,GD交AC于点 1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC,BC 恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕 D,若AD=6,则DC的长为 上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为 像.某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕 像的高度.如图4，雕像的高度为AB,在地面BC上 6.如图4，有一块三角形 能刀提高 取E,G两点，分别竖立两根高均为1.5m的标杆 余料ABC,它的边BC=18cm, EF和GH,两标杆间隔EG为8m,并且雕像AB,标 6.如图6，在矩形ABCD中，AD=4,AB=6, 高AD=12cm,现在要把它加 杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退 对角线AC,BD交于点O,点E,F分别是CD,DA延 工成长与宽的比为3：2的矩形 2m到D处（即ED=2m),从D处观察A点，A,F, 长线上的点，且DE=3,AF=2,连结EF,点G为 零件EFCH,要求一条长边在 D三点在一条直线上；从标杆GH后退3m到C处 EF的中点.连结OE,交AD于点H,连结GH. BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则矩形 (即CG=3m),从C处观察A点，A,H,C三点也在 (1)猜想：H是OE的中点吗？请加以证明， EFGH的周长为 cm. -条直线上.已知B,E,D,G,C在同一直线上，AB (2)求GH的长. 能刀提高 ⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,请你根据以上测量数 据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度 7.如图5，D,E,F分别为△ABC的边BC,CA, AB上的点，DE∥AB,LA=∠EDF,若0=子， 2 S△c=50,求四边形AFDE的面积 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 结ED并延长，交BA的延长线于点F,当点A恰好 为BF的中点时，DE的长为 步 检测题（六） 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 15.(10分)如图14，在平行四边形ABCD中 点E为BC边的中点，DF⊥AE于点F,G为DF的 【检测范围：23.3.3-23.4】 中点，分别延长AE,DC交于点H,求证：CG⊥DF (满分：120分) :如图方式分割成的小长方形零件最多有( A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 一、精心选一选（每小题4分，共32分）》 题号12 3 4 56 78 答案 图1 1.如图1，在△ABC中， 图6 图7 BC=6,E,F分别是AB,AC 8.如图7，DE平分等边△ABC的面积，折叠 16.(10分)小言家窗外有一个路灯，每天晚上 的中点，则EF的长为 △BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H 灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道 ( 这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识 A.5 B.4 两点.若DG=1,EH=5,则GH的长为（ 后，她意识到自已可以解决这个问题了！如图15， C.3 D.2 A.2 B.5 C.23D.4 路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的 2.如果两个相似三角形的相似比为16：9，那 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 长度为DE,小言测得窗户距离地面高度BF= 么这两个三角形对应边上的高之比为 () 9.如图8，矩形ABCD的对角线AC与BD相交0.7m,窗高BC=1.4m,某一时刻，FD=0.7m, 于点0，P,Q分别为A0,AD的中点，若PQ=2.5, A.16:9 B.4:3 DE=2.1m,请你根据小言测得的数据，求出路灯 D.256:81 则AC的长度为 C.9:16 的高度OA. 3.如图2，嘉嘉要测量池塘两岸A,B两点间的 距离，先在AB的延长线上选定点C,测得BC= 5m,再选一点D,连结AD,CD,作BE∥AD,交CD 15 于点E,测得CD=8m,DE=4m,则AB= 图9 10.如图9，平行于地面的圆桌正上方有一个 A.3 m B.4 m C.5 m D.6m 灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在 地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影 的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米 17.(10分)如图16，△ABC中，DE∥BC,BE 桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距 与CD交于点O,A0与DE,BC分别交于点N,M. 离为米 (1)若点M是BC的中点，求证：DW=EW; 图2 图3 11.如图10，在平面直角坐标系中，口OABC的 (2)若ON:OM=2:5,四边形BCED的面积 4.如图3，在△ABC中，D在BC边上，连结AD, 顶点0在坐标原点，点E是对角线AC上一点，过点为42，求△ABC的面积 G在线段AD上，GE∥BD且交AB于E,GF∥AC E作EF∥BC,交AB于点F,OC=2,∠AOC= 且交CD于F,若S△c- 45°，点A的坐标为(4,0)，点F的横坐标为5，则EF S四边形EBDG 4,AC=9,则GF的 的长为 长为 A.2 B.3 c D.6 5.如图4是一个铁夹子的侧面示意图，C是连 结夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D.这个侧面图 是轴对称图形，直线OC是它的对称轴.若DA= 图10 图11 18.(10分)小明和几位同学做手的影子游戏 15mm,D0=24mm,DC=10mm,则点A与点B 12.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出 时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体 之间的距离为 ( 现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》.如图 的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影 A.20 mm B.30 mm :11是古代测量员用四分仪测量一方井深度的示意 子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了以 C.40 mm D.50 mm 图，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望 下尝试 B 井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H,四 (1)如图17-①，垂直于地面放置的正方形框 分仪为正方形ABCD,方井为矩形BEFG.若测量员 架ABCD,边长AB为30cm,在其上方点P处有 从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE 灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子 D 0 为2，则井深BG为 A'B,D'C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度 图4 图5 13.如图12，在正方形ABCD中，AB=4,E,F PM为多少？ 6.如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，G是分别为边AB,BC的中点，连结AF,DE,点G,H分别 (2)不改变图17-①中灯泡的高度，将两个 △ABC的重心，点D在边BC上，DG⊥GC,如果BD为DE,AF的中点，连结GH,则GH的长为 边长为30cm的正方形框架按图17-②摆放，情 =5,CD=3,那么瓷的值是 ( 计算此时横向影子A'B,D'C的长度和为多少？ B. c D.② 7.有一块锐角三角形余料△ABC,边BC为 15cm,BC边上的高为12cm,现要把它分割成若 干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件， 图12 ⑦ 图11 分割方式如图6所示（分割线的耗料不计），使最 14.如图13，在△ABC中，AB=AC=5,BC= 底层的小长方形的长为5cm的边在BC上，则按6，点D为AC边的中点，点E为BC边上一动点，连 (下转第4版)