专题05 二次函数与几何综合压轴十一大题型（期中专项训练）九年级数学上学期人教版

专题05 二次函数与几何综合压轴十一大题型 题型1 二次函数与角相等 题型7 二次函数与等腰三角形存在性问题 题型2 二次函数与线段最值 题型8 二次函数与直角三角形存在性问题 题型3 二次函数与面积综合 题型9 二次函数与等腰直角三角形存在性问题 题型4 二次函数与平行四边形存在性问题 题型10 二次函数与全等三角形存在性问题 题型5 二次函数与菱形存在性问题 题型11 二次函数图像的变换综合问题 题型6 二次函数与矩形存在性问题 题型一 二次函数与角相等（共4小题） 1．（24-25九年级下·福建南平·期中）已知点、都在抛物线上，点P是该抛物线的顶点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)是 三角形，并说明理由； (3)点M是抛物线上的一个动点，当时，求点M的坐标． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 3．（2023·山西·模拟预测）如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． (3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 题型二 二次函数与线段周长（共4小题） 1．（2025九年级·宁夏·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的坐标． 2．（九年级下·西藏·专题练习）如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式. (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 题型三 二次函数与面积综合（共4小题） 1．（25-26九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，顶点为 D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积为 ？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线过点、、．连接，是直线上方抛物线上的动点．过作轴的平行线交直线于点． (1)求，，的值； (2)如图1，连接、、，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连接、、，与交于点，则是否存在点，使与面积相等？若存在，请算出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4.（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 题型四 二次函数与平行四边形存在性问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知轴上一点，在轴上有一动点，过点作轴，的垂直平分线交于点 ．在点的位置发生变化时，点 的位置也随之改变． (1)试猜想点的运动轨迹是什么曲线?设点，求出关于的关系式； (2)直线与轴的夹角为且与曲线交于第三象限的点 ，求的坐标； (3)在（）的条件下，第三象限内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由． 3．（九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 题型五 二次函数与菱形存在性问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 题型六 二次函数与矩形存在性问题（共4小题） 1．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 4．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 题型七 二次函数与等腰三角形存在性问题（共4小题） 1．（九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图1（注：与图2完全相同），在平面直角坐标系中，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小时点P坐标（请在图1中探索）； (3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型八 二次函数与直角三角形存在性问题（共4小题） 1．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 4．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 题型九 二次函数与等腰直角三角形存在性问题（共4小题） 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 3．（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 题型十 二次函数与全等三角形存在性问题（共4小题） 1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 2．（九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标． 3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为S，点P运动时间为t（秒）． (1)当点M与点B重合时，_______秒； (2)当t为何值时，与全等； (3)求S与t的函数关系式． 4．（2024·宁夏吴忠·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点(在的左侧)，其中点，其顶点为的横坐标为，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点为顶点的三角形与全等?若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十一 二次函数图像的变换综合问题（共3小题） 1．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 2．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线与轴交于点，（为坐标原点），抛物线与关于轴对称，点是抛物线在第三象限内的一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点的坐标为_____，抛物线的解析式为_____， (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，与交于点，连接并延长交于点，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 1．已知二次函数的图象与直线相交于点和点，点在轴上，点在轴上，抛物线的顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)现将抛物线向右平移个单位，当抛物线与有且只有一个公共点时，求的值． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，． (1)求a的值及点B的坐标； (2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B． (1)求点A的坐标． (2)当时． ①求抛物线C的解析式； ②连接，M是抛物线C在第一象限部分上的动点，过点M作于点N．当的长度最大时，求点M横坐标的值． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为2的线段，且轴，点Q在点的右侧．若线段沿着x轴方向向右平移，并设平移距离为． ①若抛物线C与线段有公共点，求d的取值范围； ②若抛物线C与线段没有公共点，直接写出d的取值范围． 4．跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 5．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数与几何综合压轴十一大题型 题型1 二次函数与角相等 题型7 二次函数与等腰三角形存在性问题 题型2 二次函数与线段最值 题型8 二次函数与直角三角形存在性问题 题型3 二次函数与面积综合 题型9 二次函数与等腰直角三角形存在性问题 题型4 二次函数与平行四边形存在性问题 题型10 二次函数与全等三角形存在性问题 题型5 二次函数与菱形存在性问题 题型11 二次函数图像的变换综合问题 题型6 二次函数与矩形存在性问题 题型一 二次函数与角相等（共4小题） 1．（24-25九年级下·福建南平·期中）已知点、都在抛物线上，点P是该抛物线的顶点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)是 三角形，并说明理由； (3)点M是抛物线上的一个动点，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)直角，见解析 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出顶点，再根据两点间的距离公式得，，，即，由勾股定理的逆运用即可得出结论； （3）分两种情况讨论：（ⅰ）如图，当时，，先分别求出直线和的解析式，再联立抛物线和直线的解析式，解方程即可得点M的坐标；（ⅱ）如图，作的中点D，连接交抛物线于点M，先根据直角三角形斜边上的中线的性质得，进而得，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立，解方程即可得点M的坐标． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得： 当时，， ∴顶点， 又∵点、， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （3）解：分以下两种情况讨论： （ⅰ）如图，当时，， 由（2）得：点， 设直线：，将，代入得： ， 解得：， ∴直线：， ∵， 设直线：，将点代入得，， ∴ ∴直线：， 联立得， 解得：，， ∴； （ⅱ）如图，作的中点D，连接交抛物线于点M， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵点，点， ∴点， 设直线：，将，代入得： ， 解得：， ∴直线：， 联立得， 解得：，， ∴． 综上所述：点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式、勾股定理、直线与抛物线的交点问题、直角三角形的斜线中线性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想和分类讨论思想的运用是解答的关键． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3) 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）过点作轴于点为第四象限内抛物线上一点，设点，则，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ； （2）解：过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （3）解：设交轴于点，如图， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得： ， ， 令， 解得：， 点的横坐标为， 把代入得：， 点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 3．（2023·山西·模拟预测）如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． (3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)最大值是3， (3)存在，P为或 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点C的坐标，将A，C坐标代入二次函数解析式即可求出b，c，进而得到答案； （2）过点作轴于点，交于点，表示出G点坐标，从而表示出长度，根据即可表示出的面积，再结合二次函数图象性质即可求其最大值和此时E的坐标； （3）过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，分两种情况：当点在直线的右侧时和当点在直线的左侧时进行讨论即可． 本题主要考查二次函数的解析式求解、三角形面积的最大值求解以及特定角度的点坐标求解．需要利用给定的点坐标、直线方程和二次函数的性质来逐步解答各个小问． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 二次函数图象与轴交于两点，点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图①，过点作轴于点，交于点， 设点的坐标是，则点的纵坐标为， 代入直线，得点的横坐标为， 点的坐标是， ， ， ， 的最大值是3，此时点的坐标为； （3）解：存在，如图，过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，情况一：如图②，当点在直线的右侧时， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在与中，， ， ， 易知， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入，得， 直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点的坐标为； 情况二：如图③， 当点在直线的左侧时，同理可得：直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 4．（2025·江苏常州·三模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出时的自变量的值，根据二次函数的对称轴分两种情况进行解答即可； （3）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、点， ∴， 解得 故答案为：，； （2）由（1）可知，二次函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值是5， ∴当时，时取得最大值，即，解得， 当时，时取得最大值，即， ∴或， 故答案为：或； （3）当时，， 即点C的坐标为， ∵点C关于抛物线对称轴对称的点为E，对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 如图，设交轴于点，交于点， ∵轴， ∴， 根据轴对称性可得，， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点E的坐标为，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由， 解得，或 ∴， 设直线交轴于点，点关于直线对称的点为，连接交于点，连接交抛物线于点，此时也满足条件， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 设，则，把代入得到① 由轴对称可得，，则， 即② 由①②得到，或（不合题意，舍去） ∴ 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 由由， 解得，或 ∴ 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了二次函数和一次函数的图象和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，难度较大，准确画图是关键． 题型二 二次函数与线段周长（共4小题） 1．（2025九年级·宁夏·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（九年级下·西藏·专题练习）如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式. (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点P的坐标 (3)存在， 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合及其性质，待定系数法求函数解析式，函数图象中三角形最大面积，轴对称的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）利用一次函数解析式求出点坐标，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴，交于点，假设，则，利用面积公式表示出，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）利用轴对称确定点关于对称轴的对称点为点，连接，交对称轴于点，连接，求出对称轴和点坐标，假设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：直线经过B，C两点．当时，， ∴， 当时，，， ∴， 将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴，交于点， 假设，则， ∴， ， ∵该二次函数的， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 顶点横坐标为，， ∴当时，最大，最大值为， ∴ 所以，面积的最大值为，点P的坐标； （3）解：存在，，理由如下： 如图所示，点关于对称轴的对称点为点，连接，交对称轴于点，连接， 此时，，长为定值，的周长最短， 根据对称轴的公式得，， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴， 当时，， ∴． 3．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 题型三 二次函数与面积综合（共4小题） 1．（25-26九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，顶点为 D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得的面积为 ？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与三角形的结合，熟悉掌握二次函数点的特征是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可： （2）先设直线的解析式为：，将A，C两点的坐标代入后求出直线的解析式，过点作轴 交于点，设，则，再利用三角形面积公式列式运算即可． 【详解】（1）∵ ∴，， 把，代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： 设直线的解析式为：， 把，代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴 交于点，如图所示： 设，则， ， ∴， 解得：， ∴把代入可得：， ∴． 2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点 ，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线过点、、．连接，是直线上方抛物线上的动点．过作轴的平行线交直线于点． (1)求，，的值； (2)如图1，连接、、，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连接、、，与交于点，则是否存在点，使与面积相等？若存在，请算出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合． （1）由待定系数法求出，将当代入计算即可． （2）求出直线的表达式为：，设点、点，由四边形面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）设点，求出直线的表达式为：，进而求出点，，，根据与面积相等列方程求解即可． 【详解】（1）∵抛物线过点、 ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，即， 解得：（舍去）或4，即点， 即，，； （2）设直线的表达式为：， 由点、的坐标得， 解得： 直线的表达式为：， 设点、点， 则四边形面积， ． 故四边形面积有最大值， 当时，四边形面积的最大值为：； （3）存在，理由： 设点， 设直线的表达式为：， 由点P、的坐标得， 由得， 将代入得 即 将代入得， ∴ 直线的表达式为：， 当，即， 解得：， 则点， 则，， 与面积相等， 则， 即， 整理得 即或 解得：（此时舍去）或（舍去）或1， 即， 此时 则点． 4.（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当秒或4秒时，的面积是 (3)当t为3秒时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与t的函数关系式是解此题的关键． （1）根据题意得出即可； （2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 故答案为：，，； （2）解：的面积 ， 解得：或4， 即当秒或4秒时，的面积是； （3）解：， ∴当t为3秒时，的面积最大，最大面积是． 题型四 二次函数与平行四边形存在性问题（共3小题） 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意设点A的坐标为，点B的坐标为，得出相应的方程组求解确定点A的坐标为，点B的坐标为，由待定系数法即可确定函数解析式； （2）设，分两种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 联立①②：解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A代入函数解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可得：点的坐标为或． 2．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知轴上一点，在轴上有一动点，过点作轴，的垂直平分线交于点 ．在点的位置发生变化时，点 的位置也随之改变． (1)试猜想点的运动轨迹是什么曲线?设点，求出关于的关系式； (2)直线与轴的夹角为且与曲线交于第三象限的点 ，求的坐标； (3)在（）的条件下，第三象限内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)关于的关系式为； (2)； (3)或． 【分析】（）由垂直平分，则，又，，从而代入即可求解； （）由题意得，，则有，故有，则，设解析式为，则有，解得：，然后联立得，然后解方程并检验即可； （）分当，时，则，由（）得，所以；当，时，则，由（）得，所以． 【详解】（1）解：如图， ∵垂直平分， ∴， ∵点，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于的关系式为； （2）解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设解析式为， 则有，解得：， ∴解析式为， 联立得， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：如图， 当，时， ∴， 由（）得， ∴； 当，时， ∴， 由（）得， ∴； 综上可知：或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，两点间的距离，二次函数和一次函数的性质，平行四边形的性质，解方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)；； (3)；；； 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （2）过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 题型五 二次函数与菱形存在性问题（共3小题） 1．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 2．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)的最大值为，； (3)点N的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 题型六 二次函数与矩形存在性问题（共4小题） 1．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴ 由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 4．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 题型七 二次函数与等腰三角形存在性问题（共4小题） 1．（九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点，则点，利用水平宽乘以铅垂高除以2的方法表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）分、两种情况，利用等腰三角形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意得抛物线的表达式为， ∴，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 故直线的表达式为 设点，则点， ， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为，此时点； （3）存在，理由： 由（2）知，若设点， 则点，，且知点， ①当时，则点C在的中垂线上， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点； ②当时，由，易得， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，在第（3）问注意分类求解即可． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或或 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）求出直线的解析式，设，则，求出，可得当时，有最大值，此时，由勾股定理可得，再分和两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：存在点P，以为腰的等腰三角形，理由如下： 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， 此时， 又 ， ∴， ①当时， ， ∴P点坐标为或； ②当时，P点与关于直线对称， ∴P点坐标为； 综上所述：P点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数图象中特殊三角形存在性问题，涉及求二次函数解析式，一次函数解析式，线段的最值问题，等腰三角形的定义，坐标系中两点间距离等知识点，第2问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图1（注：与图2完全相同），在平面直角坐标系中，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小时点P坐标（请在图1中探索）； (3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为直线 (2) (3)存在，，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再根据抛物线的轴对称公式即可求解； （2）根据抛物线的对称性可得，分析可得当三点共线时，的值最小，连接交抛物线的对称轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，再代入到直线的解析式，即可求出点P坐标； （3）设，分三种情况讨论：①；②；③，分别利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵P是抛物线对称轴上的一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 如图1，连接交抛物线的对称轴于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点P坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴， 设， 则，， ①若，则， 解得：， ∴； ②若，则， 解得：， ∴或； ③若，则， 解得：， ∴或； ∴综上所述，符合条件的点M的坐标为，，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，勾股定理，运用数形结合的思想是解题的关键． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为； (2)m的值为或5或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标； （2）根据平移的性质得到，则顶点E的坐标为，利用两点之间的距离公式求得，，，分或或三种情况讨论，列出方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点的抛物线，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：由题意将向左平移个单位长度后得到抛物线， ∴， ∴的顶点E的坐标为， 对于，令，则， ∴与y轴交于点C的坐标为， 即，，其中， ∴， ， ， 当时，则， 解得（舍去）或，此时，，符合题意； 当时，则， 此时，，符合题意； 当时， 则，解得，此时，，符合题意； 综上，m的值为或5或． 题型八 二次函数与直角三角形存在性问题（共4小题） 1．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且直线经过点，点与点关于轴对称，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先求解，的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可． （2）设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．可得，结合，再建立方程求解即可． （3）求解抛物线的对称轴为直线，设，表示，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴当时，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴二次函数为：． （2）解：由（1）得：，， ∴， 设，，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）得：，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴， ， ， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线的解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，抛物线与特殊三角形，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； 【详解】（1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 3．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 4．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 题型九 二次函数与等腰直角三角形存在性问题（共4小题） 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线经过点和，顶点为D． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)连接，判断的形状； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形 (3)存在，E的坐标为或 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形及等腰直角三角形的性质及判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式；直线的解析式； （2）由二次函数表达式求出顶点，即可得，故是直角三角形； （3）设，可得，分三种情况：①若为斜边，则，此时，不符合题意；②若为斜边，，此时，为等腰直角三角形，；③若为斜边，可得或，即知． 【详解】（1）解：由抛物线经过点设解析式为， 把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）是直角三角形，理由如下： ∵， ∴顶点， ∵， ∴，，， ∴， ∴，即是直角三角形； （3）存在一点E，使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 设， ∵， ∴， ①若为斜边，则， 解得， 此时，不符合题意； ②若为斜边，， 解得， 此时， ∴为等腰直角三角形， 即满足条件，； ③若为斜边，则， 解得或， 当时，，此时为等腰直角三角形， ∴满足条件，， 当时，不符合题意； 综上所述，E的坐标为或． 2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，两点代入即可求解； （）由直线，则，轴，又，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则有，设，则，，然后分当在上方时和当在下方时两种情况分析，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线， ∴，轴， ∵，，为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的解析式为得，当时，， ∴， ∴， 设，则，， ∴当在上方时，， 解得：或， ∴此时与重合，舍去；或， 当在下方时，， 解得：或， ∴，此时与重合，舍去；或，此时与重合，舍去； 综上可得：． 3．（2025·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）把点， 点代入即可求解； （2）分当时和当时两种情况分析即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在，理由： 令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，，解得， ∴，直线的解析式为， 设点E的坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，即解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 【点睛】求解本题的关键是掌握勾股定理（在直角三角形中，两条直角边长平方的和等于斜边长的平方），两点距离坐标公式（例如，点和，则两点间距离为）． 题型十 二次函数与全等三角形存在性问题（共4小题） 1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 2．（九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，P是y轴左侧抛物线上一点，轴，交直线于点C，若，求三角形的面积； (3)在（2）的条件下，连接交抛物线的对称轴于点Q，在坐标平面内有一点M，射线交抛物线于N，当与全等时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3)或 【分析】（1）根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上，确定点A的坐标为，点B的坐标为，代入解方程组解答即可． （2）不妨设，则，，故，，确定，得到，，结合已知条件，得到方程，解答即可． （3）利用构造平行四边形法，轴对称法构造出符合题意的全等三角形，确定点M的坐标，利用待定系数法，解方程组确定交点N的坐标即可． 本题考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，抛物线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据直线与抛物线（a、b为常数且a≠0）交于点A、B，且B到y轴的距离是1，A在x轴上， 得点A的坐标为，点B的坐标为，代入得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵P是y轴左侧抛物线上一点， 不妨设， ∵轴，交直线于点C， ∴，， ∴，， ∵直线与y轴的交点M的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴，， ∴点B到直线的距离为， ∴三角形的面积为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据（2）得，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故点Q的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 过点P作交对称轴于点M， 由， 故四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质，得与全等， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， ∴； 过点C作直线的对称点M，连接， 则与全等， 设，则， 整理，得， 根据题意，得的中点坐标为，其一定在直线上， 故，整理得， 故， 解得， 故点M的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去），， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为S，点P运动时间为t（秒）． (1)当点M与点B重合时，_______秒； (2)当t为何值时，与全等； (3)求S与t的函数关系式． 【答案】(1)2 (2)或4 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：①当时，②当时，由全等三角形的性质得出关于t的方程，解方程可得出答案； （3）分两种情况：①当时，②当时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：如图1：当M与B重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：分以下两种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或4； （3）解：由题意得， 分以下两种情况讨论： ①时，如图2， 在中，，，， ∴， ∴， 同理在中，， ∴， ∴与菱形重叠部分图形的面积为； ②当时，如图3， 在中，，，， ∴， ∴， 同理在中，， ∴，， ∵菱形，且， ∴，，， ∴，， ∴， 由①得， ∴与菱形重叠部分图形的面积为， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，正确进行分类讨论是解题的关键． 4．（2024·宁夏吴忠·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点(在的左侧)，其中点，其顶点为的横坐标为，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点为顶点的三角形与全等?若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点的坐标，进而可得，，设点，可得，再分和两种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵点是二次函数的对称轴与轴的交点， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵轴于点，点是轴上一点， ∴， ∵点是二次函数图象第四象限上的动点， ∴， ∵以点为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴ 解得，， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， 解得，， ∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴； 综上，当点的坐标为或时，存在以点为顶点的三角形与全等． 题型十一 二次函数图像的变换综合问题（共3小题） 1．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为3，点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； （3）解：原拋物线向右平移1个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式为， 同理，求得，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）2，；（ii） 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据题意可知，抛物线的开口向下，平移的距离为，从而知道顶点的横坐标，将其代入直线，求得点，然后利用待定系数法可求得抛物线的表达式，然后再根据平移，求得抛物线的解析式； （3）设，那么，，求得直线为：，从而知道点坐标以及坐标，然后根据抛物线的性质，可知，那么，从而推出，结合，那么当和相似时，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入和， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：（i）过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q， 抛物线W开口向下， 设，那么， 向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A， ， ， ， ， 如图所示： 不妨设抛物线W为，代入原点，得到 ， ， 抛物线W为， 由题意可知，抛物线W向右平移了个距离， 那么抛物线的解析式为：，即； 综上，抛物线W向右平移了2个单位，抛物线的解析式为； （ii）设，那么，， 设直线为：，代入，， 那么有， ，， 直线为：， 当时，， 延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段． ，， ， 过点作轴于点，如图所示： 点是抛物线的顶点，那么是对称轴， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， 当和相似时，， ， 或（舍） ，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线与轴交于点，（为坐标原点），抛物线与关于轴对称，点是抛物线在第三象限内的一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点的坐标为_____，抛物线的解析式为_____， (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，与交于点，连接并延长交于点，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)是，定值为6 【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可，根据关于y轴对称的特征写出抛物线的解析式即可； （2）将代入，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式得，求出，再代入求值即可； （3）先根据平移得出的解析式为，联立，的解析式得，求出点的坐标为，设点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为①，联立①式和的解析式得，得出，根据 ， 求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：或， ∴点A的坐标为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将代入，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得， 解得（舍），， 即， ． （3）解：是定值． ∵抛物线的解析式为， 又∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴的解析式为， 联立，的解析式得， 解得：， 把代入得：， 则点的坐标为， 设点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得： ， 解得： ∴直线的解析式为①， 联立①式和的解析式得 整理得， ∴， ∵， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和平移特点． 1．已知二次函数的图象与直线相交于点和点，点在轴上，点在轴上，抛物线的顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)现将抛物线向右平移个单位，当抛物线与有且只有一个公共点时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的平移，明确当抛物线只经过点时，抛物线与有且只有一个公共点是解题的关键． （1）由直线解析式求得交点坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由图象可知，当抛物线经过点时，抛物线与有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入、的坐标，即可求得的值． 【详解】（1）解：由，当时，，当时，， 与轴交点，与轴交点， 经过，， 解得 二次函数的解析式为：； （2） 抛物线向右平移个单位的新抛物线解析式为：， 新抛物线与有且只有一个公共点， 经过点， 舍去，， 即； 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，． (1)求a的值及点B的坐标； (2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，将点代入抛物线中，则可得的值，进而可得抛物线的表达式为，然后令，则，进而可得的坐标； （2）依据题意，由（1）抛物线的表达式为，可得抛物线的顶点坐标为，又平移后抛物线的顶点落在轴上，故抛物线向下平移了4个单位，则可设平移后抛物线的表达式为，结合，可得点的纵坐标均为，故点的横坐标为，点的横坐标为，从而，又，则，求出后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中， ， ， ∴抛物线的表达式为， ∴令，则， ∴； （2）由题意，∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线的顶点落在轴上， ∴抛物线向下平移了4个单位， ∴可设平移后抛物线的表达式为， ， ∴点，的纵坐标均为， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ， 又∵， ， ∴或， ∴平移后抛物线的表达式为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B． (1)求点A的坐标． (2)当时． ①求抛物线C的解析式； ②连接，M是抛物线C在第一象限部分上的动点，过点M作于点N．当的长度最大时，求点M横坐标的值． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为2的线段，且轴，点Q在点的右侧．若线段沿着x轴方向向右平移，并设平移距离为． ①若抛物线C与线段有公共点，求d的取值范围； ②若抛物线C与线段没有公共点，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①；②点横坐标的值为 (3)①的取值范围是或；②的取值范围是或或 【分析】（1）对，令，得或3，故点A的坐标为； （2）①对，令，得，，由，，得，得，即得；②过点M作轴于点E，交于点D，求出，得，求出解析式为，设，则，∴，得，得时，有最大值，即得点M横坐标的值为； （3）①根据点，得，中，当时，得或，根据抛物线与线段有公共点，得线段沿着x轴方向向右平移距离的取值范围为或；②根据抛物线与线段没有公共点，得或或． 【详解】（1）解：对于， 令，则或3， 故点A的坐标分别为； （2）解：①对于， 令， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点M作轴于点E，交于点D， 则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时， 有最大值， 故点M横坐标的值为； （3）解：①∵长度为2的线段轴，点Q在点的右侧． ∴， 对， 当时，， 解得或， ∴线段沿着x轴方向向右平移时，过抛物线于点与， ∵平移距离为，抛物线与线段有公共点， ∴， 即， 或， 即； 综上，或； ②∵抛物线与线段没有公共点， ∴， 即； 或， 即； 或， 即． 综上或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形判定和性质，线段长和二次函数综合，求二次函数最值，平移等知识点． 4．跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 5．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $