6.2.反比例函数的图象与性质　教学设计2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 6.2 反比例函数的图象与性质（第二课时） 教学目标 1. 理解和掌握反比例函数的主要性质； 2. 在类比一次函数探究反比例函数的性质的过程中，进一步体会研究函数性质的基本方法，发展数形结合的意识和能力. 教学重难点 教学重点： 探索反比例函数的增减性. 教学难点： 理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题． 教学过程 一、复习回顾 回顾研究函数问题的一般思路 前面我们学习过一次函数，了解到探究函数问题的一般思路是： 在探究过程中，通常运用的探究方法和数学思想是： 由特殊到一般 分类讨论和数形结合思想. 回顾反比例函数的相关知识： 函数性质 函数图象 函数定义 现实问题 反比例函数 反比例函数（k≠0） 双曲线 （k＜0） （k＞0） 已学相关函数知识的记忆，为本节探究活动做准备，根据探究函数问题的一般思路，顺势引入课题。 二、探究新知 活动一：观察反比例函数 ， ， 的图象 问题： (1)函数图象分别位于哪几个象限内？ 它们的图象都分别位于第一、三象限 (2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 从图象的走势分析：每一象限内的图象从左到右图象呈下降趋势.这就说明，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小. 从表达式的角度分析：反比例函数表达式（k＞0），当x＞0，时，因为k为正数，所以x的值越大， 的值越小，y值越小，当x＜0，时，x的值越大， 的值越小，y值越小.所以，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小. 从坐标的角度分析：在第一象限的图象上任意取两点A（x1，y1）、B（x2，y2）,当x1＞x2时y1＜y2.所以，在第一象限内，y的值随x值的增大而减小. 在第三象限的图象上任意取两点A（x1，y1）、B（x2，y2）,当x1＞x2时y1＜y2.所以，在第三象限内，y的值随x值的增大而减小. （教师利用几何画板动态演示） 归纳总结当k＞0时： 反比例函数表达式 的图象， 当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小. 思考：为什么强调在每一象限内？ （k＞0） 此时，x1＞x2，而y1＞y2 【设计意图】 本环节意在让学生通过由特殊到一般的探究方法，观察三个特殊反比例函数的图象，分析、归纳、概括出一般的反比例函数k＞0时的主要性质．在问题的设置上，引导学生从对图象的直观观察开始，逐步上升到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力．另外，让学生思考“为什么强调在每一个象限内？”这个问题，有助于学生对反比例函数增减性的进一步理解. 活动二：考察当k=-2，-4，-6时，反比例函数 的图象（如下图） 问题： (1)函数图象分别位于哪几个象限内？ 它们的图象都分别位于第二、四象限 （2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 从图象的走势分析：每一象限内的图象从左到右图象呈上升趋势.说明在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 从表达式的角度分析：反比例函数表达式（k＜0），当x＞0，时，因为k为负数，所以x的值越大， 的值越大，y值越大，当x＜0，时，x的值越大， 的值越大，y值越大.所以，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大. 从坐标的角度分析：在第二象限的图象上任意取两点A（x1，y1）、B（x2，y2）,当x1＞x2时y1＞y2.所以，在第二象限内，y的值随x值的增大而增大. 在第四象限的图象上任意取两点A（x1，y1）、B（x2，y2）,当x1＞x2时y1＞y2.所以，在第四象限内，y的值随x值的增大而增大. 教师利用几何画板动态演示 归纳总结k＜0时： 反比例函数表达式的图象，当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大. 思考：为什么强调在每一象限内？ （k＜0） 此时，x1＞x2，而y1＜y2 【设计意图】让学生类比k＞0时的反比例函数的增减性的探究，能够从不同角度对k＜0时反比例函数增减性的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生由特殊到一般和类比分析问题探究问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高，另外，让学生思考“为什么强调在每一象限内？”这个问题，有助于学生对反比例函数增减性的进一步理解. 归纳总结 你能尝试着归纳总结出反比例函数 的主要性质吗？ k的取值 图象 性质--增减性 反比例函数 （k≠0） k＞0 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 k＜0 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【设计意图】 在具体问题探究的基础上，让学生尝试着总结反比例函数的性质，从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．培养了学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力. 三、再探新知 在一个反比例函数的图象上任取两点P，Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1 ；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S2. S1与 S2 有什么关系？为什么？ P Q 利用由特殊到一般的探究方法： 当k=4时，反比例函数 Q P（2，2） Q（-1，-4） k的值 4 S1的值 4 S2的值 4 S1与S2的关系 S1=S2 猜想S1、S2与k的关系 S1=S2=k P（2,2） Q（-1，-4） P（2，-3） Q（-1，6） k的值 -6 S1的值 6 S2的值 6 S1与S2的关系 S1=S2 猜想S1、S2与k的关系 S1=S2=-k 当k=-6时，反比例函数 Q（-1，6） P（2,-3） 初步猜想S1=S2=k（k＞0）S1=S2=k（k＜0） S1= S2 = 在反比例函数 的图象上任取一点，过该点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形的面积为|k| 同学们，你能证明这个猜想吗？ 证明：设点P（m，n）,Q（a，b） ∵点P、点Q在反比例函数图象上 （k＞0） ∴将x=m，y=n和x=a，y=b分别代入 ，P 得 mn=k，ab=k. ∵当k＞0时，如图（1），图（1） Q S1=mn =k =|k| S2=ab=k =|k|Q 当k＜0时，如图（2）， S1=-mn =-k =|k| S2=-ab=-k =|k|P （k＜0） ∴综上所述，S1=S2=|k|图（2） 接下来，老师借助几何画板动态演示 归纳总结 在反比例函数 的图象上任取一点，过该点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形的面积为|k| 教学策略： 1. 给出具体的反比例函数，让学生按题目要求，取点、构造矩形，自主探究S1与S2之间的关系． 2．在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数，可以完全放手给学生，探究、归纳、概括出一般性的结论——矩形面积总等于 【设计意图】如果直接探究函数，对于有些学生来说有一定的困难．为了突破这一难点，先给出简单的反比例函数和，在探究了具体函数的基础上，再进行严格的数学证明，最后再利用几何画板进行动态演示，最终证明出猜想的正确性，得出一般性结论，让学生进一步体会由特殊到一般的探究方法，也符合学生的认知规律. 四、随堂练习 1.下列函数：图象位于第二、四象限的有 ；在每一象限内，y的值随x值的增大而增大的有 ； （1） ； （2） ；（3） ； （4） . 2.已知点 （4，y1），（6，y2）都在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小关系． 3.点P（3,2）、点Q（-2，a）都在反比例函数的图象上，过点P分别向两坐标轴作垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别向两坐标轴作垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S2,则S1= ； S2= ；a= ； 【设计意图】本环节题目设置由易到难，循序渐进，从不同角度巩固和考察了学生对本节重点知识的掌握情况，培养学生应用知识解决问题的能力。 五、课堂小结 1.通过本节课的学习你都学到了有关反比例函数的哪些知识？ 2.本节课都运用了哪些数学思想方法？ k的取值 图象 图象位置 性质--增减性 反比例函数 （k≠0） k＞0 第一、三象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 k＜0 第二、四象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 由特殊到一般 分类讨论 数形结合函数应用 函数图象 函数性质 函数定义 现实 问题 本节课主要是结合反比例函数的图象探究得到了反比例函数的主要性质，根据函数探究的一般思路，下节课，按我们就应该运用反比例函数的性质，解决一些简单的实际问题，通过今天的学习，希望同学们对研究函数问题所运用的探究方法和数学思想有进一步的认识，从而为今后学习其它类型的函数提供帮助。 【设计意图】鼓励学生归纳梳理本节课所学知识，有助于学生回顾和巩固本节课所学知识从而完善知识结构。总结本节课探究数学问题所用到的数学思想和方法，有助于提高学生的探究能力，课尾再次提到探究函数的一般思路，渗透函数研究的整体性，同时也为下节课的探究明晰方向. 六、课后作业 必做题： 1. 已知点（2，y1），（1，y2），（-2，y3）都在反比例函数 的图象上，比较y1，y2，y3的大小. 2.如图，点P是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个点，过点P作PA垂直x轴于点A连接PO，△PAO的面积为3，则反比例函数表达式为 . P A 选做题： 在露营时通常都会遇到泥泞路段，为了保证安全，沿着前进路线用木板铺了临时通道.已知模板所受压力不变时，模板对地面的压强p（Pa）与木板面积S（m2）之间成反比例函数关系，其对应如下表： 木板面积S（m2） 1 1.5 2 2.5  木板对地面压强p（Pa） 600 400 300 240 （1）木板面积逐渐增大时，木板对地面压强如何变化？ （2）木板的面积至少为多少时，木板对地面的压强不超过4000Pa？ 【设计意图】使学生进一步巩固和掌握所学知识，必做题是对本节课基本知识的应用和反馈，选做题是对本节知识的延伸和提高，均体现学以致用，使不同层次的学生得到不同的发展，从而激发学生饱满的学习兴趣。同时，也为下一节课，反比例函数的应用做铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $