第4期 2.3 二次根式（答案见第6期）（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（北师大版2024）

4 素养拓展 数理招 专题铺导 详解“分母有理化” 专项训练 ⊙四川吴江敏 1.分母有理化：2尽+0 一、分母有理化的定义 0)时，我们通常会利用平方差公式(x+y)(x- 23-√10 分母有理化，简单来说，就是通过特定的运 y)=x2-y来进行分母有理化.如：a 算，将分母中的根式（无理数形式）转化为有理 m+√n 数的过程.在数学运算中，含有根式的分母往往 a(m-√n) am-a√Jn 会使计算变得复杂，给我们的解题带来诸多不(m+√n)(m-n)m-n 使例如，在计算方时，由于分母是无理数反，无 例2观察下列式子： 1 万-1 论是进行加减乘除等基本运算，还是进一步分 =2-1; 2+1(2+1)(2-1) 析式子的性质，都不太直观.而经过分母有理 化，将其转化为号后，分母变成了有理数2，计学 1 5-2 万+万(5+2)(5-2 =5-2; 和理解都会变得更加容易， 1 5-2 =5-2;… 2已知：5+后5-万求代数 二、分母有理化的基本方法 5+2(5+2)(5-2) 式(x+2)(y+2)的值， 1.分母为单项根式 当分母是单项根式，如2(a,b为实数，b> 试求：，+2万： B 0)的形式时，我们可以利用分数的基本性质，给 n+i+厉n为正整数)的值； 1 (2) 分子分母同时乘以石来实现分母有理化.如： (3)1 1 2+1+5+万+4+月 +…+ X b·B b 1 的值 例1 请你用两种方法计算：石 100+99 3-2万 解：法-石-停 解：(1)原式= =3-2/2. (3+22)(3-22) 5 n +I-n 15=言兰=52=3 (2)原武=(m+T+)(n+-) 55×5 n +I /n. 2.分母为两项之和或差（含根式）. 当分母是两项根式之和或差的形式，如 (3)原式=2-1+5-2+…+00 或 (a,m,n为实数，m2≠n且n> -99=10-1=9. m+n m-√n 【对应练习见本版《专项训练》】 Sz+名乙0s元+11：是 第3期2版参考答案 (2)不能够裁出来.理由如下： 2.2.4估算 2.1认识实数 设完整的圆形绣布的半径为rcm.根据题意，得πr 基础训练1.A;2.C;3.9;4.<. 基础训练1.D:2.B:3.D: =375.因为π取3，所以2=125.所以r=√125. 5.1）-m<-3.2:2)万，1>0.5 4.答案不唯一，如-T; 因为√125>√12I=11,所以2r>21.所以不能 5.T-3,3-m 够裁出来 (3)2<20<3. 6分数集合：-003，-75，-31412号…： 2.2.2平方根 第3期3版参考答案 基础训练1.C;2.D;3.±5；4.-3. 一、题号12345678 无理数集合：号，-0.212121112（相邻两个2 答案C CB CBCBB 5.)±9；(2)±6：(3)±10； 二、9.√15；10.15；11.3；12.4： 之间1的个数逐次加1)，…}； 13.2;14.13或19. 有理数类合-0n3,-75-1l52,号 (4)±3；(5)±万. 7，…; 6.(1)由题意，得a+6+2a-9=0.解得a=1.所 三、15(1)x=号或x=-1:(2)x=- 正实数集合：0.3，号号… 以(a+6)2=72=49,即这个正数是49. 16.(1)由题意，得3a-7+a+3=0.解得a=1. 能力提高7.(1)AB2=12+42=17,所以 (2)当a=1时，方程a(x-5)2-16=0为(x-5)2所以a+3=1+3=4.所以m=16. S正方形BcD=17. -16=0.所以(x-5)2=16,所以x-5=±4，解得x= (2)因为b+12的立方根为2，所以b+12=8.解得 (2)正方形ABCD的边长是无理数，在整数4和5之 1或x=9.所以关于x的方程a(x-5)2-16=0的解b=-4. 是x=1或x=9. 因为5</27<6，所以√27的整数部分c=5. (3)图略，答案不唯一，合理即可. 能力提高74或1， 所以5a+b+2c=5×1-4+2×5=11,所以5a 2.2平方根与立方根 +b+2c的平方根是±√I. 2.2.3立方根 2.2.1算术平方根 17.(1)在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC= 基础训练1.A;2.D;3.6;4.±5. 基础训练1.D;2.D;3.2;4.√6. √AB-BC=√25-7=24(m).所以A'C=AC- AA'=24-4=20(m).因为在Rt△A'CB'中，B'C= 5(1)10;(2)0.05;(3)号；(4)子 5.(1)x=5:(2)x=-1. 6.设正方体容器的棱长为xcm.根据题意，得m×42√AB2-A'C=√25-20=15(m),所以BB'= 《)设绣布的长为m宽芳新根吕=名.据得6 B'C-BC=15-7=8(m),即它的底部B在水平方向滑 得4x·3x=588,即12x2=588,所以x2=49.所以x= 动到B'的距离BB'是8m. 7.4x=28,3x=21,所以绣布的长为28cm,宽为21cm 答：这个正方体容器的棱长为16cm （下转1,4版中缝) 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2025年7月23日·星期三 初中数学 报纸发行质量反馈电话： 第 4期总第1148期 北师大 0351-5271248 兹评橘 八年级 (上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟【 国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-204 (2)若云梯底端离 墙的距离刚好为云梯长 名师点晴 度的5，则能够抵达墙 强化四种意识解题如虎添翼 面的高度为： 2.3二次根式 252-(5×25)2= O广东 焦文静 学习目标：1.了解二次根式、最简二次根 二次根式的混合运算综合性强、灵活性大， 意识，切不可盲目进行 /600(m).因为24.32 式的概念. 要想学好这部分内容，必须强化如下四种意识 三、运算律意识 =590.49<600,所以 2.了解二次根式（根号下仅限于数）加 一、化简意识 24.3<600,所以云 减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四 例3计算（√27-12）× 的结果是 例1计算：（√27-√18）(3+2) /3 梯的顶端能抵达24.3m 则运算 解：原式=(35-32)(3+2) 高的楼房窗口去救援被 认知重点：1.会确定二次根式中字母的 =3×[(5-2)(5+2)] B.1 C.5 .3 困人员 取值范围. =3. 18.0.1,1,10,100. 1 2.能熟练进行二次根式的加、减、乘、除 点评：在二次根式的混合运算中，一般要先将 2×3 (1)被开方数的小 解：原式=2×3-√ 混合运算，并能运用二次根式的运算解决实 题中的二次根式化成最简二次根式，被开方数相同 数点向右（或左）移动 =5-4 际问题 的二次根式要及时合并，这样可简化运算过程 三位，其立方根的小数 =3-2=1. 点向右（或左）移动 二、顺序意识 故选B. 位 一、二次根式的被 点评：整式运算中的运算律和运算性质在 1 例2 (2)0.235,23.5. 聚 开方数的非负性 计算：-⑧×√6+ V3 二次根式的运算中仍然适用. (3)19.13,191.3. 室 例1 若x,y都是 解：原式=23 1 Γ3 四、分母有理化意识 18× 附加题 间 实数，且√x-2+ 6+3x3 例4计算： 1 2+1 +32 1.(1)364 2-x+y=3,则x+y =23-5+ 3 -64=4+(-4) 5-1 的值是 ( 解：原式= +42 (2+1)(2-1) 0(答案不唯一). 次根式 罿 A.2 43 3 =√2-1+42 (2)a+b=0. B.3 (3)由(2)知，因 点评：二次根式的运算顺序与实数的运算 =52-1. C.5 顺序一样，都是先算乘方，再算乘除，最后算加 点评：当分母含有二次根式时，可运用平方 必 3/4a2-10 浙江 D.不能确定 减，有括号的要先算括号里面的.一定要有顺序 法或平方差公式进行分母有理化 6-35的值互为相反 解析：根据题意，得 数，所以4a2-10+6 负 x-2≥0,2-x≥0， 在化简二次根式时， 品味方法 3b=0,所以b 所以x-2=0, 很多同学不仔细审题，往 4a2-4.又因为10a 解得x=2 往一拿到题目就开方，造 过 3 所以y 成无法化简或化简错误 关斩将破化 3 6b=16,所以10a2-6× 所以x+y=2+3=5, 现介绍几种二次根式的 江西陈文慧 4a2-4=16,解得a 故选C 化简方法，供同学们参考 三、先化成平方形式，再开方 3 二、二次根式的非负性 一、先化成因数的乘积，再开方 当被开方数是单项式时，应先将被开方数 =±2. 例2若√(a-b)7=b-a,则 当被开方数是整数时，应先化成几个因数 写成含有平方的形式，再开方， 2.(1)(3,-1.3)》 B.a<b 的乘积，再开方 A.a >b 例3若xy>0,则√-x2y可化简为 和(-1.3,3) 例1化简12的结果是 ( (2)由题意，得 C.a≥b D.a≤b 解析：因为√(a-b) A.25B.3 C.25 D.2 =b-a≥0， 分析：先判断x,y的正负，再根据二次根式 2,-=-7.所以 3 所以b≥a. 分析：将被开方数12写成平方数4与3的乘 的性质进行化简 2 8=49. 故选D. 积，再将平方数4开方即可 解：因为y>0,所以x,y同号，且均不为0 例3实数a,b在数轴上对应的点的位置 解：2=√4×3=25.故选A. 又因为√x有意义，所以-x2y>0.所以x< (3)当a=-4, 二、先化成分数形式，再开方 如图所示，则化简√a2+2ab+b-(√6-a)2 0,y<0. √b=-5时，解得a 当被开方数是小数或带分数时，应先将其 -64,b=25.所以a+ +√得 化成分数或假分数的形式，再开方 所以原式=√见.y=-xy.故 =-64+25=-39. b 填-x-y. 0 例2 当a=-5,-√万 A.a-26 B.-a-2b 化简：0)@丽：(2好 四、先计算出结果，再开方 分析：(1)0.03是小数，在化简时应先将其化 =-4时，解得a= C.-2a-b D.a+2b 当被开方数是数的和（或差）的形式时，应 为分数，然后再根据二次根式的性质进行化简； 125,b=16.所以a+ 解析：由数轴得a<0,b>0,1a1>1b1, 先计算出其和（或差），再开方. b=-125+16=-109. 所以a+b<0,b-a>0, (2)24是带分数，不能直接进行开方运算， 例4与√？-6-2结果相同的是（ 综上所述，a+b的 所以√a2+2ab+b-(√6-a)2+√辰 应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的 A.7-6+2 B.7+6-2 值为-39或-109 =√(a+b)7-(√b-a)2+√a 性质进行化简 C.7+6+2 D.7-6-2 (全文完) =l a+bl-1b-al +l al 3 3 分析：被开方数是三个数的平方差的形式，不 解：(1)√0.03= =-(a+b)-(b-a)+(-a) W100 100 能直接开方得7-6-2，而应该先计算，再开方. =-a-b-b+a-a=-a-2b. 9 3 解：√2-62-22=√49-36-4=5 (2) 故选B. 4 =3.结合选项可知A为正确答案.故选A. 2 素养专练 数理极 2.3.2二次根式的运算(1) 2.3.3二次根式的运算(2)） 跟踪训练 屋训练 垦础训练 GENZONGXUNLIAN 1.下列二次根式是最简二次根式的是 1.下列计算，结果正确的是 2.3二次根式 ( 1店 1xm=7 2.3.1二次根式的定义与乘除 B.8x B.I6÷4=±2 垦础训练 C./10 D.0.6 C.5+4=万 1.下列式子中，不是二次根式的是 ( 2.化简√18-8的结果是 ( A.5 B.3 A.0 B.-2 D5品=5万 C.√e2+1 D.6 C.2 D.22 2.已知a=7+2,b= 万-2则a与6的关 2.若x-5在实数范围内有意义，则x的取 3.某广场有一长方形花坛，两边长分别为 系为 () 值范围是 ( √20m和√/25m,则该花坛的周长为 m, A.ab =1 B.ab =-1 A.x≥5 B.x>5 面积为 m2 C.a=b D.a=-b C.x≤5 D.x≠5 4.若2能与最简二次根式√x-I合并同 3.下列计算中，正确的是 ( 类项，则x的值为」 3化简： A.18÷2=√6 5.化简： B.(42)2=8 (1)49×9; (2)√6而； 4已知x+y=-9,对=9，则x√径+y√月 C.√(-3)7=3 + 的值是 D.25×22=26 5.计算： 4.已知√a-17+7-a=b+8,则 得-2x6: a-b的值是 5.若3×口=/8，则“口”中的数是 (4)27.5; 6.计算： (1)2×18; 2)8-+25: (2)5+2 (5)12×8: (6) 24×6 W49 (3)(√6- )26 (3)(6丽-√28)× 6.计算： (1)√20+45； 6.已知x=2-5,y=2+5. (4)45×2E (1)求x2+y2-xy的值； 5 (2)若x的小数部分是a,y的整数部分是b, (2)27-/2+ 求ax-by的值 (5)(-万+3)（万+√3）； (3)(7- 停+m (6)(5-2)2. 数理报社试题研究中心 (参考答案见6期) 数理极 素养测评 ●】 18.(14分)在数学小组探究学习活动中，小明 同步检 遇到这样一道解答题： 已知a=1 2+5 ,求2a2-8a+1的值， TONGBUJIANCE 他是这样解答的： 【检测范围：2.3】 2-5 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 三、耐心解一解（共4分） 因为a=1 2+万2+)2万2-月， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 15.(12分)计算： 所以a-2=-5, 答案 1)×D 所以(a-2)2=3,即a2-4a+4=3, 所以a2-4a=-1, 1.下列各式中，一定是二次根式的是（ 所以2a2-8a+1=2(a2-4a）+1=2× A.5 B.m (-1)+1=-1. c.2 D.√-20 请你根据小明的解题方法，解答下列问题： 1 2.无理数6的倒数是 (1)填空： (2)(54-24)÷√5： 2 6+5 B、6 (2)化简：1 1 1 6 2+万+石+2唇+6*…+ ca D.-√6 1 1 6+4'8+√96 3.下列运算结果正确的是 ( A.3+5=35 B.√27÷5=3 (3)若a=0-3求12a-2a+6的值 C.5×5=8 D.35-5=3 82-6 4.下列二次根式中，化成最简二次根式后，与 √48可以合并的是 ( A.0.12 B.√18 C./0.6 D.32 16.(8分)下面是小颖同学进行二次根式混合 5.如图1，若数轴上点A, 运算的过程，请认真阅读，完成相应的问题： B对应的实数分别为-√5和 √+25-10 附加题⊙ 5,用圆规以点B为圆心，AB (以下试题供各地根据实际情况选用) 长为半径画弧交数轴于点C, =0+10-45+1…第-步 1.(10分)若a+b=2,则a与b的平均数是 则点C对应的实数是( 1,我们称a与b是关于1的平衡数.例如，3与-1 A.5 B.25 。5+11-45…第二步是关于1的平衡数 2 C.35 D.45 (1)5-2与 是关于1的平衡数； 6.已知a=5+2,b=2-5,则a225的 =11-75 … 2 第三步 (2)若(m+3)(1-5)=-5+35,试判断m 值为 ( (1)以上解答步骤中，第一步标①处的依据+3与5一3是否是关于1的平衡数，并说明理由 A.5+2 B.-5-2 是 C.1 D.-1 7.估计√日×（万+6）的值应在( A.1到2之间 B.2到3之间 B爱-只a=08>0. C.3到4之间 D.4到5之间 (2)以上解答步骤中，第」 步开始出现 8.已知22，√72，m是某三角形三边的长，则 错误，具体错误是 2.(10分)阅读材料：小明在学习二次根式后， √(m-42)2-√(m-82)2= (3)请计算正确的结果。 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平 ( 方，如3+22=(1+2)2，善于思考的小明进行 A.2m-122 B.122-2m 了以下探索： C.122 D.-42 若设a+2b=(m+√2n)2=m2+2n2+ 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 2√2mn(其中a,b,m,n均为整数)，则有a=m2+ 9.计算：√/36×49= 2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+ 10.若√/24与最简二次根式5√a+1可以合 2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方 并，则a= 法探索并解决下列问题： 17.(10分)如图2，在4×4的正方形网格中， 11.已知n为正整数，若计算n-I8的结果 (1)若a+63=(m+√3n)2,且a,m,n均为 每个小正方形的边长都为1. 正整数，求a的值； 为22，则n的值为 (1)求△ABC的周长： 12.已知拦河坝的横断面是梯形，其上底是 (2)求∠ABC的度数及△ABC的面积. (2)化简：W4-√10+25+√4+√10+25 8m,下底是√32m,高是3m,则横断面的面积 为 13.已知实数a满足12025-a1+ /a-2026=a,则a-20252= 14.已知√49-x+√25+x2=12,则 数理报社试题研究中心 49-x-√25+x的值为 (参考答案见6期)