第2期 1.2 矩形的性质与判定(第二课时) 1.3 正方形的性质与判定（答案见第4期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养·拓展 数理极 (上接第3版) 20.(12分)如图17-①，在正方形ABCD 19.(12分)如图16,0N为∠A0B中的一条中，E是AD上一点，过点D作DG⊥CE于点0， 射线，点P在边OA上，PH⊥OB于点H,交ON于交AB于点F,与CB的延长线交于点G,连接 点Q,PM∥OB交ON于点M,MD⊥OB于点D, BO. 辅助线周周练 。。。。。 QR∥OB交MD于点R,连接PR交QM于点S (1)求证：△AFD兰△DEC; (1)求证：四边形PQRM为矩形； (2)当AD=2ED时，求证：∠BOC= 1.如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD= 6,点P,M,N分别在边AB,AD,BC上运动，且线 (2)若0P=PR,试探究∠A0B与 ∠BCO: (3)如图17-②，在OG上取一点H,连接 段MN始终经过矩形的对称中心，则△PMN周 ∠BON之间的数量关系，并说明理由 长的最小值为 AH,CH,若∠AHD=45°，猜想OC与HC之间的 A 数量关系，并证明 2.如图2，在边长为2的正方形ABCD中 点E,F分别是边BC,AD上的点，连接EF,将四 边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落 在CD边上，点A的对应点为点H,连接BH,则 BH+EF的最小值是 小 售阴9+9W用华9+9V鈍Ha+H8 球‘四科阴：其三舌甲‘83HV云O8vV 乎昏‘YVOV'Y9斜买‘08=Y0到‘y专8 斗9387云1aVV昏‘3a要1学士 Oa1a∥IWV学g【兰】szz 搏华 口怕Wa乙+Ha乙+Vz=WW+Nd+Nd= wa7)甲9a+←W图+4a+V$但‘3a 具小售阴WI‘V头事小/售阴+V‘出 渐并学三I‘H‘V示‘学其晋a徵口‘V瓣 9上QV交‘IVT9a日区‘I学中阴NW 数理报社试题研究中心 'H学中阴Wd随【半群】b+乙I (参考答案见4期) 十十十十 第1期2版参考答案 所以∠DBA=30°，∠EBF=60°.又因为BE=BF,所以 △BEF是等边三角形.因为AD∥EF,DF∥AE,所以四 第1期3版参考答案 1.1菱形的性质与判定（第一课时） 边形ADFE是平行四边形，所以EF=AD=4,所以BE 题号12345678 基础训练1.C;2.C;3.70;4.1. =EF=4.过F作FH⊥AB于H,则BH=EH=号BE 答案ACCBACBB 5.证明略 能力提高6.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 二、9.5；10.180°-a;11.AB'=B'C'(答案不惟 =2,所以AH=AB-BH=6. 所以AD∥BC,所以∠DAE=∠F.因为E是AF的中点， 所以AE=FE因为∠AED=∠FEC,所以△ADE≌ 在Rt△EFH中，由勾股定理，得FH=√EF2-E -512.6;1B2:4子 三、15.证明略. △FCE,所以DE=CE.又因为AE⊥DC,所以AD=AC. =25,在Rt△AFH中，由勾股定理，得AF= 因为四边形ABCD是菱形，所以AD=CD,所以AC=CD. 16.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以DA=DC, AH+F㎡=45，所以AF的长为45. (2)由(1)可得AD=AC=CD,所以△ADC是等边 ∠ADG=∠CDG.又因为DG=DG,所以△DAG≌ 三角形，所以∠DAC=60°.因为AE⊥DC,所以∠AED 1.2矩形的性质与判定（第一课时） △DCG,所以∠DGA=∠DGC.因为∠AGE=∠CGF,所 =∠CEF=90,∠F=∠DAE=号∠DAC=30.因为 基础训练1B:2.B:3.6:4 以∠DGE=∠DGE. 17.(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥ 四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD,AB=CD,所以 5.证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD,BC.所以∠F=∠BCE.因为点E是AB的中点，所以AE ∠FAB=∠CEF=90°.设CE=x,则AB=CD=CF= OA=OC=2AC,0B=OD=号BD,所以OB=OC.因=EB.又因为LAEF=∠BEC,所以△AEF兰△BEC 2x,所以AE=EF=√5x.在Rt△ABE中，BE= (2)CF的长为8. ,,器层牙 为BE⊥AC,CF⊥BD,所以∠BEO=∠CFO=90°.又 18.(1)四边形ABPD是菱形，证明：因为PE,PF分 因为∠B0E=∠COF,所以△BE0≌△CFO,所以OE别是边BC,CD的中垂线，所以PB=PC,PC=PD,所以 1.1菱形的性质与判定（第二课时） =0F PB=PD.因为AB=AD,AP=AP,所以△ABP≌ 基础训练1.C;2.B;3.AC=BD:4.20. 能力提高6.(I)证明：连接BE,由旋转性质得BC△ADP,所以∠BAP=∠DAP.因为AD∥BP,所以 5.证明略. =EC,所以∠BEC=∠EBC.因为四边形ABCD是矩形，∠DAP=∠APB,所以∠BAP=∠APB,所以AB=BP, 能力提高6.(1)证明：因为OA=OC,OB=OD,所以AD∥BC,AB=CD,∠A=90°，所以∠AEB=所以AB=BP=PD=AD,所以四边形ABPD是菱形. 所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD,所以 ∠EBC,所以∠AEB=∠BEC,所以BE平分∠AEC.因 (2)因为BH=6,CH=2,所以BC=BH+CH=8. ∠EB0=∠FDO,∠BEO=∠DFO.又因为OB=OD,所 以△BOE兰△DOF,所以BE=DF.又因为BE∥DF,所 为BH⊥CE,∠A=90,所以BA=BH,所以CD=BH因为PE垂直平分BC,所以BE=CE=2BC=4,所以 以四边形DEBF是平行四边形.因为EF⊥BD,所以四边 (2)连接GH,因为四边形ABCD为矩形，且矩形 形DEBF是菱形. ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,BHEH=CE-CH=2.在Rt△PEH中，因为∠PEH=90°， (2)因为AD∥EF,所以∠ADB=∠EOB=9O.设⊥CE,所以∠BHC=∠ECG=∠BCD=90°，CG=CD∠PHE=45°，EH=2,所以PE=2.在Rt△PEB中，因 AD=,则AB=12-x,在Rt△ABD中，由勾股定理，得=BA=BH=5,所以BH∥CG,所以四边形BCGH是平为∠PEB=90°，BE=4,PE=2,所以BP= AB2-AD2=BD2,即(12-x)2-x2=(45)2,解得x=行四边形，所以0H=CH.在Rt△BCH中，由勾股定 BE+PE=25,所以AB=BP=25,即AB的长 4,所以AD=4,AB=8.因为AD=4B,∠ADB=0°，理，得CH=√BC-BF=2,所以0H=6 度为25. (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话 初中数学 0351-5271268 2025年7月10日·星期四 报纸发行质量反馈电话 数评橘 第 2期总第1146期 北师大 0351-5271248 中考 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-205 19.(1)延长DG与AB 交于点H,因为四边形 品味方法 正方形既是矩形 ABCD是矩形，所以AB= CD=3,AB∥CD,所以 ∠CDG=∠H,∠DCG 判定矩形把握 三主线 又是菱形，判定一个四 边形是正方形，通常有 ∠HBG.因为点G为BC中 两种途径：先证明它是 点，所以BG=CG,所以 O江苏张青山 △DCG≌△HBG,所以BH 矩形，再证明它是菱形； =DC=3,所以AB=BH 主线一、有一个角是直角的平行四边形是OD上，连接而成的四边形MPNQ是矩形，且AM =BP=CN=DQ,求证：四边形ABCD是矩形 先证明它是菱形，再证 北 =3.因为DG⊥AE,所以 矩形 LAFH=90°，所以BF 例1如图1，在△ABC 证明：因为四边形MPNQ是矩形，所以OM 明它是矩形.现举例说 AB=AH=3 中，AB=AC,D为BC中点 =OP=ON=O0.因为AM=BP=CN=D0 明两种证明思路 (2)因为四边形 四边形ACDE是平行四边形 所以OA=OB=OC=OD,所以四边形ABCD 招式一、矩形+ A ABCD是矩形，所以∠DCE 求证：四边形ADBE是矩形 是平行四边形.因为AC=BD,所以平行四边形 组邻边相等=正方形 =90°，AD∥BC,所以 ∠ADE=∠DEC.因为DE 证明：因为四边形ACDE 图1 ABCD是矩形. 例1如图1，在 平分∠FEC,DC⊥CE,D 是平行四边形，所以AE∥CD,AE=CD,即AE 主线三、有三个角是直角的四边形是矩形 △ABC中，∠BAC AE,所以DF=DC=3 ∥BD.因为AB=AC,D为BC中点，所以∠ADB 例3如图3，在口ABCD DEF=∠DEC,所以 90°，∠BAC的平分线交 判定正方形两招式 ∠ADE=∠DEF,所以AD =90°，BD=CD,所以AE=BD.因为AE∥BD,中，CE⊥AB于点E,AF⊥CD BC于点D,DE∥AB, =AE.在Rt△DFE中，DE 所以四边形ADBE是平行四边形.因为∠ADB 于点F,求证：四边形AECF 0，所以EF =90°，所以平行四边形ADBE是矩形， 是矩形 DF∥AC.求证：四边形 图3 DE2-DF=1.设AF 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 证明：因为CE⊥AB,AF⊥CD,所以∠AEC AFDE为正方形 x,AD AE AF+EF x+1,在RI△ADF中 例2如图2，在四边 =∠AFC=∠AFD=90°.因为四边形ABCD是 4F2+DF2=AD,所以x 形ABCD中，对角线AC与 平行四边形，所以AB∥CD,所以∠FAE= +32=(x+1)2,解得x BD相交于点O,点M,P ∠AFD=90°，所以∠AEC=∠AFC=∠FAE= 4,所以AF=4,所以AF EF=4:1. N,Q分别在OA,0B,0C, 90°，所以四边形AECF是矩形 20.证明：(1)连接 眺望中考 证明：因为DE∥AB,DF∥AC, AC,因为四边形ABCD是 菱形，∠B=60°，所以 所以四边形AFDE为平行四边形. ∠BAD=∠BCD=180° 因为∠BAC=90°， ∠B= 120°，∠BCA 正方形性质考情摘要 ∠DCA=∠D=60°，AB 所以平行四边形AFDE为矩形， BC=CD=AD,所以AC= ©广东武亚飞 所以DF⊥AB,DE⊥AC AD.因为∠EAF=∠BAC 正方形既是一种特殊的平行四边形，又是∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，AB= =60°，所以∠CAE+ 因为AD平分∠BAC 种特殊的矩形，还是一种特殊的菱形.在中考AD=CD=BC=4.又因为BE=DF=1,所以 FAC=∠DAF+∠FAC 60°，所以∠CAE 试题中，有关正方形的问题屡见不鲜，解题时， △ABE≌△ADF,所以AE=AF.因为AM平分 所以DE=DF, DAF.又因为∠ECA 应灵活应用其性质，下面结合几例中考试题进 ∠EAF,所以∠EAM=∠FAM.又因为AM= 所以矩形AFDE为正方形. ∠FDA,所以△ACE兰 行说明. AM,所以△AEM兰△AFM,所以EM=FM.设 招式二、菱形+对角线相等=正方形 △ADF,所以AE=AF.因 为∠EAF=60°，所以 考情一、求角度 DM =x,EM FM DF DM =x +1,CM 例2如图2，CD为口ADEC的对角线，延 △AEF是等边三角形. 例1如图1，在正五边 =CD-DM=4-x,在Rt△CEM中，由勾股定 长AD至点B,使得BD=AD,连接BE,BC.若 (2)①连接AC,因为 形ABCDE的内部，以CD边为 △AEF是等边三角形，所 理，得EM=CE2+CM,所以(x+1)2=32+AC=BC,BE=CE,试判断四边形CDBE的形 以当AE⊥BC,AF⊥CD 边作正方形CDFH,连接BH 状，并说明理由， 时，△AEF的周长最小.由 则∠BHC= 0. 4月，解得=号所以DN=是故选D (1)得AB=AC=CD,所 解：因为正五边形ABCDE 考情三、作证明 以BE=CE,CF=DF,所 1 以点E,F分别为BC,CD的 中，∠BCD=5×(5-2)×180°=108，BC= 例3如图3，四边形 中点，所以BD=2EF.因为 ABCD为正方形，点E在BD的 EF=AE,所以BD=2AE. DC,正方形CDFH中，∠HCD=90°，HC=DC, 延长线上，连接EA,EC. ②连接GC,因为AB 所以∠BCH=∠BCD-∠HCD=1O8°-90°= BC,∠ABG=∠CBG (1)求证：△EAB 解：四边形CDBE是正方形，理由如下： BG=BG,所以△ABG 18°，HC=BC,所以∠BHC=∠HBC,所以 △ECB; 因为四边形ADEC是平行四边形， △CBG,所以AG=CG ∠BAG=∠BCG.因为GH ∠BHC=（1580-∠BC)=819故填81. (2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE. 所以CE∥AD,AD=CE. ∥AE,所以∠H+∠AEH 考情二、求线段 证明：(1)因为四边形ABCD为正方形，所 因为BD=AD, :180°.因为∠AEH 例2如图2，在边长为4 以AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°.因为BE= ∠ABE+∠BAE,∠BAG= 所以CE=BD, ∠BAE+∠EAF,∠ABE 的正方形ABCD中，点E是BC上 BE,所以△EAB≌△ECB. 所以四边形CDBE是平行四边形. ∠EAF=60°，所以∠AEH 点，点F是CD延长线上一点， (2)因为四边形ABCD为正方形，所以 因为BE=CE, =∠BAG=∠BCG.因为 连接AE,AF,AM平分∠EAF,交 ∠BCG+∠GCH=180° ∠BDC= -∠CDA=45°.因为△EAB兰 所以口CDBE是菱形，所以DC=EB 所以∠H=∠GCH,所以 CD于点M.若BE=DF=1,则 因为四边形ADEC是平行四边形， CG=GH,所以AG=GH. DM的长度为 ( △ECB,∠AEC=45°，所以∠CED=∠AED= (全文完) 所以AC=DE. A.2 B.5 2∠AEC=22.5,因为∠BDC=∠CED+ 因为AC=BC C.6 D号 ∠DCE=45°，所以∠DCE=45°-22.5° 所以DE=BC 解：因为四边形ABCD是正方形，所以22.5°，所以∠CED=∠DCE,所以DC=DE. 所以菱形CDBE是正方形， 素养专练 数理极 1.3正方形的性质与判定（第一课时） 1.3正方形的性质与判定（第二课时） 跟踪训练 垦础训练 屋础训练 1.图1-①的杜岭二号方鼎是河南博物院九 1.如图1，在矩形ABCD中，添加下列条件能 1.2矩形的性质与判定（第二课时） 大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图1- 使矩形ABCD成为正方形的是 () ②)，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点 A.AC =BD B.AB⊥BC 垦础训练 0,则下列说法不正确的是 C.AD =BC D.AC⊥BD 1.依据图1所标数据，则 四边形ABCD一定是( A.正方形 B.矩形 C.菱形 ① 图1 图1 D.四个角均不为90°的平行四边形 A.AC⊥BD B.AD =AO 2.下列命题为真命题的是 2.课堂上，某同学制作了一个门框模型，就如 C.DO CO D.∠DAO=∠BAC A.四边相等的四边形是正方形 何判断是矩形，下面四位同学分别给出建议： 2.如图2，四边形ABCD是正方形，△ADE是 甲：测量四个角是否相等； B.有一组邻边相等的矩形是正方形 等边三角形，则∠ECB的度数是 ( C.对角线相等的四边形是正方形 乙：测量四条边是否相等： A.15° B.309 C.609 D.759 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方 丙：测量两条对角线是否相等； 丁：验证是否是轴对称图形 3.在平面直角坐标系中，一个四边形各顶点 其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是 坐标分别为A(-1,-2),B(4,-2),C(4,3), ( D(-1,3),则四边形ABCD的形状是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 图2 4.如图2，菱形ABCD的对角线AC,BD相交 3.如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,CB= 3.如图3，正方形ABCD中，AB=4,点E为 于点O,点E,F同时从O点出发在线段AC上以 CD,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点， 0.5cm/s的速度反向运动（点E,F分别到达A,C 连接EF,FG,GH,EH,则四边形EFGH的形状是 BC边上的一点，CE=1,连接DE,把△DCE绕点 D顺时针旋转90°，得到△DAF,连接EF,则EF的 两点时停止运动)，设运动时间为ts.连接DE, 长为 DF,BE,BF,已知△ABD是边长为4cm的等边三 4.如图4，正方形ABCD 角形，当t= s时，四边形DEBF为正方 中，点P为射线AD上一个动 形. 点.连接BP,把△ABP沿BP折 5.如图3，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 叠，当点A的对应点A'刚好落 交于点O,点E,F在对角线BD上，且BE=DF,AE 图3 在线段BC的垂直平分线上时， ⊥AF.求证：四边形AECF是正方形. 4.如图3，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC 图4 ∠A'BA= 和AC边的中点，请在不添加辅助线的情况下添加 5.如图5，正方形ABCD中，点E,F分别在 一个条件 ,使四边形BEFD为矩形（填一 + AD,CD上，且DE=CF,AF与BE交于点G 个即可). (1)求证：BE=AF; 5.如图4，点A在∠M0N的边ON上，AB⊥ (2)若AB=4,DE=1,求AG的长 OM于点B,AE=OB,DE⊥ON于点E,AD=AO, DC⊥OM于点C.求证：四边形ABCD是矩形 能刀提高 6.如图4，在Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF ∠CFE的外角平分线交于点A,过点A分别作直线 CE,CF的垂线，点B,D为垂足 能刀提高 (I)求证：四边形ABCD是正方形； 能力提高 6.如图5，在口ABCD中，点M为AC的中点， 6.如图6，在正方形ABCD中，对角线AC与 (2)已知AB的长为6，求(BE+6)(DF+6) 的值， BD相交于点O,点E在线段AO上（与端，点不重 过点D作DF⊥BC,延长CB到点E使BE=CF, T 合)，线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位 连接AE,EM. 置，点F恰好落在线段CD上，过点F作FH⊥AC (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)若AD=6,BF=3,∠ADC=120°，求EM 于点H. (1)求证：△OBE≌△HEF; 的长 (2)若OE=1,求CF的值. 数理报社试题研究中心 (参考答案见4期) 数理极 素养•测评 5 16.(10分)如图13，已知四边形ABCD是矩 形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(，点F与 同步达 检测题（三 点C,D不重合)，BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF= 45°.求证：四边形ABCD是正方形， 【检测范围：1.2（第二课时）~1.3】 二、细心填一填（每小题4分，共24分） (满分：120分) 9.如图6，点E在正方形ABCD的边AB上，若 一、精心选一选（每小题4分，共32分） EB=1,EC=2,那么正方形的面积为」 图13 题号12345678 答案 1.对角线相等的菱形一定是 A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 2.如图1，正方形ABCD的对 10.如图7，已知四边形ABCD是平行四边形 角线相交于点0，则∠AOB的度 请补充一个条件 ,使四边形ABCD是矩形 数是 ( (写一个即可) A.30° 11.如图8，四边形ABCD是正方形，点E在边 17.(10分)如图14，在正方形ABCD中，E,F B.45° 是对角线BD上的两点，且∠EAF=45°，将△ADF C.60° D.90° BC上，∠BAE=27°，若线段AE绕点A逆时针旋转 3.下列各图中，是矩形的是 后与线段AF重合，点F在边CD上，则旋转角的度 绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ,连接EQ. 数是 (1)求证：EQ=EF; (2)求∠QBE的度数 B 4.如图2，正方形ABCD的边长为4cm,则阴 ●● 影部分的面积为 ●●● A.4 cm2 B.8 cm2 C.12 cm2 D.16 cm 8 图9 14 12.如图9，在一块木板上钉上9颗钉子，每行和 每列的距离都一样，以钉子为顶点拉上橡皮筋，组成 个正方形，这样的正方形一共有」 个 13.如图10，在直角三角形ABC中，∠ACB= 90°，AC=4,BC=3,点M是边AB上一点（不与点 图2 A,B重合)，作ME⊥AC于点E,MF⊥BC于点F, 5.顺次连接任意四边形ABCD四边中点，所得 若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是 的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ A.矩形 18.(10分)如图15，在菱形ABCD中，点0是 B.菱形 对角线AC的中点，过点O的直线EF与边AD,BC C.对角线相等的四边形 交于点E,F,∠CAE=∠FEA,连接AF,CE. D.对角线互相垂直的四边形 (1)求证：四边形AFCE是矩形； 6.如图3，在正方形ABCD中，点G在BC边上， (2)若AB=5,AC=25,直接写出四边形 DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,若BF=2,DE 图10 图11 AFCE的面积， =6,则EF的长为 14.如图11，正方形ABCD的边长是4，点E在 A.12B.8 C.6D.4 边B上，AB=是，点F是边BC上不与点B,G重 7.如图4，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6, P,Q分别是边AD,BC上的动点，点P从A出发到D合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B 停止运动，点Q从C出发到B停止运动，若P,Q两 处.若△CDB′恰为等腰三角形，则DB'的长为 点以相同的速度同时出发，匀速运动，下面四个结 论中不正确的是 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） A.存在四边形APQB是矩形 15.(10分)如图12，在平行四边形ABCD中， B.存在四边形APQB是正方形 点P是AB边上一点（不与A,B重合），过点P作PQ C.存在四边形APCQ是菱形 ⊥CP,交AD边于点Q,且∠QPA=∠PCB.求证： D.存在四边形APCQ是矩形 四边形ABCD是矩形， 图12 图4 图5 8.如图5，以Rt△ABC的斜边BC为边在 Rt△ABC的同侧作正方形BCEF.设正方形的中心 为0，连接A0.若AB=4,BC=417,则A0的长 为 ( A.8 B.35 C.62 D.53 (下转第4版)