第2章 2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第2课时 二次函数y=ax 已课内基础闯关 知识点① 二次函数y=ax2的图象与性质 1.二次函数y=一2x2的图象大致是 平头卡不 2.抛物线y=2.x,y=一2x,y=x2的共同 性质是 A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 3.几何直观如图，四个函数图象 ①2 对应的表达式分别为①y=a.x2, ②y=bx2,③y=cx2,④y dx2,则a,b,c,d的大小关系是 第3题图 (用“>”连接). 4.已知抛物线y=a.x2经过点A(一2，一4). (1)试判断点B(一3,4)是否在此抛物线上. (2)设点C(x1y1),D(x2,y2).若x1<x2 <0,试判断y1,y2的大小关系， 知识点② 二次函数y=ax2十c的图象 与性质 5.(教材变式)二次函数y=一x2+1与y= 一x2一2的图象的不同之处是 ( A.开口方向 B.对称轴 C.顶点坐标 D.形状 6.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的 是 30 九年级数学BS版 和y=ax2十c的图象与性质 A.y=x2+1 B.y=-x2+1 C.y=2x+1 D.y=-2.x+1 7.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向 下；②与y轴交于点(0,2).这个二次函数的 表达式可以是 8.已知点(3,13)在函数y=a.x2十b的图象上， 当x=一2时，y=8. (1)求a,b的值 (2)若点(6，m),(n,20)也在这个函数的图 象上，求与n的值. 知识点③ 二次函数y=ax2,y=ax2十c的 图象的联系 9.(教材变式)要得到抛物线y= 3x2-4,可将 范物线y-女+2 A.向上平移2个单位长度 B.向下平移2个单位长度 C.向上平移6个单位长度 D.向下平移6个单位长度 10.(2025上海，有改动)将函数y=3.x2的图 象向下平移2个单位长度后，得到的新函 数的表达式为 11.如图所示，已知抛物线甲： y=一2x2一1和抛物线乙 的形状相同，且两条抛物线 :=-2x2-1 的对称轴均为y轴，两个顶 点距离5个单位长度，则抛 第11题图 物线乙的表达式为 ⊙课外拓展提高 12.在同一平面直角坐标系中，一次函数y 一ax十b与二次函数y=a.x2一b的大致图 象可能是 手从 13.如图，正方形ABCD和正 方形CEFG的顶点D,F 1 都在抛物线y=一 r 上，顶点B,C,E均在y 第13题图 轴上.若O是BC边的中点，则正方形 CEFG的边长为 14.某厂房的房顶是用彩钢瓦做的，样式如图 ①所示.彩钢瓦外形呈抛物线形状，最高点 的高度为6m,图②是其示意图，建立平面 直角坐标系.若左、右房檐上点F,G之间 的距离为12m,点G的高度为4m. (1)求抛物线的表达式. (2)若厂房室内宽度AB=10.8m,求侧立 柱BC的高度 图① 图② 已综合能力提升 15.新定义题在平面直角坐标系中，将P,(a, b一a)定义为点P(a,b)的“关联点”.已知： 点A(x,y)在函数y=x2的图象上（如下 图所示)，点A的“关联点”是A (1)请画出函数y=x2一2的图象. (2)如果点A1在函数y=x一2的图象上， 求点A1的坐标。 (3)将P2(a,b一na)(n≠0)定义为点P(a, b)的“待定关联点”.如果点A(x,y)的“待 定关联点”A2在函数y=x2一n的图象上， 试用含n的代数式表示点A2的坐标， 知识要点归纳 1.解决二次西数y=ax2十c的问题要注意： (1)a的符号台图象的开口方向：(2)a的绝对值 相等台抛物线的形状相同：(3)c台顶点的纵 坐标。 2.二次函致y=ax2与y=a.x2十c的图象的联 系：y=Qx告之0时，向上牛移e个单位长度 当(<0时，向下平移||个单位长足 y a.x十c,口诀：上加下减 下册第二章理，得A'B=/1+2)+(-1+4)下=3,2，即AC+BC的 最小值为32 10.解：(1)由题意，得OA=2,△AOP的高为y=x, 58=3×2r=u>0 (2)当S=4时，4=x2,解得x1=2,x:=一2（舍去） .P(2,4). (3)OP'=P'A. ·点P'的横坐标x=之OA=1 把x=1代入y=x”.得y=1. .点P的坐标为(1,1). 11.解：(1)46 (2),y=x关于y轴对称，点A的横坐标为1： .点A的坐标为(1，)，点B的坐标为（一1.）. .“地物圆”的“横径”长为一1一1=一2 收径长为受+=-1中 它的陶度为2女-2 解得11=一3,12=0（舍去），即1的值为一3. 第2课时二次函数y=ax2和y=ax十c的图象与性质 1.D2.B3.a>b>c>d 4.解：(1)将A(-2,一4)代入y=ax2,得a=-1, ∴这个函数的表达式为y=一 当x=一3时，y=一9≠4 ·点B(一3,4)不在此揽物线上， (2)当x<0时，函数值y随x的增大而增大，x1<x2<0, ·y1y, 5.C6.D7.y=一x十2（答案不唯一） 8,解：1市题意得e土怎18解得a。 14a+b=8. 1b=4. (2)由(1)知y=x+4,把(6，m)代入y=x+4,得m=6+ 4=40. 把(1,20)代入y=x2十4，得20=n2十4，解得n=士4. 9.D10.y=3.x2-211.y=-2x2+4 12.D【解析】A.由一次函数的图象可知a<0,b>0,由二次函 数的图象可知a<0,b<0,故选项A不符合题意：B.由一次 函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的图象可知a<0, b<0,故选项B不符合题意：C,由一次函数的图象可知4 0.b0,由二次函数的图象可知a>0,b>0,故选项C不符 合题意：D.由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数 的图象可知a>0,b>0,故选项D符合题意. 13.1+厄【解析】：O是BC边的中点， 设0B=0C=zBC=a,且a>0. 在正方形ABCD中，DC=BC=2a,DC⊥BC, .点D的坐标为（一2a.一a). :D(-20,-a在抛物线y■一22上 1 -a=-z-2a. 1 解得a1一之“：-0（不合题意，合去）， 60c=2 设正方形CEFG的边长为b,且b>0, 12 九年级数学B$版 ..CE-EF6. 0E=0c+CB=7+o, 六点下的坐标为(6，-合-b) “点F(6,-之-6)在抛物线y=-之产上， --6=-2 解得b=1十√厄（负值已舍去）， 即正方形CEFG的边长为1十2， 14.解：(1)由题意知顶点E的坐标为(0,6)，点G的坐标为(6， 4). 设地物线的表达式为y=ax2十6(a≠0)， 则6a+6=4,解得a=一 六地物线的表达式为y=一3+6， 《2)由题意知0B分AB了×10,8=5.4 当r=5.4时y=一18+6=一店×5.4+6=4.38， .BC=4.38m 故侧立柱BC的高度为4.38m. 15.解：(1)如图所示. (2)由题意，得点A(x·y)的“关联点”为 A1(.x,y-x). 由点A(x,y)在函数y=x的图象上， 可得A(x,x), A(-). 又：A,(x2一x)在函数y=x”一2的图象上， ∴x2-x=x-2,解得x=2. 将x=2代人A1(xx一x),得A1(2,2). (3)由题意可知，点A(x,y)的“待定关联点”为A(x,x一 r). :点A2(rx”一x)在函数y=r一n的图象上， x2一x=x2-n. m-nx=0.m(1-x)=0. 又n≠0， x=1, .点A2的坐标为(1,1一n) 第3课时二次函数y=a(x一h)产和y= a(x一h)十k的图象与性质 1.D2.B3.y1<ye变式题>4.D5.B 6.解：(1)：对称轴为直线x=一2. h=-2 y=a(x+2)2-2. 又：抛物线过点(1，一3)， 六-3=a1+29-2.解得a=-片 6=-号x+2)-2 (2)当x>一2时，y随x的增大而减小： 当x=一2时，y有最大值，最大值为一2 7.A8.右上9.y=-3(x-1)-2 10.C【解析】：当r>时，y随x的增大而增大，当x<h