重难点培优01 直线和圆中常见的最值范围问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 直线和圆中常见的最值范围问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 斜率的几何意义应用（★★★★） 3 题型二 两点间的距离公式几何意义应用（★★★★） 4 题型三 点到线的距离（★★★★★） 4 题型四 两平行线间的距离（★★★★） 5 题型五 将军饮马问题（★★★★★） 6 题型六 点与圆的位置关系（★★★★★） 7 题型七 直线与圆的位置关系（★★★★★） 7 题型八 圆与圆的位置关系（★★★★） 8 题型九 圆的参数方程（★★★） 9 03 实战检测・分层突破验成效 10 检测Ⅰ组 重难知识巩固 10 检测Ⅱ组 创新能力提升 12 一、常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 二、三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 五：直线与圆的位置关系最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 六、：圆的参数方程（供了解） 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 题型一 斜率的几何意义应用 【技巧通法·提分快招】 斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 1．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 2．（2025高三下·天津·专题练习）已知实数满足，则点的轨迹为 ，的取值范围为 3．（24-25高三下·河北沧州·月考）在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ． 4．点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 题型二 两点间的距离公式几何意义应用 【技巧通法·提分快招】 点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 1．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（25-26高三上·辽宁·月考）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．函数的最大值为 . 4．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 . 题型三 点到线的距离 【技巧通法·提分快招】 点到直线的距离公式：点到直线的距离． 1．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．若函数与的图像有交点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（2025·重庆·模拟预测）已知点 在直线 上，过点 的两条直线与圆 分别相切于 两点，则圆心 到直线 的距离的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 6．设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 7．在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是 . 题型四 两平行线间的距离 【技巧通法·提分快招】 直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 1．直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．两平行直线、分别过点，，它们分别绕旋转，，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是 题型五 将军饮马问题 【技巧通法·提分快招】 对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y). （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0. （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 4．已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 5．已知圆，直线，为直线上一动点，为圆上一动点，定点，则的最小值为 . 6．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 7．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 题型六 点与圆的位置关系 【技巧通法·提分快招】 圆上的点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 （1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和； （2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时； （3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0． 1．已知圆上一点，则的最大值为 . 2．（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 3．已知实数满足关系：，则的最小值 ． 4．已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 直线与圆的位置关系 【技巧通法·提分快招】 1、设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. 2、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 1．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 4．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 7．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 题型八 圆与圆的位置关系 【技巧通法·提分快招】 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 1．（24-25高三上·江西宜春·月考）已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·三模）已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 3．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为 . 4．（2024·河北保定·二模）已知点为的中点，动点分别满足，则的最大值为 . 5．（24-25高三下·上海·月考）已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为 ． 题型九 圆的参数方程 【技巧通法·提分快招】 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 1．已知实数，满足，则的最大值是 ． 2．已知实数满足．则的最大值是 ． 3．（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 4．（2024·河南·模拟预测）已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．圆上的点到直线的距离的最大值为（   ）． A．3 B．5 C． D． 2．若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，点在圆上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．8 D．3 5．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆相切，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 7．（25-26高三上·山西长治·月考）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 8．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 11．已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为 . 13．已知在直线上，则的最小值为 ． 14．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 15．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 16．已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 17．已知满足，则的取值范围是 . 18．已知函数，则的最小值为 ． 19．，，函数的最小值为 . 20．（24-25高三上·江西宜春·月考）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 21．已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 22．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ． 23．设． (1)求曲线在点的切线方程． (2)设点在曲线上，点在直线上，求的最小值. 24．若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线E:+=1，是曲线E上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 5．在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为 ． 6．为等边内一动点，且，则的最小值为 ． 7．已知实数满足，则的最大值为 ． 8．已知，，则的最小值为 . 9．已知，，则的最小值为 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 直线和圆中常见的最值范围问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 斜率的几何意义应用（★★★★） 3 题型二 两点间的距离公式几何意义应用（★★★★） 6 题型三 点到线的距离（★★★★★） 9 题型四 两平行线间的距离（★★★★） 13 题型五 将军饮马问题（★★★★★） 15 题型六 点与圆的位置关系（★★★★★） 21 题型七 直线与圆的位置关系（★★★★★） 23 题型八 圆与圆的位置关系（★★★★） 27 题型九 圆的参数方程（★★★） 30 03 实战检测・分层突破验成效 32 检测Ⅰ组 重难知识巩固 32 检测Ⅱ组 创新能力提升 47 一、常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 二、三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 五：直线与圆的位置关系最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 六、：圆的参数方程（供了解） 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 题型一 斜率的几何意义应用 【技巧通法·提分快招】 斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 1．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 2．（2025高三下·天津·专题练习）已知实数满足，则点的轨迹为 ，的取值范围为 【答案】 圆 【分析】利用圆的性质，求得切线的斜率，利用数形结合思想，结合斜率的变化规律求得范围. 【详解】由题意，点为圆上的点，故其轨迹为圆，设，且，可得表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的点，如图所示: 在直角中，可得， 可得直线的斜率为； 在直角中，可得， 可得直线的斜率为， 所以的范围为. 故答案为：圆；. 3．（24-25高三下·河北沧州·月考）在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将所求变形成，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解. 【详解】因为动点到两点的距离的平方和为10，所以， 化简上述等式得到动点的轨迹方程为，故点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆． 因为，其中可看作是点与点连线的斜率， 设直线，即，则圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得或， 所以的取值范围为． 故答案为：. 4．点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    题型二 两点间的距离公式几何意义应用 【技巧通法·提分快招】 点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 1．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 2．（25-26高三上·辽宁·月考）已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 3．函数的最大值为 . 【答案】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2025·陕西西安·一模）已知，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】把问题转化为两点之间线段最短，再求两点之间的距离即可. 【详解】因为， 所以. 所以表示圆上的点到与到的距离和. 如图：    所以（当为线段与圆的交点时取等号）. 故答案为： 题型三 点到线的距离 【技巧通法·提分快招】 点到直线的距离公式：点到直线的距离． 1．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解. 【详解】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而原点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D. 2．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 3．若函数与的图像有交点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为方程有解，即有解，设，则，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方，进而求解即可 【详解】由题，令，所以，即， 所以方程有解， 设，则， 将关于的方程看成关于的直线方程， 则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方， 所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以当时能取得最小值，此时， 所以的最小值为. 故选：C． 4．（2025·重庆·模拟预测）已知点 在直线 上，过点 的两条直线与圆 分别相切于 两点，则圆心 到直线 的距离的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用两圆方程相减求出相交弦，再用点到直线的距离公式求出距离，再利用函数思想求最大值即可. 【详解】 由图可知，所以四点共圆， 设，则该圆心为，半径为， 所以该圆方程为， 整理得：，由它与圆的方程相减，得两圆相交弦的方程：， 所以圆心到直线的距离为：， 又因为点在直线上，则， 代入消元得： ，当时取等号. 故选：C. 5．已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解. 【详解】设，则在直线上， 又因为在圆上， 所以直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值为. 故答案为：. 6．设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设切点为，由切线与平行即可求出切点，最后由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设切点为，则切线与平行， 即有，所以，所以切点为， 当点为切点时，点到直线距离最小， 由点到直线的距离公式有， 故答案为：. 7．在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先将转化为点到两直线距离之和的5倍，根据取值与无关得出距离和与位置无关，再由圆心到直线距离判断圆与直线相离，最后根据直线与圆相切求出的值并确定的取值范围. 【详解】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的取值与无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相离，如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离，此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或，所以. 故答案为： 题型四 两平行线间的距离 【技巧通法·提分快招】 直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 1．直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】 直线，， 直线，即，， ，显然两直线不重合， ，即最小值即为两直线间的距离， 由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1． 故选：B． 2．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线，利用平行的距离公式求距离最大值. 【详解】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线， 令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x， 则，，可得， 对于直线，与直线距离为； 对于直线，与直线距离为； 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：A 3．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 4．两平行直线、分别过点，，它们分别绕旋转，，但始终保持平行，则、之间的距离的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意分析可知，即可得结果. 【详解】设、之间的距离为， 若平行直线、分别过点，，则， 当且仅当、与直线垂直时，等号成立， 所以、之间的距离的取值范围是. 故答案为：. 题型五 将军饮马问题 【技巧通法·提分快招】 对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y). （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0. （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【详解】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 2．在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 3．已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】作关于轴的对称点，由此将问题转化为“求的最小值”，然后判断出最小值即为到的距离，代入公式可求结果. 【详解】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 4．已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标. 【详解】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 5．已知圆，直线，为直线上一动点，为圆上一动点，定点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出圆心关于直线的对称点的坐标，可知，根据圆的几何性质可得出，再利用当且仅当、、三点共线，且为线段与圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，则直线与圆相离， 设点关于的对称点为，则，解得， 即，由对称性可知，，, 因为为圆上一点，则， 所以. 当且仅当、、三点共线，且为线段与圆的交点时， 上述两个等号同时成立，故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）. 6．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用轴对称求得对称点，结合图象，可得答案. 【详解】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下： 的周长. 故答案为：. 7．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得圆关于直线对称的圆为圆，将原问题转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题求解. 【详解】圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得：， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点对称，则有， 原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线交于点， 此时点是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 题型六 点与圆的位置关系 【技巧通法·提分快招】 圆上的点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 （1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和； （2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时； （3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0． 1．已知圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 2．（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出的值，即可得出的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 3．已知实数满足关系：，则的最小值 ． 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，数形结合可得答案. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心 坐标为，圆的半径 ， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离； 如图 ， ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 4．已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意由圆中几何意义求解表达式范围即可. 【详解】由题知， 设为圆上一动点， 设， 因为，所以在圆外， 则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方， 因为，圆半径， 所以，即 所以. 故选：D 题型七 直线与圆的位置关系 【技巧通法·提分快招】 1、设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. 2、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 1．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 2．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为， ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴，∴. 故选：B. 3．直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 4．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆的圆心为，半径为，利用勾股定理求出的值，利用圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的标准方程为， 所以，圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，点在以点为圆心，半径为的圆上， 点到直线的距离为， 所以，. 故选：C. 5．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，则直线的方程为， （注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是）， 化简可得：， 所以圆心到直线的距离为： 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 6．已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 7．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 题型八 圆与圆的位置关系 【技巧通法·提分快招】 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 1．（24-25高三上·江西宜春·月考）已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息，结合几何图形得当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线上存在两点，使得成立， 得以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，    圆心到直线的距离， 所以. 故选：A 2．（2025·江西·三模）已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点之间距离的最小值. 【详解】因为圆，圆， 所以圆心，圆的半径为1；圆心，圆的半径为1. 两圆心之间的距离为，所以两圆相离. 所以的最小值为. 故答案为：2. 3．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点.若直线过点，则原点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】两圆方程相减得到公共弦方程，求出定点的坐标，当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 【详解】圆与圆相减可得公共弦所在直线为， 令，解得，即， 又直线过点，所以当时，原点到直线的距离的最大值，最大值为. 故答案为： 4．（2024·河北保定·二模）已知点为的中点，动点分别满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由条件计算的轨迹方程，根据圆与圆的位置关系可求出的最大值. 【详解】由题意可知：点的坐标为，， 由得：点在以为直径的圆上，则圆方程为， 设，由，得， 整理得，即， 设，则点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为. 故答案为： 5．（24-25高三下·上海·月考）已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为 ． 【答案】20 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】    由整理得：，可得圆心，半径为， 取可得，解得或，则； 取，可得，解得或，则. 因圆与圆相外切，且半径为，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图所示. 则点的轨迹方程为， ， 于是，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为20. 故答案为：20. 题型九 圆的参数方程 【技巧通法·提分快招】 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 1．已知实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用圆的参数方程思想，引入参数来表示、，代入后得到关于的三角函数来求最值. 【详解】由得：， 所以可设，, 则, 因为， 所以的最大值是， 故答案为：. 2．已知实数满足．则的最大值是 ． 【答案】 【分析】配方已知等式，利用三角换元法，结合三角函数知识可得答案. 【详解】因为，所以， 令得，其中， 因为，所以，所以的最大值是. 故答案为： 3．（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】写出圆的参数方程，进而可得点坐标，结合两点间距离公式转化为求三角函数的最值即可. 【详解】如图所示， 因为圆：的参数方程为， 所以设点，则的中点， 所以， 当时，取得最大值为. 故答案为：. 4．（2024·河南·模拟预测）已知点是圆 C 上的任意一点，则 的最大值为（    ） A．25 B．24 C．23 D．22 【答案】A 【分析】设 代入算式中由倍角公式化简，利用基本不等式求积的最大值. 【详解】点是圆 C 上的任意一点，设 则 ， 当且仅当 时，等号成立. 的最大值为25. 故选：A 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．圆上的点到直线的距离的最大值为（   ）． A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案 【详解】圆的圆心为，半径，则 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为， 故选：B 2．若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】将圆化为标准方程为， 故圆的圆心为，半径， 因为，故点在圆的内部， 且， 所以的取值范围为：. 故选：C 3．已知圆，点在圆上，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先拆分所求式为，利用表示的几何意义，将最大值问题转化为直线与圆的相切问题解决. 【详解】由， 由于点为圆上任意一点， 如图，可将看作圆上任意一点与点所在直线的斜率， 由图知，当直线与圆相切于第一象限时，直线的斜率最大， 此时，易得，， 因轴，故直线的斜率， 故的最大值为. 故选：C． 4．记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．8 D．3 【答案】A 【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径， 因为，所以两圆外离， 因为点为圆上的动点，所以， 所以的最大值为. 故选：A. 5．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】因为实数满足，所以点在圆上， 圆心，半径. 设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点. 如下图所示：    所以圆心到直线的距离，即，解得， 则的取值范围为. 故选：A 6．已知圆与圆相切，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，按两圆外切和内切分类讨论求出最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为1， 若圆与圆外切，则，即， 则，当且仅当时取等号； 若圆与圆内切，则，即， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C 7．（25-26高三上·山西长治·月考）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 8．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即可得解. 【详解】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即， 所以， 故选：A 9．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 10．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 11．已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两圆圆心坐标，作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 作圆心关于轴的对称点，由对称性可知，， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，取最小值. 故选：B. 12．已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为 . 【答案】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，由圆的几何性质可知最大值为. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 圆上的点到的距离最大值为. 故答案为：. 13．已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 14．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 15．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解． 【详解】如图所示，   得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为. 故答案为：3. 16．已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【详解】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为： 17．已知满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为圆上动点到定点的距离的平方，从而得解. 【详解】表示圆上的动点与原点的距离的平方， 因为圆的圆心，半径，则， 因为，所以， 则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 18．已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 19．，，函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解. 【详解】设点，和直线， ，到的距离分别为，，易知， 如图，    显然. 故答案为： 20．（24-25高三上·江西宜春·月考）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】根据给定条件，求出点与直线上的点距离和的最小值，再减去两圆半径和即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则，解得，即， ，则 ，当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 21．已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆，表示该圆上的点与原点的连线的斜率，表示圆上的点到直线的距离，从而由直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以．    故答案为：，. 22．已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ． 【答案】15 【分析】根据题意，写出圆的参数方程，然后将两点坐标表示成参数方程形式，并根据的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数的性质即可求解最大值. 【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数）， 因为、是圆上的两个不同的动点， 可令，；，，且， 所以、， 由可得：， 又因为，所以， 所以 ， 其中，， 所以，当时，取得最大值15. 故答案为：15. 23．设． (1)求曲线在点的切线方程． (2)设点在曲线上，点在直线上，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求得曲线在点的切线方程． （2）通过平移的方法，结合导数以及点到直线的距离公式求得的最小值. 【详解】（1）因为，则，所以，， 所以，曲线在点的切线方程为，即. （2）根据题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点与直线间的距离最近， 设切线方程为， 由（1）可知，当切线斜率为时，切点坐标为，此时切线方程为， 此时，从点向直线作垂线，垂足为，此时取最小值， 即，所以的最小值为. 24．若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1），由几何意义得表示圆弧上的点到距离的平方减1，利用图象求最值即可求解； （2）令，易得与圆弧边界相交时取得最小值，相切时取得最大值，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； （3）由得几何意义，表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象求解即可； （4）由，而表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象得到的范围即可求解. 【详解】（1）根据题意，表示以为圆心，半径为1的圆弧， ，表示圆弧上的点到距离的平方减1， 又，， 所以的最大值为，最小值为， 故的取值范围为. （2）令， 当直线与圆弧交于点时取得最小值； 当直线与圆弧相切，即圆心到直线距离， 解得或（舍），此时， 所以的取值范围为. （3）表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小为，最大为， 所以的取值范围为. （4）， 而表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小值为， 当直线与圆弧相切时取得最大值，设， 圆心到直线的距离，解得或（舍）， 所以的取值范围为. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 2．已知曲线E:+=1，是曲线E上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得曲线轨迹，利用可看成是点到直线的距离的两倍，当点在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值. 【详解】由，当时，方程为， 当时，方程为，当时，方程为， 如图，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆的一部分， 可看成是点到直线的距离的两倍. 由图可知，点在椭圆上时，距离最大. 设， 则，其中，则. 故选：C. 3．已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据条件可将转化为函数图象的点到直线上的点的距离，数形结合，求解最小值为两直线平行时的距离，即可得到的最小值，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】解：由题意可知在的图象上， 在的图象上， 由，得， 所以可转化为函数图象的点到直线上的点的距离， 对于，， 当时，，当时，， 当时，；当时，由于增加的速度小于x增加的速度，故； 由此可作出和的图象，如图： 结合图象可知有最小值，无最大值，AB错误； 又因为与直线平行的直线的斜率为， 令，解得， 则的与平行的切线的切点坐标为， 所以到直线的距离为， 所以的最小值为，此时，所以D正确，C错误， 故选：D 4．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知，则（   ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】A选项表示圆上一点到点的距离，即最小值为；圆上一点到直线的距离为，，即为到直线的距离减半径，求出，即可得判断B；表示圆上一点到点距离之和，由此求解可判断C；化简D选项可知D表示圆上一点到点距离之差的2倍，由此求解可判断D. 【详解】方程的圆心为， 对于A，表示圆上一点到点的距离， ， 所以的最小值是，故A正确； 对于B，圆上一点到直线的距离为， ，所以求的最小值，即求， 所以即为到直线的距离减半径， 所以到直线的距离为， 所以，所以的最小值为，故B错误； 对于C，因为，所以 表示圆上一点到点距离之和， 所以，当三点在一条直线上时取等， 故的最小值是，故C正确； 对于D，因为，所以 ， 表示圆上一点到点距离之差的2倍， 所以，当三点在一条直线上时取等， 的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 5．在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可知等于点到点的距离，且点在直线，结合将军饮马问题分析求解即可. 【详解】设为，则， 则， 可知等于点到点的距离， 由题意可知：点在与直线平行的直线上，且两平行线间距离为， 设直线， 则，解得， 即点在直线， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．为等边内一动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长至，使得，以点为圆心，为半径作圆弧，由条件确定点在弧上，建立平面直角坐标系，求点所在圆的方程，利用参数方程表示，结合三角恒等变换求其最小值，由此可得的最小值. 【详解】如图所示， 不妨设等边的边长为2，为的中点， 延长至，使得，以点为圆心，为半径作圆弧， 为内一动点，， 点在弦所对的弧上， 由图可知：当点取与轴的交点时，， 以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， 可得：，，，． 点所在圆的方程为：． 设参数方程为：， ， 令，化为：， 设，， 则， 解得，，故的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用坐标法实现问题的解决，问题解决过程中也需具备一定的平面几何基础.. 7．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】数形结合，把问题转化成圆上的点到直线的距离的最大值问题求解. 【详解】设，， 因为，，所以、为圆上的两点.如图：    则. 又，所以， 取中点，则. 作直线：，作，，，，垂足分别为，，，. 所以 又，所以. 即. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，根据点到直线的距离公式求解. 8．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】可将目标函数看成，两点的距离，而可看作，两点的距离，再结合图象，结合抛物线的定义，转化为抛物线上到定点与上的的距离之和最小，再结合函数的图象，以及利用导数求最小值. 【详解】条件转化为， 记，，，，， 则， 即原问题转化为抛物线上到定点与上的的距离之和最小， ，当且仅当共线时，等号成立， 令，，， 由于单调增，则是的唯一零点，即有在上单调递增，则，即的最小值为， 则. 故答案为： 9．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $