第4期 22.2.4 一元二次方程根的判别式-22.3 实践与探索-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

中考数学华东师大第1~5期 发理柄 答案详解 2025~2026学年中考数学华东师大 第1~5期 =3; 第1期2版 21.1二次根式 基础训练1.B;2.B;3.D;4.B;5.一 (3)原式=-号√÷ a 6.(1)26;(2)2-5;(3)3x-10. 能力提高7.因为a为正数， 2 所以23-a<23. 因为√23-a为正整数， 子瓜 所以√23-a<√23. 因为4<23<5， 5.(1)②. 所以√23-a的最大值为4. 此时23-a=16,即a=7. 21.2.1二次根式的乘法：21.2.2积的算术平方根 基础训练1.D:2.C;3.D:4.166;5.16;6.32. 第1期3版 5 9 7.(1)原式=√3×25×3 题号12345678 答案ADA BDBDB 9 =N√25 =97；10.6;1L-8:235;13.214.205 三15原式=√x(~√)×√g×6 3 (②)原式=√0×含×号 3 3856 112 =42; (3)原式=35×6万×5 、4 8 3； =4 (2)原式-3万× 2×22 =-1353 =6×22 4 =122; 21.2.3二次根式的除法 基霜训练1：2B:3245 (3)原式=2万×4×÷5 2 =8÷5 4.(1)原式=5×5×5 5×5 V225 5 16()号 中考数学华东师大第1~5期 /641 =2; 3 81 =: (2)原式=√6 1 17.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 (3)原式=√6÷2×3 为√2cm, =√6×2×3 所以长方体的长、宽分别为42cm,32cm =6. 所以这个长方体的体积为：4√2×32×2= 第2期2版 24√2(cm3). 21.3二次根式的加减 (2)根据题意，得E0=H0=√24=26cm,G0=F0= 基础训练 1.D;2.C;3.C;4.25;5.18. 15cm. 所以留下部分的总面积为：2×√5×2= 6)原武3万+竖号"2 12√10(cm2). 18原式=1+片宁+1+分-宁)+1+写 (2)原式=(26+号》-（停-） 子)+…+(1+2024-2025) =26+号吾+6 =36; =1×2024+1-2025 (3)原式=2+9+62-(2-9) =202438器 =2+9+62+7 =18+62. 19√5 7.)D-万=25-5×35=25-5=5 、125 (2)淇淇的说法正确，理由如下： n (2)规律√n+ 2-1=n n(n为正整数，n≥2). 厄-2月号万+6-25-2x号×35 Vn2-1 +6=25-6-5+6=5, 证明：√n+ n n(n2-1)+n n n2-1 n2-1 Wn2-1 所以x=5. n 因为√48=45， n√n- 所以x的值能与√4⑧合并， 20.(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2. 所以淇淇的说法正确. 所以x-3<0.所以原式=3-x-(2-x)=1. 重点集训营 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0. (1)-6;(2)22;(3)102;(4)2-5; 所以原式=-a-(a+b)-(b-a)=-a-2b. (5)-122;(6)-1+26;(7)5-36. (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, b-a-c<0,c-b-a<0. 第2期3,4版综合评估卷 所以原式=a+b+c-(a-b-c)-(b-a-c)-(c- b-a)=a+b+c-a+b+c-b +a+c-c+b+a=2a+ 题号123456789101112 答案DCBCABAC DADB 2b+2c. 第1期4版 二、1=-3,14.02a;15；1626-2c 重点集训营 三、17.(1)原式=4-6+26=4+√6. (2)原式=4-x2+x2-3x-1=3-3x (①原式=√6× 当x=2+1时， =4 上式=3-3(2+1)=3-32-3=-32. 2 中考数学华东师大第1一5期 18.√128×√50-2×（√13+1）×（√13-1）=80- 解得=了 2×12=56(平方米)， 则56×30=1680（元）， (3)根据题意，得上=5，万=35或二=35，B= a 所以要铺完整个通道，则购买地砖需要花费1680元. 5 以周清万言面 所以a= 了b=7或a=76=3 a-=a)2+a=3-20 所以ah=9或b=寸 又因为a,b都是正整数， 27.(1)3. 所以a-=-2a=3 (2)根据题意，得13-a1+1a-71=4. 当a<3时，3-a>0,a-7<0, 解得b=10. 所以(3-a)+(7-a)=10-2a=4, 1 20.因为a= 2+1 万-i(n-)+1) =2+1, 解得a=3(舍去)； 当3≤a≤7时，3-a≤0，a-7≤0， 所以a-1=2. 所以(a-3)+(7-a)=4; 所以(a-1)2=2. 当a>7时，3-a<0,a-7>0, 所以a2-2a=1. 所以(a-3)+(a-7）=2a-10=4, 所以4a2-8a-3=4(a2-2a)-3=4×1-3=1. 解得a=7(舍去). 2.(1)原武式=×25-354 综上所述，a的取值范围是3≤a≤7. =2-4 28.(1)当a>0时，因为a+4=(a)2-2·后.2+ a a 26是=664， a /a @周为。反后：号方3方 所以当石一后即。2时0+告的最小省为： 2 所以号4后=令 当a<0时，因为a+子=-(a-名. a 所以“☐”内的符号为“÷” ua(@-22。+产合” 故填÷ a (3)因为停<1反>1，历>1 所以-(-a-4)=-(/a-2)2-4≤-4， 所以“口”内依次填入“+”“×”计算所得结果最大， a 则号+应×历-45=9+25×35-45=18 所以当网名。即。-2时a+÷的最人值为 -113 -4. 3 故填4；-4. 四223.66：242：253 (2)当a>0时，因为30+4a+5=3a+4+三=3(a+ 五26（1)根据题意，得云=分存=2 名+4=3后-√g+4+2压， 所以数对(25,4)的一对“对称数对”为（写，2）与(2， 所以当后=V盒即a=5时，女+5的装小值 3 是4+2√1 (3)设S△oB为a, (2)因为数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同， 因为S△4op:S△AOB=OD:OB=S△com:S△coB, 6 所以2：a=Sacm:3,所以SAcoD= a 一3 中考数学华东师大第1~5期 所以四边形ABCD的面积为2+3+a+6=(a+6)+ 即当x=-3,y=-6时，(2x-y)2+(x+3)2+16=16, 此时5x2-4y+y2+6x+25取得最小值，最小值为16. 5=(a-√a 6)2+5+26. 22.2.3公式法 因为a>0, 基础训练1.C;2.D;3.9,x1=x2=3;4.1+2. 所以当a=√a ,即a=石时，四边形ABCD的面积的 %-3+2亚k=5-厘 2 (2)x1=5+√2I,x2=5-√2I; 最小值为5+26 (3)x1=3+√T,2=3-I. 第3期2版 第3期3版 22.1一元二次方程 一、 题号12345678 答案BCBC AC DC 基础训练1.C;2.B；3.2029；4.10; 5.5+5(1+x)+5(1+x)2=23. 二、9.-1；10.三；11.-1；12.x1=0,x2=5; 6.因为a(x2+1)+10(x+2)+c=0, 13.20或27；14.0<a<3. 所以ax2+10x+a+c+20=0. 三、15.(1)x1=3+22,x2=3-22; 因为一元二次方程a(x2+1)+10(x+2)+c=0化为一 (2)x1=-1,x2=3; 般形式后为6x2+10x-1=0, (3)x1=1+33 8 26=1-33 8 所以a=6,a+c+20=-1, 16.(1)他的求解过程从第②步开始出现错误 所以c=-27. 故填②， 22.2.1直接开平方法和因式分解法 (2)x2-8x=1,x2-8x+42=1+42,(x-4)2=17,x- 基础训练1.B;2.B;3.m≥0；4.x1=x2=2. 4=±7， 5.(1)x1=2,x2=-8; (2)x1=4,x2=-3; 解得x1=4+√17,2=4-7. 17.(1)③. =%多 (2)因为3x2+mx+n=0是关于x的“完美方程”， 能力提高6.(1)2；4. 所以m=3+n, (2)x1=-1,x2=6. 所以n=m-3, 22.2.2配方法 所以原方程为3x2+mx+m-3=0. 基础训练1.C;2.B;3.3;4.5. 因为m是此“完美方程”的一个根， 5.(1)x1=3+2,x2=3-√2； 所以3m2+m2+m-3=0, 1 (2)x1=1,2=25 即4m+m-3=0解得m=-1或m=子 18.(1)方程x2-3x-1=0两边同时除以x(x≠0)，得x (3)x1=5+3,x2=5-3. 能力提高6.(1)依题意，x2-4x+9=x2-4x+4+5= -3-1=0, (x-2)2+5. 所以x-1=3. 故填(x-2)2+5. 故填3. (2)因为x2+y2+4x-6y+13=0, (2)因为m是方程3x2-7x+3=0的根， 所以配方得x2+4x+4+y2-6y+9-4-9+13=0, 所以3m2-7m+3=0, 即(x+2)2+(y-3)2=0, 所以x=-2,y=3, 两边同时除以3加(m≠0)，得m-子+立=0， m 所以(-y)x=(-3)×(-2)=6. 所以m+⊥三7 (3)依题意，5x2-4xy+y2+6x+25=4x2-4xy+y2+ m3, +6x+9+16=(2x-y)2+(x+3)2+16, 所以(m+六=（ m 因为(2x-y)2+(x+3)2≥0， 1.49 所以当2x-y=0,x+3=0时， 所以m2+2+应=9： m 中考数学华东师大第1~5期 所以成+六= 23-3 (5)x=3+ 2； 19.(1)因为(x+5)(x+9)=5, (64-3+,五k-3-回 所以[(x+7)-2][(x+7)+2]=5, 2 2 所以(x+7)2-22=5, 2.答案不惟一，如取k=2,则方程为(2-1)x2+2×2x- 所以(x+7)2=9, 1=0, 所以x+7=3或x+7=-3, 将方程化为一般形式，得x2+4x-1=0, 解得x1=-4,x2=-10. 因为a=1,b=4,c=-1, 所以上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为7,2，-4， 所以62-4ac=16+4=20, -10. 所以x=二4±2如 2×1 故填7；2；-4；-10. (2)因为(x-5)(x+7)=12, 所以x1=-2+5,x2=-2-5. 所以[(x+1)-6][(x+1)+6]=12, 第4期2版 所以(x+1)2-36=12, 所以(x+1)2=48, 22.2.4一元二次方程根的判别式 所以x+1=45或x+1=-45 基础训练1.C;2.A;3.4;4.四. 5.(1)证明：因为4=(2k+1)2-4×1×(k-3)=42 解得x1=-1+45,x2=-1-45. +13>0, 20.(1)设y=x2+x,原方程可化为y2+2y-8=0, 所以该方程总有两个实数根. 解得y=-4,2=2, (2)答案不惟一，如当k=3时，方程为x2+7x=0,解得 当y=-4时，x2+x=-4,即x2+x+4=0, x1=0,x2=-7. 因为b2-4ac=1-16=-15<0, *22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 所以方程无解， 基础训练1.A;2.16;3.20. 当y=2时，x2+x=2,即x2+x-2=0, 4.