第8期 4.1 成比例线段 4.2 平行线分线段成比例 4.3 相似多边形（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 20.(12分)如图12，在△ABC中，直线MWN 19.(12分)如图11-①，将A4纸进行2次 分别与AB,AC,BC的延长线交于点D,E,F 折叠后，最终第一次的折痕与A4纸较长的边重 合；如图11-②，将1张A4纸对折，使其较长的 ()如图2-①，当A6=GE0-之时。 BD 辅助线周周练 边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸， 求证：BC=CF; 1.如图1，在矩形ABCD中，点E在AB上， (1)求A4纸较长边与较短边的比； =3CF=3时，求 (2)如图12-②，当40=2BC 且BE=2AE,连接ED,点F为ED的中点，连接 (2)A4纸与A5纸是否为相以图形？请说明 AF,BF,FC,若∠BFC=90°，BF=5,则AF的 理由 AE的值： C 长为 ()品=能-，请宜接写 的值（用含m,n的式子表示） ② 1 2 2.如图2，四边形ABCD是菱形，点E是CD 的中点，连接AE,将△ADE沿AE折叠得 △AFE,连接BD,分别交AF于点M,交AE于点 N若4P1cD于点G,MN=反，-分则 'MN AN的长度为 每斗阴WV吊华型 Y名-隔-号voz=v0e=r 其三琪厚翻最兵NH07倭4粱‘：工关 WWHO处站d甲‘三其厚瑞头NOVV 开徵‘单利阴狂（单蔓群：‘H 学⊥W交‘锤阴HW功O学g‘HW‘HaHO 斜承‘0学士aaOV斜秉【些群】￡乙 也怕搏未 阴项楼王矣彩中阴丁项楼：其三厚興 ‘aV兰关@H‘Oa散面马☑电‘： 典三其厚翻金头OH871肾‘OH=H8徵 口马4H附彩形本群‘H学⊥Oa 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 彩垂阴Oa/!学【些群】/1 根据树状图可知，共有20种等可能的结果，其中所 第7期2版参考答案 =11.0.57；12.3:13.800 得到的光学仪器对光有汇聚作用(B.凹面镜和D.凸透 3.1用树状图或表格求概率 4.行；15不公平. 镜)的有2种，所以摄半为号：0 基础训练1D:2.C:3合：4号 三、16由记录得只近似为了，所以P(落在⊙0 20.(1)所有可能出现的结果列表如下： 能力提高5.(1)3 、第2次 m 1 23 内)= .又因为P(落在⊙0内)= 第1次 (2)树状图如图 开始 1 (1,1)(1,2)(1,3) 0部预所以子为 ⊙0的面积 1,由树状图可知，一共 2 (2,1)(2,2)(2,3) S封图形ABC 有9种等可能的结果， 小明 3 (3,1)(3,2)(3,3) So0=Tm2,所以S封图形8c=3Tm. 其中两次摸到的数字 由上表知，总共有9种等可能的结果，其中所得的数 小、红123 之和大于4的结果有和23434545 17.1)3 字之和是5的结果有2种，分别为(2,3)，(3,2)，所以 3种，所以小明获胜的 图1 (2)列表如下： P(所得的教字之和是5)=号 概率为}=号 积-123 1 -123 (2)由(1)中表格知，转动两次转盘，两次所得的数 (3)由图1知，两次摸到的数字之和小于4的有 -22-4-6 字之和是1,234,56的概率分别是0，g号，号号 3种，和等于4的有3种，所以小红获胜的概率为} 由表格可得，共有6种等可能的结果，其中乘积为 负数的有3种，所以的<0的概岸为。： 1 号因此，在12,3,4,56这6个号码的盒子中放置彩蛋 子，小亮获胜的概率为号：行，所以小期和小红、小亮 18.()子 的数量分别为0个，2个，4个，6个，4个，2个 获胜的概率都为了，所以该游戏公平 21.()3 （2)根据题意，得十州=子，解得m=8,经检验， 开始 3.2用频率估计概率 (2)画树状图如图3 m=8是分式方程的解，所以m=8. 所示，由树状图得，第二 基础训练1.C;2.C;3.10. 能力提高4.(1)0.6. 四19.1)号 次传球后，共有9种等可第一次一。 (2)24. 能的情况，球恰好在甲手 (2)画树状图如图2. 第二次甲丙丁甲公甲 (3)需要增加8个黑球. 中的情况有3种，故球 图3 开 第7期3,4版综合评估卷参考答案 好在甲手中的概率为号=号 、题号12345678910 答：第二次传球后，球恰好在甲手中的概率是了 答案CCBBBB CC DC (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 羞理橘 2025年8月21日·星期四 初中数学 8期总第1152期 北师大 0351-5271248 中考 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-205 五、22.(1)列表 略，由表格知，共有9种 方法探究： 各角对应相等，各边对 等可能的情况 (2)①小明获胜的 比例求值四绝招 应成比例的两个多边形叫 做相似多边形，相似多边形 可能性大，理由如下： 当m=0时，m+m ⊙广东张思玲 对应边的比叫做相似比.由 =0,m+1=1>0,1+ 绝招一、运用比例的性质 用其中一个字母表示其他字母，并代人所求的 定义可知，两个多边形相似 1=2>0,所以a+b≥ 对已知的等式，利用比例的性质进行变形，比例式中，约去这个字母，即可求出其值. 需同时满足：①对应角相 0的情况有4种，概率为 进而求出所求式子的值， 等；②对应边成比例.利用山 识多 9,a+6<0的情况有 例3若：y:=1:2:3,则2+的值 西 ,则。 V-Z 它可求相似多边形的边或 例1 若6 = 5种，概为号.因为号 a +6的值为() 角，下面举例说明 解：因为x:y=1:2,所以y=2x, 例1如图1，四边形 杨冰凯 形 A. C.2 D.3 与 <号，所以小明获鞋的 3 因为x:名=1：3，所以z=3x ABCD∽四边形GFEH,且 可能性大 解：因为名=方所以6=，所以。4 所栏装5放填-5 ∠A=∠G=70°，∠B ②由(1)可得9种 y-z 60°，∠E=120°，DC=24 情况中，(-2，-2) a =3故选B 绝招四、特殊值法 HE=18,HG=21.求∠D, 1 3 (1,-2),(-2,1)满足 a+2a 2 a+b<0,(1,1)满足a 例4若号 b 4 = ,则a-b ∠F的大小和AD的长 +b≥0， 绝招二、等比设值法 如果小红获胜的可 对于有等比条件求比值的题目，可设比值为 解：取a=3,b=4,c=5,易知，b,c满足 能性比小明大，则剩下 k,用含k的式子来表示未知数，然后将其代入所 的5种情况中，至少有 已知条件 求式中求值即可 4种满足a+b≥0，所以 所以原式=3-4。 解：因为四边形ABCD∽四边形GFEH, -2+m≥0,1+m≥0 例2 已知号= 则 3a a +2b 的值为 5 5故填-5 ∠B=60°，∠E=120°，所以∠C=∠E= 解得m≥2，即如果小 2 已知3a226=号，则分 120°，∠F=∠B=60°. 练一练：1. 红获胜的可能性比小明 因为∠A=70°，所以∠D=110°， 大，m的取值范围为m =k,则a=3k,b=5k,所以 因为四边形ABCD四边形GFEH,所以 ≥2. 解：设号 5 D AD 23.(1)设白球的个 3a 3×3k 9k 9 2.已知2a=36,则9-36的值为 数为，由题意，得2十 a+26=3k+2×5k=13k =故填 a 3b HE=HG 绝招三、代入消元法 所以哈=兴解得0=28 分解得x=2 在求一个比例式的值时，可根据已知等式 所以∠D=110°，∠F=60°，AD=28. 答：袋中有2个白 例2如图2，在四边形 球 题型空间 特殊矩豗求相似 ABCD的边AB上任取一点 (2)采用在线支付 O(不与点A,B重合)，连接 获得20元礼金券的概 率大，理由如下： 0C,0D,分别取0A,0B,0C 列表略， ◎河南 李彦英 OD的中点A',B',C,D',连接 由表格知，共有 特殊矩形一、对折后与原矩形相似 A'D',D'C',CB,四边形A'B'CD'与四边形 12种等可能的结果，其 例1如图1，取一张长为a,宽为b的矩形 ABCD相似吗？为什么？ 中抽到两个白球的结果 纸片(a>b),将它对折两次后得到一张小矩形 解：四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD,理 有2种，抽到一个红球 纸片.若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸 由：因为A',D'是OA,OD的中点，所以A'D'∥ 一个白球的结果有 片的边a,b应满足的条件是 8种，抽到两个红球的 图2 40.4n=分4D,以把-分同理咒 结果有2种，所以采用 解：设原矩形的长是a,宽是b(a>b>0) B'C'1 在线支付获得20元礼 则剩下矩形的长为b,宽为a-b. BC=2 金券的概率为立 8 击题意可得公=。之。 因为A',B分别为OA,OB的中点，所以 图1 了，采用现金支付获得 解：由折叠可知，对折两次后的小矩形的长 所以a2-ab-2=0. 0M'=0A,0B=20B,所以Ag'=01'+ 20元礼金券的概率为 为6，宽为子， 将a2-ab-b2=0的两边同除以b2,得 因为子> 2+2 0B=2（01+0B)=分4，所以4g AB=2 因为小矩形与原矩形相似！ b -1=0,所以 3,所以选择在线支付 所以号=之，所以a=2a 所以CD 1 1±-1)2-4x1×(-亚-1±5 获得20元礼金券的概 2×1 2 因为A'D'∥AD,所以∠OA'D'=∠OAD, 率较大 故填a=2b. 因为矩形的长和宽均为正数， ∠OD'A'=∠ODA,同理∠OD'C'=∠ODC (全文完) 特殊矩形二、截去一个矩形后与原矩形相似 LOC'D'=∠0CD,∠0C'B'=∠0CB,∠0B'C' 例2 如图2，从一个矩形ABCD中剪去 =∠OBC, 个正方形ABEF,若剩下的矩形ECDF与原矩形 ABCD相似，求原矩形ABCD的长与宽的比. 故原矩形ABCD的长和宽的比为'+ 所以∠A'D'C'=∠ADC,∠D'C'B= 2 ∠DCB,所以四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD 2 素养专练 人 数理极 ● 4.3相似多边形 跟踪训练 垦础训练 1.下列两个图形一定相似的是 4.1成比例线段 图2 A.两个矩形 B.两个菱形 2.如图2，△ABC中，点D,E,F分别在边AB, C.两个等腰三角形 D.两个正方形 屋础训练 AC和BC上，若DE∥BC,则下列各式正确的是 2.在学校的科技活动中，同学们使用复印机 ( 1.已知号=子则代数式“。的值为 放大图片.如图1，小雨将一张长为5cm,宽为 器品 DE B.CE FB 3cm的矩形图片放大，若放大后的矩形的宽为 ( ) c.号 D.3 C.0 D.B、B 9cm,那么放大后的矩形的长为 ( A.15 cm B.18 cm 5 2.已知线段a:b=c:d,其中a=1cm,b= 3.如图3，直线AF,BE相 C.20 cm D.25 cm 2cm,c=5cm,则d等于 交于点O,AB∥CD∥EF.若 ( 放 A.10 cm BD=4,0D=2,0E=2,则25 AO C.1cm D.om 的值为 图3 图1 4.如图4，用带有刻度的直尺结合数轴作图， 3.已知四边形ABCD∽四边形A'B'CD',且 3.下列各组线段中，是成比例线段的是 已知图中的直线相互平行，若点A在数轴上表示 AB:A'B=2:5,若四边形ABCD的周长为6，则 的数是-2，则点B在数轴上表示的数是 四边形A'B'CD'的周长为 A.2,4,6,7 B.3,6,6,12 4.如图2，将一张 C.2,4,6,8 D.3,6,9,12 口ABCD(AD<AB<2AD) 4.A市建设规划图上，城区南北长约240cm, 纸片，以它的一边为边长剪 而A市城区南北实际长18km,规划图采用的比例 去一个菱形AHED,在余下月 尺是 图4 的平行四边形中，再以它的 图2 9≠0，则+y+2 5.如图5，在△ABC中，D是 一边为边长剪去一个菱形CEFG,若剪去两个菱 5已知== x+y AC的中点，点F在BD上，连接 形后所剩下的口BGFH∽口ABCD,则口ABCD的 AF并延长交BC于点E,若BF: 相邻两边AD与AB的比值是 6.已知a6,c为△ABC的三边长，且满足号 FD=3:1,BC=8,则CE的长为 5.把一个矩形划分成3个全等的小矩形，并 图5 且每一个小矩形与原矩形都相似.若矩形的长为 =乞，2a-36=-12,求△ABC的周长 b 6.如图6，点E,G分别在△ABC的边AB,AC a,宽为b(a>6),则号的值为 上，连接EG,点D为△ABC外一点，连接AD,CD, 6.如图3所示，小林在一块长为6m,宽为4m 点F在AD上，连接GF,EG∥BC,GF∥DC,已知 的矩形小花园ABCD周围栽种兰花来装饰（小花 AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值 园的一边靠墙)，兰花的边框宽均为20cm,边框 内外边缘所围成的两个矩形相以吗？请说明理由， 图3 能刀提高 7.若实数a,b,c满足a+b-c=6+c-4= a a+e-b,求(a+b)(6+c)(a+c的值， 能刀提高 能刀提高 abc 7.在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边 7.一个矩形ABCD的较短边长为2. 上，AD与BE交于点F. (1)如图4-①，若沿长边对折后得到的矩形 (1)如图7-①，点D是BC中点，点F是AD 与原矩形相似，求BC的长； 中点，DG∥BE交AC于点G,求证：EC=2: (2)如图4-②，已知矩形ABCD的另一边长 (2)如图7-②，若BD:DC=1:4,AF:FD 为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形CDFE =3:2,求AE:EC的值 与原矩形ABCD相似，求矩形CDFE的面积. M D 4.2平行线分线段成比例 垦础训练 1.如图1，直线L1∥2∥1，直线AC和DF被 1,2,l3所截，AB=2,BC=4,EF=6,则DE的长 为 ) 数理报社试题研究中心 A.12 B.4 C.3 D.8 (参考答案见下期) 数理极 素养•测评 3 16.(10分)已知线段a,6满足聋=号 同步达 检测题（五） ()求”，的值： 【检测范围：4.14.3】 (2)当号=云且a=8时，求x的值， (满分：120分) AC交于点F,则器的值为 一、精心选一选（每小题4分，共32分） B. c 题号12345 678 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 答案 1.下列各选项中，平行于原正多边形一边的 9若a=2b,则号= 直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原 10.两个相以多边形的相似比为2：3，其周长 多边形相以的是 之差为6，则较小的多边形的周长是 11.如图5，在△ABC中，D,E,F分别是边AB AC,BC上的点，DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB= 2:3,那么CF:BF的值为」 A B C D 2.在比例尺为1：500的图纸上，量得一座塔 17.(10分)如图9，DE∥BC,EF∥CG,AD: 的高是2.2厘米，那么它实际的高度是() AB=1:3,AE=4. A.11米B.110米C.22米D.220米 (1)求EC的值： 3.某商店售卖的花架如图1所示，其中AD∥ (2)求证：AD·AG=AF·AB. BE /CF,DE 24 cm,EF 40 cm,BC 50 cm 则AB的长为 ( A.20 cm B.30 cm 12.已知哈=台==子且+d+f0 C.40 cm D.50 cm 哈号 13.如图6，学校有块矩形劳动实践基地 ABCD,其中AD长为20米，AB宽为15米.现准备在 其四周铺设小路，要求扩建后的矩形A'B'C'D'与 原矩形ABCD相似.若相对的两条小路的宽度相 图2 等，小路宽度分别为x米，y米(y>x),当x= 4.已知2x=3y,则下列比例式成立的是 y 时满足扩建要求 14.如图7，在△ABC y 中，∠A=90°，D是AB的 D. 中点，过点D作BC的平行 18.(10分)如图10，在平行四边形ABCD中， x 线，交AC于点E,作BC的 连接BD,E为边BC上一点，连接AE并延长，交DC 5.已知成比例的四条线段的长度分别为 垂线，交BC于点F.若AB 图7 的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GF∥ 6cm,l2cm,xcm,8cm,且△ABC的三边长分别 为xcm,3cm,5cm,则△ABC是 ( =CR,且△naF的面积为分，则BC的长是C,交C于点F2-》 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 (1)若BD=20,求BG的长； C.直角三角形 D.无法判定 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 6.如图2，D,E是△ABC的边BC的三等分点， 15.(10分)如图8，梯形ABCD中，AD∥BC,E (2)已为-8总未号器的值 点F是AC的中点A机与F交于点P,则路的值 是AB上的一点，EF∥BC,并且EF将梯形ABCD 分成的两个梯形AEFD,EBCF相以，若AD=4,BC 为 ( =9,求AE:EB的值 A.2 B c号 7.如图3，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC= 16cm,E,F分别是AB,CD上的点，且AE=DF= 8cm,两动点M,N都以2cm/s的速度分别从点C, 图8 F出发沿CB,FE向点B,E运动.当矩形CFNM与 矩形AEFD相似时，点M,N运动的时间为（ A.1s或2s B.1s或4s C.2s或4s D.1s或2s或4s A 图3 4 8.如图4，△ABC中，AB=AC,D为BC中点， 在BA的延长线上取一点E,使得ED=EC,ED与 (下转第4版)