第09讲 方程 （知识点+题型+强化训练）同步讲义与测试 2025-2026学年七年级数学上册（沪科版2024）

第09讲 方程 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.方程的定义 2.方程的解和解方程 3.等式的基本性质 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、等式的性质及其应用 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.方程的定义 1. 方程的定义  含有未知数的等式叫作方程. 2. 方程必须具备的两个条件 (1)是等式，等式的标志是含有“ =”； (2)含有未知数，但未知数的个数不限 . 知识点2.方程的解和解方程 1. 方程的解  使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解 . 2. 解方程  求方程的解的过程叫作解方程 . 3. 方程的解与解方程的关系 (1) 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程； (2) 方程的解是通过解方程求得的 . 知识点3.等式的基本性质 1. 等式的基本性质     性质 1 等式的两边都加上(或减去) 同一个整式，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 .a－c=b－c     性质 2 等式的两边都乘以(或除以) 同一个数(除数不能为 0)，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 (c ≠ 0) .     性质 3(对称性) 如果 ，那么 .     性质 4(传递性) 如果 ， ，那么 . 2. 等量代换的定义 将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换 . 3. 利用等式的基本性质解简单方程的一般步骤 第一步：利用等式的基本性质 1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项、另一边只有常数项的形式； 第二步：利用等式的基本性质 2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，即将未知数的系数化为 1，从而求出方程的解 . 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二、列方程 4．如图，圆的面积为2008，五边形的面积为2024，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（      ） A．17 B．16 C．15 D．14 5．x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 6．列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 题型三、判断是否是方程的解 7．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 8． 方程 的解．（填“是”或“不是”） 9．指出，，各是下列哪个方程的解： (1)； (2)； (3)． 题型四、已知方程的解，求参数 10．若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 11．若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 12．已知是关于的方程的解，求下列各式的值． (1)； (2)． 题型五、等式的性质及其应用 13．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知等式，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）利用等式的基本性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）用适当的数或者式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的． (1)若，则 ， ； (2)若，则 ， ； (3)若，则 ， ； (4)若，则 ， ． 强化训练 一、单选题 1．若是方程：的解，则a的值是（   ） A． B． C．1 D．2 2．方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上（   ） A． B． C． D． 3．下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．运用等式性质进行的变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 6．已知a为整数，关于x的方程的根是质数，且满足，则a等于（    ） A．2 B．2或5 C． D．-2 7．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 8．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 二、填空题 9．列等式表示：比的倍大的数等于的倍，得 10．有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 11．方程从到变形的依据是 ． 12．由方程可得到用x表示y的式子是 ． 13．等式的性质： 把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的 ，则等式成立就可看作是天平保持两边 ； 性质1：等式的两边都加上（或减去） （或式子），所得的结果仍是 ． 表示为：如果a＝b，那么a±c＝a±c； 性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个 的数，结果仍相等， 如果a＝b，那么 ；如果 a＝b( )，那么 ＝ 三、解答题 14．利用等式的性质解下列方程： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 15．老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 16．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 17．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 18．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 19．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 方程 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.方程的定义 2.方程的解和解方程 3.等式的基本性质 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、等式的性质及其应用 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.方程的定义 1. 方程的定义  含有未知数的等式叫作方程. 2. 方程必须具备的两个条件 (1)是等式，等式的标志是含有“ =”； (2)含有未知数，但未知数的个数不限 . 知识点2.方程的解和解方程 1. 方程的解  使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解 . 2. 解方程  求方程的解的过程叫作解方程 . 3. 方程的解与解方程的关系 (1) 方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程； (2) 方程的解是通过解方程求得的 . 知识点3.等式的基本性质 1. 等式的基本性质     性质 1 等式的两边都加上(或减去) 同一个整式，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 .a－c=b－c     性质 2 等式的两边都乘以(或除以) 同一个数(除数不能为 0)，所得结果仍是等式，即如果 ，那么 (c ≠ 0) .     性质 3(对称性) 如果 ，那么 .     性质 4(传递性) 如果 ， ，那么 . 2. 等量代换的定义 将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换 . 3. 利用等式的基本性质解简单方程的一般步骤 第一步：利用等式的基本性质 1，将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子)，使方程逐步转化为一边只有含未知数的项、另一边只有常数项的形式； 第二步：利用等式的基本性质 2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，即将未知数的系数化为 1，从而求出方程的解 . 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、，是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不是等式，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 2．在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为 （填序号）． 【答案】③④ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共个 故选：． 题型二、列方程 4．如图，圆的面积为2008，五边形的面积为2024，两个图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（      ） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】B 【知识点】列方程 【分析】本题考查方程的应用，根据图形可知：，然后整理，即可得到的值． 【详解】解：由图可得，， 化简，得：， 故选：B． 5．x与6的和的2倍等于x的3倍，用方程表示数量关系为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据x与6的和的2倍，即为，x的3倍，即为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：依题意得，， 故答案为：． 6．列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】列方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找出相等关系列出方程． （1）根据温差最高气温最低气温，列出方程即可； （2）根据女生人数总人数女生所占的比例，列出方程即可； （3）根据现售价原来的售价降价的钱数，列出方程即可； （4）根据第一小组平均每天种树的棵数第二小组平均每天种树的棵数，列出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得； （4）解：根据题意，得． 题型三、判断是否是方程的解 7．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入各选项方程，验证等式是否成立。 【详解】A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。 故选：C 8． 方程 的解．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，关键是掌握：方程的解是指使方程两边相等的未知数的值． 把分别代入方程的左右两边计算，再比较两边值是否相等即可判断． 【详解】解：把，，代入方程， ∵方程左边，右边， ∴方程左边≠右边， ∴不是方程的解． 故答案为：不是． 9．指出，，各是下列哪个方程的解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是方程的解； (2)是方程的解； (3)是方程的解； 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入三个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入，左边，右边， 此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入，左边，右边， 此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入，左边，右边， 此时方程左右两边相等，故是方程的解； （2）解：把代入，左边，右边， 此时方程左右两边相等，故是方程的解； （3）解：把代入，左边，右边， 此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入，左边，右边， 此时方程左右两边相等，故是方程的解． 题型四、已知方程的解，求参数 10．若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得 故选：A 11．若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 12．已知是关于的方程的解，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)0 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值． （1）将代入关于x的方程，得到a和b的数量关系并代入计算即可； （2）由（1）得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∴ ． 题型五、等式的性质及其应用 13．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. 若，则，故该选项不正确，不符合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意；     D. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知等式，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，等式的性质：①等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、在等式的两边同时加上1得，原变形错误，故此选项不符合题意； B、在等式的两边同时减去1得，在等式的两边同时乘3得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、在等式的两边同时乘6得，原变形正确，故此选项符合题意； D、在等式的两边同时乘6得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 【答案】 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． 根据等式的性质求解即可． 【详解】解：（1）如果，那么； （2）如果，那么． 故答案为：，． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． （1）根据等式的性质1求解即可； （2）根据等式的性质2求解即可． 【详解】解：（1）如果，那么，根据的是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是， ∴． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）利用等式的基本性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，准确进行计算是解此题的关键． （1）利用等式的基本性质解方程即可； （2）利用等式的基本性质解方程即可； （3）利用等式的基本性质解方程即可； （4）利用等式的基本性质解方程即可． 【详解】（1）解：两边都加上3，得， 所以． （2）解：两边都乘，得， 所以； （3）解：两边都加上6，得， 所以， 两边都除以4，得． （4）解：两边都减去3，得， 所以， 两边都乘，得． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）用适当的数或者式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的． (1)若，则 ， ； (2)若，则 ， ； (3)若，则 ， ； (4)若，则 ， ． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边减5 (2)，根据等式的性质2，等式两边除以 (3)，根据等式的性质1，等式两边加 (4)18，根据等式的性质2，等式两边乘3 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】此题主要考查了等式的基本性质． （1）根据等式的性质1，等式两边同时减5（或加）； （2）根据等式的性质2，等式两边同除以（或同乘）； （3）根据等式的性质1，等式两边同时加； （4）根据等式的性质2，等式两边同乘3． 【详解】（1）解：若，则， 根据等式的性质1，等式两边同时减5， 故答案为：，根据等式的性质1，等式两边减5； （2）解：若，则， 根据等式的性质2，等式两边除以， 故答案为：，根据等式的性质2，等式两边除以； （3）解：，则， 根据等式的性质1，等式两边加， 故答案为：，根据等式的性质1，等式两边加； （4）解：，则， 根据等式的性质2，等式两边乘3， 故答案为：18，根据等式的性质2，等式两边乘3． 强化训练 一、单选题 1．若是方程：的解，则a的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，将代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解： 将代入方程，得：， 解得，， 故选：A． 2．方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键，根据等式的性质进而分析即可求解． 【详解】解： 方程经移项得，这实际上是在方程两边都加上， 故选：D． 3．下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查的是等式的基本性质，掌握移项变号，是解题的关键．根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化“1”逐一判断即可． 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 4．运用等式性质进行的变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 利用等式的性质对每个等式进行变形即可得出答案． 【详解】A、如果，那么，故A正确； B、如果，那么或，故B错误； C、如果，那么，故C正确； D、如果，那么，故D正确． 故选：B． 5．甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重，下面等式不符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程、等式的性质等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据题干可得，如果从甲袋中倒出6千克放入乙袋，则两袋大米一样重，可得，然后根据等式的性质变形逐项判断即可． 【详解】解：∵甲袋有大米千克，乙袋有大米千克．如果从甲袋取出6千克倒入乙袋，则两袋大米一样重， ∴，即A选项正确，不符合题意； ，即B选项错误，符合题意； ， 则，即C选项正确，不符合题意； ，即D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6．已知a为整数，关于x的方程的根是质数，且满足，则a等于（    ） A．2 B．2或5 C． D．-2 【答案】D 【分析】根据各个选项的值，分别将、、分别代入求得x的值，再进行判断即可． 【详解】解：当时，是质数，但，所以不选A，C． 当时，不是质数，所以不选B． 当时，是质数，同时满足，所以选D． 故选：D． 【点睛】本题考查方程的根，解决本题的关键是准确理解质数的概念． 7．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（    ）    A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 【答案】A 【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， 由②得，，即 ∴ ∴，故A不正确，B正确， ，故C，D正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键． 8．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 二、填空题 9．列等式表示：比的倍大的数等于的倍，得 【答案】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可列等式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元一次方程，解题的关键是理解题意． 10．有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是根据等式的两边同时乘以同一个数或除以同一个不为的数等式仍成立进行判断． 【详解】解：若，根据等式的基本性质可得：，故正确； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，则，根据等式的基本性质成立，故正确． 故答案为： ． 11．方程从到变形的依据是 ． 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立. ． 根据等式的基本性质即可解答. 【详解】解：∵方程的两边同时减去，再同时减去，即可得到， ∴依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 12．由方程可得到用x表示y的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 根据等式的性质计算判断即可． 【详解】解：由方程可得到， 放答案为：． 13．等式的性质： 把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的 ，则等式成立就可看作是天平保持两边 ； 性质1：等式的两边都加上（或减去） （或式子），所得的结果仍是 ． 表示为：如果a＝b，那么a±c＝a±c； 性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个 的数，结果仍相等， 如果a＝b，那么 ；如果 a＝b( )，那么 ＝ 【答案】 砝码 平衡 同一个数 等式 不为0 ac＝bc c≠0 【解析】略 三、解答题 14．利用等式的性质解下列方程： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据等式的基本性质：1、等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；2、等式两边同时乘或除相等且不为零的数或式子，两边依然相等．进行求解即可． 【详解】解：（1）两边同时加上12， 得， 于是； （2）两边同时除以0.3， 得， 于是； （3）两边同时加7，得， 化简，得， 方程两边同时除以4， 得； （4）两边同时减2，得， 化简，得， 两边同时乘， 得； （5）两边同时加3，得， 化简，得， 两边同时乘， 得； （6）两边同时加，得， 化简，得， 两边同时除以3，得． 【点睛】本题主要考查了运用等式的基本性质解一元一次方程，熟记等式的两个基本性质是解题的关键． 15．老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 【答案】王聪的说法错误，刘敏的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质即可求解，利用讨论得出是解题的关键． 【详解】解：王聪的说法错误，刘敏的说法正确， 理由如下：当时，为任意数； 当时，． 16．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 17．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， ， 【点睛】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 18．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 【答案】(1)二 (2)没考虑的情况 (3)等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据等式的性质判定即可； （3）根据等式的性质判定即可． 【详解】（1）解：等式变形产生错误的步骤是第二步， 故答案为：二； （2）解：在第二步中，等式两边同时除以，没有考虑的情况，当时，根据等式的性质2，这不合理， ∴错误原因：没考虑的情况； （3）解：运用等式的性质时，等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可）． 19．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， 学科网（北京）股份有限公司 $