(1)因为2,3是方程x2+px+9=0的两根， 解得x1=-2,2=1, 故原方程的根为x1=-2,2=1. 所以2+3=-是=-p,2×3=q, (2)设3x+2=y,原方程可化为y+2-3=0,即y-3y 所以p=-5,9=6. (2)因为两个不同的实数m,n满足m2+5m-3=0,n2+ +2=0, 5n-3=0, 解得y=1,3=2, 所以m≠0，n≠0，m≠n,m,n可看作方程x2+5x-3= 当y=1时，3x+2=1,解得x=-1,经检验是原方程的 0的两根， 所以m+n=-5,mn=-3, 解， 当y=2时，3x+2=2,解得x=-2,经检验是原方程的 所以四+”=m+ =(m+m2-2mm m mn mn 解， (-5)2-2×(-3》=-31 -3 3 故原方程的根为x1=-1,x2=-2. 即只+只的值为-引 第3期4版 22.3实践与探索（第一课时） 重点集训营 基础训练1.D;2.C;3.25%；4.5. 能力提高5.(1)依题意，得BC=(32-2x)m,羊的活动 1.(1)x1=-1+5,x2=-1-5; (2x=3I=3团 范围的面积为S矩形ABcD一S正方形aEFG, 6 6 所以x(32-2x)-12=95, (3)x1=-4,x3=2; 整理得x2-16x+48=0, 22本=7-35 (4)x1=7+35 解得x1=12,2=4, 2； 所以AB的长为12m或4m. 5 中考数学华东师大第1~5期 (2)羊的活动范围的面积不能为130m2.理由如下： 根据题意，得(900-30y)(y+1)=3900, 依题意，得x(32-2x)-1=130, 解得y1=4,y2=25. 整理得2x2-32x+131=0, 答：应该增加4条或25条生产线。 因为4=(-32)2-4×2×131=-24<0， 18.(1)1:3. 所以方程无实数解， (2)猜想：sm=sm-1+5-2 所以羊的活动范围的面积不能为130m2. 证明：根据根的定义，得a2-α-1=0， 22.3实践与探索（第二课时）》 两边都乘以-2，得a”-a1-a-2=0①， 基础训练1.B;2.C;3.63;4.19. 同理，B-B-1-B2=0②， 能力提高5.(1)y=10x+100. ①+②，得(a+B)-(a-1+B-1)-(a-2+B-2）=0, (2)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=1760, 因为3.=a+B,-1=a-1+B-1,82=a-2+B2, 整理得x2-10x-24=0, 所以3。-5n1-5n-2=0,即=5-1+5n-2 解得1=-2（舍去），x2=12, 19.(1)依题意，得四边形ABCD是矩形，四边形ABFE是 所以50-12=38（元）， 正方形， 所以该商品的销售单价是8元时，商家每天获利 所以四边形EFHG,四边形CDGH,四边形CNMH均为矩 1760元 形， (3)由题意可得(50-30-x)(10x+100)=3000, 所以AB=BF=EF=AE=GH=CD=45cm,DG=MN 整理得x2-10x+100=0, CH 40 em,EG FH. 因为4=(-10)2-4×1×100=-300<0， 因为矩形置物架ABCD是用总长为400cm的木板制作的， 所以方程无实数解， 所以EG+FH=400-(6×45+3×40)=10(cm), 所以商家每天的获利不能达到3000元. 所以EG=FH=5cm 故填5. 第4期3版 (2)因为AB=BF=EF=AE=GH=CD=xcm,DG= 题号12345678 MN =CH =40 cm,EG FH, 答案AAD DDBBC 所以EG+FH=400-(6x+3×40)=(280-6x)cm, 二9.-6；10.6：11.k>-4且k≠0：12.6 所以EG=FH=(140-3x)cm, 所以AD=AE+EG+DG=x+140-3x+40=(180- 13.4:14.①②③. 2x)cm. 三、15.(1)根据题意，得4=b2-4ac=4-4m≥0，解得 故填(180-2x). m≤1. (3)依题意，得AB=AE=xcm,由(2)可知AD=(180- 故m的取值范围为m≤1. 2x)cm,EG=(140-3x)cm, (2)根据题意，得与+=-合=2与=仁=m, 因为矩形ABCD的面积为4000cm2, a 所以AB·AD=4000,即x(180-2x)=4000, 因为2x1+2x2+x1x2=0, 整理得2-90x+2000=0, 所以2×2+m=0, 解得m=-4. 解得x1=40,x2=50, 16.设小圆形场地的半径为rm,则大圆形场地的半径为(， 当x=40时，EG=140-3×40=20(cm), 因为EG的高度不小于18cm, +6)m, 由题意得，T×(r+6)2=π×2×2， 所以x=40符合题意， 当x=50时，EG=140-3×50=-10(cm),不合题意，舍 解得1=6+62，r2=6-62<0(不合题意，舍去)， 去 所以小圆形场地的半径为(6+6√2)m 所以x的值为40. 17.(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x 20.(1)2s或4s后，△PBQ的面积等于8cm2. 依题意，得2250(1+x)2=3240, (2)△PBQ的面积不能等于10cm2,理由如下： 解得1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去) 设AP=xcm,则PB=(6-x)cm,BQ=2xcm, 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20% (2)设增加y条生产线。 根据题意，得7×2x(6-x)=10 6 中考数学华东师大第1~5期 整理，得2-6x+10=0. 原方程化为x2-2(x-3)+7=0, 因为4=(-6)2-4×1×10=-4<0， 即x2-2x+13=0, 所以方程没有实数根， 因为△=2-4ac=4-4×13=-48<0, 所以△PBQ的面积不能等于10cm2. 所以方程没有实数根； (3)号后，P0的长度等于6cm ②当x-3<0即x<3时， 原方程化为x2+2(x-3)+7=0, 即x2+2x+1=0,即(x+1)2=0, 第4期4版 解得x1=x2=-1. 重点集训营 综上所述，原方程的解为x1=x2=-1. 1.1-2；2.9；3.(1)48；(2)2.4.5. 四、22.4或-2；23.5；24.1；25.5. 5.(1)设平均下降率为x, 五26.(1)设销售量y与每千克降价x的函数关系式为y 由题意，得200(1-x)2=128, =kx +b, 解得x1=0.2=20%,2=1.8(不合题意，舍去) 将(3,75)和(5,105)代人得3k+6=75, 答：平均下降率为20%. 5k+b=105, (2)设单价应降低y元， 解得5， lb=30. 由题意，得(166-y-128)(20+之×4)=114， 所以销售量y与每千克降价x的函数关系式为y=15x+ 解得方=16，y2=12. 30. 因为要尽快减少库存，所以y=16. (2)405元. 答：单价应降低16元 (3)设商店获利480元需降价m元，则单件利润为(10-m)元， 第5期综合评估卷 销售量为(15m+30)千克. -、题号123456789101112 由题意得(10-m)(15m+30)=480, 答案CBDACD AACBAA 解得m1=6,m2=2(舍去)： 二、13.4；14.0（答案不惟一，k≥0即可）；15.4；16.8. 所以30-6=24（元）. 三、17.(1)x1=7,x2=-1; 所以饼干的销售价应定为每千克24元 27.(1)①不是“差1方程”；②是“差1方程” (2)y1=-3,2=2 1 (2)整理方程得(x-m)(x+1)=0, 18.每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”， 所以x=m或x=-1, 19.(1)证明：因为x2+(m-4)x-2m=0, 因为方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“差1方 所以4=b2-4ac-(m-4)2-4×(-2m)=m2+16> 程”， 0, 所以m=-1+1或m=-1-1, 所以该方程总有两个不相等的实数根。 所以m=0或-2. (2)因为该方程的两根互为相反数， (3)由题可得4=62-4a×1=62-4a≥0， 所以x+x2=-(m-4)=0, 所以解方程得x=二b±√B-4恤 所以m=4. 2a 20.(1)设全天包车数的月平均增长率为x, 因为关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数，a>0)是 根据题意可得25(1+x)2=64, “差1方程”， 解得x1=0.6=60%,x2=-2.6(舍去). 所以-b+-a-b-公-42：1， 2a 2a 答：全天包车数的月平均增长率为60%. 所以62=a2+4a, (2)设租金降价a元，则(120-a)(64+1.6a)=8800, 因为t=10a-b2, 解得a1=10,a2=70. 所以t=6a-a2=-(a-3)2+9≤9， 因为要尽可能让利顾客， 所以t的最大值为9. 所以a=70. 28.(1)(4a2-200a+2400). 答：当租金降价70元时，公司将获利8800元 21.①当x-3≥0即x≥3时， (2)由题意得60×40-(4a2-200a+2400)= 3×60 中考数学华东师大第1~5期 ×40, rk=35, 解得 解得a=5,a2=45(舍去). Lb=20000 答：此时通道的宽为5米。 所以y2=35x+20000. (3)当a=10时，花圃面积为800平方米，所以花圃面积最 因为花圃面积为4a2-200a+2400, 少为800平方米. 所以通道面积为2400-(4a2-200a+2400)=-4a2+ 根据图象可设y1=mx,y2=kx+b, 200a, 将点(1200,48000)代入y1得1200m=48000, 所以35(4a2-200a+2400)+20000+40(-4a2+200a) 解得m=40, =105920. 所以y=40x, 解得a1=2,a2=48(舍去). 将点(800,48000)，(1200,62000)代入2得 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为 r800k+b=48000. 105920元. l1200k+b=62000, —8—4 素养拓展 数理极 (上接第3版) 20.(12分)如图4，在△ABC中，∠B= 19.(12分)如图3-①是用总长为400cm90°，AB=6cm,BC=8cm.点P从点A开始沿 的木板制作的矩形置物架，抽象为图3-②中的 AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 辅助线 矩形ABCD,该置物架上面部分是边长为xcm的 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. 周周练 正方形ABFE,中间部分为矩形EFHG,点M,N (1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几 1.如图1，直线1交正方形ABCD的对边 分别为线段HG,CD的中点，且DG=40cm. 秒后，△PBQ的面积等于8cm2? (1)当x=45时，EG的长为 AD,BC于点P,Q,正方形ABCD和正方形 cm; (2)如果P,Q分别从A,B同时出发，△PBQ (2)置物架ABCD的高AD为 _cm(用的面积能否等于10cm2? EFGH组成的图形关于直线l成轴对称，点H在 含x的式子表示)； (3)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几 CD边上，点A在边EF上，BC,HG交于点M, AB,FG交于点N.若CD=5,DH=2,则△GQM (3)为了便于放置物品，要求EG的高度不 秒后，PQ的长度等于6cm? 的周长为 小于18cm,若矩形ABCD的面积为4000cm2,求 x的值 图1 图2 2.如图2，在矩形ABCD中，AB=8,BC= 12,点F在线段AB上，AF=5,点E在线段AD 上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边 上的点G处，点H在线段CD上，将矩形沿GH折 叠，点C恰好落在线段EG上的点M处，则点M 到线段DC的距离为， 口相WW复 +1￥厘张冉三斯g智‘N⊥d5 T NW/ N区‘斗9òp用平[口￥耳9狂三出 Y0士HB卒NO录‘b=OH=WH=H0 用联‘HQaV1H云HWVH伯口H‘H8 ‘乙=☒Q=W阳庋‘斗9Wa‘aQ用 米‘ΨTd33学斗明3a34R￥29 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 8舒鸟y受4鲜￥【些醉】乙 ·▣旧号搏☑興电‘￥用业￥头 的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且 里9W037*‘80=O0口班必Y 重点集训喜 每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的 =W&'HY=Ha度‘WaV71H云yVVnd 价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）.若 HYVVIH云HavVd‘WVHV买‘Y 该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄 学上OH T yV3V学r【些】E1【号】 1.两个实数之和为2，积为-1，则这两个数 瓜储藏 天 中较小的数是 5.某服装厂生产一批服装，2022年该类服 2.某种植物的主干长出若干数目的支干， 第3期2版参考答案 装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续 每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出 22.1一元二次方程 和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干 基础训练1.C;2.B;3.2029;4.10: 厂价调整为128元/件 5.5+5(1+x)+5(1+x)2=23. 数量是 个 (1)若这两年此类服装的出厂价下降的百 6.a=6,c=-27. 3.有两张长12cm,宽10cm的矩形纸板，分 分比相同，求平均下降率； 22.2.1直接开平方法和因式分解法 别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形 (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购 基础训练1.B;2.B;3.m≥0； 和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均 4.x1=x,=2. 5.(1)x1=2,x2=-8;(2)x1=4,x2=-3: 和有盖的长方体纸盒各一个. 每天可销售20件.为了减少库存，商场决定降价 (1)若图1中裁去的小正方形边长为2cm, 销售.经调查发现，单价每降低2元，每天可多售 (3)x=-县 则做成的纸盒的底面积是 cm2: 出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库 能力提高6.(1)2；4. (2)若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积存，单价应降低多少元？ (2)x1=-1,x2=6. 为24cm2,则剪去的小正方形的边长为 22.2.2配方法 基础训练1.C;2.B;3.3;4.5. cm. 5.(1)x1=3+2,x2=3-2; 底面 2=16=分： (3)x1=5+3,2=5-3. 能力提高6.(1)(x-2)2+5.(2)(-y)x=6 12cm 12 cm (3)当x=-3,y=-6时，5x2-4y+y2+6x+25 图1 图2 取得最小值，最小值为16. 4.某菜农在2024年11月底投资1600元种 22.2.3公式法 植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当 数理报社试题研究中心 基础训练1.C;2.D;3.9,x1=2=3; 天就可以按6元/千克的价格售出.若将所采摘 (参考答案见下期) 4.1+2. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 2025年7月24日·星期四 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 4期总第1148期 华东师大 0351-5271248 羞理橘 中考 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-207 5 (1)x 5+7 成=5- 名师课堂 例1 若关于x的 2 选解法 有策略 元二次方程x2+2x (2)x1=5+2I,x =5-21: -3=0有两个实数根， 血方 (3)x1=3+√T 则k的取值范围是 =3/11 第3期3版参考答案 ⊙四川叶静月 、1.B:2. 解一元二次方程时究竟采用哪种解法呢？ 解得x1=-2,x2=5. 西 3.B;4.C; 5.A A.k>- 这就要求同学们仔细观察，捕捉方程的系数特 三、方程中的二次项系数为1，一次项系数 6.C; 7.D;8.C 9.-1： 0. 点和结构特征，灵活选择适当的方法，力求解题 是偶数时，优先考虑配方法 1 B.k≥- 11. 5:a.品或 3 040a<3 =5 过程简洁明快，也能提高准确率 例3x2+6x-1=0. 三、15.(1)x1 一、方程中无一次项或满足(x+m)2=n结 解：移项，得x2+6x=1, C.k≥- 3且k≠0 22 构时，优先考虑直接开平方法 配方，得x2+6x+9=1+9, (3)x=1+3 例1(x-4)2-9=0. 所以(x+3)2=10, D.k≤子且k≠0 妙 一次方程根的判别式 解：移项，得(x-4)2=9 两边开平方，得x+3=±I0, 解析：因为kx2+2x 1-/33 8 两边开平方，得x-4=±3， 所以x=-3±√10， -3=0为一元二次方 16.(1)② 所以x-4=3或x-4=-3, 程， (2)x2-8x=1,x2 解得x1=-3+10,2=-3-√0 8x+42=1+42,(x 解得x1=7,x2=1. 所以k≠0 四、以上三种方法都不易求解时，考虑用公 4) =17,x-4= 二、方程中缺少常数项或方程的两边有公 因为该一元二次方程有两个实数根 ,解得x1=4 式法 17 因式时，优先考虑因式分解法 所以4=22-4k×(-3)≥0， 例42x2-3x+1=0. 1 (2)m=-1或m 例2(x+2)(x+4)=(2x-1)(x+2) 解：这里a=2,b=-3,c=1, 解得k≥- 3 3 解：移项，得(x+2)(x+4)-(2x-1)(x+2) 因为2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0, 18.(1)3. =0 所以&≥-寸且上≠0 (2)m2+ 所以x=3±：3±1 9 因式分解，得(x+2)(x+4-2x+1)=0, 2×2 4 故选C 19.(1)7:2；-4: 所以(x+2)(-x+5)=0, 例2若关于x的一元二次方程x2+2x+ 10. 1 (2)x1=-1+45 所以x+2=0或-x+5=0, 解得x1=1,x2= m=0有两个相等的实数根，求m的值及此时 62=-1-43. 方程的根 20.(1)原方程的 题型空间 根为x1=-2,x 解：根据题意，得△=22-4m=0, (2)设3x+2 y, 二次方程应用题 面面观 解得m=1. 原方程可化为y+2 此时方程为x2+2x+1=0, O 东 丁致强 3=0,即y2-31+2= 解得x1=2=-1. 0,解得=1，y2=2 一、图形问题 都相同，求月平均增长率 所以m的值为1，方程的根为-1. 当y=1时，3x+2=1, 例1如图，有 解：设月平均增长率是x, 例3已知关于x的一元二次方程x2-mx 解得x三L,经检验是 张长为50cm,宽为 由题意，得50000(1+x)2=72000 +m-5=0,求证：无论m取何值，方程一定有 原方程的解，当y=2 时，3x+2=2,解得x 25cm的矩形铁皮废 解得x1=-2.2(不合题意，舍去)，：2=0.2 两个不相等的实数根。 x 料，焊工师傅决定先裁 50 cm =20% 证明：因为△=(-m)2-4×1×(m-5) 去两个小正方形和两个小矩形（阴影部分），后 答：该平台10月份到12月份销售的月平均 m2-4m+20=(m-2)2+16>0, x1=-1,x2=-2. 第3期4版参考答案 按图中虚线部分折叠，焊接成一个有盖的长方增长率是20%. 所以无论m取何值，方程一定有两个不相 体铁质工具箱.如果将该工具箱面积最大的一 三、营销问题 等的实数根 重点集训营 1.(1)x1=- 1+ 面作为底面，且底面面积为300cm2,求该长方 方法总结：在解与一元二次方程根的判别 5,=-1-5: 例3某超市销售一种商品，每件成本为 式有关的问题时，一般分两种情况：一种是直接 (2)x,=-3- 体铁质工具箱的容积， 40元，销售人员经调查发现，销售单价为100元 6 解：设裁去的小正方形的边长为xcm, 利用判别式判断方程根的情况；另一种是根据 -3+21 时，每月的销售量为60件，而销售单价每降低 方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围. 6 (3)x1=-4,x2=2: 根据题意，得()×50-x)(25-2x)=300,3元，则每月可多售出9件，且要求销售单价不 前者可由判别式的正负确定根的情况；后者根 (4)x=7+35 整理，得2x2-75x+325=0, 得低于成本.若使该商品每月的销售利润为 据根的情况，列出不等式求取值范围（需注意 3600元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价 二次项系数不能为零这一隐含条件) 7-35 2 解得=5，= 2 应定为多少元？ (5)x,=3+3 ,x 因为 解：设销售单价应定为x元， 本周主讲 3-5 2 >25,不合题意，舍去， 依题意，得(x-40)(60+100 2 所以工具箱的高度为5cm. 22.2.4一元二次方程根的判别式 (6)x=3+7 所以容积为300×5=1500(cm). 3600 2 22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 =3- 答：该长方体铁质工具箱的容积为1500cm㎡， 整理，得x2-160x+6000=0, 22.3实践与探索 2.略. 二、增长率问题 解得x1=60,x2=100. 全文完) 例2某合作社着力发展乡村水果网络销 又因为60<100 主要内容：本期需掌握根的判别式、以及 售，据统计某电商平台10月份的水果销售量是 所以x=60 根与系数的关系，学会运用一元二次方程解 50000kg,12月份的水果销售量是72000kg.若 答：当该商品每月销售利润为3600元时， 决实际问题， 该平台10月份到12月份销售的月平均增长率为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为60元 素养专练 数理极 (1)若2,3是方程x2+px+q=0的两根，求 跟踪训练 p,g的值； (2)已知两个不同的实数m,n满足m2+5m 3=0,n2+5n-3=0,求+”的值 n 22.2.4一元二次方程根的判别式 m 基础训练 1.若关于x的方程(a-2)x2-4x+1=0有 实数根，则a的取值范围是 () A.a≤2 B.a≤5且a≠2 C.a≤6且a≠2 D.a≤6 2.关于x的方程2x2-3x-2=0的根的情况 22.3实践与探索（第二课时） 是 屋础训练 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 1.为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比 C.没有实数根 赛，赛制为单循环比赛（即每两个队比赛一场）， D.不能确定 共进行了10场比赛，则这次参加此赛的球队个数 3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 为 () 有两个相等的实数根，则2-4(ac-1)的值为 223实践与探索（第一课时） A.4 B.5 C.6 D.7 垦础训练 2.某商场要经营一种新上市的文具，进价为 4.若关于x的一元二次方程a-x-4= 20元/件.试营销阶段发现：当销售单价是25元 1.某县政府2024年投资0.2亿元用于保障 时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨 0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a+1, 性住房建设，计划到2026年投资保障性住房建设 1元，每天的销售量就减少10件.要使每天所得 -3-a)在第 象限 的资金为0.288亿元.如果从2024年到2026年投 的销售利润为2000元，则销售单价为（) 5.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+ 资此项目资金的年平均增长率相同，那么年平均 A.30元 B.40元 1)x+k-3=0. 增长率是 ( C.30元或40元 D.10元或20元 (1)求证：该方程总有两个实数根： A.50% B.40% C.30% D.20% 3.已知一个两位数，十位上的数字是个位上 (2)请你给出一个整数k的值，使得此时方 2.如图1所示，某景区内有一块矩形油菜花 的数字的2倍，十位上的数字的平方与个位上的 程的解均为整数，并求出此时方程的解。 田地（单位：），现要在其中修建一条观花道（阴 数字的9倍之和正好是这个两位数，则这个两位 影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占矩形 数是 油菜花田地面积的子设观花道的直角边为xm, 4.阿拉伯数学著作《算术之钥》中，记载着 道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个 则x的值为 人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个 A B 人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前 面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石 榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得 到10个石榴，则这群人共有 人.” 能刀提高 5.某商品进价30元，销售期间发现，当销售 图1 图2 单价定价50元时，每天可售出100个，临近五一 3.某城区采取多项综合措施降低降尘量，降 商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价 尘量由2022年的6.4吨/平方公里下降至2024年 每下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降 22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 3.6吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率 为 价x元 (1)求每天销量y(个)关于x(元)的函数关 屋础训练 4.如图2，要设计一本书的封面，封面长 系式； 40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长宽 1.关于x的一元二次方程x2-3x-5=0的 (2)求该商品的销售单价是多少元时，商家 比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占 两个根是1,2，则x1+x2-12的值为( 每天获利1760元？ A.8 B.-8C.-2D.2 面积是封面面积的6上、下边衬等宽，左、右边 (3)商家每天的获利是否能达到3000元？ 2.关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根 衬等宽，则上、下边衬的宽度为 cm. 是-2和1，则nm的值为 能刀提高 3.已知一矩形的长和宽分别是一元二次方 程x2-10x+21=0的两个根，则这个矩形的周 5.如图3，某农户准备利用墙面（墙面足够 长为 长)和34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一 4.我们在探究一元二次方程根与系数的关 个边长为1m的正方形狗屋CEFG(图中阴影部 系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c=0的 分为羊的活动范围).设AB=xm. 两个根是x1,x2,那么由求根公式可推出x1+为？ (1)若羊的活动范围的面积为95m2,求AB 、 ,x1·x2=￡请根据这一结论，解决下列 的长； (2)羊的活动范围的面积能否为130m2?若 数理报社试题研究中心 问题： 能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由. (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.(10分)如图2，把小圆形场地的半径增加 同 6m得到大圆形场地，大圆形场地的面积是原来场 检测题（三 地的2倍，求小圆形场地的半径 【检测范围：22.2.42.3】 (满分：120分) +2010n+5=0,则m的值为 一、精心选一选（每小题4分，共32分） A.-402 题号12345678 答案 C.9 D.670 3 1.已知m,n是一元二次方程x2-2025x 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 2026=0的两个实数根，则m+n= 9.方程x2-mx+3m=0的两个根为1,2，若 A.2025 B.-2025 x1+62=-2,则xx2= C.2026 D.-2026 10.在本届全市青少年校园足球比赛中，每两 2.若关于x的一元二次方程2-x+m=0没支足球队之间都要进行一次主场妣赛和一次客场 17.（10分)某头盔经销商5至7月份统计，某 有实数根，则m的值可能为 )比赛，共有30场比赛，则参加本届足球比赛的足球 品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个， 队共有」 且从5月份到7月份销售量的月平均增长率相同， B.1 支 (1)求该品牌头盔销售量的平均月增长率； 4 11.对于实数a,b定义新运算：a※b=ab2-b, C.0 D.-1 若关于x的方程k※x=1有两个不相等的实数根， (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔， 经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是 3.两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的则k的取值范围是 和为 ( ) 12.《李白饮酒》数谜诗一李白每天不离 900个/天，但每增加一条生产线，每条生产线的 最大产能将减少30个/天.若该厂要保证每天生 A.26 B.28 酒，三餐依次增一斗；三餐斗数两两乘，乘积相加 C.-26或26 D.-28或28 四六；要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗.则早 产头盔3900个，则应该增加几条生产线？ 4.取一张长与宽之 餐饮 斗 比为5：2的长方形纸板， 13.关于x的一元二次方程x2-4x+k-1= 剪去4个边长为5cm的 图1 0有两个实数根x,2,若x1,x2分别是一个矩形的 小正方形（如图1），并用它做一个无盖的长方体形状 长和宽，矩形的对角线长为⑥，则k的值为 的包装盒要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚 度略去不计)，则这张长方形纸板的周长为( 14.定义：cx2+bx+a=0是一元二次方程ax A.7 cm B.14 cm +bx+c=0的倒方程.下列四个结论： C.42 cm D.84 cm ①如果x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解， 5.山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤 为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一” 则c 的美誉.某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为 ②如果a心<0，那么这两个方程都有两个不 80元，售价为120元，每天可销售20箱。春节期间，相等的实数根； 为了让利于顾客，该店铺计划降价销售.根据销售 ③如果一元二次方程a2-2x+c=0无解， 18.(10分)已知a,B(a>B)是一元二次方程 经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱。若要使则它的倒方程也无解； x2-x-1=0的两个实数根，s1=a+B,32=a2+ 顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润为 ④如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 B2,…,sn=a”+B 1050元，则每箱小米应降价 不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等 (1)直接写出s1,32的值：S1= ,2= A.5元 B.15元 的实数根 C.20元 D.25元 其中正确的有 (填正确的序号). (2)经过计算，可得s3=4,54=7,s=11,当 6.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限， 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） n≥3时，请猜想s,心-1心n-2之间满足的数量关系， 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的 15.(10分)关于x的一元二次方程x2-2x+m 并给出证明， 情况为 =0的两个实数根分别为x,x2 A.有两个相等的实数根 (1)求m的取值范围； B.有两个不相等的实数根 (2)若2x1+2x2+1x2=0,求m的值 C.没有实数根 D.无法判定 7.近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国 汽车乘联会统计，2022年我国新能源汽车销售量 约为650万辆，2024年约为1150万辆，假设我国新 能源汽车销售增长率保持不变，预计我国新能源 汽车销售量突破2000万辆的年份是 ( A.2025年 B.2026年 C.2027年 D.2028年 8.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0,9n2 (下转第4版)