第2章 2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

时，y随x的增大而减小， .若h<1≤r≤3，则当x=1时，y取得最小值5， .(1一h)2十1=5.解得1=一1，h=3(舍去)：若1≤x≤3 <h,则当r=3时，y取得最小值5，.(3一h)2十1=5，解 得h,=5,h:=1(舍去)：若1<h<3,则当x=h时，y取得 最小值1，不符合题意.综上，h的值为一1或5. 11.y:<y,<y【解析】由题意，得抛物线C,的表达式为y= (x+a)-b. .抛物线C:的对称轴为直线x=一a, .A(一a一2，y1)关于对称轴x=一a的对称点为（一a十2， y1》, 当x>一a时，y随x的增大面增大 -a+1<-a+2<-a+3. .y:<y<y. 12.12【解析】如图，设抛物线y=一3(x+ m)子十k的顶点为C,将抛物线向左平移， 使顶点C落在y轴上的点C‘处，点A,B 分别对应点A',B‘,则平移后的抛物线的 表达式为y=一3x十k.AB=4, B AB=4,.OB=2,即点B的坐标为A:OB:x (2,0).把x=2,y=0代人y=-3x+k,得0=-3×2+k, 解得k=12. 一题多解法《 由题意，得A(一m一2,0)，B(一m+2,0),将 (一m一2,0)代人y=一3(x十m)2+k,得0 一3（一m一2+m)2+k,解得k=12 13.解：(1)小明的说法正确.理由如下： 设该二次函数的顶点坐标为(x,y) 由题意，得x=2m,y=3一4m, .2.x+y=3,即y=-2x十3 “.当m的值变化时，该二次函数图象的顶点始终在直线y =一2x十3上运动. (2)证明：由题意，得该二次函数图象的对称轴为直线x a-5+4m+3+a=a+2m-1. 2 ∴.a十2m-1=2m. .a=1, .P(-4.c) 将P(-4,c)代入y一了红-2m》产+3-4m, 得c=-子(-4-2m)+3-4m=-(m+4)产+15. (w+4)≥0. ∴.一(m十4)2≤0 .-(m+4)2+15≤15， 即c≤15 14.解：(1)y=3 (2)由题意，得点P,的纵坐标为5或一5，则抛物线沿着直 线向上平移了1个单位长度或向下平移了9个单位长度。 即点O,的纵坐标为1或一9. 将y=1代人y=言，得x=3:将y=一9代人y=写， 得x=一27，则点0，的坐标为(3.1)或(-27，一9). 故平移后二次函数图象所对应的函数表达式为y=(x一 3)2+1或y=(x+27)2-9. 第4课时二次函数y=a.r2十br十c的图象与性质 1.C2.C 3.一2【解析】把地物线y=x2一2x一3=(x一1)°一4向左平 移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的搅物线的 表达式为y=(x-1+2)-4+1=(x+1)2-3=x°+2x 2,∴y=x2+bx+c=x+2x-2..c=-2 变式题A 1 4.解：1)把A2.0)代人y=一2r+4十c,得c=一6. 1 (2)由(1)可知该二次函数的表达式为y=一2x十4x一6， 由y一子产十4红-6，得点B的坐标为0，-0. .∴.0B=6. 4 ,地物线的对称轴为直线x■ 2×(-)】 .点C的坐标为(4,0)，.OC■4： ∴.AC=0C-0A=4-2=2. ∴△ABC的面积为号AC0B=7×2×6=6. 5.D6.C7.C 8.D【解析】由图象开口向下可知a<0. 由对称轴为直线=一云>0，得6>0： 一次函数y=x十b的图象经过第一、二，三象限.不经过 第四象限. 9.C【解析】：y=x-2x=(x-1)2一1.∴图象开口向上，对 称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一1)，当x=一1时，y=3, .(一1,3)关于对称轴对称的点的坐标为(3,3).·当x 一1时，函数取得最大值：当x=1时，函数取得最小值，，1 ≤1一13.解得2≤1≤4. 10.解：(1)把(-2,0)代入y=a.r2-2ax-8,得0=4a+4a 8,解得a=1..抛物线的函数表达式为y=x一2x一8. y=x-2.x-8=(x-1)°-9， 抛物线的顶点坐标为(1一9) (2)把x=-4代人y=x-2x-8,得y=(-4)2-2× (一4)一8=16，∴.m=16.把y=7代人函数表达式，得7= x2一2x一8，解得x1=5,x:=一3.n为正数，.n=5, ,点A的坐标为（一4,16），点B的坐标为(5,7).抛物线 开口向上，顶点坐标为(1，一9)，抛物线顶点在AB下方， .-4<x<5,一9≤yp<16, 11.解：(1)将B(3.0)代入抛物线y=一x+mx+3,得0=一3+ 3m+3.解得n=2, ∴.y=-x+2x十3=-(x-1)°十4 .抛物线的顶点坐标为(1,4) (2)如图，连接BC.交抛物线的对称轴( 于点P,则此时PA+PC的值最小 由(1)可得，点C的坐标为(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx+b. 将C(0,3),B(3,0)代人y=kx+b,得 B 10=3k+b, 3=b, 用合 .直线BC的表达式为y=一x+3. ,抛物线的对称轴为直线x=1, 且当x=1时.y=一1+3=2， .当PA十PC的值最小时，点P的坐标为(1,2) 下册参考答案 13△第4课时 二次函数y=( 已课内基础闯关 知识点① 二次函数y=ax2+br十c的图象 与性质 1二次函数y-子x+3x-1有 A.最大值一4 B.最大值一2 C.最小值一4 D.最小值一2 2.对于抛物线y=x2一3.x一1，下列说法错误 的是 A.开口向上 B对称销是直线一号 C.当x>1时，y随x的增大而减小 D顶点坐标为号- 3.抛物线y=x2十bx十c向右平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，所得图象的 表达式为y=x2一2x一3，则c= 变式题要想得到y=x2+4x十6，可以将 抛物线y=x2一2.x十1 () A.向上平移2个单位长度，再向左平移3 个单位长度 B.向下平移2个单位长度，再向右平移3 个单位长度 C.向上平移2个单位长度，再向右平移3 个单位长度 D.向下平移2个单位长度，再向左平移3 个单位长度 4.如下图，已知二次函数y=一 2x2+4x+c 的图象经过点A(2,0). (1)求c的值. (2)若二次函数的图象与y轴交于点B,且 34 九年级数学BS版 x2+bx+c的图象与性质 该二次函数的图象的对称轴与x轴交于点 C,连接BA,BC,求△ABC的面积 知识点②二次函数y=ax2+bx十c与系数 a,b,c的关系 5.如图，直线l为二次函数y=ax2十bx十c(a ≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是 () A.b恒大于0 B.a,b同号 C.b恒小于0 D.a,b异号 第5题图 第6题图 6.已知二次函数y=a.x2十bx十c的图象如图 所示，那么下列判断正确的是 () A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<0 C.a<0,b>0,c>0D.a<0,b<0,c>0 7.如图，抛物线y=ax2+b.x十c过 1 点（一1,0）和点(3,0)，则下列说 法正确的是 ( 第？题国 A.bc<0 B.a+b+c>0 C.2a+b=0 3 D.2b+c=0 已课外拓展提高 8.(2025抚州临川区一模)二次函 数y=a.x2+bx的图象如图所 示，则一次函数y=x十b的图 象一定不经过 () 第8题图 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.已知二次函数y=x2一2x(一1≤x≤t一1)， 当x=一1时，函数取得最大值：当x=1时 函数取得最小值，则t的取值范围是() A.0<t≤2 B.0<t4 C.2≤t≤4 D.t≥2 10.已知抛物线y=a.x2一2a.x一8(a≠0)经过 点(-2,0) (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标 (2)直线（交抛物线于点A(一4，m),B(n, 7),n为正数.若点P在抛物线上且在直线 1下方（不与点A,B重合），分别求出点P 的横坐标与纵坐标的取值范围. 忘综合能力提升 11.几何直观如下图，已知抛物线y=一x2+ m.x十3与x轴交于A,B两点，与y轴交于 点C,点B的坐标为(3,0). (1)求m的值及抛物线的顶点坐标. (2)P是抛物线的对称轴！上的一个动点， 当PA十PC的值最小时，求点P的坐标. yt 知识要点归纳 1.二次西数y=ax2十br十c化成顶点式为y= +会)+ Aa 2.二次函数y=ax2+b.r+c的图象信息与各项 系数的关系：(1)a决定抛物线的开口方向：(2)( 决定抛物线与y轴的交，点位置；(3)a,b的符号 共同决定对称轴的位置 下册第二章