专题10 圆与圆的位置关系讲义（四大考点精讲）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题10 圆与圆的位置关系 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、圆与圆的位置关系 2 知识点2、有关圆的结论 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 圆与圆的位置关系 4 重难点题型2 两圆的公共弦长问题 6 重难点题型3 两圆的公切线问题 9 重难点题型4 综合问题 11 四、突破热点题型 22 知识点一、圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系—外离、外切、相交、内切和内含. 2.两圆的位置关系的判定 (1)、代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2= 0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断. (2)、几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           公共点 个数 0 1 2 1 0 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d与的关系   公切线条数 4     3 2     1 0     知识点二、有关圆的结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)、过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)、过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)、过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆系方程 (1)、同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)、过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)、过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。 考点1 圆与圆的位置关系 例1.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 例2.（24-25高三上·云南文山·期末）圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】因为圆，所以， 因为圆，所以圆，所以， 所以， 又因为，所以， 所以两圆相外切， 故选：C. 1.（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、求平面两点间的距离 【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 2.（24-25高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．相交或相切 D．内切 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、轨迹问题——圆 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：A. 考点2 两圆的公共弦问题 例3.（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 例4.（24-25高二上·甘肃临夏·期末）圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、求点到直线的距离 【分析】先由两圆相减得到公共弦方程，再由几何法求出弦长即可； 【详解】圆即， 两圆方程相减可得公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 1.（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为 ，弦长为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】判断两圆的位置关系，由两圆方程相减可得公共弦方程，求到公共弦的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，半径， ，， 所以圆与圆相交， 将圆 和圆方程相减可得， 所以圆 与圆的公共弦所在的直线方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦的长为. 故答案为：；. 2.（23-24高二上·天津西青·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线的方程为      ②线段的长为 ③的最小值是2                                  ④从点向圆引切线，切线长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】①将两圆方程作差后整理即可得到公共弦的方程；②利用弦长公式求解；③依据时取得最小值进行求解；④依据时由P向圆作切线所得切线长最小进行求解. 【详解】对于①，直线AB的方程为， 整理得，故①正确； 对于②，圆O的圆心到直线AB的距离，圆O的半径， 所以，故②错误； 对于③，圆M的方程可化为，圆心，半径. 圆心M到直线l的距离， 当时取得最小值，此时，故③正确； 对于④，从点P向圆M引切线，设其中一个切点为D， 则切线， 所以当最小时，切线长最短. 由③可知，故，故④正确. 故选：C 考点3 两圆的公切线问题 例5.（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 例6.（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据两圆外切得到方程，求出，对不等式变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 两圆外切，则，即， 故， 又，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为10. 故答案为：10 1.（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据有3条公切线，得两圆外切，从而，解出的值即可. 【详解】因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，所以，解得， 故选：C. 2.（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据题意知两圆相交，即可利用圆心距与半径的关系列不等式求解. 【详解】若圆与圆有且仅有两条公切线时，则两圆相交， 因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，又，所以， 若两圆相交，则满足，即, 平方化简得，结合得， 即的取值范围为. 故答案为： 考点4 综合问题 例7.（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】相交圆的公共弦方程、求点到直线的距离、切线长 【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解. 【详解】如图，，解得， 所以， 因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6， 即，化简得，其中， ，则， ， 所以，即，则直线的斜率为， 所以直线，即， 联立，解得，即， 因的中点坐标为，且， 则以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 将两圆的方程相减得， 故直线的方程为. 故选：B. 例8.（24-25高二上·云南临沧·期中）以下四种表述正确的是 填写正确表述的序号 ①点在圆的内部，则的取值范围是 ②圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 ③曲线与曲线恰有三条公切线，则 ④直线恒过定点 【答案】①②③ 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、由圆的位置关系确定参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于，根据点与圆的位置关系，可得，解不等式即可； 对于，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，又因为，即可判断； 对于，把圆的方程化为标准形式，分别求出圆心和半径，由两圆有三条公切线，可得圆心距等于两圆的半径和，即可判断； 对于，将方程写成，然后由求解即可． 【详解】对于，因为点在圆的内部， 所以，解得：，即的取值范围是，故正确； 对于，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又因为，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故正确； 对于，曲线即， 则圆心，半径为，曲线即， 则圆心，半径为，两圆的圆心距为， 因为圆：与圆：有三条公切线， 则两圆属于外切的位置关系，所以，解得，故正确； 对于，直线即， 由，解得 所以直线过定点，故错误． 故答案为：． 1.（24-25高二上·上海·期中）已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】判断命题的真假、判断圆与圆的位置关系 【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当与圆相切时，可得，可判断②. 【详解】由，可得圆心，半径为， 由，可得，半径， 由，所以， 所以两圆相交，故不存在，使圆与圆相切， 故①为假命题； 因为，所以直线过点， 当与圆相切时，可得，所以， 所以对任意，直线上都存在点， 圆上都存在两点、，使.故②正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断圆与圆的位置关系，常常求得两圆圆心之间的距离，并与半径和差之间的关系判断. 2.（2025高三·全国·专题练习）（多选题）若曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．若曲线与直线有公共点，则 C．曲线上任意两点之间距离的最大值为 D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】通过配方得到，进而得到对应曲线，结合曲线逐项判断即可. 【详解】由，得，易知曲线位于四个象限的图象分别是以，，，为圆心，为半径的半圆弧，如图所示. 选项A：曲线围成图形的面积为，（提示：通过观察图形，可得曲线围成的图形由一个边长为的正方形和四个半径均为的半圆组成） 故A错误； 选项B：若直线与曲线在第四象限相切，则，，（提示：直线与曲线在第四象限相切，即直线与圆心为，半径为的圆在第四象限相切） 得，由对称性可得直线与曲线在第二象限相切时，，数形结合可知若曲线与直线有公共点，则，故B正确； 选项C：连接，则曲线上任意两点之间距离的最大值为，故C正确； 选项D：若圆能完全包围曲线，则的最小值为，D正确. 故选：BCD 例9.（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 例10.（24-25高一下·浙江·期中）已知直线，圆，圆：. (1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）先求解定点，再把点代入圆内计算判断即可； （2）法一：设圆的方程代入计算求解即可；法二：根据交点设圆的方程计算求参即可. 【详解】（1）由于，则直线过定点，，故定点在圆内，直线与圆相交. （2）法一：联立两圆方程，解得， 令所求圆方程为， 代入三点，， 得所求圆方程为. 法二：令所求圆方程为， 代入，， 解得，故所求圆方程为. 1.（2025·云南·一模）在平面直角坐标系中，设点，若点满足（），其中为定点，则称点是点关于点的 “相关点”． (1)已知，，当时，求点关于点的 “相关点”的坐标． (2)已知点，，若点是点关于点的 “相关点”，且，求的值． (3)已知圆：，点，点是圆上的动点，点是点关于点的 “相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、由圆的位置关系确定参数或范围、数量积的坐标表示 【分析】（1）通过向量运算求出点的坐标； （2）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值； （3）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可. 【详解】（1）已知，，，，，则，所以点坐标为 （2）因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以，，，则，两边平方得，，，解得 （3）设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以，即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 当时，，即，即，恒成立，所以. 当时，，即，解得或，结合，所以. 综上，不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 当时，可得，解得. 当时， 可得，即，无解. 因为不等式的解集为，不等式的解集为，所以原不等式的解集为. 2.（24-25高二上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点，    (1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； (2)证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、求点到直线的距离、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）首先确定圆的半径的范围，再利用圆与圆恒有公共点，得，列不等式求解的取值范围； （2）利用圆与圆的相交，求相交直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可证明. 【详解】（1）解：因为，，所以圆的半径， 又圆与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以，所以的取值范围为； （2）证明：设，圆的半径， 则圆方程为， 整理得，又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线的方程为， 所以到直线的距离, 因为在圆O上，所以，所以到直线的距离， 即点到直线的距离为定值 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断圆与圆的位置关系 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，C正确. 故选：C 3．（23-24高二上·山东泰安·期中）若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的垂直平分线的方程为 C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】对于，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程，判断出错误；对于，线段的垂直平分线过圆心，且斜率可求得为，即可求出其方程，判断出错误；对于，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式求解即可；对于，根据圆心到直线的距离及圆的半径即可求得，做出判断. 【详解】对于,依题意知，两圆相交于， 故两圆方程作差可得即， 即为两圆公共弦所在直线方程，故错误； 对于，圆，则其圆心为，, 则线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为， 即，故错误； 对于,圆心到直线的距离， 圆半径，所以,故错误； 对于,圆心到直线的距离,圆半径, 则点P到直线的距离的最大值为，故正确， 故选：. 4．（24-25高二上·河北唐山·期中）（多选题）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，进而判断圆的位置关系确定切线条数，两圆方程作差求相交弦方程，应用几何法求相交弦长，垂直关系求斜率并应用点斜式求直线方程. 【详解】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD 5．（24-25高二上·福建南平·期末）（多选题）已知圆：与圆：，则以下结论正确的是（   ） A．若过点与圆相切的直线有且只有条，则 B．若直线过点，且平分圆的周长，则的方程为： C．若圆与圆有且只有2条公切线，则 D．若，则圆与圆的公共弦长为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，判断A；对于B，由条件可得过，由此可求斜率，再求其方程，判断B，对于C，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，判断C选；对于D，先求两圆的公共弦所在直线方程，利用弦长公式求出两圆的公共弦长，判断D. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若过点与圆相切的直线只有条， 则圆的圆心在圆上， 则有，因为，所以方程无解， 即过点与圆相切的直线不可能有且只有条，A错误； 对于B选项，因为直线平分圆的周长， 所以直线过点，又直线过点， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，B正确； 对于C选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，C正确； 对于D选项，当时，圆的方程为， 圆心为，半径为， 由C选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得， 此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错误. 故选：BC. 6．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）（多选题）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（    ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求直线与圆交点的坐标、判断直线与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断C；求出点的纵坐标判断D. 【详解】圆的圆心，直线的方程为，即， 由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确； 显然，设点，则，而， 解得，因此圆的圆心，半径为， 圆的方程为，则圆的方程为，故B正确； 当时，圆的圆心到y轴距离为，而， 即此时圆与y轴相离，无交点，故C错误； 在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意确定圆的圆心都在直线上，得到，求出圆心坐标，从而确定圆的圆心，半径为，进而确定圆的方程. 7．（24-25高二上·吉林·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则直线的方程是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】因为圆：和圆：， 所以直线的方程为，整理得到， 故答案为：. 8．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）设有一组圆，若圆和圆是这组圆中的两个圆，且圆和圆相切，，则 ． 【答案】1 【难度】0.4 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求解圆的圆心与半径，当异号时，两圆不可能相切，再结合已知得，进而根据两圆外切列式求得. 【详解】由得， 其圆心为，半径为．故圆与坐标轴相切， 若异号，则两圆心距离， 两圆的半径和为，显然，故圆和圆外离； 若同号，因为，所以且． 则圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为． 两圆心距离， 两圆的半径和为，两圆半径差为，显然， 故圆和圆不可能内切，只能外切， 所以，解得． 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用圆与圆的位置关系求解参数，解题的关键是根据圆与坐标轴相切，进而分析出两圆的位置关系，从而利用两圆关系求解即可. 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再根据已知两圆心得出中点坐标（即所求圆圆心坐标），求出半径后可得圆方程； （2）设直线的方程是，由几何法求弦长，再由弦长相等求得，从而得直线方程． 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）将两圆方程相减可得直线AB的方程为，可得所求圆的圆心，再结合勾股定理求解出半径即可求解； （2）设直线CD的方程是，根据题设结合勾股定理、点到直线的距离公式建立方程求解即可. 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4， 两圆方程相减整理得，所以直线AB的方程为， 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以AB为直径的圆的方程为． （2）在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点C，D分别在圆和圆上，易知直线CD的斜率存在， 设直线CD的方程是，即， 则点到直线CD的距离为， 点到直线CD的距离为， 因为，所以，解得， 所以直线CD的方程为，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆与圆的位置关系 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、圆与圆的位置关系 2 知识点2、有关圆的结论 3 三、探究重点难点 4 重难点题型1 圆与圆的位置关系 4 重难点题型2 两圆的公共弦长问题 6 重难点题型3 两圆的公切线问题 9 重难点题型4 综合问题 11 四、突破热点题型 22 知识点一、圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系—外离、外切、相交、内切和内含. 2.两圆的位置关系的判定 (1)、代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2= 0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断. (2)、几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           公共点 个数 0 1 2 1 0 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d与的关系   公切线条数 4     3 2     1 0     知识点二、有关圆的结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)、过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)、过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)、过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆系方程 (1)、同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)、过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)、过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。 考点1 圆与圆的位置关系 例1.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 例2.（24-25高三上·云南文山·期末）圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 1.（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 2.（24-25高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．相交或相切 D．内切 考点2 两圆的公共弦问题 例3.（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 例4.（24-25高二上·甘肃临夏·期末）圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知圆 和圆，则圆 与圆的公共弦所在的直线方程为 ，弦长为 . 2.（23-24高二上·天津西青·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的个数是（    ） ①直线的方程为      ②线段的长为 ③的最小值是2                                  ④从点向圆引切线，切线长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3 两圆的公切线问题 例5.（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6.（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ． 1.（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 2.（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为 . 考点4 综合问题 例7.（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例8.（24-25高二上·云南临沧·期中）以下四种表述正确的是 填写正确表述的序号 ①点在圆的内部，则的取值范围是 ②圆上有且仅有个点到直线的距离都等于 ③曲线与曲线恰有三条公切线，则 ④直线恒过定点 1.（24-25高二上·上海·期中）已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 2.（2025高三·全国·专题练习）（多选题）若曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．若曲线与直线有公共点，则 C．曲线上任意两点之间距离的最大值为 D．若圆能完全包围曲线，则的最小值为 例9.（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 例10.（24-25高一下·浙江·期中）已知直线，圆，圆：. (1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)圆与圆交于两点，求过与这三点的圆的方程. 1.（2025·云南·一模）在平面直角坐标系中，设点，若点满足（），其中为定点，则称点是点关于点的 “相关点”． (1)已知，，当时，求点关于点的 “相关点”的坐标． (2)已知点，，若点是点关于点的 “相关点”，且，求的值． (3)已知圆：，点，点是圆上的动点，点是点关于点的 “相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求的取值范围． 2.（24-25高二上·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点，    (1)若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； (2)证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）圆，圆，则圆与（    ） A．相离 B．有3条公切线 C．关于直线对称 D．公共弦所在直线方程为 3．（23-24高二上·山东泰安·期中）若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的垂直平分线的方程为 C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为 4．（24-25高二上·河北唐山·期中）（多选题）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 5．（24-25高二上·福建南平·期末）（多选题）已知圆：与圆：，则以下结论正确的是（   ） A．若过点与圆相切的直线有且只有条，则 B．若直线过点，且平分圆的周长，则的方程为： C．若圆与圆有且只有2条公切线，则 D．若，则圆与圆的公共弦长为 6．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）（多选题）如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（    ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 7．（24-25高二上·吉林·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则直线的方程是 . 8．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）设有一组圆，若圆和圆是这组圆中的两个圆，且圆和圆相切，，则 ． 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $