第一章空间向量与立体几何、第二章直线和圆的方程章末综合质量检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》第二章《直线和圆的方程》章末综合质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过、两点的所有直线的方程为 D. 若两直线与平行，则 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量为的直线方程为 . 13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则________． 14. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥 平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 已知圆C经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）直线l经过，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 17. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆． (1)若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． (2) 若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 19. 如图，四面体中，等边三角形，且，为等腰直角三角形，且. （1）当时， （i）求二面角的正弦值； （ii）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值； （2）当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，求三棱锥体积最大值. ( 第 1 页 共 19 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第一章《空间向量与立体几何》第二章《直线和圆的方程》 章末综合质量检测 参考答案 选择题 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A O B D ABC ACD ABD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.直线x-V5y- =0的倾斜角为() Aπ B D 5π 6 3 【解折1A因为直线x-V)-了0的斜率为-L=5 -5-3 因此，直线x-5y-}0的顿斜角为 6 2.已知向量=(1，m,-1,6=(1,-1,1,若ā+b)1万，则m=() A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】B因为a=(1,m,-1),b=1,-1,1,所以a+b=(2,m-1,0), 又因为a+b16,所以a+b)b=2×1+(m-1)×(-1)+0×1=0, 解得：m=3. 3.若坐标原点在圆x2+y2-2x+2my+2m2-4=0的内部，则实数m的取值范围是 () A.(-1,1) C.(√5,5) D.(√2，V2) 【解析】Dx2+y2-2mx+2y+2m2-4=0化为标准方程为： (x-m)2+(y+m)2=4 把原点坐标代入圆的方程得：(0-m)2+(0+m)2<4, 第1页共19页 解得：-√2<m<√2 4.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且 OM=2OA,点N为BC中点，则m等于() B 1 A.-d+ 1 - B 2 +6+c a 2 2 c. 3 302 二b- 22- D.a+ 1 3 【解折】BM-MA+N-O1+aB+AC) =oa+)oi-0A)+0c-01 =-20A+10B+10C 3 2 2 2 5.P为直线y=kx-2上一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则k的最小值() A.5 B.3 C.-5 D._ √5 3 【解析】C由题意，点P为直线y=kx-2上一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线， 可得直线y=kx-2与圆x2+y2=1相切或相离， 则满足圆心到直线的距离d= -2 ≥1，解得k2≤3，即-√3≤k≤V5, Vk2+1 所以k的最小值为-√3 6.“-2≤b<2”是“直线y=x+b与曲线y=√4-x2恰有1个公共点”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第2页共19页 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】A曲线y=√4-x2表示圆心(0,0)，半径为2的圆的上半部分（包括与x轴的 交点)， 直线y=x+b的斜率为1，在y轴上的截距为b, 当直线y=x+b与曲线y=√4-x2恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心(0,0)到直线y=x+b距离等于2，则公=2， √2 即b=22或b=-2√2（舍去，因为当b=-2√2时与下半部分相切，不符合题意） 由图象可知，有一个交点时，-2≤b<2. 综上可知，当直线y=x+b与曲线y=√4-x2恰有1个公共点时，-2≤b<2或 b=2√2 于是，当“-2≤b<2”时，直线“y=x+b与曲线y=√4-x2恰有1个公共点”，则充分性 成立； 当直线y=x+b与曲线y=√4-x2恰有1个公共点时，b=2√2或-2≤b<2,则必要性 不成立 所以，“-2≤b<2”是“直线y=x+b与曲线y=√4-x2恰有1个公共点”的充分不必要 条件 7.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=1,AA=2,则直线DB与平面ACD, 所成角的正弦值为() 第3页共19页 B G 5 D. 22 3 3 【解析】B构建如下图空间直角坐标系D-xz,则 A1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),B(1,1,2),D(0,0,2), 所以DB=(1,1,2),AD=(-1,0,2),AC=(-1,1,0), i·AD,=-x+2z=0 若m=(x,y,z)是面ACD,一个法向量，则 m·AC=-x+y=0 取z=1,则m=(2,2,1), mDB 6 √6 所以Cosm,DB, mDB 3×V63, 则直线D8与平面ACD,所成角的正弦值为6 C B D B 8.在等腰直角ABC中，AB=AC=4,P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发， 经BC,CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过ABC的重心，则AP等于() 第4页共19页 R 8 A.2 B.1 3 D. 4-3 【解析】D以A为坐标原点，建立如图直角坐标系， P R 可得B(4,0,C(0,4,故直线BC的方程为x+y=4, 0+0+40+0+4 则ABC的重心为 44 ’3 即 3 33 设P(a,0),其中0<a<4,则点P关于直线BC的对称点P(x,y), [a+x+0+y=4 22 x=4 满足 y-0 ,解得 ×-1=-1 y=4-a'即P(4,4-a), x-a 易得P关于y轴对称点P-a,0),由光的反射原理可知P,Q,R,P四点共线， 直线QR的斜率为k= 4-a-0_4-a 4--a4+a 故直线QR的方程为y=40x+a, 4+a 44 由于直线QR过ABC重心 33 化简得a=4或a=0(舍去)，故 0 4 4 所以AP= 3 3 二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 第5页共19页 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分· 9.下列说法错误的是() A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 B.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 C.过(x,y小、(x2,y2)两点的所有直线的方程为y上=X- y2-y x2-x D.若两直线l:3+ax+4y=5-4a与l,:2x+(5+ay=9平行，则a=-7 【解析】ABC对于A选项，若直线ax-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直，则 a2+a=0,解得a=0或a=-1. 因为{-{-1,0，所以，“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相 垂直”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或 y=x,B错； 对于C选项，当x=:或片=2，方程)二=二无意义，C错； y2-y x2-x 对于D选项，若直线l:3+a)x+4y=5-4a与l,:2x+5+ay=9平行， 则a+3)a+5=8,整理可得a2+8a+7=0,解得a=-1或a=-7 当a=-1时，1：2x+4y-9=0,1,:2x+4y-9=0,两直线重合，不合乎题意； 当a=-7时，1：4x-4y+33=0,1,:2x-2y-9=0,两直线平行，合乎题意，D 对 10.在三棱锥P-ABC中，P1,1,0),A2,0,1),B0,2,1,C(0,0,0,则() A.PB=V3 B.向量CA与CB夹角的余弦值 2-5 C.向量万=1,1，-2)是平面ABC的一个法向量 第6页共19页 D.PB与平面ABC所成角的正弦值为V2 【解析】ACDP(1,1,0),B(0,2,1), PB=V1-0)2+(1-2)2+(0-1)2=√3，故A正确； :A(2,0,1),B(0,2,1),C(0,0,0), .CA=(2,0,1,CB=(0,2,1), cos(CA.CB)=CA.CB 11 1CC®5x55，故B错误： i=(1,1,-2),CAn=2×1+0×1+1×(-2)=0, CB.i=0×1+2×1+1×(-2)=0, ∴.方是平面ABC的一个法向量，故C正确： PB=(-1,1,1) .PB与平面ABC所成角的正弦值为： PB.n cos(PB,i)》 -1+1-22 ,故D正确. PB √3x√6 11.如图，点M是棱长为1的正方体ABCD-ABCD的侧面ADDA上的一个动点（包 含边界)，则下列结论正确的是() D B A.当CM⊥AD时，点M一定在线段A,D上 B.当M为A,D的中点时，三棱锥M-ABD的外接球的表面积为2π C.当点M在棱DD,上运动时，MA+MB,的最小值为V3+1 第7页共19页 D.线段AD,上存在点M,使异面直线MB,与CD所成角的正切值为3 【解析】ABD对于A,若CM⊥AD,又因为CD⊥平面ADD,A,AD1C平面 ADD A 所以CD⊥AD,又CD∩CM1=C,CD,CM,C平面CDM,可得AD⊥平面CDM, 所以AD⊥DM，,又因为ABCD是正方形，所以AD⊥AD,所以点M一定在线段 AD上，故A正确； D A 对于C,如图，旋转平面ADDA,使之与平面BB,D,D共面， 连接AB交DD,于M,此时MA+MB,最短为AB,大小为 V1+V2+1P=V4+2W2,故C错误， 对于B,分别以DA,DC,DD所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 当M为A,D的中点时，则M A1,0,0),D(0,0,0),B11,0) 设三棱锥M-ABD的外接球的球心为O(x,y,z),则DO=MO=BO=AO, 1 x=- x2+y2+z2=(1-x)2+y2+z2 2 即x2+y2+z2=(1-x2+(1-y)2+z2,解得y= 2 z=0 ·.三棱锥M-ABD的外接球半径R 第8页共19页 2 :.三棱锥M-ABD的外接球表面积为S=4πR2=4×π× =2π，则B正确； 2 D M分 B D C B x 设线段AD1上存在点M,设D,M=tD,A=t1,0,-1=t,0,-t), 则可得M(t,0,1-t,t∈0,1，又C0,1,0),D(0,0,0,B1,1,1, 则DC=(0,1,0,MB=(1-t,1,t, 设异面直线MB,与CD所成角为6，若正切值为an0=3,则cos0=1 DC.MB 1 4 即cos0= DC.MB V+1+1- F5,化简得322-321+7=0， 解得t=4±2 ∈[O,1,故线段AD,上存在点M,使异面直线MB,与CD所成角的 8 正切值为3，故D正确 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.经过两条直线：x+y=2,l2:2x-y=1的交点，且直线的一个方向向量为下=(-6,4)的直 线方程为 x+y=2 x=1 【解析】联立 12x-y=1 可得， y1’ 故交点坐标为1，)， 直线的一个方向向量为=(-6,4)，故直线的斜率为 42 63’ 所以直线方程为y-1=- x,即2x+3y-5=0 如图所示，在平行六面休ABCD-AB,CD中，Z4B=∠DB;,∠44 3, 第9页共19页 AB=AD=A4=2,则DB= D B A D 【解析】在平行六面体ABCD-AB,CD,中， D B=DD+DA+AB=44+DA+AB, 所以DB曰AA+DA+AB|, 因为∠AAD=,所以AAD1=0, 又∠44B=∠D1B- 所以A,A·AB=2×2×c0 2r=-2,DA.AB=2×2×c0 3 2元=-2， 所以D,BP=(AA+DA+AB)2 =4'+DA+AB'+244.DA+244.4B+2D4.AB =4+4+4-2×2-2×2 =4 所以|DB=2 14.如图，ABCD是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心 的喷泉池；早先花圃的AC对角己建有一径水泥步道AEGCHF,己知花圃长、宽AB、AD分 别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘EG、FH各与两汪喷泉池边缘相切. 今欲在花圃的BD对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥 平方米 (精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损). 【解析】 第10页共19页