专题05 实际问题与二次函数（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期人教版

专题05 实际问题与二次函数 4大高频考点概览 考点01 拱桥、投球、喷水问题 考点02 销售问题 考点03 图形问题 考点04 其它问题 地 城 考点01 拱桥、投球、喷水问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m． A．3 B．6 C．8 D．9 2．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·甘肃省定西市渭源县、临洮县·期中)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s． 6．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数解析式，“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为 ． 7．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是 米． 8．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是 米． 三、解答题 9．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 10．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校·期中)一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 11．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长． 12．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为．    (1)求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 13．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽路其他因素）？ (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方米处？ 14．(24-25九上·甘肃省天水市·期中)综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 地 城 考点02 销售问题 一、解答题 1．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？ 2．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以20元1个的购进一批“弗里热”纪念品，以30元/个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，每个价格每涨1元，就少卖10个．当售价定为多少时，商场获得最大利润？最大利润为多少？ 3．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植雪花梨获得大丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为5千元/吨时，每天可售出15吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本3千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于5千元，不高于7千元，请解答以下问题： (1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当批发价定为多少千元/吨时，每天所获利润最大？最大利润是多少千元？ 4．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件. (1)若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ (2)如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？ 5．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)某工厂现有台机器，每台机器平均每天生产件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为件，请你写出与之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 6．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围． (2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？ 7．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，该超市准备将这种商品涨价销售．经市场调查，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为元． (1)当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少元？ (2)当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？ 8．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本） (1)写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围） (2)当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 9．(24-25九上·甘肃省庆阳市·期中)中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出多少盒？（用含x的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？ 10．(24-25九上·甘肃定西安定区城区联考·期中)某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元． (1)求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）． (2)A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？ 11．(24-25九上·甘肃平凉广成学校·期中)响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现，销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系． (2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 12．(24-25九上·甘肃省定西市·期中)某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． (1)若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ (2)降价多少元时，平均每天盈利最大？ 13．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润总售价总成本研发费用）； 14．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量为y瓶，利润为w元． (1)写出每天销售量y与x之间的函数关系式． (2)若这款洗手液的日销售利润w达到300元，则销售单价应上涨多少元？ (3)当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利为多少元？ 16．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)中国元素遍布巴黎奥运会的每一个角落．某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自奥运会开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x（，且x为整数）天与该天销售量y（单位，件）之间满足的函数关系如下表所示．为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（单位：元）与第x（，且x为整数）天之间成一次函数关系且满足．已知该纪念品的成本价为20元/件． 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y/件 220 240 260 280 300 320 340 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)求这20天中，第几天的销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店决定从第10天开始，每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天的销售量y之间仍然满足原来的函数关系，问第几天的销售利润取得最大值？ 地 城 考点03 图形问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·甘肃省平凉市·期中)如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 6．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（    ） A．19 B．16 C．15 D．12 7．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（　　） ​​​​​​​ A． B． C． D． 8．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)已知点D与点，，，是一平行四边形的四个顶点，则的最小值是（    ） A．10 B． C． D．9 9．(24-25九上·甘肃省武威第八中学·期中)如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)如图，在矩形中，是边上的动点，连接，以为边向右上方作正方形，过点F作，垂足为H，连接．在整个变化过程中，面积的最大值是 ．    三、解答题 12．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 13．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 14．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)庆城中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成,已知墙长为米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米． (1)若苗圃园的面积为平方米,求的值; (2)求这个苗圃园的面积的最大值 15．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)如图，已知矩形 OABC 的顶点A、C分别在 x 轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C． （1）求点 A 的坐标； （2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围． 16．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 17．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围． (2)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 18．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x． (1)求y关于x的表达式及自变量x的取值范围． (2)求y的最小值． 19．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 地 城 考点04 其它问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是(      ) A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B．点火后24 s火箭落于地面 C．点火后10 s的升空高度为139 m D．火箭升空的最大高度为145 m 二、填空题 2．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝120t﹣2.5t2．在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是 m． 3．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)某汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是，则从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是 ． 4．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是，当着陆后滑行时间t为 秒时，无人机才能停下来． 5．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定的温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为 时，该种酶的活性最强． 二、解答题 6．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水，水面边缘点E的坐标为，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处为点A． (1)求入水点B的坐标； (2)若运动员在距水面高度5米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，该运动员此次跳水是否失误?请通过计算说明理由． 7．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．    (1)求池底所在抛物线的解析式； (2)若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，求水面下降的高度． $ 专题05 实际问题与二次函数 4大高频考点概览 考点01 拱桥、投球、喷水问题 考点02 销售问题 考点03 图形问题 考点04 其它问题 地 城 考点01 拱桥、投球、喷水问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m． A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出： ﹣2.5＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±3， ∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 2．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为，然后得出，，再代入进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设函数表达式为， ∵ 设点 ∵当水位上升5米时，则水面宽米 ∴ 把，分别代入 得出 解得 ∴函数表达式为， 故选：B． 3．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 【详解】解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 4．(24-25九上·甘肃省定西市渭源县、临洮县·期中)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题 5．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s． 【答案】2 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， 且-5＜0， ∴当t=2时，h取最大值20， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 6．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数解析式，“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为：，再将其化为顶点式，问题随之得解． 【详解】解：根据题意有： ， 解得：， ∴函数表达式为：， 将化为顶点式为：， 当时，函数有最大值，且为：， 即则“水火箭”升空的最大高度为， 故答案为：． 7．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是 米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，则， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ． 故答案为：20 8．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点落在轴上，桥洞底部左边端点落在轴上，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得抛物线的顶点的坐标为，点坐标为，设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把代入求出的值，进而即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，点坐标为， 设抛物线的函数解析式为，把代入得，， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 把代入得，， ∴桥洞离水面的高是米， 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 10．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校·期中)一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为； (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 11．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长． 【答案】（1）；（2）OD=1m． 【分析】（1）设（），将A（0，3）代入求解即可得出答案； （2）把代入（1）所求得的解析式中，解方程求出，即可得出OD的长． 【详解】（1）设（）， 把A（0，3）代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）①把代入， 化简得， 解得（舍去），， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解． 12．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为．    (1)求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【答案】(1) (2)球能越过球网；球会出界；理由见解析 【分析】本题是二次函数的应用，考查了求函数解析式，图象与x轴的交点坐标，求函数值等知识；把实际问题抽象为数学模型、求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意知，函数图象经过点及点，利用待定系数法即可求解； （2）求出当时的函数值，与球网高度比较即可判断球能否越过球网；求出时的自变量值，根据正自变量的值即可判断球是否出界． 【详解】（1）解：由题意知，，抛物线最高点坐标为， 由抛物线知，； 把A点坐标代入中，得， 解得：， ∴； （2）解：球能越过球网；球会出界； 理由如下： 当时，， 而， ∴球能越过球网； 令， 解得：（舍去）； ∵， ∴， ∴球会出界． 13．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽路其他因素）？ (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方米处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动2米射门 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入平移后的解析式中即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入到得， 解得：或（舍去） ∴当时他应该带球向正后方移动2米射门． 14．(24-25九上·甘肃省天水市·期中)综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 【答案】(1)①，洒水车喷出水的最大射程为；② (2) (3) 【分析】（1）①用待定系数法求出函数解析式，令，求出x的值即可； ②根据平移的特点求出点B的坐标即可； （2）根据点F的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可； （3）设点，，求出，求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：①由题意得：，， ∵是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∵平移后仍过点， ∴y2是由y1向左平移得到的， ∵，点B是由点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴点F的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为， ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， ∴的取值范围为； （3）解：设， 由（1）②可知， 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上， 设点，， 则有， 解得， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴h的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合． 地 城 考点02 销售问题 一、解答题 1．(24-25九上·甘肃平凉庄浪县·期中)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？ 【答案】当该T恤销售单价定为65元时，每周的销售利润最大． 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意可知卖出一件T恤的利润为元，由涨价后每涨1元每周少买出10件，可知现在卖出件，因此可由销售利润=每件利润×售出的件数，可得函数关系式，然后根据配方法求得最值． 【详解】解：设销售单价x（元），该T恤涨价后每周的销售利润y（元）， 由题意，得， 即， 配方，得． ∵， ∴当时，y有最大值元． 因此，当该T恤销售单价定为65元时，每周的销售利润最大． 2．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以20元1个的购进一批“弗里热”纪念品，以30元/个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，每个价格每涨1元，就少卖10个．当售价定为多少时，商场获得最大利润？最大利润为多少？ 【答案】将售价定为每个50元时，商场获得最大利润是9000元 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系列出函数解析式并配方是解题的关键．根据总利润=每个商品利润×销售量即可得二次函数关系式，并配方成顶点式即可得． 【详解】解：设售价应定为元，商场获得最大利润为元． 由题意可得：， ， 当时，取得最大值9000， 将售价定为每个50元时，商场获得最大利润是9000元． 3．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植雪花梨获得大丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为5千元/吨时，每天可售出15吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本3千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于5千元，不高于7千元，请解答以下问题： (1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当批发价定为多少千元/吨时，每天所获利润最大？最大利润是多少千元？ 【答案】(1)，； (2)批发价定为7千元/吨，最大利润是44千元． 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量批发价成本价，列出销售利润w（千元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式为， 自变量x的取值范围是； （2）解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得 ， ∵， ∴当时，w取最大值；时，w随x的增大而增大； ∴， ∴当时，w有最大值，最大值为44， ∴将批发价定为7千元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是44千元． 【点睛】本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 4．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件. (1)若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ (2)如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？ 【答案】(1)元 (2)每件衬衫降价元时，可使商场平均每天能获得最大盈利，最大利润为元 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，根据题意可列一元二次方程求解； （2）设商场平均每天获得的利润为元，可得出与的函数关系式，根据函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，由题意得： 解得： ∵要尽快减少库存 ∴ 答：若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价元 （2）解：设商场平均每天获得的利润为元， 则 ∵ ∴每件衬衫降价元时，可使商场平均每天能获得最大盈利，最大利润为元 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用．根据题意列出正确的方程和函数关系式是解题关键． 5．(24-25九上·甘肃平凉崆峒区平凉第七中学·期中)某工厂现有台机器，每台机器平均每天生产件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为件，请你写出与之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 【答案】(1) (2)增加台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是件 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式，利用配方法求最大值是解答本题的关键． （1）根据题意：生产总量每台机器平均每天生产的产品数机器数，列出关系式即可； （2）根据（1）列出的二次函数关系式，求出最大值即可． 【详解】（1）解：由增加台机器，且每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产件产品， 则每台机器平均每天生产件产品， 根据题意得：， 由， 解得：， 则； （2）解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值， 则增加台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是件． 6．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围． (2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元． 【分析】（1）根据价格每降低2元，平均每月多销售10箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式； （2）由利润=（售价−成本）×销售量−每月其他支出列出函数关系式，求出最大值. 【详解】解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）； （2）设每月销售水果的利润为w， 则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500 ＝﹣5x2+100x+1420 ＝﹣5（x﹣10）2+1920， 当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元， 答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价−成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键. 7．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，该超市准备将这种商品涨价销售．经市场调查，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为元． (1)当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少元？ (2)当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)75元或65元； (2)每件销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润为4000元． 【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出方程解方程即可． （2）根据题意列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， 即， 解得， 答：该商品的销售价是75元或65元； （2）设利润为w，由题意可知：， ∴， ∴每件销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润为4000元． 【点睛】本题考查的是二次函数和一元二次方程在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，求得一元二次方程和二次函数解析式． 8．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系，可以近似的看作一次函数．（利润售价制造成本） (1)写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（不必写出x的取值范围） (2)当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)25元或43元；34元，512万元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是读懂题意，根据题意列出函数关系式和方程并熟练掌握二次函数的性质． （1）根据利润销售量（销售单价成本），代入代数式求出函数关系式； （2）令利润，求出x的值；将函数解析式配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）解：由题意得， ； 故答案为：； （2）解：当时， ， 解得：． 答：当销售单价为25元或43元时，厂商每月获得的利润为350万元． ， 当销售单价定为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 9．(24-25九上·甘肃省庆阳市·期中)中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出多少盒？（用含x的代数式表示）； (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？ 【答案】(1) (2)166元 【分析】本题考查了二次函数的应用、列代数式． （1）根据每盒月饼降价1元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出利润的表达式，求最大值即可； 【详解】（1）解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒， ∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒； （2）解：设销售利润为y元，由题意可得： 降价前，单件利润为：元， 降价后，单件利润为元，每天能售出盒， 则： ， 整理得： 当时，元，此时售价为元， 答：当月饼每盒售价为166元时，每天的销售利润最大为3380元． 10．(24-25九上·甘肃定西安定区城区联考·期中)某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件，经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低2元，其日销量可增加16件，设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元． (1)求y与x之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量x的取值范围）． (2)A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大，最大利润为2592元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）商品每件降价元时单价为元，销售量为件，则每件商品的利润为元，再根据总利润等于每件商品的利润乘以销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，商品每件降价元时单价为元，销售量为件， 则 ， 即与之间的函数解析式是； （2）解：， ∵， 当时，取得最大值，此时， 销售单价为：（元），最大利润为2592元． 答：商品销售单价为98元时，通过商品所获的利润最大．最大利润为2592元． 11．(24-25九上·甘肃平凉广成学校·期中)响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现，销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系． (2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)30元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．理解题意，正确列出函数关系式是解题关键． （1）由题意可知销售单价x元时，涨价为元，从而得出少卖个，进而即可列出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系； （2）由题意得出每个利润为元，再乘以销售量y（个），即得出w与x的函数关系，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵，则， ∴， ∴每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系为：； （2）解：设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元）， 根据题意得： ． ∵， ∴当时，最大，且， 答：当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润． 12．(24-25九上·甘肃省定西市·期中)某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． (1)若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ (2)降价多少元时，平均每天盈利最大？ 【答案】(1)每件衬衫应降价元 (2)降价元时，平均每天盈利最大． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设每件衬衫降价元，根据题意得，求解后再根据扩大销售量确定，即可求解． （2）设商场平均每天盈利，根据题意可得，将其化为顶点式，即可得出结果． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元， 根据题意得， 解得， ∵根据题意要为扩大销售量， ∴在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，即， 答：若商场平均每天要盈利元．则每件衬衫应降价元． （2）解：设商场平均每天盈利， 根据题意可得：， 即：， ∴当时，取最大值，最大值为元． ∴降价元时，平均每天盈利最大． 13．(24-25九上·甘肃武威凉州片区·期中)某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润总售价总成本研发费用）； 【答案】(1) (2)100万元 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）设与之间的函数关系式是，将，代入得方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意得列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 将，代入得： ，解得， ∴； （2）解：根据题意得： ， ∵，抛物线开口向下，每件的销售价格不低于22元， ∴时，取最大值，最大值为100， 答：销售这种电子产品利润的最大值时100万元． 14．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】(1) (2)销售产品所获利润是万元； (3)当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 【详解】（1）解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； （3）解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量为y瓶，利润为w元． (1)写出每天销售量y与x之间的函数关系式． (2)若这款洗手液的日销售利润w达到300元，则销售单价应上涨多少元？ (3)当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润w最大，最大利为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应上涨2元或6元； (3)当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为320元． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、列代数式等知识点，正确列出一元二次方程和函数关系式成为解题的关键． （1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为瓶，据此即可解答； （2）利用这款洗手液的日销售利润等于每瓶洗手液的利润乘以每天的销售量，据此得出关于x的一元二次方程求解； （3）利用这款洗手液的日销售利润等于每瓶洗手液的利润列出每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值即可． 【详解】（1）解：设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据题意，每天的销售量为瓶，则每天销售量y与x之间的函数关系式为； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：销售单价应上涨2元或6元； （3）解：由题意得：， ∵， ∴当时，y最大，最大值为320． 答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为320元． 16．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)中国元素遍布巴黎奥运会的每一个角落．某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自奥运会开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x（，且x为整数）天与该天销售量y（单位，件）之间满足的函数关系如下表所示．为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（单位：元）与第x（，且x为整数）天之间成一次函数关系且满足．已知该纪念品的成本价为20元/件． 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y/件 220 240 260 280 300 320 340 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)求这20天中，第几天的销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店决定从第10天开始，每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天的销售量y之间仍然满足原来的函数关系，问第几天的销售利润取得最大值？ 【答案】(1)； (2)第5天利润最大，最大值为18000元； (3)第5天的销售利润取得最大值． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出二次函数和一次函数解析式，利用函数的性质求解． （1）根据表格信息，得出两个变量为一次函数，利用待定系数法求解即可； （2）列出关于利润的二次函数，利用二次函数的性质求最值即可； （3）分两种情况讨论，当时，同（2）当时，取得最大值，最大利润为：元；当时，列出二次函数，根据二次函数的性质得出第10天利润最大；两者相比较即可求解． 【详解】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得y是x的一次函数， 设，把代入可得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设总利润为w元，则 ； ∵， ∴当时，w取得最大值， 所以，第5天利润最大，最大利润为：（元）； （3）解：设第x天的销售利润为元， 当时，同（2）当时，取得最大值，最大利润为：元； 当时， ， ∴， ∵，所以抛物线开口向下，又， ∴， ∴当时，随x的增大而减小， 当时有最大值，最大值为， 而， 综上：第5天的销售利润取得最大值． 地 城 考点03 图形问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键． 【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为， 长方体的体积为， 根据题意得： ， 所以该纸筒的最大容积为， 故选：B． 2．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x． 则y关于x的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根据y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函数关系式，判断函数图象． 【详解】解：依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1， 即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=． 故答案选C ． 3．(24-25九上·甘肃省平凉市·期中)如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型． 4．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据点Q的位置分类讨论，分别表示出的面积，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】由题意得，点Q移动的路程为，点P移动的路程为x， ∵为等边三角形， ∴， ①当点Q在线段上时，过点Q作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选项A、B排除； ②当点Q在线段上时，过点Q作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故选项C排除； 故选：D． 5．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是动点问题的函数图像，根据题意可得：，，，再由，可得出，运用二次函数的图像和性质即可判断答案．解题的关键是以动点问题为背景，研究三角形面积的变化，利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒（当点与点或点重合时，规定）， ∴，，， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系的图像为抛物线， ∵， ∴当时，． 故选：D． 6．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（    ） A．19 B．16 C．15 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出 是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得 ，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故选：C． 7．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（　　） ​​​​​​​ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为直角三角形，运用勾股定理列出与之间的函数关系式即可判断． 【详解】解：如图，连接， 设，， 则， ， ； 为直角三角形， ， 即， 解得， 根据函数关系式可看出中的函数图象与之对应． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是函数的关系式，矩形的性质，动点函数的图象，勾股定理的有关知识，由于直角边始终经过点，为直角三角形，运用勾股定理列出与之间的函数关系式即可． 8．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)已知点D与点，，，是一平行四边形的四个顶点，则的最小值是（    ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质求解，坐标与图形，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的判定与性质，根据题意可以分析出当为平行四边形的一条边，以及为对角线两种情况，分别作出图形利用平行四边形性质进行分析求解即可． 【详解】解：有两种情况，    如图，当为平行四边形的一条边时，，， ， ， 如图，当为平行四边行的对角线时，过点作轴，过点D作轴，过点B作，   ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 当时，有最小值， ， 的最小值为10 故选：A． 9．(24-25九上·甘肃省武威第八中学·期中)如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、填空题 10．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出 是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得 ，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)如图，在矩形中，是边上的动点，连接，以为边向右上方作正方形，过点F作，垂足为H，连接．在整个变化过程中，面积的最大值是 ．    【答案】2 【分析】证明，则，设，则，则，然后求最值即可． 【详解】解：∵矩形，正方形， ∴， ，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，其值为2． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 三、解答题 12．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为 ； （2）解： ， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 13．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ (2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米． (2)150 【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：AB的长为8厘米或12厘米． （2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值，即为； 故答案为：150． 【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． 14．(24-25九上·甘肃省陇南市康县·期中)庆城中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成,已知墙长为米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米． (1)若苗圃园的面积为平方米,求的值; (2)求这个苗圃园的面积的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用,矩形面积公式,解一元二次方程． (1)根据题意用含的代数式表示出苗圃园的长,再利用矩形面积公式列出方程,正确计算即可得到本题答案; (2)根据题意列出苗圃园面积的方程,利用二次函数求最值方法判断最值并求出即为本题答案． 【详解】（1）解:设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米, ∵其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成, ∴苗圃园的长为米, ∵苗圃园的面积为平方米, ∴,解得:, ∵墙长为米, ∴,即, ∴； （2）解:设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米,面积为平方米, ∵其中一边靠墙,另外三边用长为米的篱笆围成, ∴苗圃园的长为米, ∴, ∵,开口向下, ∴面积有最大值,当时,面积有最大值为(平方米), 答:这个苗圃园的面积的最大值为平方米． 15．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)如图，已知矩形 OABC 的顶点A、C分别在 x 轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C． （1）求点 A 的坐标； （2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）当时，求出点C的坐标，根据四边形为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可； （2）先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出． 【详解】解：（1）当时，函数的值为-2， ∴点的坐标为 ∵四边形为矩形， 解方程，得． ∴点的坐标为． ∴点的坐标为． （2）解方程，得． 由图象可知，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的图象与性质． 16．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 【答案】（1），；（2）AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【分析】（1）先用x表示出BC，再根据矩形的面积公式求解关系式，根据限制条件AB＜AD列出不等式求解即可； （2）利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， ∴CD=AB=x（米），AD=BC， ∵矩形除AD边外的三边总长为36米， ∴（米）． ∴． 由题意，， ∴ 即自变量的取值范围是； （2）， ∵－2＜0，且对称轴在的范围内 ， ∴ 当时，S取最大值． 即AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及求二次函数的表达式、求二次函数的最值、解一元一次不等式，理解题意，正确求得二次函数的表达式是解答的关键． 17．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围． (2)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当为时，小花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围； （2）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解． 解题的关键是明确题意，列出函数解析式． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴花园的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为： ； （2）∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200． 答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是． 18．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x． (1)求y关于x的表达式及自变量x的取值范围． (2)求y的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关雄． （1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系； （2）通过对函数配方，结合自变量取值范围取得最值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴ ∵边长为x， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 在范围内．当时，函数有最小值，为 19．(24-25九上·甘肃省平凉市广成学校·期中)阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 【答案】(1)5；2000 (2)， (3)函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等 【分析】本题考查数形结合以及正方体面积，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据题意先得出底面边长，再解答即可； （3）根据题意结合数学观点解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得：当时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为； （2）解：剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，纸箱底为正方形， ，； （3）解：根据题意可得：函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等． 地 城 考点04 其它问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是(      ) A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B．点火后24 s火箭落于地面 C．点火后10 s的升空高度为139 m D．火箭升空的最大高度为145 m 【答案】D 【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项． 【详解】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误； B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误； C、当t=10时h=141m，此选项错误； D、由h=－t2+24t+1=－（t－12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 二、填空题 2．(24-25九上·甘肃省金昌市·期中)飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝120t﹣2.5t2．在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是 m． 【答案】 【分析】先将解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求出飞机滑行24s停止，此时滑行距离为1440m，即可求得 【详解】 y＝120t﹣2.5t2 飞机滑行24s停止 在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是1440m． 故答案为：1440 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求得飞机从开始滑行到停止所用的时间是解题的关键． 3．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)某汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是，则从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是 ． 【答案】3秒/ 【分析】本题考查了二次函数的顶点式． 将解析式化为顶点式，得出当时，S有最大值27，即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴当时，S有最大值27， ∴从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是3秒． 故答案为：3秒． 4．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是，当着陆后滑行时间t为 秒时，无人机才能停下来． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握运用配方法得到顶点式是解题关键． 飞机停下时也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值． 【详解】解：由题意得， ， 所以当秒时，飞机才能停下来． 故答案为：20． 5．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定的温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为 时，该种酶的活性最强． 【答案】14 【分析】本题考查了二次函数图象的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．将化为顶点式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：． 二、解答题 6．(24-25九上·甘肃省陇南市礼县·期中)如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水，水面边缘点E的坐标为，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处为点A． (1)求入水点B的坐标； (2)若运动员在距水面高度5米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，该运动员此次跳水是否失误?请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)失误，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）根据二次函数的对称性求解，即可解题； （2）根据运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，求出其横坐标，进而得到其在点处，再根据题意判断，即可解题． 【详解】（1）解：运动员在空中最高处为点，即对称轴为直线， 又水面边缘点E的坐标为， 由对称性可知，入水点B的坐标为； （2）解：运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米， ，即在点处， 运动员距水面高度米， 故此次跳水失误． 7．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．    (1)求池底所在抛物线的解析式； (2)若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，求水面下降的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由图象可得抛物线的顶点坐标为，设池底所在抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）分别求出和时的函数值，再相减即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，抛物线的顶点坐标为， ∴可设池底所在抛物线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴池底所在抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ∴水面下降的高度为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $