第2章 4 第2课时 应用二次函数解决实际问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第2课时 应用二》 @课内基础闯关 知识点①利用二次函数解决利润最值问题 1.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知获利y 元与降价金额x元之间满足函数关系式y 一2x2+60x+800,则获利最多为() A.15元B.400元C.800元D.1250元 2.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某 段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x 为整数)出售，可卖出(30一x)件.若使利润 最大，则每件的售价应为 元 3.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月 可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将 头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月 可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元， 当每顶头盔的售价为多少时，该商店每月获得 的利润最大？最大利润是多少？ 知识点②利用二次函数解决其他实际问题 4.(2025抚州模拟)若从地面竖直向上抛一小 球，小球的高度h(单位：m)与小球运动的时 间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，则 以下结论正确的有 ①小球在空中经过的hm 路程是40m: ②h与1之间的函数 关系式为h= 40 0123456W (t 第4题图 3)2+40: ③小球的运动时间为6s; ①当小球的高度h=20m时，t=1.5s. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 金44 九年级数学BS版 欠函数解决实际问题 5.公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(单 位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为 s=16t一4t.当遇到紧急情况刹车时，由于惯 性的作用，汽车最远要滑行 m才 能停下 6.科研人员为研究弹射器的某项性能，利用无 人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据： 无人机上升到距离地面20m处开始计时， 此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上 弹射一个小钢球（忽略空气阻力）.记无人机 和小钢球距离地面的高度分别为y1·y?(单 位：m),科研人员收集了y1,y2随时间x(单 位：s)变化的数据，并分别绘制在平面直角 坐标系中，如图①、图②所示 y/mt yymt 60 60 (3,604.60 50 ·2.50 40A .4.40 ·(3.35) 30f ·2.30 30 (1.30) ·125) 20t0.20 10f 10f0.0 012345 力十立34方 图① 图② (1)根据y1,y2随x的变化规律，从①y= m.x十n(m≠0)：②y=a.x2+b.x(a<0):③y =(k≠0)中，选择适当的函数模型，分别 求出y1y:满足的函数表达式. (2)当0<x<5时，小钢球和无人机的高度 差最大是 m. ⊙课外拓展提高 7.使用家用燃气灶烧 开一壶水所需的燃0.072 0.06 气量y(单位：m3)与 0 25 5060x/度 旋钮的旋转角度x 第7題图 (0≤x≤90，单位：度)近似满足函数关系式 y=a.x2+bx十c(a≠0).图中记录了某种家 用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y与旋 钮的旋转角度x的三组数据.根据上述函数 模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水 最节省燃气的旋钮的旋转角度为() A.37.5°B.40°C.52.5°D.55 8.某公司新研发了一批便携式轮椅并计划销 售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时， 每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可 多售出4辆.该公司决定在成本不变的情况 下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180 元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润 为y元 (1)求y与x的函数关系式：每辆轮椅降价 多少元时，每天的销售利润最大？最大利润 为多少元？ (2)某天该公司共获得销售利润12160元. 请问这天售出了多少辆轮椅？ @综合能力提升 9.应用意识某农户种植的农产品在某月（按30 天计)的第x天(x为正整数)的售价p(单位： 元/kg)与x之间的函数关系式为p= 5x+4(0<x≤20). 销售量y(单位：kg) 5x+12(20<.x≤30. 与x之间的关系如下图所示. y/kg1 80 6 0 2 51015202530x (1)写出y与x之间的函数关系式，及x的取 值范围： (2)当月第几天该农产品的销售额（销售额 =销售量×售价)最大？最大销售额是 多少？ 知识要点归纳 求解最大利润问题的一般步骤：(1)设自变量，用 含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销 售收入；(2)用含自变量的代数式表示销售商品 的成本：(3)用因变量及含自变量的关系式分别 表示销售利润，即可得到函数表达式；(4)根据函 效表达式求出最值及取得最值时自变量的值 下册第二章则w=2m+2AB=-寸m+2m+16=-宁(m-0+20. .当m=4时，W有最大值，最大值为20. 故AB,AD,DC的长度和的最大值是20m. 【解析】(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(8.8)， 则可设地物线的表达式为y=a(x一8)2十8. 将0(0,0)代人，得0=64a+8,解得4=一8 1 故这条抛物线的表达式为y=一g(x一8)'+8(0≤x≤16). 第2课时应用二次函数解决实际问题 1.D2.25 3.解：设每顶头盔降价x元，利润为心元. 由题意，得=(80一x一50)(200+20.x)=一20(x一10)十 8000. -200, .当x=10时，0取得最大值，最大值是8000，此时80一x =70. 故当每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润最 大，最大利润是8000元， 4.A【解析】①由图象可知，小球在空中达到的最大高度是 40m,故①错误： ②由图象可知，顶点坐标为(3,40).可设与（之间的函 数关系式为h=a(t一3)十40. 把O(0.0)代人，得0=a(0一3)+40. 得一 6与1之间的函数关系式为-一号1-3)+0，放色 错误： ③由图象可知，小球的运动时间为6、，故②正确： ①令有=如.得0=-号-》+ 新得=3计号=9一号故0借我 综上所述，结论正确的有1个。 5.16 6.解：(1)设y,关于x的函数表达式为y:=mx十(m≠0). 将0,20)，1,25)代人1=mx+n(m≠0)得20=n: 125=m+n, 解得”20，二关于1的函数表达式为y5证+如 设y,关于x的函数表达式为y:=ax+r(a<0). 将(1,30)，(2,50)代人y:=ax2+br(a<0),得 30=4T"、解得众=一入 50=4a十2b. .y:关于x的函数表达式为y:=一5.x+35.x. (2)25【解析】(2)由(10得，y1=5r+20,y:=-5.x°+35x· ∴.y:-y1=-522+35x-(5r+20)=-5r2+30x-20= -5(x-3)+25, ∴.当x=3时，小钢球和无人机的高度差最大，最大是25m 7.B【解析】由(25.0.0725)，(50,0.06)，(60,0.09)这三点可 得y=0.0001(x-40)+0.05. 0.0001>0,.当x=40时，y最小，.此燃气灶烧开一壶 水最节省燃气的旋钮的旋转角度为40， 8.解：(1Dy=(200-x)(60+4×台）=-0.4r+20r+1200 =-0.4(x-25)2+12250. 200-x≥180.∴.x≤20， .当x=20时，y有最大值，最大值为一0.4(20一25)2+ 12250=12240. 故每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12240元. (2)由题意，得12160=一0.4(r一25)2+12250， 解得x1=40(不合题意.舍去)x2=10, 60+4×吕-64（辆， 故这天售出了64辆轮椅. 9.解：(1)y= -2x+80(0<x≤20). 14x-40(20<x≤30) (2)设当月第x天该农产品的销售额是心元. 当0<<20时.w=(号x+4）(-2x+80)=-x- 4 15)+500,∴.当x=15时，0取得最大值，此时0大=500. 当20<r≤30时w=(-日x+12)4r-40)=-言u 35)°+500. :当r=30时，w取得最大值.此时e大=480. ,500>480,∴.当月第15天该农产品的销售额最大，最大销 售额是500元. 应用技巧专题二次函数的实际应用 1.解：(1)该巡逻船能安全通过大孔. 理由：设大孔所在地物线的表达式为y=ax十6， 由题意，得A(一10,0).代人y=ax+6,得a·(-10)+6 =0..a=一0 ∴大乳所在抛物线的表达式为y=一品2+6 :巡逻船的顶部宽4m, 3 ÷当x=2时y=一六×2+6=5.76>5， .该巡逻船能安全通过大孔 (2)该小船不能安全通过小孔。 理由：由题意，得B(10,0),C(16,0),N(13,4.5) 设右边小孔所在抛物线的表达式为y=m(.x一10)（红一16）. 将N(13,4.5)代入，得4.5=m(13-10)×(13-16).解得m 三-宁“右边小孔所在地物线的表达式为y=一宁十 1 13.x-80, 当x=11.5时y=3.375<3.5,∴该小船不能安全通过 小孔. 2.解：(1)①36 ②把(2.6)，(4,8)代人y=ax2+bx,得 (4a+2b=6, 116a+4b=8. 解得 6=4, ∴抛物线的表达式为y=一 2x+4x x2十4x 15 解得/x,=0. y=0. 15 y:=8 下册参考答案 17个