第2章 4 第1课时 应用二次画数求几何图形最值-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

②当x-x:<0,且x1+x-21<0时，x1<x,且x1十x <24. 对于一1<x<1-4,21-2<x<21-1.都有y1>y: .1-1≤21-2，且1一1+21-1≤21， t≥1且1≥0. t1. 综上所述，t≤一2或1≥1. 9.C10.C 11.-5【解桥】：抛物线y=产+6红-=(x+专) Sk ，且对称轴在y轴右侧心一专>0，解得k<0.由题意 可知，新抛物线的表达式为y一(+专-3）”-华+1.将 (00代人得0-(0+会-3)-头+1.解得1-2（含 去)，k=一5. 12.解：(1)y=3(x+2) (2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度后得到的抛物 线的表达式为y=3(.x十2一4)，即y=3(x一2)， (3)将(2)中所求抛物线绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线 的表达式为y=一3(r一2). 13.D【解析】由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正 半轴， .a<0.c>0 ?对称轴为直线一一会-2 ∴.b=-4a>0. ∴bc>0,4a十b=0,故选项A,B结论正确，不符合题意： ,ax十bx1=ax十bx且x≠x:, ari+bx+e=ux+bc:+e. x=x1和x=x:关于直线x=2对称 ·1十x:=4:故选项C结论正确：不符合题意： ,抛物线的开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小 若(-1，y1).(3,y:)两点都在抛物线y=a.x2+bx十c上， :1-1-21>13-21, ∴y1<y2:故选项D结论错误，符合题意 4二次函数的应用 第1课时应用二次函数求几何图形最值 1.B 24F【解析】由题意，得BC=子AB=,∠DFC=0.设 BD-,则DC-4-x,在R△DCF中，CF-an∠DC DC 品=54-Smm=BDCP=r·F4-) -3x2+45x.当x■- 43 2×(-5) =2时，Sx-一5X 2+45×2=45. 3.解：(1)由题意，得AB=EF=DC=xm, .AD-(6-3)m. ∴y关于x的函数表达式为y=之x(6-3)=- 3 +3x 个16 九年级数学BS版 x>0.6-3x>0. ,自变量x的取值范围为0<x<2 （2由1.得y=-号+3x=-号x-1+ 3 3 3 -2<0.0<1<2, 当=1时y有最大值，最大值为受 此时宁(6-3)=子，即AD-子m 3 故当AB=1m,AD=子m时，窗户的透光面积达到最大，最 大面积是受m。 4.B5.B 6.解：(1)48 (2)设PN=xmm,矩形PQMN的面积为Smm', PN∥BC, .△APNC∽△ABC, 院能即高 r0-(0-号)nm, Som=PNP0=(80-号r)=-号r+80r -号-0r+210m ∴当=60时.Som取最大值，此时PQ=0-号×60 =40(mm). 故达到这个最大值时矩形零件的两条边长分别为60mm和 40mm. 【解析】1)设正方形PQMN的边长为xmm,则PN=PQ= ED=x mm, .∴.AE=AD-ED=《80-x)mm. :PN∥BC.∴△APN△ABC, 院怨即高÷ x80-x 解得x=48. 故加工成的正方形零件的边长是48mm. 7.解：0y=--8+80<≤16) (2)由题意，得每条行车道的宽为7.5m. 当车沿着隔离带边缘行驶时，车远离隔离带一侧距离该车道 外侧边缘的距离为7.5-3.5=4(m). 1 令1-4.则y=一g(4-8)+8-6. :5.8<6,∴.其中一条行车道能行驶宽3.5m,高5.8m的特 种车辆. (3)设AD=2mm. :点A,D关于抛物线的对称轴对称，∴点A的横坐标为8 一m 六点A的银坐标为一言（8-m一8产+8=8一言m,即AB 1 =8-8m 设W=AB十AD十DC, 则w=2m+2AB=-寸m+2m+16=-宁(m-0+20. .当m=4时，W有最大值，最大值为20. 故AB,AD,DC的长度和的最大值是20m. 【解析】(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(8.8)， 则可设地物线的表达式为y=a(x一8)2十8. 将0(0,0)代人，得0=64a+8,解得4=一8 1 故这条抛物线的表达式为y=一g(x一8)'+8(0≤x≤16). 第2课时应用二次函数解决实际问题 1.D2.25 3.解：设每顶头盔降价x元，利润为心元. 由题意，得=(80一x一50)(200+20.x)=一20(x一10)十 8000. -200, .当x=10时，0取得最大值，最大值是8000，此时80一x =70. 故当每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润最 大，最大利润是8000元， 4.A【解析】①由图象可知，小球在空中达到的最大高度是 40m,故①错误： ②由图象可知，顶点坐标为(3,40).可设与（之间的函 数关系式为h=a(t一3)十40. 把O(0.0)代人，得0=a(0一3)+40. 得一 6与1之间的函数关系式为-一号1-3)+0，放色 错误： ③由图象可知，小球的运动时间为6、，故②正确： ①令有=如.得0=-号-》+ 新得=3计号=9一号故0借我 综上所述，结论正确的有1个。 5.16 6.解：(1)设y,关于x的函数表达式为y:=mx十(m≠0). 将0,20)，1,25)代人1=mx+n(m≠0)得20=n: 125=m+n, 解得”20，二关于1的函数表达式为y5证+如 设y,关于x的函数表达式为y:=ax+r(a<0). 将(1,30)，(2,50)代人y:=ax2+br(a<0),得 30=4T"、解得众=一入 50=4a十2b. .y:关于x的函数表达式为y:=一5.x+35.x. (2)25【解析】(2)由(10得，y1=5r+20,y:=-5.x°+35x· ∴.y:-y1=-522+35x-(5r+20)=-5r2+30x-20= -5(x-3)+25, ∴.当x=3时，小钢球和无人机的高度差最大，最大是25m 7.B【解析】由(25.0.0725)，(50,0.06)，(60,0.09)这三点可 得y=0.0001(x-40)+0.05. 0.0001>0,.当x=40时，y最小，.此燃气灶烧开一壶 水最节省燃气的旋钮的旋转角度为40， 8.解：(1Dy=(200-x)(60+4×台）=-0.4r+20r+1200 =-0.4(x-25)2+12250. 200-x≥180.∴.x≤20， .当x=20时，y有最大值，最大值为一0.4(20一25)2+ 12250=12240. 故每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12240元. (2)由题意，得12160=一0.4(r一25)2+12250， 解得x1=40(不合题意.舍去)x2=10, 60+4×吕-64（辆， 故这天售出了64辆轮椅. 9.解：(1)y= -2x+80(0<x≤20). 14x-40(20<x≤30) (2)设当月第x天该农产品的销售额是心元. 当0<<20时.w=(号x+4）(-2x+80)=-x- 4 15)+500,∴.当x=15时，0取得最大值，此时0大=500. 当20<r≤30时w=(-日x+12)4r-40)=-言u 35)°+500. :当r=30时，w取得最大值.此时e大=480. ,500>480,∴.当月第15天该农产品的销售额最大，最大销 售额是500元. 应用技巧专题二次函数的实际应用 1.解：(1)该巡逻船能安全通过大孔. 理由：设大孔所在地物线的表达式为y=ax十6， 由题意，得A(一10,0).代人y=ax+6,得a·(-10)+6 =0..a=一0 ∴大乳所在抛物线的表达式为y=一品2+6 :巡逻船的顶部宽4m, 3 ÷当x=2时y=一六×2+6=5.76>5， .该巡逻船能安全通过大孔 (2)该小船不能安全通过小孔。 理由：由题意，得B(10,0),C(16,0),N(13,4.5) 设右边小孔所在抛物线的表达式为y=m(.x一10)（红一16）. 将N(13,4.5)代入，得4.5=m(13-10)×(13-16).解得m 三-宁“右边小孔所在地物线的表达式为y=一宁十 1 13.x-80, 当x=11.5时y=3.375<3.5,∴该小船不能安全通过 小孔. 2.解：(1)①36 ②把(2.6)，(4,8)代人y=ax2+bx,得 (4a+2b=6, 116a+4b=8. 解得 6=4, ∴抛物线的表达式为y=一 2x+4x x2十4x 15 解得/x,=0. y=0. 15 y:=8 下册参考答案 17个4二次函 第1课时应用二次 已课内基础闯关 知识点①利用二次函数解决面积最值问题 1.如图，某农场主利用墙角围出 了一片矩形空地（假设墙足够 B 长).已知所用篱笆（虚线部分） 第1题图 的长度为14m,则所围矩形空地的最大面积 是 A.52m B.49m2 C.45m2 D.40m2 2.有一块三角形材料如图所示， ∠A=30°，∠C=90°，AB=8.用 这块材料剪出一个□EFDB,其 中，点D,E,F分别在BC,AB, AC上.剪出的□EFDB的面积BD 第2题图 的最大值是 3.下图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由 两个小矩形组成，现工人计划用长为6m的 铝合金框条制作该窗框.设窗框的高为xm, 窗户的透光面积为ym2(铝合金框条的宽度 不计). (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变 量x的取值范围. 42 九年级数学BS版 数的应用 函数求几何图形最值 (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积 达到最大？最大面积是多少？ 知识点②利用二次函数解决抛物线形问题 4.(2025武威)一个圆形喷水m 池的中央竖直安装了一个柱 形喷水装置OM,喷头M向 x/m 外喷水，水流在各个方向上 第4题图 沿形状相同的抛物线路径落下.按如图所示 的直角坐标系，水流喷出的高度y(单位：m) 与水平距离x(单位：m)之间的关系式是y =一x2+2x+x>0),则水流喷出的最大 高度是 ) A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m 课外拓展提高 5.如图，四边形ABCD的两条对角 线互相垂直，AC十BD=16,则四 边形ABCD面积的最大值是 ( )第5题图 A.16 B.32 C.36 D.64 6.(教材变式)有一块三角形余料ABC(如图 ①)，它的边BC=120mm,高AD=80mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形 PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别 在AB,AC上 (1)加工成的正方形零件的边长是 mm. (2)若所要加工的零件是一个矩形，如图②， 当这个矩形面积达到最大值时，求矩形零件 的两条边长 Q D M B Q D 因① 闲② 综合能力提升 7.(2025青岛模拟)施工队要修建一个横断面 为抛物线的公路隧道，隧道高度为8m,宽度 OM为16m.现以O为原点，OM所在直线 为x轴建立平面直角坐标系，如图① (1)这条抛物线的表达式为 (写出自变量x的取值范围). (2)隧道下的公路是双向行车道（正中间是 一条宽1m的隔离带)，其中一条行车道能 否行驶宽3.5m、高5.8m的特种车辆？请 通过计算说明. (3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形脚手 架ABCD,使点A,D在抛物线上，点B,C 在地面OM上，如图②.为了筹备材料，需求 出脚手架三根木杆AB,AD,DC的长度和 的最大值，请你帮施工队计算一下 图① 图② 知识要点归纳 1,用二次函数求几何图形面积最值的一般步骤： (1)理解题意，分析几何图形，分析问题中的变量 与常量，以及它们之间的关巢；(2)利用题目中的 已知条件和学过的有关数学公式，把两个变量 (共中一个变量为因形的面积)写成三次西数 表达式的形式：(3)求二次函数的最大（小）】 值：(4)检险结果的合理性 2.用二次函数解决抛物线形问凝：一般是利用数 形结合思想和西数思想，首先合理建主平面直角 坐标亲，然后设出适当的函数表达式，由已知点所 在的位置，利用待定系数法求出未知量，从而得出 函数表达式，再利用二次函数的性质去解决问题. 下册第二章