专题02 实际问题与一元二次方程（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期人教版

专题02 实际问题与一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 传播问题 考点02 增长率问题 考点03 图形问题 考点04 营销问题 考点05 动态几何问题 地 城 考点01 传播问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省兰州市第十一中学教育集团·期中)流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为 ． 4．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为 ． 三、解答题 5．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．求：每轮传染中平均一人传染了几人？ 6．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 地 城 考点02 增长率问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为，据题意得方程（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·甘肃省平凉市·期中)去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共900万元，若设平均每月增长率为x，则可列方程应为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·甘肃省兰州市第五十六中·期中)青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（　　） A． B． C． D． 5．(24-25九上·甘肃省兰州市教育局第四片区·期中)我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国 约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国 约达135万亿元，将增长率记作 x ，可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·甘肃省天水市育生中学·期中)某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区思源实验学校·期中)近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员的退休金．企业退休职工李师傅2012年的月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，可列方程为（　 　） A．2160(1－x) 2 = 1500 B．1500(1＋x) 2 =2160 C．1500(1－x) 2 =2160 D．1500＋1500(1＋x) ＋1500(1＋x) 2 =2160 8．(24-25九上·甘肃省张掖市临泽县第二中学·期中)小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25九上·甘肃省张掖市临泽县第二中学·期中)2024年春节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组·期中)某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A． B． C． D． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为25万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25九上·甘肃天水清水县·期中)某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件元降至元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 13．(24-25九上·甘肃省白银市·期中)电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A． B． C． D． 14．(24-25九上·甘肃省兰州市华侨教育集团·期中)某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 15．(24-25九上·甘肃省张掖市·期中)某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为128元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为 ． 16．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 ． 17．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)某商品经过连续两次降价，售价由原来的25元/件降到16元/件，则平均每次降价的百分率为 ． 18．(24-25九上·甘肃省兰州市城关区树人中学·期中)某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为 ． 19．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，设每月增长率为x，根据题意可得方程为 ． 20．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是 ． 21．(24-25九上·甘肃省天水市武山县百泉初级中学·期中)超市搞促销活动，将某商品经过两次降价，售价由86元降至52元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程为 ． 22．(24-25九上·甘肃省酒泉市第二中学·期中)某种型号的手机，原售价4000元，经连续两次降价后，现售价为2560元/台，则平均每次降价的百分率为 ． 三、解答题 23．(24-25九上·甘肃张掖甘州区大成学校·期中)十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，求平均每月增长的百分率． 24．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)海螺水泥厂一月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，若平均每月的增长率相等，求该水泥厂的平均月增长率是多少？ 25．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)随着《初见庆阳》宣传片在各媒体的播放，优美的生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐．2024年8月份华池县某民宿的营业额为4万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，10月份的营业额达到5.76万元，求该民宿8月份9月份营业额的月平均增长率． 地 城 考点03 图形问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省白银市平川区第七中学·期中)如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 2．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)如图，现将一幅长，宽的照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同，均为，已知矩形衬纸的面积为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·甘肃金昌·期中)如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)如图，用一段长的铁丝网靠墙围成一个面积的矩形区域，墙长，垂直于墙面的铁丝网的长为（   ） A． B． C．或 D． 7．(24-25九上·甘肃省白银市景泰县第三中学·期中)我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题“直田积（矩形面积）八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步，问阔为几步？”（   ） A．24 B．24或36 C．36 D．12或24 二、填空题 8．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)小雅家有一张如图所示的长方形桌子，桌面长，宽．有一块长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设垂下的长度为，根据题意，可列方程： ． 9．(24-25九上·甘肃省兰州市第十一中学教育集团·期中)如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽26米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为864平方米．则小道的宽为 米． 10．(24-25九上·甘肃省兰州市第八十一中学·期中)在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高度为 1m，那么它的下部应设计的高度为 ． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔着有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．设米，则当 米时，围成的花圃面积为平方米．    三、解答题 12．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)得天独厚的地理环境和自然条件使定西成为中国马铃薯最佳适种区之一，目前，定西已成为全国马铃薯三大主产区之一和全国最大的种薯繁育基地．如图，一农户要建一个矩形的马铃薯基地，基地的一边利用长为的墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在平行于墙的一边留一个宽的门，若矩形基地的面积为，求该基地的长和宽． 13．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，已知墙长为米，为方便进入，在墙的对面留出米宽的门（如图所示）．怎样围成面积为平方米的苗圃园． 14．(24-25九上·甘肃省陇南市武都区·期中)已知一个包装盒的表面展开图如图． (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值； (2)是否存在这样的x的值，使得次包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 15．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ (2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度是多少米？ 16．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)如图所示，有一个面积为的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为，求鸡场的长和宽各为多少米． 17．(24-25九上·甘肃兰州榆中县·期中)如图所示，在长和宽分别为，的矩形纸片的四个角上都剪去一个边长为的正方形． (1)用，，表示纸片剩余部分的面积． (2)当，时，且剩余部分的面积是剪去部分面积的倍时，求正方形的边长． 18．(24-25九上·甘肃省天水市育生中学·期中)《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． (1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； (2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； (3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 地 城 考点04 营销问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区丰乐中学联片教研·期中)商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．(24-25九上·甘肃张掖·期中)某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．若商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？ 3．(24-25九上·甘肃张掖甘州区大成学校·期中)某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件，已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，为在一个月内赚取8000元利润，每件应涨价多少元？ 4．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区思源实验学校·期中)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 5．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)某水果店商家购进了一批哈密瓜，每斤哈密瓜的进价是8元．商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元时，平均每天可售出20斤哈密瓜．据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元，平均每天可多售出5斤．商家在不考虑其他因素的情况下，想使销售哈密瓜平均每天的总获利为150元，同时也让顾客获得最大的优惠，每斤哈密瓜的售价为多少元？ 6．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区高坝联片教研组·期中)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，求每件衬衫应降价多少元？ 7．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为元/盒，销售价为元/盒时，每天可售出盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒，针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： (1)当销售单价为元时，每天的销售量为_____盒，每天盈利______元； (2)若在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 8．(24-25九上·甘肃省天水市第五中学·期中)九月丹桂飘香，钟山区保华镇某农户家的冬桃迎来大丰收．据了解，冬桃成本为20元/千克，若每千克售价30元，一周可以售出300千克，并且销售单价每上涨1元，销售量就减少5千克． (1)如果每千克涨价x元，那么周销售量为 千克；涨价后每千克的利润为 元．（用含x的式子表示） (2)在保证薄利多销的前提下，要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为多少元？ 9．(24-25九上·甘肃省兰州市第十一中学教育集团·期中) “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． (1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； (2)某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 10．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶元的价格购进一批头盔，售价为每顶元时，每月可售出顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶． (1)如果经过降价后，每顶头盔售价为元，那么每月可以多售出多少顶头盔？ (2)要使该商店每月获得的利润为元，求每顶头盔的售价是多少元？ 11．(24-25九上·甘肃兰州教育局第四片区·期中)兰州“润兰之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降2元，每日销售量就增加4个． (1)若售价下降3元，每日能售出 个台灯，若售价下降元（），每日能售出 个台灯． (2)为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价． (3)日获利能否达到2000元，说明理由． 12．(24-25九上·甘肃省兰州市第八十一中学·期中)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 13．(24-25九上·甘肃天水武山县百泉初级中学·期中)小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 14．(24-25九上·甘肃省兰州市第十九中学·期中)水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； (2)销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 15．(24-25九上·甘肃酒泉第二中学·期中)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场在销售中发现：“弗里热”纪念品的进价为每件25元． 当纪念品售价为每件40元时，每月销售量达到400件． 若纪念品售价每降价1元，销售量就会增加5件． (1)若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品 件（用含x的代数式表示）． (2)求当纪念品每降价多少元时，商场可以获利4250元？ 16．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区张掖育才中学·期中)今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 17．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． (1)若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； (2)若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 18．(24-25九上·甘肃省白银市景泰县第三中学·期中) “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 地 城 考点05 动态几何问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省白银市·期中)如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 二、填空题 2．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 三、解答题 3．(24-25九上·甘肃省天水市第五中学·期中)如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 4．(24-25九上·甘肃省兰州市第十一中学教育集团·期中)如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．    (1)经过多长时间，的面积等于？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 5．(24-25九上·甘肃省白银市景泰县第三中学·期中)如图，在中，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示________； ________； (2)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 6．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学·期中)如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，的面积等于？ (2)的面积可能等于吗？为什么？ 7．(24-25九上·甘肃天水清水县·期中)如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过多少秒？ 8．(24-25九上·甘肃天水武山县百泉初级中学·期中)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 9．(24-25九上·甘肃兰州第五十六中·期中)如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 10．(24-25九上·甘肃省兰州市教育局第四片区·期中)如图，在四边形中， ，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 11．(24-25九上·甘肃省天水市育生中学·期中)如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实际问题与一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 传播问题 考点02 增长率问题 考点03 图形问题 考点04 营销问题 考点05 动态几何问题 地 城 考点01 传播问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省兰州市第十一中学教育集团·期中)流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 2．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)育才中学九（1）班学生毕业时，老师要求每位同学向班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共送出祝福语2070条，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条，则名学生共赠祝福语为条，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送祝福语条， ∴名学生共赠祝福语为条， 由题意得：； 故选：D． 二、填空题 3．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为 ． 【答案】x（x﹣1）＝110 【分析】设这个小组有人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送－1张贺卡，所以全组共送（－1）张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可． 【详解】设这个小组有x人，则每人应送出x−1张贺卡，由题意得： x(x−1)＝110， 故答案为x(x−1)＝110. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 4．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：，即 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．求：每轮传染中平均一人传染了几人？ 【答案】7人 【分析】设每轮传染中平均一人传染了x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了x人， 根据题意得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一人传染了7人． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 6．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算． 【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了个人， 列方程得：， 解得：，（舍去）， 答：每轮传染巾平均一个人传染了个人． 地 城 考点02 增长率问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)某钢铁厂今年1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月增长的百分率为，据题意得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平均每月增长的百分率为，根据1月份钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为，据题意得方程； 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 2．(24-25九上·甘肃省平凉市·期中)去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，理解题意是解题关键． 根据题意直接列出一元二次方程即可． 【详解】解：设公共充电桩的月平均增长率为，依题意得： ． 故选：A． 3．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共900万元，若设平均每月增长率为x，则可列方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，本题原来的量为100，则二月份和三月份的营业额分别为和，相加即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元， ∴则二月份和三月份的营业额分别为和， ∴第一季度的营业额为 ∴， 故选：D ． 4．(24-25九上·甘肃省兰州市第五十六中·期中)青山村种的水稻2010年平均每公顷产7200kg，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：2011年的产量为，2012年的产量是，据此即可列代数式． 【详解】解：由题意可知：2011年的产量为，2012年的产量为： 则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是， 故选： 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义，掌握实际问题中各个量的关系是解决此题的关键． 5．(24-25九上·甘肃省兰州市教育局第四片区·期中)我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国 约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国 约达135万亿元，将增长率记作 x ，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用2023年我国的年我国的×（1+我国每年的增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．(24-25九上·甘肃省天水市育生中学·期中)某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区思源实验学校·期中)近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员的退休金．企业退休职工李师傅2012年的月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，可列方程为（　 　） A．2160(1－x) 2 = 1500 B．1500(1＋x) 2 =2160 C．1500(1－x) 2 =2160 D．1500＋1500(1＋x) ＋1500(1＋x) 2 =2160 【答案】B 【分析】设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x，2013年李师傅的月退休金为1500(1+x)，2014年李师傅的月退休金1500（1+x）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x， 根据题意得：1500（1+x）2＝2160． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．(24-25九上·甘肃省张掖市临泽县第二中学·期中)小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 9．(24-25九上·甘肃省张掖市临泽县第二中学·期中)2024年春节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，列出关于的一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得 ． 故选：A． 10．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组·期中)某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为25万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则4月份的售价为万元，五月份的销售额为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x， 由题意得，， 故选：B． 12．(24-25九上·甘肃天水清水县·期中)某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件元降至元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程； 设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得：， 故选：A 13．(24-25九上·甘肃省白银市·期中)电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记为，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． 前三天的累计票房为： 故选：D． 14．(24-25九上·甘肃省兰州市华侨教育集团·期中)某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为175万元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考査了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的总收入，再根据题意表示出三月份的总收入，然后将三个月的总收入相加，即可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的总收入为：，三月份的总收入为：， 根据题意得：． 故选：D． 二、填空题 15．(24-25九上·甘肃省张掖市·期中)某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为128元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】设该种商品平均每次降价的百分率是，根据“原价每件200元，经过两次降价，现售价每件128元．”列出方程，即可求解． 【详解】设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 16．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该楼盘这两年房价平均降低率为x，则2014年房价为元，2015年房价为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 17．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)某商品经过连续两次降价，售价由原来的25元/件降到16元/件，则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】20% 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得：25（1﹣x）2＝16， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）． 故答案为：20%． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 18．(24-25九上·甘肃省兰州市城关区树人中学·期中)某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，则从4月份到6月份销售量的平均月增长率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则6月份的销售量为万辆，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴从4月份到6月份销售量的平均月增长率为， 故答案为：． 19．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，设每月增长率为x，根据题意可得方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每月增长率为x，则10月份借阅图书本，则11月份借阅图书本，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 20．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为，根据“2022年新开通燃气20万户，2024年新开通燃气39.2万户”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率为． 故答案为：． 21．(24-25九上·甘肃省天水市武山县百泉初级中学·期中)超市搞促销活动，将某商品经过两次降价，售价由86元降至52元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为则经过两次变化后的数量关系为． 【详解】解：第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，则列出的方程是． 故答案为：． 22．(24-25九上·甘肃省酒泉市第二中学·期中)某种型号的手机，原售价4000元，经连续两次降价后，现售价为2560元/台，则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】20% 【分析】设平均每次降价的百分率为x,根据题意，可列方程求解即可. 【详解】设平均每次降价的百分率为x， 根据题意，得 4000(1﹣x)2＝2560， 解得：x1＝1.8(舍去)，x2＝0.2． 故答案为20% 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于经典题型，分析题意，列出方程是解答本题的关键. 三、解答题 23．(24-25九上·甘肃张掖甘州区大成学校·期中)十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，求平均每月增长的百分率． 【答案】这两个月平均每月增长的百分率是 【分析】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出未知数，找出等量关系，列方程求解． 设这两个月平均每月增长的百分率是x，增长前为5000吨，增长后为7200吨，增长次数为2，由此列方程求解． 【详解】解：设这两个月平均每月增长的百分率是， 依题意得：， 解得：（舍去）， 答：这两个月平均每月增长的百分率是． 24．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)海螺水泥厂一月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，若平均每月的增长率相等，求该水泥厂的平均月增长率是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题的解法是解题的关键．由增长率问题的数量关系 建立方程，求出其解即可． 【详解】解：设该水泥厂的平均月增长率是， 由题意，得， 解得：，（舍去）． 答：该水泥厂的平均月增长率是． 25．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)随着《初见庆阳》宣传片在各媒体的播放，优美的生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐．2024年8月份华池县某民宿的营业额为4万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，10月份的营业额达到5.76万元，求该民宿8月份9月份营业额的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设8月份9月份的营业额的月平均增长率为x，根据题意得出形如的方程，再求出解即可． 【详解】解：设8月份9月份的营业额的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得， 所以8月份9月份的营业额的月平均增长率为． 地 城 考点03 图形问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省白银市平川区第七中学·期中)如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 2．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)如图，现将一幅长，宽的照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同，均为，已知矩形衬纸的面积为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可得衬纸的长为，宽为，再根据面积等于420列出方程即可． 【详解】根据题意，得， 故选：A． 3．(24-25九上·甘肃金昌·期中)如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，所有草坪面积之和就变为了平方米，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：小路宽为x米，利用平移，得：， 故选：B． 4．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题关键．设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为， 由题意得：， 故选：C． 5．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，合理列出方程是解题的关键． 设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 6．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)如图，用一段长的铁丝网靠墙围成一个面积的矩形区域，墙长，垂直于墙面的铁丝网的长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设与墙垂直的边长，则与墙平行的边长为米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【详解】解：设与墙垂直的边长，则与墙平行的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去， ∴． 故选：B． 7．(24-25九上·甘肃省白银市景泰县第三中学·期中)我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题“直田积（矩形面积）八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步，问阔为几步？”（   ） A．24 B．24或36 C．36 D．12或24 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设“阔”是步，则长是步，根据“直田积（矩形面积）八百六十四（平方步）”列一元二次方程，利用配方法求解即可． 【详解】解：设“阔”是步，则长是步， 由题意得：， 整理得：， ， 解得：或（舍）， 即“阔”是步， 故选：A． 二、填空题 8．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)小雅家有一张如图所示的长方形桌子，桌面长，宽．有一块长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设垂下的长度为，根据题意，可列方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据各边之间的关系，可得出台布的长为，宽为，利用台布的面积是桌面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵垂下的长度为， ∴台布的长为，宽为， 又∵台布的面积是桌面面积的2倍， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·甘肃省兰州市第十一中学教育集团·期中)如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽26米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为864平方米．则小道的宽为 米． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为864列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意，得 ， ∴， ∴，（不合题意，舍去）． 即小道的宽为2米． 故答案为： 10．(24-25九上·甘肃省兰州市第八十一中学·期中)在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高度为 1m，那么它的下部应设计的高度为 ． 【答案】 【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（1-x）m，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则题意得：， 整理得：， 解得： 或 (舍去)； ∴它的下部应设计的高度为. 故答案为. 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔着有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．设米，则当 米时，围成的花圃面积为平方米．    【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系列出方程求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由花圃的宽为米，得长米， ，即， ，解得或， 墙的最大可用长度为米， 当时，长，不符合题意，舍去， ∴当米时，围成的花圃面积为平方米． 故答案为： 三、解答题 12．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)得天独厚的地理环境和自然条件使定西成为中国马铃薯最佳适种区之一，目前，定西已成为全国马铃薯三大主产区之一和全国最大的种薯繁育基地．如图，一农户要建一个矩形的马铃薯基地，基地的一边利用长为的墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在平行于墙的一边留一个宽的门，若矩形基地的面积为，求该基地的长和宽． 【答案】该基地的长为，宽为 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设该基地的宽为，则长为，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设该基地的宽为，则长为，由题意得： 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴，则； 答：该基地的长为，宽为． 13．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，已知墙长为米，为方便进入，在墙的对面留出米宽的门（如图所示）．怎样围成面积为平方米的苗圃园． 【答案】这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米时，围成面积为平方米的苗圃园． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 解得：， ∵当时，，舍去， ∴． ∴， ∴这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 答：这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米时，围成面积为平方米的苗圃园． 14．(24-25九上·甘肃省陇南市武都区·期中)已知一个包装盒的表面展开图如图． (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值； (2)是否存在这样的x的值，使得次包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设出的立方体的高表示出其长是解决本题的关键． （1）利用其体积等于，列出有关x的一元二次方程求解即可； （2）利用体积等于，列出有关x的一元二次方程后利用根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设包装盒的高为x， 根据题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或； （2）解：不存在，理由如下： 根据题意得：根据题意得 整理得， ∵， ∴此方程无解， ∴不存在这样的x的值，使得包装盒的体积为1800立方厘米． 15．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ (2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度是多少米？ 【答案】(1)2000平方米 (2)2米 【分析】（1）利用原工作时间-现工作时间|=4这一等量关系列出分式方程求解即可； （2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）设该项绿化工程原计划每天完成x平方米，根据题意得： ， 解得：x=2000， 经检验，x=2000是原方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； （2）设人行道的宽度为a米，根据题意得： （20-3a）(8−2a)=56， 解得：a=2或a=（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米． 【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的综合应用，熟练掌握分式方程和一元二次方程的列法和解法是解题关键． 16．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)如图所示，有一个面积为的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为，求鸡场的长和宽各为多少米． 【答案】鸡场的长为米，宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．设鸡场平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，根据鸡场的面积列一元二次方程，求解即可，注意墙长，即． 【详解】解：设鸡场平行于墙的一边长为米， 则垂直于墙的一边长为米， 根据题意，得， 化简得：， 解得：，， ∵墙长，即， ∴不合题意，舍去， ∴（米），（米）， 答：鸡场的长为米，宽为米． 17．(24-25九上·甘肃兰州榆中县·期中)如图所示，在长和宽分别为，的矩形纸片的四个角上都剪去一个边长为的正方形． (1)用，，表示纸片剩余部分的面积． (2)当，时，且剩余部分的面积是剪去部分面积的倍时，求正方形的边长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了列代数式、解一元二次方程． 根据剩余部分的面积等于长方形的面积减去正方形的面积，列代数式表示出剩余纸片的面积即可； 根据剩余部分的面积是剪去部分面积的倍，列出一元二次方程，解方程即可求出正方形的边长． 【详解】（1）解：剩余纸片的面积为； （2）解：剩余部分的面积是剪去部分面积的倍， ， ，， ， 解得：或(舍去)， 正方形的边长为． 18．(24-25九上·甘肃省天水市育生中学·期中)《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． (1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； (2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； (3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可； （3）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， ∴长为米． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米 （3）解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地． 地 城 考点04 营销问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区丰乐中学联片教研·期中)商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1120元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设降价元，则每件利润为元，销售量为，根据“每天将盈利1120元”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为， 由题意得：， 故选：D． 二、解答题 2．(24-25九上·甘肃张掖·期中)某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．若商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，每天可销售件，根据“总利润每件的销售利润日销售量”可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．由题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，每天可销售件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价元． 3．(24-25九上·甘肃张掖甘州区大成学校·期中)某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件，已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，为在一个月内赚取8000元利润，每件应涨价多少元？ 【答案】10元或30元 【分析】本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，找出等量关系式，进行正确求解是解题的关键． 根据等量关系式：单件利润销售量总利润，列方程求解即可． 【详解】解：设这种衬衫每件涨价元，由题意可得 ， 整理可得：， 解得：，， 答：每件应涨价10元或30元． 4．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区思源实验学校·期中)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案． 【详解】解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得： 整理，得 解这个方程，得 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． 5．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)某水果店商家购进了一批哈密瓜，每斤哈密瓜的进价是8元．商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元时，平均每天可售出20斤哈密瓜．据调查，哈密瓜的售价每降低0.5元，平均每天可多售出5斤．商家在不考虑其他因素的情况下，想使销售哈密瓜平均每天的总获利为150元，同时也让顾客获得最大的优惠，每斤哈密瓜的售价为多少元？ 【答案】每斤哈密瓜的售价为11元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每斤哈密瓜的售价为元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每斤哈密瓜的售价为元，根据题意得： ， 整理得， 解得，， ∵让顾客获得最大的优惠， ∴， 答：每斤哈密瓜的售价为11元． 6．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区高坝联片教研组·期中)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，求每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1200元列出方程求解即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元． 7．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为元/盒，销售价为元/盒时，每天可售出盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒，针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： (1)当销售单价为元时，每天的销售量为_____盒，每天盈利______元； (2)若在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 【答案】(1)； (2)每盒茶叶降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据“如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”即可求解； （2）设每盒茶叶降价x元，依题意得．据此即可求解． 【详解】（1）解：当销售单价为元时，每天的销售量为：（盒）， 每天盈利：（元）， 故答案为：； （2）解：设每盒茶叶降价x元，依题意得： ． 解得：，． ∵需要让利于顾客， ∴取． ∴每盒茶叶降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元． 8．(24-25九上·甘肃省天水市第五中学·期中)九月丹桂飘香，钟山区保华镇某农户家的冬桃迎来大丰收．据了解，冬桃成本为20元/千克，若每千克售价30元，一周可以售出300千克，并且销售单价每上涨1元，销售量就减少5千克． (1)如果每千克涨价x元，那么周销售量为 千克；涨价后每千克的利润为 元．（用含x的式子表示） (2)在保证薄利多销的前提下，要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式：（1）根据题意列出代数式即可；（2）找准等量关系，列出一元二次方程，即可求解；解题关键是明确题意，找准等量关系列出一元二次方程． 【详解】（1）解：如果每千克涨价x元， 则周销售量为千克， 涨价后每千克的利润为：元， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：或， ∵在保证薄利多销的前提下， ∴， 则售价为：（元）， 答：要使周销售利润达到5000元，销售单价应定为40元． 9．(24-25九上·甘肃省兰州市第十一中学教育集团·期中) “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． (1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； (2)某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【详解】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 10．(24-25九上·甘肃省平凉市第七中学·期中)一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶元的价格购进一批头盔，售价为每顶元时，每月可售出顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月可多售出顶． (1)如果经过降价后，每顶头盔售价为元，那么每月可以多售出多少顶头盔？ (2)要使该商店每月获得的利润为元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【答案】(1)每月可以多售出顶头盔； (2)每顶头盔的售价为元时，该商店每月获得的利润为元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用及列代数式，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售数量与售价的关系列代数式即可； （2）设每顶头盔的售价为元，根据商店每月获得的利润为元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵商店以每顶元的价格购进一批头盔，售价为每顶元时，每月可售出顶，每降价元，每月可多售出顶． ∴每顶头盔售价为元，那么每月可以多售出顶头盔； （2）解：设每顶头盔的售价为元，则， 整理得：， 解得：， ∴每顶头盔的售价为元时，该商店每月获得的利润为元． 11．(24-25九上·甘肃兰州教育局第四片区·期中)兰州“润兰之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降2元，每日销售量就增加4个． (1)若售价下降3元，每日能售出 个台灯，若售价下降元（），每日能售出 个台灯． (2)为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价． (3)日获利能否达到2000元，说明理由． 【答案】(1)26， (2)60元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据“当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降2元，每日销售量就增加4个”列出代数式，即可解答； （2）设每个台灯的售价为元．根据每个台灯的利润销售数量总利润列出方程并解答； （3）设每个台灯的售价为元．根据每个台灯的利润销售数量总利润列出方程并解答； 【详解】（1）解：售价下降3元，每日能售出台灯个， 则售价下降元，每日能售出台灯个， 故答案为：；； （2）解：设每个台灯售价y元 可得 即， ， 每台台灯盈利不少于25元， ， 所以每个台灯售价60元； （3）解：设每个台灯售价y元 ， ， ， 该方程无解，即日获利达不到2000元． 12．(24-25九上·甘肃省兰州市第八十一中学·期中)2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，     根据题意得：，     解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，     根据题意得：，     整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 13．(24-25九上·甘肃天水武山县百泉初级中学·期中)小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 【答案】(1)降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 【分析】本题考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用. （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 14．(24-25九上·甘肃省兰州市第十九中学·期中)水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； (2)销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】(1) (2)张阿姨需将每斤的售价降低1元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式：销售量原来销售量下降销售量，即可解答； （2）设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再结合题意“每天至少售出360斤”，即可得出结论． 【详解】（1）解：将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤； 故答案为：． （2）设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， 当时，每天的销售量是斤，符合题意； 当时，每天的销售量是斤，不符合题意，舍去； ． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 15．(24-25九上·甘肃酒泉第二中学·期中)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场在销售中发现：“弗里热”纪念品的进价为每件25元． 当纪念品售价为每件40元时，每月销售量达到400件． 若纪念品售价每降价1元，销售量就会增加5件． (1)若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品 件（用含x的代数式表示）． (2)求当纪念品每降价多少元时，商场可以获利4250元？ 【答案】(1) (2)当商品降价5元时，商场可以获利4250元 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用等知识点，正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）由题意可得：商场可以获利，再根据商场可以获利4250元列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：若每件纪念品降价x元时，则平均每月销售这种纪念品件． 故答案为：． （2）解：商场可以获利， 当商场可以获利4250元时，则：， 整理得：，解得：或（不合题意舍弃）． 答：当商品降价5元时，商场可以获利4250元． 16．(24-25九上·甘肃省张掖市甘州区张掖育才中学·期中)今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月的月平均增长率． (2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率； (2)当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可； （2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率； （2）解：设降价m元，商场月获利4250元， 根据题意，得 ， 解得，（舍去）， 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 17．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． (1)若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； (2)若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 【答案】(1)， (2)20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据销售单价每降低5元，每天可多销售100本即可求得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． ∴降价10元，平均每天可销售： 每天销售获利：， 故答案为：，； （2）解：设该书的销售单价为元， 依题意有： 化简得： ， 解得：， ∵， ∴； 答：该书的销售单价20元． 18．(24-25九上·甘肃省白银市景泰县第三中学·期中) “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为 (2)售价应降低3元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2017年及2019年“阳光玫瑰”的种植面积列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据总利润、每千克的利润、销售数量的关系列出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可． 【详解】（1）解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x， 依题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为． （2）解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 地 城 考点05 动态几何问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省白银市·期中)如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 二、填空题 2．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 三、解答题 3．(24-25九上·甘肃省天水市第五中学·期中)如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【答案】或时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 4．(24-25九上·甘肃省兰州市第十一中学教育集团·期中)如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．    (1)经过多长时间，的面积等于？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1)经过时，的面积等于； (2)不会，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用， （1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）解：点P的速度是，点Q的速度是，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，， ∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为， ∴，， ∴， 即， 解方程得，，（舍去）， ∴经过时，的面积等于； （2）解：在中，，，， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得， ， ∴. ∵， ∴关于a的一元二次方程无解， ∴不存在的面积会等于面积的一半． 5．(24-25九上·甘肃省白银市景泰县第三中学·期中)如图，在中，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示________； ________； (2)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1)，； (2)在点运动过程中，的值不可能为5．理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：在点运动过程中，的值不可能为5．理由： 由 可得， ∵， ∴方程无实数根， 故在点运动过程中，的值不可能为5． 6．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学·期中)如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，的面积等于？ (2)的面积可能等于吗？为什么？ 【答案】(1)2或4秒 (2)不可能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． （2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答． 【详解】（1）解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 解得，． 答：2或4秒钟后，的面积等于． （2）解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 整理，得 ， 因为， 所以该方程无解， 答：的面积不可能等于． 7．(24-25九上·甘肃天水清水县·期中)如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过多少秒？ 【答案】需要经过秒 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设经过，、之间的距离等于，先用含的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可； 【详解】解：设经过，、之间的距离等于， 由已知可得： ，， ， ， ， 解得：， (不合题意，舍去)， ， 答：需要经过秒； 8．(24-25九上·甘肃天水武山县百泉初级中学·期中)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 9．(24-25九上·甘肃兰州第五十六中·期中)如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 10．(24-25九上·甘肃省兰州市教育局第四片区·期中)如图，在四边形中， ，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)，x (2)1 (3)①2；② 【分析】（）根据题意即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解； （）由菱形的性质得，即，解方程即可求解； 由矩形的性质得，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴不合，舍去， ∴； （3）解：要使四边形是菱形，则， 即， ∴， 故答案为：； 要使四边形是矩形，则， 即， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 11．(24-25九上·甘肃省天水市育生中学·期中)如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $