专题04 二次函数的图象和性质（二）（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期人教版

专题04 二次函数的图象和性质（二） 4大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 考点02 一次函数与二次函数图象综合判断 考点03 用待定系数法求二次函数解析式 考点04 二次函数与一元二次方程、不等式（组） 地 城 考点01 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)抛物线的图象上最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线y＝x2+2x﹣2的图象最低点即为顶点，根据公式（，）可求顶点坐标． 【详解】解：∵x＝＝﹣1，＝﹣3； ∴最低点的坐标是（﹣1，﹣3）． 故选：D． 【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法． 2．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵二次函数的开口向下， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大． ∵二次函数的对称轴是， ∴x<1． 故选：A． 3．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】试题分析：把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1可得到a+b-1=1，即可得a+b=3，故答案选D．． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 4．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知抛物线下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 故A、B、D均不正确，C正确． 故选：C． 5．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的性质：图象开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，据此可以判断、、的大小关系． 【详解】解： ，即 所以函数图象对称轴为直线，且开口向上， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 三点都在对称轴的左侧， 故选： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，牢固掌握其性质是解题的关键． 6．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数) 的图象经过，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是（   ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】C 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用公式法求出二次函数最值．此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 【详解】解：∵二次函数 (m为常数) 的图象经过， ∴ 解得：，， 二次函数的对称轴在轴左侧， ∴ ， ， 把代入， ， 二次函数有最小值为：． 故选：C． 7．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)已知二次函数中，与的部分对应值如下表，则下列结论正确的是（   ） 0 2 3 4 5 0 0 A．图象开口向下 B．抛物线对称轴是直线 C．当时， D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键，利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】由图可知，和对应的函数值相等， 抛物线对称轴是直线，此时抛物线有最小值， 故B正确， 抛物线开口向上，故A错误， 由图可知，当时，，故C错误， 当时，随的增大而增大，故D错误， 故选：B． 8．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)已知抛物线的顶点在x轴上，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，在x轴上的点的坐标特点，先把二次函数解析式化为顶点式得到顶点坐标为，再由在x轴上的点的纵坐标为0得到，则． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴， 故选：A． 9．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)如图所示的抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质， 先根据抛物线开口向上可知，可排除C，D，再根据对称轴的位置可知a，b同号，即可得出答案． 【详解】∵抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∴A，B符合题意． ∵对称轴在y的左侧， ∴a，b同号， 即， 所以符合题意． 故选：A． 10．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)若函数的图象上有两点、，则（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先判定二次函数的对称轴与开口方向，再利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴函数的图象开口向上， ∴时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 11．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学·期中)二次函数y=-2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，5） D．（-1，5） 【答案】C 【分析】先化成顶点式，然后直接得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵y＝﹣2x2+4x+3 ＝﹣2（x2﹣2x）+3 ＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+3 ＝﹣2（x﹣1）2+5， ∴顶点坐标为（1，5）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，可以使用配方法将一般式化为顶点式求解，也可以利用顶点坐标公式进行求解． 12．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：C． 13．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)已知二次函数y=，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且－3<x1<x2<x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1>y2>y3 B．y1<y2<y3 C．y2>y3>y1 D．y2<y3<y1 【答案】A 【分析】对于开口向下的二次函数，在对称轴的右侧为减函数. 【详解】解：∵二次函数y= ∴对称轴是x=−,函数开口向下， 而对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵-3＜x1＜x2＜x3， ∴y1，y2，y3的大小关系是y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点睛】考点：二次函数的性质 14．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用二次函数增减性比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，得到关于对称的对称点为，再由二次函数，开口向下确定，当时，随的增大而减小，即可得到答案， 【详解】解：二次函数（为常数，且）的对称轴为， 点的对称点为． ， 抛物线开口向下． 当时，随的增大而减小． ， ． 故选：B． 15．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)已知二次函数，当x≥2时，y的取值范围是（ ） A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3 【答案】B 【详解】解：当x=2时，y=﹣4+4+3=3， ∵=， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质． 二、填空题 16．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先把一般式配成顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 17．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)二次函数 的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数对称轴公式是解决问题的关键．根据二次函数对称轴公式，代值求解即可． 【详解】解：二次函数， 对称轴为：直线， 故答案为：直线． 18．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)抛物线与的形状相同，开口方向相反，则 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的开口大小由的大小决定，抛物线的开口方向与的正负有关．利用抛物线的形状与有关；开口方向上时，开口方向下时解决即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同， ∴二次项系数的绝对值相等，都为； ∵开口方向相反， ∴二次项系数互为相反数， 即中，． 故答案为：． 19．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)已知二次函数，用配方法可化为的形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)已知，是抛物线上的点，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，把，分别代入抛物线，求出，，再比较得出答案． 【详解】解：把，分别代入抛物线得， ， ∴， 故答案为：． 21．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)在二次函数中，当时，设的最大值为，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴是水平距离越近函数值越小，进而可知当时，函数取最小值，当时，函数取最大值，分别求出最小值和最大值即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴是水平距离越近函数值越小， ∵， ∴当时，函数取最小值，最小值；当时，函数取最大值，最大值， ∴， 故答案为：． 22．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为 ． 【答案】﹣1＜x＜3． 【分析】根据图象直接可以得出答案 【详解】 如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象中可以看出 函数值小于0时x的取值范围为：﹣1＜x＜3 【点睛】此题重点考查学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键 23．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式求得对称轴为直线，开口向上，可知离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大，分别计算几个点的横坐标与对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴开口向上，对称轴为直线，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大， ，， ∵ ∴， 故答案为：． 三、解答题 24．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知二次函数 ． (1)若二次函数过点，求二次函数的表达式； (2)若点和点在该二次函数图象上，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法将点代入求出即可． （2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点和点关于对称轴对称，得，求出即可． 【详解】（1） ， 且二次函数过点， 将代入得， 整理得， 解得， ． （2） ， 其中对称轴为， 点和点在该二次函数图象上， 点和点关于对称轴对称， ， 即， ． 25．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 【答案】(1)，作图见解析； (2)①②． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 画出函数的图象如图： 故答案为：； （2）解：观察图象， ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．原说法错误； ④当时，的值为或．错误； 故答案为：①②． 26．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)已知二次函数． (1)求二次函数的图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)当x在什么范围时，y随着x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象和性质； （1）利用配方法对函数解析式进行变形，从而可判断出抛物线的顶点坐标和对称轴方程； （2）描点画出图象即可； （3）根据函数图象，分析判断函数的增减性即可． 【详解】（1）， 抛物线的顶点坐标为； （2）当时，， 当时， 解得，，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， 描出特殊点，，，，画出图象如下： （3）由图象可得，当时，随着的增大而减小． 27．(24-25九上·甘肃定西·期中)已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)若点A、B的坐标分别为和，且，请直接写出该抛物线的解析式及开口方向、顶点坐标． (2)将（1）中的抛物线沿水平方向平移，设平移后的抛物线与y轴交于点E，而移动前的点B，却落在点F上，问：是否存在的情形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，开口向下，顶点坐标为 (2)存在，或 【分析】本题主要考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，平移与坐标变化，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后确定抛物线的开口方向和顶点坐标即可；（2）设出平移后的解析式，然后求得点E和点F的坐标，然后根据得到关于h的方程，从而可解得h的值，然后可确定出点F的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴解析式为， ∴开口向下，顶点坐标为； （2）解：存在，理由如下： 设平移后的解析式， 当时，， ∴， 由平移可得：点F的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或3， ∴或． 地 城 考点02 一次函数与二次函数图象综合判断 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省张掖市临泽县第二中学·期中)若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． 2．(24-25九上·甘肃省定西市岷县·期中)一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 3．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题干中二次函数的图象开口向下，可以判断出a的符号为负，一次函数的图象与x轴正方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，可以据此判断出b、c的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数的图象． 【详解】∵二次函数的图象开口向下， ∴a<0， 又∵一次函数的图象与x轴正方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴， ∴b>0，c>0， 则>0， 可知二次函数开口方向向下，对称轴在y轴右侧，且与y轴交点在y的正半轴，选项B图象符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系． 4．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项正确． 故选：D． 5．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】当时，一次函数的图象过第一、三象限，二次函数的图象开口向上，故C、D不符合题意； 再由A、B选项中，二次函数的图象可知，故，因此A不符合题意， 故选：B． 6．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质．根据一次函数的图象经过的象限确定，，进而根据二次函数的图象的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 7．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 8．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学·期中)在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意， 选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意， 选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意， 选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意． 故选：C． 9．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)如图所示，当时，函数与函数的图象大致是（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数，关键是熟练掌握二次函数的图象及一次函数的图象．根据得到同号，再判断即可． 【详解】解：由题意可知，同号， 当时，二次函数经过一、二象限，一次函数经过一、二、三象限， 当时，二次函数经过三、四象限，一次函数经过二、三、四象限， 故选C． 10．(24-25九上·甘肃省定西市·期中)一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故A选项不可能； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故B选项不可能； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故C选项不可能； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故D选项符合题意； 故选：D． 11．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握两个函数的图象与性质是解题的关键．对四个选项中一次函数的图象进行分析，结合二次函数的图象，两图象是否相符即可得出结论． 【详解】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 地 城 考点03 用待定系数法求二次函数解析式 一、填空题 1．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据顶点式求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为，由条件可以得出，从而即可得到答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为，且抛物线的图象开口向上， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表： 0 1 2 3 8 3 0 0 则满足方程的解是 【答案】/ 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，通过表格数据求出然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 移项可得： 因式分解可得： 解得：． 3．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 ． 【答案】y=x2-4x+3 【分析】把点A、B、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b、c的值，即可得解． 【详解】解：将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入函数解析式得， ， 解得：， 所以二次函数的解析式为y=x2-4x+3， 故答案为：y=x2-4x+3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，需熟练掌握，难点在于解三元一次方程组． 二、解答题 4．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)已知抛物线的顶点为（0，4），与x轴交于点（-2，0），求抛物线的解析式． 【答案】y＝-x2+4． 【分析】由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，结合抛物线与轴的交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点为（0，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝ax2+4． 将（-2，0）代入y＝ax2+4，得： 0＝4a+4，解得：a＝-1， ∴抛物线的解析式为y＝-x2+4． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的三种形式以及待定系数法求二次函数解析式，巧设二次函数的顶点式是解题的关键． 5．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)已知二次函数图象的顶点为，且图象过点，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】由顶点式可设，将代入即可求解． 【详解】解：二次函数图象的顶点为， 可设该二次函数解式为， ∵过点， ∴， 解得， 故该二次函数解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法中用顶点式求二次函数解析式，掌握解法是解题的关键． 6．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式， 先设抛物线的顶点式，将顶点坐标代入，再将点代入，即可求出答案． 【详解】解：设抛物线的顶点式， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的关系式为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为． 7．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)已知二次函数的图象以为顶点，且过点，求该函数的关系式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，根据图象的顶点来设该二次函数的关系式，然后将点代入，即用待定系数法来求二次函数解析式． 【详解】解：顶点为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， ∴该函数的关系式为． 8．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 4 … y … 10 1 ﹣2 1 25 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2）（1，-2） 【详解】解：（1）由题意得， ， 解得a =3，b = -6，c=1． ∴ 这个二次函数的解析式是． （2）∵y=3x2-6x+1=3（x-1）2-2， ∴顶点坐标是(1，－2) ． 9．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【详解】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 10．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记相关结论即可求解； （1）令，则；得到抛物线与轴的交点为；推出；根据抛物线的对称轴是直线，推出，即可求解； （2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断； 【详解】（1）解：令，则； ∴抛物线与轴的交点为； ∴； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：； ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线． ∵且， ∴ 故答案为： 11．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点． （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出使y1＜y2的x的取值范围． 【答案】（1）y2=x2，y1=x+2；（2）当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2． 【分析】（1）把B坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式，把A横坐标代入二次函数解析式即可求得点A坐标；把A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数的解析式； （2）观察一次函数的图像在二次函数图像下方时x的取值． 【详解】解：（1）由图象可知：B（2，4）在二次函数y2=ax2上， ∴4=a×22， ∴a=1， ∴二次函数的解析式为：y2=x2， 又A（﹣1，n）在二次函数y2=x2上， ∴n=（﹣1）2， ∴n=1， 则A（﹣1，1）， 又∵A、B两点在一次函数y1=kx+b上， ∴ 解得：   ∴一次函数的解析式为：y1=x+2， （2）根据图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2． 【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，注意数形结合思想在解题中的应用. 12．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式； （2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案． 【详解】（1）解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：． （2）∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为x＝4， ∴（4，0），B（0，−6） ∴OC＝4，， ∵点A（2，0）， ∴AC＝2， 故． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换． 13．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值． (1)求这个函数的关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键. （1）根据题意设出，将抛物线的顶点坐标代入可得：.再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式； （2）代入即可判断． 【详解】（1）解：设二次函数的关系式为：， ∵当时，y有最小值， ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线表达式为：， 将点代入得， 解得， ∴二次函数的关系式为； （2）当时，， ∴在此函数图象上． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，待定系数法法等知识，解题的关键是： （1）把点、代入求解即可； （2）分；；三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴， 设， 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， 则， 解得， ∴P的坐标为或， 综上，P的坐标为或或或． 15．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)已知抛物线的图象经过点，． (1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标； (2)求当时，的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中． （1）将点，两点代入求出、即可； （2）根据函数的增减性，结合，写出函数值取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵，顶点坐标为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，函数值最小， 当时， 当时，，当时，， ∴当时，． 16．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)如图，已知二次函数的图象过点． (1)求此二次函数的解析式． (2)在轴下方的抛物线上是否存在一点，使的面积为？若不存在，请说明理由；若存在，请写出点的坐标． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，进而可得的长，再根据三角形的面积求出点的纵坐标，最后把点的纵坐标代入二次函数解析式，根据所得方程的根的判别式即可判断求解； 本题考查了二次函数的几何应用，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点， ∴， 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：不存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 设点的纵坐标为， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵点在轴下方， ∴， ∴， 把代入得，， 整理得，， ∵， ∴方程无解， ∴在轴下方的抛物线上不存在一点，使的面积为． 17．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 5 … y … 0 1 0 … (1)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)求出函数解析式； (3)由图象可得，当x________时，y随x的增大而减小；当时，x的取值范围是________． 【答案】(1)图象见详解 (2) (3)， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据列表、描点、连线可画出函数图象； （2）根据表格及待定系数法可进行求解； （3）由图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得二次函数图象如下所示： （2）解：根据表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （3）解：由（1）中函数图象可得： 当时，y随x的增大而减小；当时，x的取值范围是； 故答案为，． 18．(24-25九上·甘肃省庆阳市·期中)已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：    (1)这个二次函数的解析式是______ ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像； (3)当时，的取值范围为______ ． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据，0时的函数值，再结合可知当时，，即可写出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为：， 把点代入得，解得， 抛物线解析式为，即； （2）解：如图所示：    （3）解：， ∵对称轴为，， ∴， 当时，；当时，，开口向上，离对称轴越远函数值越大， 当时，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 19．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)求与之间的函数关系式． (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或， 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数求解析式和二次函数求解析式及二次函数图象和性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，用m表示出，，利用求解即可； （3）先求得，利用，列得一元二次方程，解之取其负值即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴的值为得或 地 城 考点04 二次函数与一元二次方程、不等式（组） 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．图象与轴有唯一交点 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．图象的开口向下 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的个数、化为顶点式求出顶点坐标、抛物线的对称轴和开口方向等知识，即可得到答案． 【详解】解：A．对于抛物线， 当时，， ∵， ∴有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个交点，故选项错误，不合题意； B．∵， ∴抛物线的顶点是，故选项错误，不符合题意； C．∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， 故选项错误，不符合题意； D．对于抛物线，，则图象的开口向下，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程根的个数、化为顶点式求出顶点坐标、抛物线的对称轴和开口方向等知识，是解题的关键． 2．(24-25九上·甘肃省陇南市武都区·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况是(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】二次函数图像与轴有两个交点，根据“二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的根”即可求出答案． 【详解】解：由图可知二次函数的图象与x轴有两个交点， 又∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的根， ∴一元二次方程有两个不相等实根， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点个数，理解并掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的根是解题的关键． 3．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)如果二次函数与轴只有一个交点，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与轴交点个数的判断方法是解题的关键．利用与轴只有一个交点，则其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】解：由二次函数与轴只有一个交点， ∴二次函数对应的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 故选：D． 4．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A．0<x<0.25 B．0.25<x<0.5 C．0.5<x<0.75 D．0.75<x<1 【答案】C 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 5．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（    ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键． 6．(24-25九上·甘肃省兰州市教育局第四片区·期中)根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 3.24 3.25 3.26 0.01 0.03 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到时，；时，，于是可判断在和之间取某一值时，，由此得到方程的一个解的范围． 【详解】解：时，； 时，， ∴当时，的值可以等于0， ∴方程的一个解的范围是． 故选：B． 7．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题； 由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为． 【详解】解： 和两点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为直线， ， 解得， ， 二次函数与y轴的交点坐标为． 故选：B． 8．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出一元二次方程有实数根，再根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，解得 且，再在数轴上表示出来，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， ∴一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴ 且， 在数轴上表示为： 故答案为：C． 9．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标 ∴方程的解为， 故选：B． 10．(24-25九上·甘肃省天水市清水县·期中)根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 11．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，则的面积是 （    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【分析】根据题意，先求出点A、B、C的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求出答案. 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴令，则， 解得：，， ∴点A为（1，0），点B为（，0）， 令，则， ∴点C的坐标为：（0，）； ∴AB=4，OC=3， ∴的面积是：=； 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出抛物线与坐标轴的交点. 12．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象和性质；根据二次函数与一次函数在A、B处的函数值相等，得出，求出，然后把代入，可得出，然后根据乘法法则得出或，最后解不等式组即可． 【详解】解：把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，； 把点的横坐标是，点的横坐标是3代入直线，得，； ∴，解得 把代入，得， 由函数图象知：抛物线开口向上， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得， 故选：A． 13．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)关于函数的图像和性质，下列说法错误的是（   ） A．函数图像开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图像的顶点坐标是 D．函数图像与x轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据从开口方向，顶点坐标，增减性等方面逐个分析即可． 【详解】解：A、，图象的开口向上，说法正确，故此选项不符合题意； B、∵的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，说法正确，故此选项不符合题意； C、的顶点坐标是，说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，，方程有两不等根，故与x轴有两个交点，说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的定义，掌握二次函数与轴的交点的横坐标即为时对应一元二次方程的解是解题关键．根据抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有交点， 关于的方程有实数根，且， ，且， 解得：且， 故选：A． 二、填空题 16．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)抛物线与x轴的其中一个交点坐标是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据抛物线与轴的其中一个交点是，可以得到的值，从而可以得到的值，本题得以解决． 【详解】解：抛物线与轴的其中一个交点是， ， ， ， 故答案为：． 17．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)若抛物线 (a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题以及判别式的应用，先得出抛物线 与轴有一个交点，即交点坐标为，再结合(a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则抛物线 与轴无交点，那么列式，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∴当时，则 即抛物线 与轴有一个交点，即交点坐标为， ∵抛物线 与坐标轴有且仅有一个公共点， ∴抛物线 与轴无交点， ， ． ∴a的范围是． 故答案为：． 18．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)如果一元二次方程的两个根是，，那么函数的图像与轴的两个交点的坐标是 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的关系，二次函数与轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根．根据一元二次方程与二次函数的关系，可知抛物线与轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，从而来求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标为方程的两个根， ∴的图像与轴的两个交点的坐标为：，； 故答案为：，． 19．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键． 利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当在两交点之间时，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围正好在两交点之间，即， 故答案为：． 20．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．不等式的解集是抛物线位于直线下方，自变量的取值范围，确定抛物线与直线的交点坐标即可解答． 【详解】解：由图象可知，当或时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 21．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 22．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移6个单位长度，所得的新抛物线与轴有两个公共点，则点与点之间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将抛物线向下平移6个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：2． 23．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答．根据对称性可直接求出坐标． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴是直线， ∴抛物线与轴的两个交点关于直线对称， ∴， 解得：， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 24．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 25．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学·期中)如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 26．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，对称性，求出二次函数的对称轴，根据对称性求出另一个交点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 故答案为：． 27．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 【答案】0或1/1或0 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 28．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 29．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由，则，又二次函数经过点，两点，从而有或，然后求解即可，正确理解二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵二次函数经过点，两点， ∴或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 30．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)已知二次函数的值恒大于0，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系．根据题意可得抛物线开口向上，与x轴没有交点，即没有实数根，即，根据的图象即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的值恒大于0，， ∴抛物线开口向上，与x轴没有交点， 即没有实数根， ∴， 当时，，解得， 由二次函数的图象可知，， 故答案为： 31．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 三、解答题 32．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式等知识，正确理解抛物线与x轴的交点和判别式的关系是关键． （1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）首先根据题意得到对称轴为直线，求出，然后得到，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； （2）解：∵该函数图象的对称轴是直线， ∴对称轴为直线 ∴ ∴ ∴当时， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为． 33．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组·期中)已知二次函数（为常数）的图象与轴交于点． (1)求的值； (2)求二次函数的图象与轴交点坐标． 【答案】(1) (2)和 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点等知识． （1）把点代入函数解析式即可求出答案； （2）由（1）得到函数解析式，取，进一步解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中，得， 解得． （2）由（1）得二次函数的解析式为， 令，得， 解得，， 图象与轴交点坐标是和 34．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：设抛物线与x轴的两个交点分别为A和B， 当时，， 解得，， ， 或． 35．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)画出二次函数的图象并利用图象回答：    (1)方程的根是________________； (2)函数值大于0时，x的取值范围是________________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象，学会利用图象法解方程和不等式是解题的关键． （1）先画出二次函数的图象，根据二次函数与x轴的交点，即可求解方程的根； （2）当函数值大于0时，图象在x轴的上方，结合图象即可得到x的取值范围． 【详解】（1）解：列表得： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 在坐标系描出点，，，，，再用平滑的曲线连接它们，如图则二次函数的图象为所求；    由图象得，二次函数与x轴的交点为和， 方程的根是，． 故答案为：，． （2）当函数值大于0时，图象在x轴的上方， 由图象得，x的取值范围是或． 故答案为：或． 36．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键． （1）根据函数图象的最高点得到顶点坐标； （2）观察图形可以看出抛物线与轴交于(和，即可解题； （3）根据抛物线的图象，得到在x轴上方的自变量x的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：由图象可得函数图象的最高点坐标为， ∴函数的顶点坐标为； （2）解：图中可以看出抛物线与轴交于(和， ∴方程的两个根为，； （3）解：通过图中可以看出：当时，图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $专题04 二次函数的图象和性质（二） 4大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 考点02 一次函数与二次函数图象综合判断 考点03 用待定系数法求二次函数解析式 考点04 二次函数与一元二次方程、不等式（组） 地 城 考点01 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)抛物线的图象上最低点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．3 4．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知抛物线下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时， y随x的增大而减小 5．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数) 的图象经过，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是（   ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 7．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)已知二次函数中，与的部分对应值如下表，则下列结论正确的是（   ） 0 2 3 4 5 0 0 A．图象开口向下 B．抛物线对称轴是直线 C．当时， D．当时，随的增大而减小 8．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)已知抛物线的顶点在x轴上，则（   ） A．4 B．2 C． D． 9．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)如图所示的抛物线可能是下面哪个二次函数的图象（    ） A． B． C． D． 10．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)若函数的图象上有两点、，则（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 11．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学·期中)二次函数y=-2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（-1，3） C．（1，5） D．（-1，5） 12．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（      ） A． B． C． D． 13．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)已知二次函数y=，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且－3<x1<x2<x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1>y2>y3 B．y1<y2<y3 C．y2>y3>y1 D．y2<y3<y1 14．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)已知二次函数（为常数，且）的图象上有三点，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 15．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)已知二次函数，当x≥2时，y的取值范围是（ ） A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3 二、填空题 16．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)二次函数的顶点坐标是 ． 17．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)二次函数 的对称轴是 ． 18．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)抛物线与的形状相同，开口方向相反，则 ． 19．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)已知二次函数，用配方法可化为的形式是 ． 20．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)已知，是抛物线上的点，则，的大小关系为 ． 21．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)在二次函数中，当时，设的最大值为，的最小值为，则 ． 22．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为 ． 23．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 三、解答题 24．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知二次函数 ． (1)若二次函数过点，求二次函数的表达式； (2)若点和点在该二次函数图象上，求n的值． 25．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 26．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)已知二次函数． (1)求二次函数的图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)当x在什么范围时，y随着x的增大而减小？ 27．(24-25九上·甘肃定西·期中)已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C． (1)若点A、B的坐标分别为和，且，请直接写出该抛物线的解析式及开口方向、顶点坐标． (2)将（1）中的抛物线沿水平方向平移，设平移后的抛物线与y轴交于点E，而移动前的点B，却落在点F上，问：是否存在的情形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点02 一次函数与二次函数图象综合判断 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省张掖市临泽县第二中学·期中)若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A． B． C． D． 2．(24-25九上·甘肃省定西市岷县·期中)一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学·期中)在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)如图所示，当时，函数与函数的图象大致是（　　）. A． B． C． D． 10．(24-25九上·甘肃省定西市·期中)一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 地 城 考点03 用待定系数法求二次函数解析式 一、填空题 1．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式： ． 2．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表： 0 1 2 3 8 3 0 0 则满足方程的解是 3．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 ． 二、解答题 4．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)已知抛物线的顶点为（0，4），与x轴交于点（-2，0），求抛物线的解析式． 5．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)已知二次函数图象的顶点为，且图象过点，求此二次函数的解析式． 6．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 7．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)已知二次函数的图象以为顶点，且过点，求该函数的关系式． 8．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 4 … y … 10 1 ﹣2 1 25 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标． 9．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 10．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 11．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A（﹣1，n），B（2，4）两点． （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出使y1＜y2的x的取值范围． 12．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 13．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值． (1)求这个函数的关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，求点的坐标． 15．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)已知抛物线的图象经过点，． (1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标； (2)求当时，的取值范围． 16．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)如图，已知二次函数的图象过点． (1)求此二次函数的解析式． (2)在轴下方的抛物线上是否存在一点，使的面积为？若不存在，请说明理由；若存在，请写出点的坐标． 17．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 5 … y … 0 1 0 … (1)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)求出函数解析式； (3)由图象可得，当x________时，y随x的增大而减小；当时，x的取值范围是________． 18．(24-25九上·甘肃省庆阳市·期中)已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：    (1)这个二次函数的解析式是______ ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像； (3)当时，的取值范围为______ ． 19．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，作直线，点是抛物线在直线上方的一点，过点作轴于点，交直线于点．设长为，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)求与之间的函数关系式． (3)当时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 地 城 考点04 二次函数与一元二次方程、不等式（组） 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．图象与轴有唯一交点 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．图象的开口向下 2．(24-25九上·甘肃省陇南市武都区·期中)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况是(   ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)如果二次函数与轴只有一个交点，那么（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·甘肃省平凉市崆峒区平凉市第七中学·期中)下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A．0<x<0.25 B．0.25<x<0.5 C．0.5<x<0.75 D．0.75<x<1 5．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（    ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 6．(24-25九上·甘肃省兰州市教育局第四片区·期中)根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 3.24 3.25 3.26 0.01 0.03 A． B． C． D． 7．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　) A． B． C． D． 9．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 10．(24-25九上·甘肃省天水市清水县·期中)根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 11．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，则的面积是 （    ） A．6 B．10 C．12 D．15 12．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 13．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)关于函数的图像和性质，下列说法错误的是（   ） A．函数图像开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图像的顶点坐标是 D．函数图像与x轴没有交点 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 二、填空题 16．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)抛物线与x轴的其中一个交点坐标是，则的值为 ． 17．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)若抛物线 (a为常数) 与坐标轴有且仅有一个公共点，则a的范围为 ． 18．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)如果一元二次方程的两个根是，，那么函数的图像与轴的两个交点的坐标是 ． 19．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 20．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是 ． 21．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是 ． 22．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移6个单位长度，所得的新抛物线与轴有两个公共点，则点与点之间的距离为 ． 23．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 24．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 25．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学·期中)如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是 ．    26．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 27．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 28．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为 ． 29．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)二次函数经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 30．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)已知二次函数的值恒大于0，则m的取值范围是 ． 31．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 三、解答题 32．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)已知二次函数． (1)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个交点； (2)若该函数图象的对称轴是直线，求该函数的图象与轴的交点坐标． 33．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组·期中)已知二次函数（为常数）的图象与轴交于点． (1)求的值； (2)求二次函数的图象与轴交点坐标． 34．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值． 35．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)画出二次函数的图象并利用图象回答：    (1)方程的根是________________； (2)函数值大于0时，x的取值范围是________________． 0 1 2 3 4 3 0 0 3 36．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． $