第4期 2.1 认识一元二次方程-2.3 用公式法求解一元二次方程（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养拓展 数理极 题型空间 第2期2版参考答案 CF,所以∠AEO=∠CFO.因为点O是AC的中点，所以 公式法解方程 1.2矩形的性质与判定（第二课时） 0H=0C=24C因为∠A0E=∠C0F,所以△A0E兰 基础训练1.B;2.A;3.矩形： 三点要记牢 △COF,所以OE=OF=号EF.所以四边形AFCE是平 4.∠B=90°（答案不惟一）. 5.证明略. 行四边形.因为∠CAE=∠FEA,所以OA=OE,所以AC ◎河南陆舒文 能力提高6.(1)证明：因为四边形ABCD是平行 =EF,所以口AFCE是矩形 四边形，所以AD=BC,AD∥BC,所以AD∥EF.因为 (2)四边形AFCE的面积是8. 一、分清a,b,c的符号 BE=CF,所以BE+BF=CF+BF,即EF=BC,所以 19.(1)证明：因为PH⊥OB,MD⊥OB,所以PH∥ 例1解方程：x2+3x-1=0. AD=EF,所以四边形AEFD是平行四边形.又因为DF MD.因为PM∥OB,QR∥OB,所以PM∥QR,所以四边 解：因为a=1,b=3,c=-1, ⊥BC,所以∠DFE=90°，所以四边形AEFD是矩形 形PQRM是平行四边形.因为PH⊥OB,所以∠PHO 所以b2-4ac=32-4×1×(-1)=13 (2)EM的长为35. 90°.因为PM∥OB,所以∠MPQ=∠PH0=90°，所以 四边形PQRM为矩形. 所以x=-6±Y6F=4ac。-3±3 1.3正方形的性质与判定（第一课时） 基础训练1.B;2.D: (2)∠AOB=3∠BON.理由：因为四边形PQRM为 2a 2 3.√34；4.30°或150° 矩形，所以PS=SR=SQ=)PR,所以LSQR= 解得，=二3+3 5.(1)证明略. 2 (2)由(1)得△BAE≌△ADF,所以∠DAF= LSRQ.又因为OP=)PR,所以OP=PS,所以∠POS 二、将方程化为一般形式 LABE.因为∠DAF+∠BAF=90°，所以∠ABE+=∠PSO.因为QR∥OB,所以∠SQR=∠BON.在 例2解方程：3x(x-1）-2=2x ∠BAF=90°，所以∠AGB=90°.因为AB=4,DE=1,△SQR中，∠PS0=∠S0R+∠SRQ=2∠SQR= 解：方程整理为3x2-5x-2=0, 所以AE=3,所以BE=5.因为SAE=子分×AB×AB2∠BON,所以∠P0S=2∠B0N,所以∠A0B=∠POS +∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BOW,即∠AOB= 所以a=3,b=-5,c=-2, =子×BE×AG,所以AG=号 3∠BON. 所以02-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49 20.（1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AD 能力提高6.(1)证明：因为四边形ABCD是正方 =CD,∠DAF=∠CDE=90.因为DG⊥CE,所以 所以x=-6±Y公-4e_5±7 形，所以AC⊥BD,所以∠BOE=90°.因为FH⊥AC,所 ∠DOE=∠C0D=90°，所以∠AD0+∠CD0=∠DCO 2a 6 以∠EHF=90°=∠BOE,所以∠BE0+∠OBE=90° +∠CD0=90°，所以∠AD0=∠DCO,所以△AFD≌ 由旋转得BE=EF,∠BEF=90°，所以∠BEO+∠FEH △DEC. 1 解得x1=2,x2=-3 =90°，所以∠OBE=∠FEH.又因为∠BOE=∠EHF (2)证明：由(1)得△AFD≌△DEC,所以DE= 所以△OBE兰△HEF 三、b2-4ac≥0的方程才有实数根 AF.因为AB=AD,AD=2ED,所以AB=2AF,所以点F (2)因为△OBE≌△HEF,所以OE=FH=1.因为四 是AB的中点，所以AF=BF.因为AD∥CG,所以∠ADF 例3解方程：2x2+3x+5=0. 边形ABCD是正方形，所以∠BCD=90°，所以∠ACD= =∠BGF.因为∠BFG=∠AFD,所以△AFD≌△BFG, 解：因为a=2,b=3,c=5 45°.因为∠FHE=90°，所以∠HFC=45°，所以∠HFC= 所以BG=AD,所以BG=BC,所以点B是CG的中点 所以b2-4ac=32-4×2×5=-31<0, ∠FCH,所以CH=FH=1,所以CF=√2. 1.3正方形的性质与判定（第二课时） 因为DG1CE,所以LC0G=90,所以0B=2CG= 所以方程没有实数根， 基础训练1.D;2.B;3.正方形；4.4. BC,所以∠BOC=∠BCO. 5.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD, OA=OC,OB=OD.因为BE=DF,所以OB-BE=OD (3)0C=2HC,证明：过点A作AM1DF于点M, 辅助线周周练 DF,即OE=OF.又因为OA=OC,所以四边形AECF 因为四边形ABCD是正方形，所以AD=CD.由(I)知 是平行四边形.因为AC⊥BD,所以四边形AECF是菱 ∠ADF=∠DCE,因为∠AMD=∠COD=90°，所以 形.因为AE⊥AF,所以∠EAF=90°，所以四边形AECF △AMD兰△DOC,所以AM=D0,DM=OC.因为 是正方形 ∠AHD=45°，∠AMH=90°，所以△AMH是等腰直角三 1.如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD= 能力提高6.(1)证明：过点A作AG⊥EF于点G, 角形，所以AM=HM,所以D0=HM,所以DO+OM= 则∠AGE=∠AGF=90°.因为AB⊥CE,AD⊥CF,所以HM+OM,即DM=OH,所以OH=OC.因为∠HOC= 6,点E为边BC上的动点，连接AE,过点E作EF ∠B=∠D=90°=∠C,所以四边形ABCD是矩形.因为 90°，所以△C0H是等腰直角三角形，所以0C2+0H= ⊥AE,且EF=AE,连接CF,则线段CF长度的 ∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A,所以AB=AG,AD 最小值为 =AG,所以AB=AD,所以四边形ABCD是正方形 20C=HC,所以0c=2HC (2)因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD AB=6.因为AE=AE,AB=AG,所以Rt△ABE兰 第3期参考答案 Rt△AGE,所以BE=EG.同理，Rt△ADF≌Rt△AGF,所 -、题号12345678910 以DF=GF,所以BE+DF=GE+GF=EF.设BE 答案BDD CBDCACA x,DF=y,则CE=6-x,CF=6-y,EF=x+y.在 二、11.3；12.22；13.菱形； Rt△CEF中，由勾股定理，得(6-x)2+(6-y)2=(x+ y)2,整理得xy+6(x+y)=36,所以(BE+6)(DF+6) 14.45°；15.2或22-1. 三、16.证明：因为CE∥BD,DE∥AC,所以四边形 2.如图2，正方形ABCD的边长为2√2，点E :(x+6)(y+6)=xy+6(x+y)+36=72 OCED为平行四边形.因为四边形ABCD为菱形，所以AC 是AB边上的一个动点，点F是CD边上的一个 第2期3版参考答案 ⊥BD,即OC⊥OD.所以∠COD=90°.所以四边形 动点，且AE=CF,过点B作BG⊥EF于点G,连 OCED是矩形. -、题号12345678 17.四边形ABEF是菱形，理由：由作图可知，AF= 接AG,则AG长的最小值为 答案ADDBDDBC AB,BE=AB,所以AF=BE.因为四边形ABCD是平行四 二、9.3；10.∠BAD=90(答案不惟一)： 边形，所以AD∥BC,即AF∥BE,所以四边形ABEF是平 a相 11.36°：12.6：13.1.2；14.4或5. 行四边形又因为AF=AB,所以四边形ABEF是菱形. 具普慧1‘茎关项三阴张琪三郢褂‘H9‘H 三、15.证明略. 18.证明：因为F为AD的中点，所以AF=DF.因为 瓣秉‘H学中明a0难‘a0TV0耳‘0学码 16.证明：过点E作EM⊥BC于点M,因为四边形 AE∥BC,所以∠AEF=∠DBF又因为∠AFE= ABCD是矩形，所以AB⊥BC,所以EM∥AB,所以∠ABE 荔0amaa4买‘学中明了v音0学‘Da ∠DFB,所以△AFE≌△DFB,所以BD=AE.因为AD是 =∠BEM,∠BAC=∠CEM,∠ABC=90°.因为∠ABE BC边上的中线，所以DC=BD,所以AE=DC.因为AE∥ 处承d本屐散‘0学学卒阴a与O +∠CEF=45°，所以∠BEM+∠CEF=45°.因为BE⊥BC,所以四边形ADCE是平行四边形.因为△ABC为等腰 孔‘OVIO‘V拜买【些群】I-S乙 EF,所以∠CEM=45°=∠BAC,所以∠BAC=∠ACB =45°，所以AB=BC,所以矩形ABCD是正方形 直角三角形，AB=AC,4AD为中线，所以AD=号BC= /售具4D阳yT4D系‘恤冥TY彩 17.(1)证明：由旋转的性质，得AQ=AF,∠QAF=DC,AD⊥BC,所以平行四边形ADCE是正方形. #4学用业联‘9=QV=O8‘b=aV 90°.因为∠EAF=45°，所以∠QAE=∠QAF-∠EAF 四、19.(1)证明：因为四边形EFGH是矩形，所以 QO口阴￥甲‘b=aV=Y&1里 =45°，所以∠QAE=∠FAE.因为AE=AE,所以EH=FG,EH∥FG,所以∠GFH=∠EHF,所以LBFG △AQE≌△AFE,所以EQ=EF =∠DHE,因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC,所 孙三最舌出唑‘Yd斜霖‘。Sh=OX17 (2)因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABD=以∠GBF=∠EDH,所以△BGF兰△DEH,所以BG= 量到‘y学一连丁Oa尹‘LA买‘A8=L8 ∠ADB=45°.由旋转得到∠ADF=∠ABQ=45°，所以DE. 到‘L学一难Ta尹【兰群】砂1 ∠QBE=∠ABD+∠ABQ=90°. (2)菱形ABCD的周长为8. 18.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AE∥ (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话 初中数学 0351-5271268 2025年7月24日·星期四 报纸发行质量反馈电话 期总第1148期 北师大 0351-5271248 装理橘 中考 上接4版参考答案 20.(1)证明：因为四 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统 -连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-205 边形ABCD是正方形，所 OA=OB,∠OAB=∠OB( 重点精讲 配方法是解一元二次 45o.所/0A 方程的基本方法，也是解 OBN 135.因 ∠E0F=90°，∠AOB 巧用根的定义求值 决代数中有关二次式最值 所以 ∠AOM 问题的常用方法之一.配 师课堂 ∠BON,所以△OAM △OBN,所以OM=ON ©广东江墨轩 方是通过“加上”并且“减 (2)过点0作0H1 若ax+bx0+c=0,则x是一元二次方程526=0有一个根为x=20,则方程a(x-2) 去”相同的项，把代数式 于点H,连接HE,因为 正方形ABCD的边长为8 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根；反之，若是b(x-2)+526=0必有一根为 中的某些项配成完全平方 所以OH=HA=4.因为 -元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个 解：令x-2=t,则at2-bt+526=0,因为 式，达到巧解的目的.下面 为OM的中点，所以HE 就让我们走进一元二次方 配方法微 OM=EM.因为HM 根，则可得ax号+bx。+c=0.这就是一元二次方方程ax2-bx+526=0有一个根为x=20,则 江西 程的解法，一起来体会配 AE,所以HA=AM=4,所 程根的定义，利用一元二次方程根的定义解题方程a-M+526=0必有一根为t=20,所以 以HM=8,所以OM 是中考的常见考点， a(x-2)2-b(x-2)+526=0有一根为x-2 方法的无限魅力吧！ 45,所以0N=0M 例题呈现 =20,解得x=22.故填x=22 配方法的基本思 泽 课 5,所以MN=410 变式训练 路 21.(1)证明：因为四 例1已知3是一元二次方程x2-2x+a= 形ABCD是菱形， 用配方法解一元二次 0的一个根，求a的值和方程的另一根. 1.若m是一元二次方程x2-x-2=0的 AB∥CD,所以∠AFE 个根，则代数式2m2-2m的值为 方程的基本思路是将方程 DCE.因为E是AD的中 解：将x=3代入x2-2x+a=0中，得9- 点，所以AE=DE.又因为 A.-1 B.-2 转化为(x+m)2=n的形 ∠DEC, 所以 6+a=0,解得a=-3,将a=-3代入x2-2x 式，然后利用开平方达到 △AFE≌△DCE,所以AF +a=0中，得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2 C.2 D.4 CD. 2.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0) 降次的目的.当n≥0时，根据平方根的意义▣ (2)BD⊥DF,理由 =-1,所以a=-3,方程的另一根为-1. 其中a,b,c满足a+b+c=0和4a-2b+c= 求出它的根为x=-m±√n, 因为四边形ABCD是菱形 例2已知m是一元二次方程x2-3x+2= 二、配方法的步骤 所以AB=AD=CD.天为 0,则该方程的根是 AF=CD,所以AB=AD= 0的一个根，则代数式2m2-6m+2025的值为 AF,所以∠ABD=∠ADB, A.x1=1,x2=2 B.1 =1,x2=-2 如果方程的二次项系数是1，且一次项系 ∠ADF=∠AFD,所 C.x1=-1,x2=-2D.x1=-1,x2=2 数是2的整数倍，比如x2-4x+1=0,那么 BDF=∠ADB+∠ADF A.2018B.2021C.2022D.2024 3.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+ 般可按以下步骤解方程： =号×180°=90°，所以 解：因为m是一元二次方程x2-3x+2=0 2x+m2-1=0有一个根是0，则m的值是 (1)移项：使方程的左边为含有未知数的 BD⊥DF 的一个根，所以m2-3m+2=0,即m2-3m= 项（即二次项与一次项），右边为不含未知数的 五、22.(1)略 -2,所以2m2-6m+2025=2(m2-3m)+ 项（即常数项），得X2-4x=-1; (2)证明：连接 AE ,因为E是BC的中点 2025=2×(-2)+2025=2021.故选B. (2)配方：在方程的两边都加上一次项系数 所以AE,DE分别 例3关于x的一元二次方程ax2-bx+ 半的平方，把方程左边写成完全平方的形式，即 RL△ABC和RI△DBC斜达 上的中线，所以AE 2-4+(-=-1+(,x-2=3 5BC,DE=BC, 所以 品味方法 AE=DE,所以△ADE是等 腰三角形.因为F是AD的 二次方程根的判别式的妙用 (3)开方：根据平方根的意义，直接开平方 得到两个一元一次方程，从而达到“降次”的目 中点，所以EF⊥AD. (3)证明：分别延长 ★ ★ ★★★ ★★★★★ 的，由此可得x-2=5或x-2=-5; AC,BD交于点F,因为BD ○山西王芷涵 (4)求解：解两个一元一次方程，得x1=2 CD, 所以 DCB ∠DBC.因为∠F+∠DBO 例1 若关于x的一元二次方程kx2+2x 解得m=1. 3,2=2-5. =90°，∠DCF+∠DCB 3=0有两个实数根，则k的取值范围是 此时方程为x2+2x+1=0 温馨提示：(1)如果方程的二次项系数不 90°，所以∠F=∠DCF,所 DC =DF,所以BD 解得x1=x2=-1. 是1，要先利用等式的基本性质将其化为1； DF.又因为AD⊥BF,所以 所以m的值为1，方程的根为-1 (2)若一个方程完成配方后，方程右边的常 AB=AF,所以AD平分 A.k>- B.k≥- 3 CAB. 例3已知关于x的一元二次方程x2-mx 数项是负数，这说明原方程在实数范围内无解 23.(1)B C.k≥- 上且k≠0D.k≤且k≠0 +m-5=0,求证：无论m取何值，方程一定有 练习：用配方法解一元二次方程：3x2-6x (2)(2-5) 3 3 +2=0. (3)①CH=MD, 两个不相等的实数根 分析：本题考查了一元二次方程的定义及 :由旋转，得AE= AG 分析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+ ∠H=∠B,AH= AB 根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的 [答案：x1=3- 3 ,=3+ 3 AGH=/AEB=90° 所 =0(a≠0)的根的判别式△=2-4ac:当△ 以∠AEC=∠AGM=90 判别式即可解答 >0,方程有两个不相等的实数根；当△=0，方 三、配方法的应用 因为四边形ABCD是菱形 解：因为kx2+2x-3=0为一元二次方程， 所以AD=AB=AH,∠ 程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还 ∠B=:∠H.天为AC 所以k≠0，因为该一元二次方程有两个实数 能巧解数学中的很多问题，下面我们就一起欣 数根 菱形ABCD的对角线，所以 根，所以4=22-4k×(-3)≥0，解得k≥ 赏如何巧用“配方法”解题吧！ /ACE=/ACN 3 证明：因为4=(-m)2-4×1×(m-5)》 ∠CNH=∠MND,∠AM 例用配方法证明：无论x取何值，代数式 =∠D+∠MND,∠ACN =m2-4m+20=(m-2)2+16>0,所以无论 所以k≥一 2x2+8x-9的值总小于0. H+ ∠CNH,所以∠AM 3且k≠0.故选C m取何值，方程一定有两个不相等的实数根. ∠ACN=∠ACE,所以 分析：利用配方法把-2x2+8x-9转化成 △ACE兰△AMG,所以AC 例2 若关于x的一元二次方程x2+2x+m 方法总结：在解与一元二次方程根的判别 -2(x-2)2-1,再证明-2(x-2)2-1≤-1 =AM,所以AD-AM=AH =0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程式有关的问题时，一般分两种情况：一种是直接 <0即可. AC,即CH=MD ②1或7. 的根 利用判别式判断方程根的情况；另一种是根据 证明：-2x2+8x-9=-2(x2-4x)-9 全文完) 分析：根据根的判别式的意义得到22-4m方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围. =-2(x2-4x+4)-9+8=-2(x-2)2-1, :0,再解关于m的方程得到m的值，然后解方 前者可由判别式的正负确定根的情况；后者根 因为(x-2)2≥0，所以-2(x-2)2≤0，所以 程即可 据根的情况，列出不等式求取值范围（需注意二 -2(x-2)2-1≤-1<0，所以代数式-2x2+ 解：根据题意，得△=2-4m=0 次项系数不能为零这一隐含条件)】 8x-9的值总小于0： 素养专练 数理极 2.2用配方法求解一元二次方程 2.3用公式法求解一元二次方程 跟踪训练 垦训练 垦础训练 1.一元二次方程x2=1的解为 1.用公式法解方程x2-5=-7x时，二次项 2.1认识一元二次方程 A.x1=x2=1 B.x1=1,x2=-1 系数、一次项系数和常数项的值依次是（) C.x=0 屋础训练 D.无实数根 A.0,-5,-7 B.1,-7,-5 2.用配方法解方程x2-4x-3=0时，配方后 C.1,7,-5 D.1,-5,-7 1.下列方程是一元二次方程的是( ）正确的是 () 2.一元二次方程x2-3x+4=0的根的情况 A.2x+1=0 B.yY2-1=1 A.(x-2)2=7 B.(x-2)2=1 () y C.(x+2)2=7 D.(x+2)2=17 A.有两个不相等的实数根 C.x2+x-2=0 D.x3+3x-6=0 2.若x=1是一元二次方程x2-6x+a=0的 3.现定义一种运算 a c =ad-bc,例如 B.没有实数根 b d C.有两个相等的实数根 -个根，则a的值是 ( ) 13 =1×4-2×3.若 x 1-x D.无法确定 A.2 B.3 C.4 D.5 =5,则x的 24 1x-2 3.若关于x的方程x2-x+m=0有实数根， 3.将一元二次方程(x+a)2=b化成x2-8x 值为 ( 则m的值可以是 () -5=0的形式，则a,b的值分别是 A.2或-3 B.-2或3 A.0.25B.0.5C.1 D.2 A.-4,21 B.-4,11 C.1或-6 D.-1或6 4.已知关于x的一元二次方程mx2-2x-1= C.4,21 D.-8,69 4.已知一元二次方程(m+2)x2+7mx+m2- 0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 4.关于x的方程(a-3)x2+ax+1=0是一 元二次方程的条件是 4有一个根为0，则m的值为 5.如果一元二次方程x2-4x+k=0经配方 5.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2 5.若关于x的一元二次方程3x2+x-2= 后，得(x-2)2=1,那么k的值为」 的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值 ax(x-2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常 6.用配方法解一元二次方程x2-2x-2025 为 数项为-2，则该方程中的一次项系数为 =0,将它转化为(x+a)2=b的形式，则a的值 必 6若关于x的一元二次方程am--} 6.已知关于x的方程2x2-mx+n=0的根是 7.解方程： 0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a+1, -1和3，则m-n= (1)4x2-9=0: -3-a)在第 象限 7.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 7.解方程： 0,其中a,b,c满足(a-2)4+b+5+|a+b+ (1)x2-5x+3=0: 21=0,求这个一元二次方程. (2)7-2x-1=0: (2)2x2-3x-1=0; (3)x2+4x=4. (3)3x2-2x=2. 能刀提高 8.定义新运算：对于任意实数a,b,c,d有[a, b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是常用的乘 能刀提高 法和减法运算.如：[4,3]*[2,1]=4×2-3×1 8.阅读材料：选取二次三项式ax2+bx+c(a 能刀提高 =5. ≠0)中的前两项，配成完全平方式的过程叫配 8.已知关于x的方程mx2-(m+3)x+3=0. (1)求[2,4]*[3，-1]的值； 方.例如：x2-4x+2=(x2-4x+4-4)+2=(x (1)求证：方程总有实数根； (2)已知关于x的方程[x,1-x]*[x+2,m] -2)2-2. (2)m为何整数时，此方程有两个不相等的正 =0的一个根为2，求m的值 请根据阅读材料解决下列问题： 整数根 (1)【直接应用】将代数式配方：x2-4x+9= (2)【类比应用】已知x2+y2+4x-6y+13= 0,求(-y)x的值； (3)【知识拓展】求当x,y为何值时，代数式 5x2-4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？ 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养•测评 (2)请你帮小明写出这个方程正确的求解过程 步 检测题（三 【检测范围：2.12.3】 12.若方程x2-4100625=0的两根为x1= (满分：120分) 2025,x2=-2025,则方程x2+2x-4100624= 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 0的两根为 18.(10分)已知关于x的方程x2+(2k-1)x 题号12 3 4 5 67 8 13.已知a,b,c是△ABC的三边，关于x的方 2k-1=0. 答案 程c(x2+m)+b(x2-m)-2a√mx=0,当m> (1)求证：无论k取何值，关于x的方程x2+ 0时有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 1.一元二次方程4x2-6x+1=0的一次项系 (2k-1)x-2k-1=0都有两个不相等的实数根； 数是 三角形. ( (2)若-1是此方程的一个根，求k的值， 14.定义新运算“①”如下：当a≥b时，a①b A.4 B.6 =ab+b;当a<b时，a⊕b=ab-a.若(2x-1) C.-1 D.-6 ⊕(x+2)=0,则x= 2.用配方法解一元二次方程x2-2x=2时， 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 应在方程两边同时加上 ( 15.(12分)解方程： A.1 B.2 (1)(x-4)2-9=0: C.-1 D.4 3.关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1 0有实数解，则a的取值范围是 ( 19.(10分)阅读与思考 A.a≥2 B.a≤2且a≠1 阅读下列材料，然后完成相应任务。 C.a>2 D.a<2且a≠1 方程x2-4x-1=0两边同时除以x(x≠ 4.能使方程x2-x=2成立的x的值为 (2)-g+5=0: 0),得x-4-=0,即x-=4 A.0 B.1 C.2 D.3 因为产+-2 5.《田亩比类乘除法》中提出这样一个问题： 所以0+三=(x-上)+2=18， x 直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问 阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步， 任务： 宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步， (3)x2+x-3=0 (1)已知方程x2-3x-1=0,则x-1= 则可列方程为 A.x(x-12)=864 (2)若m是方程3x2-7x+3=0的根，求m2 B.x(x+12)=864 C.2[x+(x+12)]=864 品的 D.2[x+(x-12)]=864 6.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根 16.(10分)已知一个数与3的和的平方等于 是m-1与2m-5,则m的值是 ( 这个数的2倍与5的和，求这个数 A.4 B.2 C.与a,b有关 D.无法确定 7.如果a是一元二次方程2x2=6x-5的根， 则R代数式a2-3a+2053的值为 20.(12分)定义：方程cx2+bx+a=0是一元 2 ( 次方程ax2+bx+c=0的倒方程，其中a,b,c为 A.1021 B.1022 常数（α，c≠0）.根据此定义解答下列问题： C.1023 D.1024 (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的倒方 8.若实数a,b,t满足a2+b2-2a=4,a+2b 17.(10分)小明同学解一元二次方程x2-8x程是 =6,则t的最大值与最小值的和为 ( -1=0的过程如下： (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c= A.-2 B.1 解：x2-8x=1,① 0的倒方程的解，求出c的值； C.2 D.4 x2-8x+16=1,② (3)若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (x-4)2=1,③ 倒方程的一个实数根，则m3+m2-6m+2025的 9.将方程x2+6x+4=0配方转化为(x+n)2 x-4=±1，④ 值为 =p的形式，则n+p= 1=5,x2=3.⑤ 10.已知一次函数y=ax+c经过第一、三、四 (1)小明解方程的方法是 象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根 A.直接开平方法 B.因式分解法 的情况是： C.配方法 D.公式法 11.若x2+2与x-3互为相反数，则x的值为 他的求解过程从第】 步开始出现错 数理报社试题研究中心 误； (参考答案见下期)