专题02 实数的初步认识（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02 实数的初步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根与平方根 理解算术平方根与平方根的概念，掌握其表示方法及性质 基础必考点，选择题中出现频率高，概念混淆错误率高 立方根 理解立方根的概念，掌握其性质及与平方根的区别 中档考点，常与平方根对比考查 实数的概念与分类 理解无理数的概念，掌握实数的分类及在数轴上的表示 概念理解难点 实数的运算与估算 能进行实数的简单运算，会用有理数估算无理数的大致范围 综合应用难点，必考题 知识点01 算术平方根与平方根 算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根. 平方根：如果x2＝a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也称为二次方根. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 表示方法：±表示a的平方根，表示a的算术平方根. ·示例：1.下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2.若一个正数的平方根是－a+2和2a－1，则a＝　 　 ． ·易错点：混淆平方根与算术平方根的概念，忽略平方根的双值性（正负两个值），对的非负性理解不足.（a≥0，≥0） 知识点02 立方根 立方根：如果x3＝a，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根. 性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数. 表示方法：表示a的立方根. ·示例：1.－27的立方根是（　　） A．－2 B．3 C．－3 D．－9 2.方程的解是 　 　 ． ·易错点：混淆立方根与平方根的性质（负数有立方根），立方根符号理解错误，计算时忽略负号. 知识点03 实数的概念与分类 无理数：无限不循环小数叫做无理数 实数：有理数和无理数统称为实数 实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数大小比较：数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大. ·示例：1.无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（　　） A．0.1313 B． C． D． 2.已知a，b为实数，下列说法： ①若ab＜0，且a，b互为相反数，则； ②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝－2a－3b； ③若|a|＞|b|，则（a+b）（a－b）是正数； ④若|a－b|+a－b＝0，则b＞a； ⑤若a＜b，ab＜0且|a－3|＜|b－3|，则a+b＞6，其中正确的是 　 　 ． ·易错点：误认为带根号的数都是无理数，无理数分类错误，在数轴上表示无理数位置不准确. 知识点04 实数的运算与估算 实数的运算：实数的运算顺序与有理数相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减. 实数的估算：用有理数逼近无理数，确定其大致范围. 实数运算的性质：实数范围内，加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算总可以进行，但开方运算不一定. ·示例：1.下列四个实数最大的是（　　） A． －3 B．0 C． D．2 2.比较大小：　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 3.如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点A，则点A表示的数为 ________ ． 4. 若，且x为整数，则x＝ 　 　. 5.把下列各数分别填入相应的集合中． ，，π，3.14，，0，－5.12345…，． （1）有理数集合：{ 　 　 …}； （2）无理数集合：{ 　 　 …}； （3）正实数集合：{ 　 　 …}． ·易错点：不同根式的加减运算错误，估算范围不准确，运算顺序错误. 题型一 平方根与立方根的概念辨析 解｜题｜技｜巧 1.明确平方根与立方根的定义和性质 2.注意平方根的双值性和立方根的单值性 3.利用非负数的性质解决问题 易｜错｜点｜拨 平方根与立方根的性质是易混点，特别注意负数的情况. 【典例1】（2024·江苏南京·期中）下列说法正确的是（ ） A. －4的平方根是－2 B. －8的立方根是－2 C. 1的平方根是1 D. 任何数的算术平方根都是正数 【典例2】已知x+12的算术平方根是4，2x+y－6的立方根是3． （1）求x，y的值； （2）求xy的平方根． 【典例3】求下列各式中的x． （1）4（x+1）2＝1； （2）（2x－1）3＝－27． 【变式1】若，则x的值为　 ． 【变式2】若某正数a的两个平方根分别是2b－1和b+4，c是的整数部分，求－a－3b+c的立方根． 【变式3】已知，求m+n的平方根． 题型二 实数的估算与数轴表示 答｜题｜模｜板 1.找到最接近的两个完全平方数（或完全立方数） 2.确定无理数的大致范围 3.进一步缩小范围，确定更精确的近似值 4.在数轴上标出对应位置 【典例1】已知n为正整数，若，则n的值是　 　 ． 【典例2】如图，以原点B为圆心，BC长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的实数是 　 　 ． 【典例3】我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是1，请回答以下问题： （1）的小数部分是 　 　 ，5的小数部分是 　 　 ． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b1的平方根． （3）若7x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y的值． 【变式1】如图，点O为数轴上的原点，Rt△OAB的两条直角边长分别为OA＝3，AB＝1，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为.（保留画图痕迹，不写画法） 【变式2】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为 　　. 【变式3】如图图形，每个小正方形的边长为1． （1）求图中阴影部分的面积和边长； （2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，求： ①x，y的值； ②（x+y）2的算术平方根． 题型三 实数的混合运算与化简 答｜题｜模｜板 1.先化简各根式（能开方的先开方） 2.合并相同根式 3.按照运算顺序进行计算 4.结果化为最简形式 易｜错｜点｜拨 不是相同根式的加减运算不能直接合并 【典例1】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D． 【典例2】已知x为实数，且，则x2+x+2的算术平方根为（　　） A． B． C．2 D．4 【变式1】阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题： （1）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ； （2）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ； （3）若设整数部分为x，小数部分为y． ①求x与y的值； ②求4x－xy的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知正方形的面积是5，那么它的边长是（　　） A． B． C． D． 2.如果x2＝64，那么的值为（　　） A．±4 B．±2 C．4 D．－2 3.下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是3 B．0的算术平方根是0 C．－16的平方根是－4 D．0.1的立方根是0.001 4.下列说法正确的有　 　 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④π是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 5.若m是无理数，且1＜m＜2，请写出一个符合条件的m：　 　 ． 6.求下列各式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 7.阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若a－2是一个数的算术平方根，则（　　） A．a≥0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≥2 2.已知a2＝36，b3＝27，则a+b的值是（　　） A．9或－3 B．9或－9 C．3或－3 D．3或－9 3.如图，数轴上标注了四段，若，则表示a的点落在段 　 　 （填序号）． 4.已知2x+1的平方根为±5，则－5x－4的立方根是 　 　 ． 5.已知某正数的两个平方根分别是5a+3和5－a，b的算术平方根是3，求3b+a的平方根． 6.如图，把两个面积均为37cm2的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． （1）大正方形纸片的边长为 　 　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的3倍，且面积为27cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 7.先填写表，通过观察后再回答问题． a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 x 2 20 y … （1）表格中x＝ 　 　 ，y＝ 　 　 ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则 　 　 ； ②已知，，用含m的代数式表示n，则n＝ 　 　 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（　　） A． B． C．－a+1 D．a2+1 2.若，那么x的最小整数值是 　 　 ． 3.已知一个正数的两个平方根分别是2a+1和a－4，． （1）求a的值； （2）求（a+b）2的立方根． 4.如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形，所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先面积为1dm2的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为． （1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为 　 　 ，　 　 ． （2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由． （3）若3是4a+5的一个平方根，3a+b－9的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算4a+b－c的平方根． 5.阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分. 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）. ∵4＜7＜9， ∴，即 ∴的整数部分为2． ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且，∴设，其中0＜x＜1，画出边长为10+x的正方形，如图1：根据图中面积，得102+2×10x+x2＝107，当x2较小时，忽略x2，得100+20x＝107． 解得x≈0.35． ∴10+x≈10.35 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分是 　　 ； （2）x是的小数部分，y是的小数部分，则x－y的值是多少？ （3）利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 6.【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a为底的N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： 23＝8，对数的形式为　 　 ；，对数的形式为　 　 ； （2）若loga27＝3，则a＝　 　 ；，则a＝　 　 ； 【理解应用】 （3）若，若logt（5x+y）＝3，求t的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是m，n，且m＞n，若log|m+n|M＝log|m－n|N＝log|m－2n|P＝log|m－3n|Q＝2，化简的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数的初步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根与平方根 理解算术平方根与平方根的概念，掌握其表示方法及性质 基础必考点，选择题中出现频率高，概念混淆错误率高 立方根 理解立方根的概念，掌握其性质及与平方根的区别 中档考点，常与平方根对比考查 实数的概念与分类 理解无理数的概念，掌握实数的分类及在数轴上的表示 概念理解难点 实数的运算与估算 能进行实数的简单运算，会用有理数估算无理数的大致范围 综合应用难点，必考题 知识点01 算术平方根与平方根 算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根. 平方根：如果x2＝a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也称为二次方根. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 表示方法：±表示a的平方根，表示a的算术平方根. ·示例：1.下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】，故A不符合题意；，故B符合题意；，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选B． 2.若一个正数的平方根是－a＋2和2a－1，则a＝　　 ． 【解答】－a＋2和2a－1是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数，即（－a＋2）＋（2a－1）＝0 解得：a＝－1． ·易错点：混淆平方根与算术平方根的概念，忽略平方根的双值性（正负两个值），对的非负性理解不足.（a≥0，≥0） 知识点02 立方根 立方根：如果x3＝a，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根. 性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数. 表示方法：表示a的立方根. ·示例：1.－27的立方根是（　　） A． －2 B．3 C．－3 D．－9 【解答】，故选C． 2. 方程的解是 　 　 ． 【解答】将方程变形可得x3＝－27，解得x＝－3． ·易错点：混淆立方根与平方根的性质（负数有立方根），立方根符号理解错误，计算时忽略负号. 知识点03 实数的概念与分类 无理数：无限不循环小数叫做无理数 实数：有理数和无理数统称为实数 实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数大小比较：数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大. ·示例：1.无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（　　） A．0.1313 B． C． D． 【解答】A，0.1313是有限小数，是有理数；B，，是无线循环小数，是有理数；C，，所以是有理数；D，π是无线不循环小数，是无理数，所以是无理数．故选D． 2.已知a，b为实数，下列说法： ①若ab＜0，且a，b互为相反数，则； ②若a＋b＜0，ab＞0，则|2a＋3b|＝－2a－3b； ③若|a|＞|b|，则（a＋b）（a－b）是正数； ④若|a－b|＋a－b＝0，则b＞a； ⑤若a＜b，ab＜0且|a－3|＜|b－3|，则a＋b＞6，其中正确的是 　 　 ． 【解答】①若ab＜0，且a，b互为相反数，则，本选项正确； ②若ab＞0，a、b同号，由a＋b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a＋3b|＝－2a－3b；本选项正确； ③若|a|＞|b|，当a＞0，b＞0，则a＞b，a－b＞0，a＋b＞0，（a＋b）（a－b）是正数， 当a＞0，b＜0时，a－b＞0，a＋b＞0，（a＋b）（a－b）是正数， 当a＜0，b＞0时，a－b＜0，a＋b＜0，（a＋b）（a－b）是正数， 当a＜0，b＜0时，a－b＜0，a＋b＜0，（a＋b）（a－b）是正数，本选项正确； ④若|a－b|＋a－b＝0，则|a－b|＝－（a－b），a－b≤0，a≤b，本选项错误； ⑤若a＜b，a－3＜b－3，因为ab＜0，所以a＜0，b＞0，当0＜b＜3时，|a－3|＜|b－3|不符合题意，所以b≥3，3－a＜b－3，则a＋b＞6，本选项正确． 故答案为：①②③⑤． ·易错点：误认为带根号的数都是无理数，无理数分类错误，在数轴上表示无理数位置不准确. 知识点04 实数的运算与估算 实数的运算：实数的运算顺序与有理数相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减. 实数的估算：用有理数逼近无理数，确定其大致范围. 实数运算的性质：实数范围内，加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算总可以进行，但开方运算不一定. ·示例：1.下列四个实数最大的是（　　） A． －3 B．0 C． D．2 【解答】∵－3＜02，故选D． 2. 比较大小：　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【解答】∵4＜5＜9，∴23，∴02＜1，∴．故答案为＜． 3.如图，以一个单位长度为边向上作正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线为半径作半圆，交数轴于点A，则点A表示的数为 ________ ． 【解答】∵正方形的边长为1，∴， ∴，∴点A表示． 4. 若，且x为整数，则x＝ 　 　. 【解答】∵23，且x为整数，∴x＝2． 5.把下列各数分别填入相应的集合中． ，，π，3.14，，0，－5.12345…，． （1）有理数集合：{ 　 　 …}； （2）无理数集合：{ 　 　 …}； （3）正实数集合：{ 　 　 …}． 【解答】（1）有理数集合：{，，3.14，，0…}； （2）无理数集合：{π，－5.12345…，}； （3）正实数集合：{，，π，3.14…}； ·易错点：不同根式的加减运算错误，估算范围不准确，运算顺序错误. 题型一 平方根与立方根的概念辨析 解｜题｜技｜巧 1.明确平方根与立方根的定义和性质 2.注意平方根的双值性和立方根的单值性 3.利用非负数的性质解决问题 易｜错｜点｜拨 平方根与立方根的性质是易混点，特别注意负数的情况. 【典例1】（2024·江苏南京·期中）下列说法正确的是（ ） A. －4的平方根是－2 B. －8的立方根是－2 C. 1的平方根是1 D. 任何数的算术平方根都是正数 【典例2】已知x＋12的算术平方根是4，2x＋y－6的立方根是3． （1）求x，y的值； （2）求xy的平方根． 【解答】（1）由条件可知x＋12＝42，2x＋y－6＝33，∴x＝4，y＝25； （2）∵xy＝4×25＝100，∴xy的平方根为±10． 【典例3】求下列各式中的x． （1）4（x＋1）2＝1； （2）（2x－1）3＝－27． 【解答】解：（1）（x＋1）2， x＋1＝±， 解得：x或x； （2）（2x－1）3＝－27， 2x－1＝－3， 解得：x＝－1． 【变式1】若，则x的值为　 ． 【解答】∵，即一个数的立方根等于它本身，∴2x－4＝0或1或－1， 解得x＝2或x或x． 【变式2】若某正数a的两个平方根分别是2b－1和b＋4，c是的整数部分，求－a－3b＋c的立方根． 【解答】由条件可知2b－1＋b＋4＝0，∴b＝－1，∴a＝（2b－1）2＝9，∵c是的整数部分，， ∴c＝5，∴－a－3b＋c＝－9－3×（－1）＋5＝－1，∴－a－3b＋c的立方根为－1． 【变式3】已知，求m＋n的平方根． 【解答】由题意可得：m－4≥0，解得：m≥4，∴3m≥12，∴－3m≤－12，∴7－3m≤7－12＝－5， ∴7－3m≤0，∴， ∴，∴5－n＝0，m－4＝0，解得：n＝5，m＝4， ∴m＋n＝5＋4＝9，∴m＋n的平方根为±3． 题型二 实数的估算与数轴表示 答｜题｜模｜板 1.找到最接近的两个完全平方数（或完全立方数） 2.确定无理数的大致范围 3.进一步缩小范围，确定更精确的近似值 4.在数轴上标出对应位置 【典例1】已知n为正整数，若，则n的值是　 　 ． 【解答】∵，∴，∴n＝5 【典例2】如图，以原点B为圆心，BC长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的实数是 　 　 ． 【解答】如图所示：，故点A所表示的数是：． 【典例3】我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是1，请回答以下问题： （1）的小数部分是 　 　 ，5的小数部分是 　 　 ． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a＋b1的平方根． （3）若7x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y的值． 【解答】（1）∵34，∴的整数部分是3，小数部分为3，∵34，∴－43， ∴1＜52，∴5的整数部分是1，小数部分为51＝4， 故答案为：3，4； （2）∵，即910，∴的整数部分a＝9，又∵12，∴的整数部分为1，的小数部分b1，∴a＋b1＝911＝9，∴a＋b1的平方根为±±3； （3）∵23，∴9＜710，又∵7x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝9，y＝792，∴x－y92＝11， 答：x－y的值为11． 【变式1】如图，点O为数轴上的原点，Rt△OAB的两条直角边长分别为OA＝3，AB＝1，且点A在数轴上，请你在数轴的负半轴上画出点C，使得点C表示的数为.（保留画图痕迹，不写画法） 【解答】∵∠OBA＝90°，OA＝3，AB＝1，∴， ∴以点O为圆心、OB长为半径画弧，与数轴的负半轴的交点C，如图， 则点C即为所求． 【变式2】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为 　　. 【解答】∵正方形的面积为7，∴正方形的边长为，∴，∴点E表示的数为． 【变式3】如图图形，每个小正方形的边长为1． （1）求图中阴影部分的面积和边长； （2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为的整数部分，求： ①x，y的值； ②（x＋y）2的算术平方根． 【解答】解：（1）根据题意可得， ＝13， 边长为：．故答案为：13，； （2）①∵，， ∴，， ∴，y＝3， ②由题意可得：， 即（x＋y）2的算术平方根为． 题型三 实数的混合运算与化简 答｜题｜模｜板 1.先化简各根式（能开方的先开方） 2.合并相同根式 3.按照运算顺序进行计算 4.结果化为最简形式 易｜错｜点｜拨 不是相同根式的加减运算不能直接合并 【典例1】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D． 【解答】是有理数，是有理数，是无理数，输出，故选A． 【典例2】已知x为实数，且，则x2＋x＋2的算术平方根为（　　） A． B． C．2 D．4 【解答】∵，∴，∴x－4＝－（2x＋1）， 解得x＝1，∴x2＋x＋2＝4，∴x2＋x＋2的算术平方根为2，故选C． 【变式1】阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题： （1）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ； （2）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ； （3）若设整数部分为x，小数部分为y． ①求x与y的值； ②求4x－xy的值． 【解答】（1）∵，∴，∴的整数部分是1，小数部分是， 故答案为：1，； （2）∵，∴，∴的整数部分是2，小数部分是：1， 故答案为：2，； （3）①∵，∴，∴，∴， ∴整数部分x＝1，小数部分； ②∵x＝1，， ∴． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.已知正方形的面积是5，那么它的边长是（　　） A． B． C． D． 【解答】∵正方形的面积是5，5的平方根为，∴正方形的边长为，故选B． 2.如果x2＝64，那么的值为（　　） A．±4 B．±2 C．4 D．－2 【解答】由条件可知，∴当x＝8时，，当x＝－8时，，故选B． 3.下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是3 B．0的算术平方根是0 C．－16的平方根是－4 D．0.1的立方根是0.001 【解答】解：A、，3的算术平方根是，原说法错误，故本选项不符合题意； B、0的算术平方根是0，原说法是正确的，故本选项符合题意； C、负数没有平方根，原说法错误，故本选项不符合题意； D、0.001的立方根是0.1，原说法错误，故本选项不符合题意．故选B． 4.下列说法正确的有　 　 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④π是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【解答】实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意；是无理数，故②不符合题意；不带根号的数都是有理数，描述错误，如π，故③不符合题意；π是无理数；故④不符合题意；数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意；的相反数是，故⑥符合题意．故答案为：①⑥． 5. 若m是无理数，且1＜m＜2，请写出一个符合条件的m：　 　 ． 【解答】∵12，∴符合条件的m可以是，故答案为：（答案不唯一）． 6.求下列各式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式＝0.7；（2）原式＝±；（3）原式；（4）原式＝0.9． 7.阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根． 【解答】（1）∵，∴的整数部分为4，的小数部分为， （2）∵，∴的整数部分为2，的小数部分为， ∵，即，∴的整数部分为b＝3， 则 ∴的平方根为±1 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.若a－2是一个数的算术平方根，则（　　） A．a≥0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≥2 【解答】由题意得，a－2≥0，解得a≥2，故选D． 2.已知a2＝36，b3＝27，则a＋b的值是（　　） A．9或－3 B．9或－9 C．3或－3 D．3或－9 【解答】∵a2＝36，b3＝27，∴a＝±6，b＝3，当a＝6时，b＝3，则a＋b＝9，当a＝－6时，b＝3，则a＋b＝－3，故选A． 3.如图，数轴上标注了四段，若，则表示a的点落在段 　 　 （填序号）． 【解答】∵，∴，∴表示a的点落在段④． 4.已知2x＋1的平方根为±5，则－5x－4的立方根是 　 　 ． 【解答】由题意得：2x＋1＝25，解得：x＝12，－5x－4＝－5×12－4＝－64，－64的立方根是－4. 5.已知某正数的两个平方根分别是5a＋3和5－a，b的算术平方根是3，求3b＋a的平方根． 【解答】由条件可知5a＋3＋5－a＝0，解得a＝－2，∵b的算术平方根是3，∴b＝9， 3b＋a＝3×9＋（－2）＝25，，∴3b＋a的平方根为±5． 6.如图，把两个面积均为37cm2的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． （1）大正方形纸片的边长为 　 　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的3倍，且面积为27cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【解答】（1）由题意得：大正方形的面积为37×2＝74cm2， ∴大正方形纸片的边长为， （2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片， 由条件可设长方形纸片的长和宽分别是3x cm，x cm， ∴3x•x＝27，∴x2＝9， ∵x＞0，∴x＝3，∴长方形纸片的长是9cm， ∵， ∴沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 7.先填写表，通过观察后再回答问题． a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 x 2 20 y … （1）表格中x＝ 　 　 ，y＝ 　 　 ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则 　 　 ； ②已知，，用含m的代数式表示n，则n＝ 　 　 ． 【解答】（1）根据题意可知，，∵a＝40000，，． （2）①根据题意可知，到被开方数扩大到原来100倍，∵，∴； ②∵，，∴，∴，∴． 故答案为：①26.5；②． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（　　） A． B． C．－a＋1 D．a2＋1 【解答】解一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是，故选B． 2.若，那么x的最小整数值是 　 　 ． 【解答】∵，∴，∵，∴，∴， ∴－4＜x＜3，故x的最小整数值是－3， 3.已知一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，． （1）求a的值； （2）求（a＋b）2的立方根． 【解答】（1）∵一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，∴2a＋1＋a－4＝0， 解得：a＝1； （2）∵a＝1，，（a＋b）2 ＝8， ∴（a＋b）2的立方根． 4.如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形，所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先面积为1dm2的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为． （1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为 　 　 ，　 　 ． （2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由． （3）若3是4a＋5的一个平方根，3a＋b－9的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算4a＋b－c的平方根． 【解答】（1）解：由题意得，小正方形的面积为1，∴小正方形的对角线为．∴． ∴点A表示的数为，点B表示的数为．故答案为：，． （2）由题意得，大正方形面积为：（1＋2）2＝9，两个小长方形面积为：2×1×2＝4，∴小正方形面积为：9－4＝5，由算术平方根知识可得，长方形对角线长度为； （3）由题意得，，解得， 由（2）题所求，图3中小正方形边长：x，且23，∴x的整数部分为2，即c＝2， ∴4a＋b－c＝4×1＋14－2＝4＋14－2＝16．∵（±4）2＝16，∴，∴4a＋b－c的平方根是±4． 5.阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分. 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）. ∵4＜7＜9， ∴，即 ∴的整数部分为2． ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且，∴设，其中0＜x＜1，画出边长为10＋x的正方形，如图1：根据图中面积，得102＋2×10x＋x2＝107，当x2较小时，忽略x2，得100＋20x＝107． 解得x≈0.35． ∴10＋x≈10.35 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分是 　　 ； （2）x是的小数部分，y是的小数部分，则x－y的值是多少？ （3）利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程） 【解答】（1）∵25＜29＜36，∴，即， ∴的整数部分是5，∴的小数部分是； 故答案为：； （2）∵9＜15＜16，∴，即，∴的整数部分是3， ∴的整数部分是1，的整数部分是8，∴ 的小数部分是，即； 的小数部分是，即， ∴； （3）∵面积为123的正方形的边长是，且，∴设，其中0＜x＜1． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积得：112＋2×11x＋x2＝123， 当x2 较小时，忽略x2，得112＋2×11x≈123，解得：x≈0.09， ∴． 6.【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a为底的N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： 23＝8，对数的形式为　 　 ；，对数的形式为　 　 ； （2）若loga27＝3，则a＝　 　 ；，则a＝　 　 ； 【理解应用】 （3）若，若logt（5x＋y）＝3，求t的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是m，n，且m＞n，若log|m＋n|M＝log|m－n|N＝log|m－2n|P＝log|m－3n|Q＝2，化简的值． 【解答】（1）由条件可知23＝8对数的形式为log28＝3；∵，∴对数的形式为； 故答案为：log28＝3，； （2）若loga27＝3，则a3＝27，解得a＝3； 若，则，解得（舍负）， 故答案为：3，； （3）∵， ∴，解得或， ∵logt（5x＋y）＝3，∴t3＝5x＋y， 当x＝5，y＝2时，t3＝5x＋y＝5×5＋2＝27，t＝3； 当x＝－4，y＝29时，t3＝5x＋y＝5×（－4）＋29＝9，； （4）由条件可知M＝（|m＋n|）2，N＝（|m－n|）2，P＝（|m－2n|）2，Q＝（|m－3n|）2， ∴， ∵由图形可得0＜2n＜m＜3n， ∴ ＝m＋n＋m－n－（m－2n）＋（m－3n） ＝m＋n＋m－n－m＋2n＋m－3n ＝2m－n． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $