专题07 典型题专练（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期人教版

专题07 典型题专练 5大高频考点概览 考点01 找规律问题 考点02 最值问题 考点03 多结论判断问题 考点04 与旋转有关的探究题 考点05 二次函数压轴题 地 城 考点01 找规律问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点的坐标规律变换，勾股定理，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，每偶数之间的相差个单位长度，根据这个规律即可求得的坐标，通过图形旋转，找到点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴的横坐标为，且， ∴的横坐标为，且， ， ∴点的横坐标为，且， ∴点的坐标为， 故选：D． 二、填空题 2．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，第（211）个三角形的直角顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，勾股定理，先根据图中是已知图形中三角形的三个顶点的坐标，总结规律，得出第（211）个三角形的直角顶点的坐标即可． 【详解】解：∵点，， ∴，， ， ∴第（3）个三角形的直角顶点的坐标是； ∵余1， ∴第（211）个三角形是第71组的第一个直角三角形， 其直角顶点与第70组的最后一个直角三角形顶点重合， ∵， ∴第（211）个三角形的直角顶点的坐标是． 故答案为：． 3．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，是一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ， 将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，…， ∴每4次循环一周，， ∵， ∴点与B同在一个象限内， ∴点的坐标为． 故答案为：． 4．(24-25九上·甘肃省兰州市第五十六中·期中)如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形 ，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形 ，那么点的坐标是 . 【答案】 【分析】本题考查了正方形和旋转的性质，图形的坐标变化规律，由正方形的性质可得点的坐标为，再根据旋转的性质可得，据此可得每旋转八次，点的对应点循环出现一次，即可求解，由旋转的性质得到图形的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为， ∴点的坐标为， ∵， ∴每旋转八次，点的对应点循环出现一次， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∴点的坐标为， 故答案为：． 5．(24-25九上·甘肃平凉广成学校·期中)如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象旋转，总结归纳出据图象的旋转后解析式规律是解题的关键． 根据图象的旋转变化规律总结归纳出旋转后的解析式为，进而求出抛物线的解析式，再把代入，求出n的值即可． 【详解】解：∵一段抛物线与轴交于点， ∴图象与轴交点坐标为：， ∵将，绕点旋转得，交轴于点， ∴； ∴的解析式为， ∵将绕点旋转得，交轴于点； ∴； ∴的解析式为， ∴的解析式为， ∴的解析式为， 当时，． 故答案为：． 6．(24-25九上·甘肃武威凉州区武威五中联片教研·期中)如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 7．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向作无滑动的连续反转，点P依次落在点、、…的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键．根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可． 【详解】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是 依此类推下去，、的横坐标是2023，纵坐标是0， 的坐标是， 故答案为：． 8．(24-25九上·甘肃天水第五中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B4的坐标为 ，点B2017的坐标为 ． 【答案】 （20，4） （10086，0） 【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，B2016的横坐标为：×10=10080． ∵B2C2=B4C4=OB=4，∴点B4的坐标为（20，4），∴B2017的横坐标为10080++=10086，纵坐标为0，∴点B2017的坐标为：（10086，0）． 故答案为（20，4）、（10086，0）． 【点睛】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题的关键． 9．(24-25九上·甘肃金昌·期中)如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为 ． 【答案】（36，0） 【详解】根据勾股定理得AB=.根据旋转的规律可得：（1）图①、③④、⑥⑦、⑨⑩中的直角顶点在x轴上；（2）△AOB的旋转三次完成一个循环，所以第九次完成后，直角三角形完成了3个循环，每个循环中，直角三角形向前移动12个单位长度.所以图⑨中的直角顶点的坐标为（36,0）.又因为图⑩中的直角顶点与图⑨中的直角顶点是同一个，所以图⑩的直角顶点的坐标为（36,0） 三、解答题 10．(24-25九上·甘肃省兰州市第十九中学·期中)实验与探究： 三角点阵前n行的点数计算 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点… 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？ 如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系 前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现． 2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n] =[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1] 把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到 1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1） 这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1） 下列用一元二次方程解决上述问题 设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1） 整理这个方程，得：n2+n﹣600=0 解方程得：n1=24，n2=25 根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300． 请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】（1）600；（2）24． 【详解】试题分析：（1）由题意，列出方程n（n+1）=600，解方程得到n的值即可． （2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）= n（n+1），根据规律可得n（n+1）=600，求n的值即可． 试题解析：解：（1）由题意可得：n（n+1）=600， 整理得n2+n﹣1200=0， 此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数的和不可能是600． （2）由题意可得：2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×n（n+1）= n（n+1）， 依题意，得n（n+1）=600， 整理得n2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0， ∴n1=﹣25，n2=24． ∵n为正整数，∴n=24． ∴n的值是24． 考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．阅读理解型问题；3．一元二次方程的应用． 地 城 考点02 最值问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)二次函数的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的最值，把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 【详解】二次函数可化为：，且开口向上， 二次函数的最小值为． 故选：D． 2．(24-25九上·甘肃陇南康县·期中)在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数) 的图象经过，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是（   ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】C 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用公式法求出二次函数最值．此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 【详解】解：∵二次函数 (m为常数) 的图象经过， ∴ 解得：，， 二次函数的对称轴在轴左侧， ∴ ， ， 把代入， ， 二次函数有最小值为：． 故选：C． 3．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（   ） A．图象与坐标轴的交点为和 B．图象的对称轴是直线 C．当和时，函数值y随x的增大而增大 D．函数的最小值是0，最大值是4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．求得函数与坐标轴的交点坐标，可判断选项A；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，可判断选项B；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，可判断选项C；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为，不存在最大值；据此可得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，，解得或； ∴图象与坐标轴的交点为和， ∴选项A是正确的，不符合题意； 从图象可知图象具有对称性，对称轴是直线， ∴选项B是正确的，不符合题意； 根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大， ∴选项C是正确的，不符合题意； 根据函数的图象发现，函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，最小值为， 不存在最大值， ∴选项D是错误的，符合题意； 故选：D． 二、填空题 4．(24-25九上·甘肃酒泉第二中学·期中)代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 5．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)在二次函数中，当时，设的最大值为，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴是水平距离越近函数值越小，进而可知当时，函数取最小值，当时，函数取最大值，分别求出最小值和最大值即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴是水平距离越近函数值越小， ∵， ∴当时，函数取最小值，最小值；当时，函数取最大值，最大值， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出 是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得 ，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 7．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的性质．当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值． 【详解】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为， 此时点横坐标为，则， 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且，故，， 由于此时点横坐标最大， 故点的横坐标最大值为． 故答案为：． 8．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)如图，在矩形中，是边上的动点，连接，以为边向右上方作正方形，过点F作，垂足为H，连接．在整个变化过程中，面积的最大值是 ．    【答案】2 【分析】证明，则，设，则，则，然后求最值即可． 【详解】解：∵矩形，正方形， ∴， ，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，其值为2． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 9．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．利用证明，得，再说明，得，，求出的长，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于， 由旋转可得：，，， ，， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为2， 故答案为：2． 三、解答题 10．(24-25九上·甘肃白银·期中)阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ， ， 代数式的最小值为； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值； 【拓展提高】（2）求的最大值． 【答案】（1）3；（2）5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据二次项与一次项的特点凑成完全平方式，利用平方数的非负性是解题的关键； （1）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最小值； （2）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最大值． 【详解】解：（1） ； ∵， ∴， ∴的最小值为3； （2） ； ∵， ∴， ∴的最大值为5． 11．(24-25九上·甘肃陇南礼县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，过点作交于点，连接．设运动时间为秒，解答下列问题： (1)记的面积为，求与的函数解析式； (2)当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少? 【答案】(1)； (2)当时，的面积有最大值，最大值为． 【分析】（）由四边形是矩形得，，则点的坐标为，求出直线的函数解析式为，然后利用面积公式即可求解； （）把函数关系式配成顶点式即可求解； 此题考查了矩形的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 延长交轴于点， ∴由图可得，点的横坐标，， ∴，点， ∴， ∴ ， （2）解：由（）得：， 当时，的面积有最大值，最大值为． 12．(24-25九上·甘肃省张掖市第四中学·期中)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 13．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE． （1）求△ADE的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE的长度． 【答案】（1）6+；（2）3﹣或3+ 【分析】（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论； （2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3 ∴AB=AC=6， ∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD， ∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE， ∴当DE最小时，△ADE的周长最小， 过点C作CF⊥AB于点F， 当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3， ∴△ADE的周长的最小值是6+3； （2）当点D在CF的右侧， ∵CF=AB=3，CD=4， ∴DF=， ∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣； 当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+， 综上所述：AE的长度为3﹣或3+． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，直接写出周长的最小值为 　   　； (3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点G的坐标； 【答案】(1)； (2)； (3)面积的最大值为，此时 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，由轴对称的性质得出，此时取得最小值，再由勾股定理求解即可； （3）设，，过点G作轴，交于点F，设直线BC的解析式为，利用待定系数法得出，确定，，结合图形得出三角形面积的二次函数，由函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 如图所示：连接交对称轴于点H， ∵、两点关于对称， ∴， ∴，此时取得最小值， ∵， 在中， ， 在中， ， ∴周长的最小值为：， 故答案为：； （3）如图2所示：设， 过点G作轴，交于点F， 设直线BC的解析式为， ∵， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，，面积的最大值为，此时． 【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 15．(24-25九上·甘肃省天水市清水县·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）50 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件及配方法，熟练掌握二次根式有意义的条件及配方法是解题的关键； （1）根据配方法可直接进行求解； （2）根据二次根式有意义的条件结合配方法可进行求解； （3）利用割补法可把四边形的面积表示出来，然后利用配方法可进行求解 【详解】解：（1） ， ∵ ∴， 即的最小值为1； （2）由题意得： ∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为：50． 16．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)如图，抛物线与直线AB交于点A（-1，0），B（4，）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标； 【答案】（1）；（2）S=；点C（） 【详解】（1）由题意得 . 解得： , ∴ ; （2）设直线AB为：，则有 ,解得 , ∴ , 则：， ． ． ∵, ∴当时，S有最大值．, 当时，． ∴点 ． 考点：抛物线的综合运用 17．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，． (1)求该抛物线表达式． (2)若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由． (3)记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)； 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，灵活掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据抛物线的对称轴方程可求出，再把代入，可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）分别把，代入得，，将化简得，求出，代入，求出或，取舍后得，再求出，，进行比较即可； （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，由点在上得，求得，由得，配方后可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． 把点代入，得． ∴抛物线表达式为． （2）解：∵点，均在抛物线上， ∴，， ， 又， ∴， 解得，或． ， ， ． （3）解：设直线表达式为， 把，代入，得： ， 解得，， 所以，直线表达式为， 点C在边上运动， ∴设． ∵点C在直线上， ，化简，得， ． 即． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，． 地 城 考点03 多结论判断问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省张掖市·期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可． 【详解】解∶∵对称轴 ∴，2a+b=0；故②正确； ∴a、b异号， ∴ab＜0，故①正确； ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误； 根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c， 所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确． 如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 2．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口方向和，与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， 那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，不一定成立，故④错误， ∴正确的有②③， 故选：C． 3．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市·期中)二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①抛物线与轴有2个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， ，所以③正确； ④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故④错误； ⑤二次函数的图象过，， 方程的解是，，故⑤正确． 故选：C． 4．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，其中正确结论是（ ） A．②④ B．①④ C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】根据抛物线与x轴的交点情况判断①，根据对称轴判断②，根据抛物线的对称性判断③、④． 【详解】∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确 由图象可知：对称轴， ∴，故②错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0，由图象可知：当x=1时y=0，∴，故③错误； 由图象可知：当x=﹣1时y＞0， ∴点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，故④正确．故选B． 5．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3，其中结论正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据题意，得时，；结合二次函数对称轴的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得和的值；根据求解一元二次方程，即可得到抛物线与轴的交点，再根据二次函数图像的性质分析，即可完成求解． 【详解】根据题意，时， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1 ∴，即 ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0） ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴4ac＜b2成立， ∴①正确； ∵ ∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3， ∴②正确； ∵ ∴③不正确； ∵方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，且 ∴当y＞0时，x的取值范围是 ∴④不正确； ∴结论正确的个数是2个 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次方程、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、一元二次方程的性质，从而完成求解． 6．(24-25九上·甘肃省天水市秦安县·期中)如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系： ①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与轴交点位置求得、、的符号即可判断； ②根据二次函数的对称性即可判断； ③求得点关于直线的对称点的坐标，根据二次函数的性质即可判断； 熟知二次函数的性质是关键． 【详解】解：①二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象交轴的正半轴于一点， ， 对称轴是直线， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 是关于的方程的一个根，故②正确； ③点关于直线的对称点的坐标是，， 又当时，随的增大而减小，， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③共3个． 故选：． 7．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤当时，y有最大值；⑥一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③⑤⑥ D．③④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．①根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；②根据时的函数值即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④根据，可作判断；⑤根据抛物线开口方向和对称轴可作判断；⑥根据抛物线与轴的交点即可判断． 【详解】解：①图象开口向上，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故①错误； ②二次函数的图象过， ， ，故②错误； 对称轴， ， ，故③正确； ④，， ， ∴，故④错误； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值，故⑤正确； ⑥二次函数的图象过，， 一元二次方程的解是，，故⑥正确． 故选：C． 8．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组·期中)抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，由即可得出，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①错误； ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵若， ∴， ∴时的函数值小于时的函数值， ∵横坐标是的点的对称点的横坐标为， ∴时的函数值等于时的函数值， ∴时的函数值小于时的函数值， 故③错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线经过点， ∴，即， ∴， ∴， ∵点的对称点是， ∴点一定在此抛物线上，故④正确． 故选：C． 9．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴交点个数判断即可． 【详解】解：①由图可知，图象开口向上，得；当时，；进而推断出，那么①错误，不符合题意． ②由图可知，二次函数与轴有两个交点，故，那么②正确，符合题意． ③由图可知，当时，，那么③错误，不符合题意． ④由图可知，对称轴，结合得，那么④正确，符合题意． 综上：正确的有②④，共2个． 故选：C． 10．(24-25九上·甘肃陇南康县·期中)二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数有最大值，可判断开口向下，故①正确；根据二次函数的对称轴公式可求得，即可判断②；根据二次函数的对称性结合其对称轴可求出该二次函数还经过点，即可判断③；由两点坐标可判断其关于直线对称，结合二次函数的对称性即可得出，可判断④． 【详解】解：∵该二次函数有最大值， ∴开口向下，故①正确； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴该二次函数还经过点， ∴关于x的方程的另一个根是，故③正确； ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴，故④正确． 综上可知，正确的个数有3个． 故选C． 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)如图所示，抛物线与x轴的两个交点坐标分别是，下列说法中正确的有（   ） ；；；（4）当时． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据过点，可判断（1）正确；由图知时，，即可判断（2）错误；根据抛物线的对称轴为，可得，观察图像可得，进而可判断（3）正确；观察图像可判断（4）正确． 本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质和数形结合的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵过点， ∴， 故（1）正确； 由图知时，， ∴， 故（2）错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， 由图知， ∴， 故（3）正确； 由图知当时， 故（4）正确． 综上，正确的说法有3个， 故选：C． 12．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断①④，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由时取最大值可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，④正确， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 时，， ，②错误． 抛物线对称轴为直线，时， 时，，③正确． 时取最大值， ，即，⑤正确． 故选：C． 13．(24-25九上·甘肃陇南礼县·期中)如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴是直线， ， 二次函数与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； 对称轴是直线， ， 整理得， 故②正确； 由图知，二次函数的图象与轴交于，两点， 当时，， 故③错误； 二次函数在时取得最大值为， （常数）， ， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：B． 14．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； 由图象可知，当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上可知，当时，因而，故该结论正确；由抛物线与轴有两个交点可知，一元二次方程有两个不相等的实数根，因而可得，即，故该结论错误；由与是关于对称轴的对称点可知，与时的函数值相等，而时，因而时，故该结论错误；由抛物线对称轴为直线可得，而时，即，故该结论正确；当时，取得其最小值，而当时，因而可得，即， 故该结论正确；综上，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 当时，， ， ， 故结论正确； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故结论错误； 与是关于对称轴的对称点， 由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等， 当时，， 当时，， 故结论错误； 抛物线对称轴为直线， ， 当时，， 即： ， 故结论正确； 当时，取得其最小值，此时， 而当时，， ， 整理，得：， 故结论正确； 综上，正确的结论有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，求函数值，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式，轴对称的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及其与一元二次方程的关系是解题的关键． 二、填空题 16．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有 ．（只填序号）    【答案】①②③⑤ 【分析】根据图象可判断①②③④⑤，由x=1时，y＜0，可判断⑥． 【详解】由图象可得，a＞0，c＜0，b＜0，△=b2﹣4ac＞0，对称轴为x=， ∴abc＞0，4ac＜b2，当时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确， ∵， ∴2a+b＞0， 故③正确， 由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误， 当x=1时，y=a+b+c＜0，故⑥错误． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 17．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等．根据二次函数开口向上，与y轴交于正半轴，得到，根据对称轴为，得到，即即可判断①②；当时，即可判断③；根据当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确； ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ∵当时，，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 18．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的序号有 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据点和点坐标即可得到对称轴，得到抛物线的对称轴为直线；再根据开口方向以及对称轴得到，，即可判断①错误；由函数图像可知，当时，抛物线的函数图像在轴上方，即可判断③；根据开口方向以及对称轴，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， 抛物线与x轴交于点和点， 抛物线对称轴为直线，故②正确； ， 故，故①错误； 由函数图像可知，当时，抛物线的函数图像在轴上方， 故当时，，故③正确； 抛物线对称轴为直线且开口向下， 故当时，y随x的增大而减小，故④错误； 故答案为：②③． 19．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)二次函数的图象如图所示，下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①；②；③方程的两个根是，；④． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①由抛物线开口向上，可得出，由抛物线与x轴交点知对称轴为，即，根据抛物线与y轴的交点在轴下方，可得，可判断结论①正确；②由抛物线与x轴的交点求得对称轴，得到，当时，，代入得，由，可得，结论②正确； ③根据抛物线与x轴的交点，可得结论③正确；④把代入，整理得到，即可得出，结论④正确． 【详解】∵由图象可知，抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴相交于y轴的负半轴， ∴， ∵抛物线与轴交于，， ∴抛物线的对称轴直线， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 当时， ， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵二次函数与轴交于，， ∴当， 即方程， ∴该方程的两个根式，故③正确； ∵时， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 20．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法得到，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与轴两个交点可以判断出②正确，根据，，，，可以得到，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得： ， 解得， ，故③正确； 抛物线开口方向向下， ， ，， ，故①错误； 抛物线与轴两个交点， 当时，方程有两个不相等的实数根， ，故②正确； ，， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 地 城 考点04 与旋转有关的探究题 一、解答题 1．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为． （1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长； （2）如图②，连接BD，若，求证：． 【答案】（1）10；（2）见解析 【分析】（1）根据，，则，由旋转的性质得，然后在中利用勾股定理求解即可； （2）由（1）知，，由旋转的性质得，则是等边三角形，得到，则，． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵， ∴． ∵是旋转得到的， ∴在中，根据勾股定理得． （2）由（1）知，，由旋转的性质得， ∴是等边三角形． ∴． 又， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 2．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），理由见解析． 【分析】（1）利用SAS证明即可； （2）先证,再利用勾股定理求解； （3）先证,再利用等边三角形的判定性质证明即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：如图2中，设交于点J． 由（1）知，， ， ∵EF是绕点E逆时针旋转得到， ∴， 在中，； （3）解：结论：． 理由：如图3中， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 是绕点E逆时针旋转得到的， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，图形的旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确理解图形的相关性质是解本题的关键． 3．(24-25九上·甘肃省 定西市安定区城区联考·期中)（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，把△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG，请直接写出图中所有的全等三角形； （2）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°. ①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，求证：EF=BE+DF； ②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF=∠BAD，①中的结论是否仍然成立？请说明理由 【答案】（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG；（2）①证明见解析；②不成立；理由见解析； 【分析】（1）由旋转的性质易得△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG； （2）①如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，易证△ADF≌△ABG，故∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG，由2∠EAF=∠BAD得∠EAF=∠EAG，从而得△AEF≌△AEG，易得证； ②不成立.如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABH，可证得△AEF≌△AEH，从而得出EF=BE-DF. 【详解】（1）△ADF≌△ABG、△AEF≌△AEG； （2）①如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABG， ∵AB=AD,∠ABC=∠D=， ∴∠ABC+∠ABG=即∠GBC=， 易得△ADF≌△ABG， ∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，DF=BG， ∵2∠EAF=∠BAD， ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=∠EAG， ∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEG， ∴EF=EG=BE+BG=BE+DF， 即EF=BE+DF. ②不成立 理由如下：如图，将△ADF绕着点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得△ABH， ∵AB=AD,∠B=∠ADC=∠ADF= ∴点H在BC上,易得AF=AH,BH=DF,∠1=∠2 ∴∠EAF=∠EAD+∠1=∠EAD+∠2, ∵2∠EAF=∠BAD=∠EAD+∠2+∠EAH， ∴∠EAF=∠EAH， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEH， ∴EF=EH=BE-BH=BE-DF,即EF=BE-DF， ∴①中的结论不成立. 【点睛】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键． 4．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 5．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)在同一平面内，和按如图1所示的方式放置，其中．将绕着边的中点旋转得到，将绕着边的中点旋转得到，如图2，请解决下列问题： (1)试猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (2)连接，，如图3，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，平行四边形的判定和菱形的判定与性质． （1）根旋转的性质得，，由于，所以，则可根据菱形的判定方法得到四边形是菱形； （2）由于四边形是菱形，则，且，再根据旋转的性质易得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得，且，所以，，所以可判断四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： 绕着边的中点旋转得到， ，． ∴四边形是平行四边形， 又， ． 四边形是菱形； （2）证明：四边形是菱形， ，且． 绕着边的中点旋转得到， ，． 四边形为平行四边形． ，且． ，， 四边形是平行四边形． 6．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)（1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______； （2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明． 【答案】（1）（2），证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，证明，得到，8字形图，得到，即可得出结果； （2）同法（1）即可得出结果． 【详解】解：（1）∵等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴； （2），证明如下： ∵等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴； 7．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)在正方形中，E是边上一点． (1)将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______． (2)如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； (3)在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到； （2）将绕点A顺时针旋转得到，证明，得到即可证明结论； （3）将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．根据题意证明，得到为直角三角形，根据勾股定理以及等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转得到，使重合， 故答案为：，． （2）解：．证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转得到，则． ， ， 点E，B，P共线． 由旋转的性质，知． ， ， ． 在和中， ， ， ， ． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接． 四边形为正方形， ． 由旋转的性质，得． ， ， ． 在和中， ， ． ， 为直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理． 8．(24-25九上·甘肃省陇南市武都区·期中)如图1，在等腰中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明： 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形，见解析 (3) 【分析】（1）由题可知、均是中位线，由，根据，，，得到，继而得到，结合平行线的性质，得到即可． （2）先证，转化成（1）证明即可. （3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值，根据点A是定点，是定长，判定点D在以A圆心，以4为半径的圆上，根据直径是最大的弦，确定点B，A，D三点共线时，有最大值，且为14，计算的最大值即可. 【详解】（1）∵点M、P、N分别为、、的中点， ∴、均是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，, 故答案：；． （2）是等腰直角三角形，理由如下： 连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M、P、N分别为、、的中点， ∴、均是中位线， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ∴，, 故是等腰直角三角形． （3）由（2）可得，要使面积的最大，只需有最大值，则只需有最大值， ∵点A是定点，是定长，， ∴点D在以A圆心，以4为半径的圆上， ∵直径是最大的弦， ∴点B，A，D三点共线时，且B，D在点A的两侧时，有最大值，且为14， ∴， ∴的最大值为49. ∴面积的最大值为. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，构造辅助圆求最值，熟练掌握中位线定理，构造辅助圆是解题的关键. 地 城 考点05 二次函数压轴题 一、解答题 1．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图，对称轴为直线的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为(1，0)． （1）求此二次函数的解析式； （2）在直线上找一点P，使PBC的周长最小，并求出点P的坐标； （3）若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）见解析，P(-1，2)；（3）， 【分析】（1）先求点C的坐标，再将点B、点C的坐标分别代入二次函数的解析式，求出待定系数b、c的值，问题即解决； （2）根据轴对称的性质，先画出点P的位置，求出直线AC的函数关系式，则直线AC与抛物线的对称轴的交点即为P的坐标； （3）四边形AQCB的面积由△ABC和△AQC的面积组成，其中△ABC的面积为定值，可知需要把△AQC的面积用含t的代数式表示出来，再求四边形AQCB的最大值． 【详解】（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线， ∴． ∴=-2． ∵点B（1，0）在二次函数的图象上， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式为． （2）由（1）知二次函数的解析式为．令，得． ∴点C的坐标为（0，3）． 由题意，可得点B（1，0）与点A（-3，0）关于直线对称．     ∴要在直线上找一点P使△PBC的周长最小的问题，也就是要在直线上找一点P使PC与PA的和最小的问题． ∵在连接AC的线中，线段AC最短． ∴直线AC与直线的交点就是所要找的点P（如图1） 设经过A、C两点的直线为直线， 则有 ∴ ∴． 由 得点Ｐ的坐标为（-1，2）．      （3）如图2． 过点Q作轴，垂足为， 直线AC与直线QF交于点E． 则．                                  ∵， ．                  又∵点Q的横坐标为t． ∴ 点Q和点E的纵坐标分别为和． ∴． ∴ ．      由题意知: ． ∴当时，有最大值，此时的最大值为． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，根据轴对称找到特殊点及作与坐标轴垂直的直线来表示四边形的面积，是解决本题的关键． 2．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校·期中)如图，抛物线过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P坐标为； (3)存在， 【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式； （2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标； （2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解． 【详解】（1）根据题意，得 ， 解得， 抛物线解析式为：． （2）由（1）得， 点，且点， ． ∵当是以BC为底边的等腰三角形 ∴PC=PB， ∵OP=OP， ∴， ∴， 设抛物线的对称轴与轴交于H点，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴， ． 点P坐标为． （3）存在． 理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F． 设，则， 设直线BC的解析式为：，依题意，得： ， 解得， 直线BC的解析式为：， 当时，， 点E的坐标为， ∵点M在第一象限内，且在BC的上方， ， ， ． ∵， ， 解得． 【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键． 3．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求于、两点坐标及三角形的面积． (3)若点在轴上方的抛物线上，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，或 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴； ∴， ∴； （3）由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∵点P在x轴上方的抛物线上， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为； ∴， ∴， ∴，或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．(24-25九上·甘肃省陇南市·期中)如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4 (2)S最大＝，D（﹣，5） (3)存在，Q（﹣2，） 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4， ∴C （0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， ∴x＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，0）， ∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）， ∴4＝﹣3a， ∴a＝﹣， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4； （2）如图1， 作DF⊥AB于F，交AC于E， ∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4）， ∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m， ∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m， ∵S△ABC＝＝＝8， ∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+， ∴当m＝﹣时，S最大＝， 当m＝﹣时，y＝﹣＝5， ∴D（﹣，5）； （3）设P（﹣1，n）， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴PA＝PC， 即：PA2＝PC2， ∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2， ∴n＝， ∴P（﹣1，）， ∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC ∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝， ∴Q（﹣2，）． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质 5．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．    (1)求b，c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）得到，即可求解； （3）由题意的：，即可求解． 【详解】（1）由题意，得 （2）由（1）得抛物线的解析式为． 令，则，得． ∴B点的坐标为． ， ∴． ∵， ∴直线的解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为． ∵在直线上， ∴． ∴． ∴直线的解析式为．    （3）设P点坐标为． ∵点P在直线和抛物线上， ∴． ∴． 解得（舍去）． ∴点P的坐标为．    由翻折，得． ∵， ∴'． ∴． ． 设点E的坐标为，则． ． 当时，点E的坐标为． 设, 由，得： ， 解得：， 则点的坐标为． 当时，同理可得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想． 6．(24-25九上·甘肃陇南康县·期中)如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，则，可求，则抛物线的表达式为；当时，，计算求解，进而可求； （2）设，由，可知当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 当时，， 解得，，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解； 当时，，，如图1， ∴关于对称轴直线对称， ∴； 当时，如图2，记的交点为， ∴， 解得，， ∴，， 综上所述，存在，点F 的坐标为或或． 7．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为，点D的坐标为，点B的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x的取值范围． (3)P是线段上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）可设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； （3）利用待定系数法可求得直线解析式，设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为，且过点D ， B ． ，解得：， 抛物线解析式为； （2）解：，， 使一次函数值大于二次函数值的的取值范围是或， 故答案为：或； （3）解：点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得， 解得， 直线解析式为， 设点横坐标为，则，， ， 当，长度的最大值为． 8．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，点A的坐标为．    (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为直线 (2)当点P的坐标为时，线段的最大值是4 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由抛物线的对称性求得点的坐标，由解析式求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）把，代入得： 解得 抛物线的表达式为， 对称轴为直线． （2）令，则或4， ． ， 直线的表达式为． 设，， 轴， ， ， 开口向下，对称轴为直线· 当时，，此时 当点P的坐标为时，线段的最大值是4． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 9．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长的最大值以及点P的坐标； (3)在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)的周长最大值为，点的坐标为 (3)或 或 【分析】（1）求出点坐标，再将这两点坐标代入，即可求解； （2）先判断为等腰直角三角形，得的周长为：，设 则 计算得出，根据二次函数的性质可得结论； （3）先求出平移后点的坐标，分三种情况：当是对角线时，当是对角线时，当是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可. 【详解】（1）直线与坐标轴交于点和， 当 时， ， 时，即， 解得：， ∴点，， 把两点的坐标代入 中得， ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）∵ ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 的周长为：， ∴当取最大值时， 的周长取最大值， ∵抛物线的解析式为直线的解析式为， 设 ，则， ， 当 时，有最大值为，此时的周长为，点的坐标为； （3）抛物线沿射线方向平移 个单位长度，相当于向右平移个单位， 向下平移个单位， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∴平移后抛物线的顶点为， 当是对角线时， ∵点的坐标为，，， ， 当是对角线时， ∵点的坐标为， ， ； 当是对角线时， ∵点的坐标为， 综上，点的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键. 10．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点． (1)求这个函数的解析式； (2)点P是抛物线上的一点，当时，求点P的坐标； (3)如图2，将直线向下平移与抛物线交于M、N两点，直线交于Q点，请问点Q的横坐标是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q的横坐标为定值，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数综合问题，全等三角形性质，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）通过等腰三角形先求得T点坐标，然后解出直线的解析式，联立二次函数，求出P点坐标即可； （3）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值． 【详解】（1）解：将和代入解析式 ∴解析式为 （2）解： ∴点B坐标为． 如图，作，过点B作交与T，作， 则三角形为等腰直角三角形， ∴，， ∴①， 又∵②， ③， 由①②③得， ∴，， ∴ ∴ 设解析式，C，T坐标分别代入得 ， ∴此函数解析式为， 联立和得 解得（舍去） 将代入得 ∴ （3）解：点Q的横坐标为定值，理由如下： 由，得， ∴直线AC的解析式为：，又 ∴可设直线MN的解析式为： 设， 联立和， ∴    设直线的解析式为： 将M点坐标代入得， 得， 解得 设直线NC的解析式为：， 同理可得 ∴解析式为，解析式为 联立和的解析式：得Q的横坐标 得 ∵ ∴ 将代入，得 ∴点Q的横坐标为定值． 11．(24-25九上·甘肃省天水市·期中)综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 【答案】(1)①，洒水车喷出水的最大射程为；② (2) (3) 【分析】（1）①用待定系数法求出函数解析式，令，求出x的值即可； ②根据平移的特点求出点B的坐标即可； （2）根据点F的纵坐标为，得出，求出此时或，利用二次函数的性质，进行求解即可； （3）设点，，求出，求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：①由题意得：，， ∵是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， ∴洒水车喷出水的最大射程为； ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∵平移后仍过点， ∴y2是由y1向左平移得到的， ∵，点B是由点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴点F的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使， 则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为， ∵下边缘抛物线，喷出的水能灌溉到绿化带底部的条件是， ∴的取值范围为； （3）解：设， 由（1）②可知， 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上， 设点，， 则有， 解得， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴h的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合． 12．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形 (3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解； （2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解； （3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：a=-1， ∵抛物线过点， ∴，解得：c=3， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令y=0，则， 解得：， ∴点A的坐标为（-1，0）， ∴OA=1， 当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3），即OC=3， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3，AM=m+1， ∴，， 当AC=AN时，， 解得：m=2或0（舍去）， ∴此时点N（2，1）； 当AC=CN时，， 解得：或（舍去）， ∴此时点N； 当AN=CN时，， 解得：， ∴此时点N； 综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （3）解：存在，理由如下： ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC， ∴BC， 设点E（1，n），点F（s，t）， 当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图， ∴或， 解得：或， ∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）； 当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图， ，解得：或， ∴此时点F的坐标为或； 综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 13．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； （3）如图（2），若是线段上的一个动点 与、不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）. （2） （3）① ②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）. 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）根据是定值，得到当最小时，的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可； （3）设点的横坐标为，表示出，，最后表示出的长，从而表示出于的函数关系，然后求二次函数的最值即可． 【详解】解：（1）由题意可知： 解得： 抛物线的解析式为：； （2）的周长为： 是定值， 当最小时，的周长最小， 点、点关于对称轴对称， 连接交于点，即点为所求的点 的周长最小是： ，，， ，； 故周长的最小值为． （3）①抛物线顶点的坐标为 直线的解析式为 点的横坐标为， ， ； ② ； 当时，最大，最大值为1 此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，解题的关键是根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组·期中)如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； (3)抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)时，有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，把点代入 求出后即可求得解析式； （2）依据题意，先求出点C和点D的坐标，然后连接，设点P的坐标为， 根据列方程求出m值即可解题； （3）依据题意可得点的坐标是，又把与 联立方程组，得 可得, 连接, 有再结合二次函数的性质即可判断得解. 【详解】（1）由题意, 把点. 代入 得 ， ， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵x轴正半轴上有一点D，且， ∴点D的坐标为， 连接， 设点P的坐标为， 则， 解得：，， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点的坐标是, ∴. 又∵ ∴点的坐标是. 把与联立方程组，得 ， 如图, 连接. , 当时，有最小值，最小值为 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点．    (1)试求抛物线的解析式； (2)若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． (3)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，利用分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）求出的坐标，得到轴，，进而推出，设直线与轴交于点，证明，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：把，，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则，      ∴， ∴； ∴当时，有最大值，此时； （3）存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∵， ∴轴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线与轴交于点，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，全等三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 16．(24-25九上·甘肃省天水市·期中)如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)或或 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当为对角线时，      ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则，      ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则，      同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则，      同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，      ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 17．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图①，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EGy轴交BC于点G，求△EFG面积的最大值及此时点E的坐标； (3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3； (2)E（，）；△EFG的最大面积； (3)满足条件的点P有4个，坐标分别为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）或（1，）或（1，4） 【分析】（1）将，代入抛物线，即可求函数解析式； （2）求出直线的解析式为，设，，可判断是等腰直角三角形，在中，，当最大时，的面积最大，因为，所以当时，的最大值为即可求解； （3）分三种情况讨论：①当时，，；②当时，；③当时，． 【详解】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）令，则， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 当最大时，的面积最大， ， 当时，的最大值为， 的最大面积， 此时，，； （3）存在，理由如下： 抛物线， 顶点的坐标为， ， ， 设，则，， 如图，以，，，为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况： ①当时，则， 或； ②当时，则， 解得， ； ③当时，则， 解得，（舍， ； 综上所述，满足条件的点有4个，坐标分别为或或或； 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、掌握菱形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $专题07 典型题专练 5大高频考点概览 考点01 找规律问题 考点02 最值问题 考点03 多结论判断问题 考点04 与旋转有关的探究题 考点05 二次函数压轴题 地 城 考点01 找规律问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，第（211）个三角形的直角顶点的坐标是 ． 3．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)如图所示，在平面直角坐标系中，是一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转后放大得到等腰直角三角形，且，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 4．(24-25九上·甘肃省兰州市第五十六中·期中)如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形 ，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形 ，那么点的坐标是 . 5．(24-25九上·甘肃平凉广成学校·期中)如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则 ． 6．(24-25九上·甘肃武威凉州区武威五中联片教研·期中)如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转次得到正方形，如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 7．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向作无滑动的连续反转，点P依次落在点、、…的位置，则点的坐标为 ． 8．(24-25九上·甘肃天水第五中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B4的坐标为 ，点B2017的坐标为 ． 9．(24-25九上·甘肃金昌·期中)如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为 ． 三、解答题 10．(24-25九上·甘肃省兰州市第十九中学·期中)实验与探究： 三角点阵前n行的点数计算 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点… 容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？ 如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系 前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现． 2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n] =[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1] 把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到 1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1） 这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1） 下列用一元二次方程解决上述问题 设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1） 整理这个方程，得：n2+n﹣600=0 解方程得：n1=24，n2=25 根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300． 请你根据上述材料回答下列问题： （1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 地 城 考点02 最值问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)二次函数的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．(24-25九上·甘肃陇南康县·期中)在平面直角坐标系中，二次函数 (m为常数) 的图象经过，且对称轴在y轴左侧，则下列关于该二次函数的说法正确的是（   ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 3．(24-25九上·甘肃定西岷县·期中)我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫作“鹊桥”函数．某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），则下列结论错误的是（   ） A．图象与坐标轴的交点为和 B．图象的对称轴是直线 C．当和时，函数值y随x的增大而增大 D．函数的最小值是0，最大值是4 二、填空题 4．(24-25九上·甘肃酒泉第二中学·期中)代数式的最小值是 ． 5．(24-25九上·甘肃陇南武都区·期中)在二次函数中，当时，设的最大值为，的最小值为，则 ． 6．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 ． 7．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为 ． 8．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)如图，在矩形中，是边上的动点，连接，以为边向右上方作正方形，过点F作，垂足为H，连接．在整个变化过程中，面积的最大值是 ．    9．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)如图，在正方形中，，是上一点，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 三、解答题 10．(24-25九上·甘肃白银·期中)阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）； ， ， 代数式的最小值为； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值； 【拓展提高】（2）求的最大值． 11．(24-25九上·甘肃陇南礼县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，过点作交于点，连接．设运动时间为秒，解答下列问题： (1)记的面积为，求与的函数解析式； (2)当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少? 12．(24-25九上·甘肃省张掖市第四中学·期中)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 13．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威第十六中学联片教研组·期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE． （1）求△ADE的周长的最小值； （2）若CD=4，求AE的长度． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州片区·期中)如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，直接写出周长的最小值为 　   　； (3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点G的坐标； 15．(24-25九上·甘肃省天水市清水县·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 16．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)如图，抛物线与直线AB交于点A（-1，0），B（4，）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标； 17．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，． (1)求该抛物线表达式． (2)若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由． (3)记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值． 地 城 考点03 多结论判断问题 一、单选题 1．(24-25九上·甘肃省张掖市·期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 2．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 3．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市·期中)二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 4．(24-25九上·甘肃省平凉市庄浪县·期中)如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，其中正确结论是（ ） A．②④ B．①④ C．①③ D．②③ 5．(24-25九上·甘肃省庆阳市北京师范大学庆阳实验学校·期中)如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3，其中结论正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．(24-25九上·甘肃省天水市秦安县·期中)如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤当时，y有最大值；⑥一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③⑤⑥ D．③④⑥ 8．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组·期中)抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 9．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．(24-25九上·甘肃陇南康县·期中)二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区长城乡中学·期中)如图所示，抛物线与x轴的两个交点坐标分别是，下列说法中正确的有（   ） ；；；（4）当时． A．个 B．个 C．个 D．个 12．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．(24-25九上·甘肃陇南礼县·期中)如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．(24-25九上·甘肃金昌永昌县·期中)二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 16．(24-25九上·甘肃省平凉市第十中学等四校联考·期中)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有 ．（只填序号）    17．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 18．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的序号有 ． 19．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)二次函数的图象如图所示，下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①；②；③方程的两个根是，；④． 20．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区五和中学联片教研·期中)已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号） 地 城 考点04 与旋转有关的探究题 一、解答题 1．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为． （1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长； （2）如图②，连接BD，若，求证：． 2．(24-25九上·甘肃省白银市实验中学、白银市第六中学联考·期中)【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 3．(24-25九上·甘肃省 定西市安定区城区联考·期中)（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，把△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG，请直接写出图中所有的全等三角形； （2）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°. ①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，求证：EF=BE+DF； ②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF=∠BAD，①中的结论是否仍然成立？请说明理由 4．(24-25九上·甘肃省兰州市·期中)综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 5．(24-25九上·甘肃庆阳·期中)在同一平面内，和按如图1所示的方式放置，其中．将绕着边的中点旋转得到，将绕着边的中点旋转得到，如图2，请解决下列问题： (1)试猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； (2)连接，，如图3，求证：四边形是平行四边形． 6．(24-25九上·甘肃庆阳镇原县武沟九年制学校·期中)（1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______； （2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明． 7．(24-25九上·甘肃省嘉峪关市嘉峪关市第五中学·期中)在正方形中，E是边上一点． (1)将绕点A顺时针旋转得到，如图①所示，观察可知，与相等的线段是______，＝______． (2)如图2，在正方形中，P，Q分别是，边上的点，且，猜想线段，，的数量关系，并证明； (3)在图2中，连接分别交，于点M，N，请写出，，的数量关系． 8．(24-25九上·甘肃省陇南市武都区·期中)如图1，在等腰中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点． (1)观察猜想： 图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明： 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值． 地 城 考点05 二次函数压轴题 一、解答题 1．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图，对称轴为直线的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为(1，0)． （1）求此二次函数的解析式； （2）在直线上找一点P，使PBC的周长最小，并求出点P的坐标； （3）若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？ 2．(24-25九上·甘肃省庆阳市镇原县武沟九年制学校·期中)如图，抛物线过点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．(24-25九上·甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学·期中)如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求于、两点坐标及三角形的面积． (3)若点在轴上方的抛物线上，满足，求点的坐标． 4．(24-25九上·甘肃省陇南市·期中)如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．(24-25九上·甘肃省陇南市西和县·期中)已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．    (1)求b，c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．(24-25九上·甘肃陇南康县·期中)如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 7．(24-25九上·甘肃嘉峪关嘉峪关第五中学·期中)如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为，点D的坐标为，点B的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x的取值范围． (3)P是线段上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段长度的最大值． 8．(24-25九上·甘肃省金昌市永昌县·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，点A的坐标为．    (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 9．(24-25九上·甘肃省武威市 凉州区谢河中学联片教研·期中)如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长的最大值以及点P的坐标； (3)在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标． 10．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区洪祥中学教研片·期中)如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点． (1)求这个函数的解析式； (2)点P是抛物线上的一点，当时，求点P的坐标； (3)如图2，将直线向下平移与抛物线交于M、N两点，直线交于Q点，请问点Q的横坐标是否为定值，并说明理由． 11．(24-25九上·甘肃省天水市·期中)综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为．把绿化带横截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，．上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标． (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求的取值范围． (3)【拓展应用】 半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度变成了，喷水口也应适当升高，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知与的开口方向与大小不变，请直接写出的最小值： ． 12．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研·期中)如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； （3）如图（2），若是线段上的一个动点 与、不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式； ②是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标； 若不存在，请说明理由． 14．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组·期中)如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； (3)抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 15．(24-25九上·甘肃省武威市凉州区和平联片教研组·期中)如图1，抛物线与x轴，y轴分别交于，，C三点．    (1)试求抛物线的解析式； (2)若P点在第一象限的抛物线上，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． (3)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．(24-25九上·甘肃省天水市·期中)如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．(24-25九上·甘肃省武威市·期中)如图①，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EGy轴交BC于点G，求△EFG面积的最大值及此时点E的坐标； (3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． $