1.2 空间向量基本定理 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 目录 题型01 空间向量的基底 3 题型02 空间向量的表示 6 题型03 共线共面问题 9 题型04 求夹角 12 题型05 求距离 18 建体系 新知廊 知识点1： 空间向量基本定理 1．如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点2： 空间向量共线、共面问题 1．对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 知识点3： 由向量求夹角 1．θ为a，b的夹角，则cos θ＝． 2．若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0． 知识点4： 空间距离 1．|a|2＝a2． 2．|a|＝． 求甚解 1．空间基底的判断． (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 2．空间向量的表示． (1)选基底：根据已知条件，确定不共面的三个向量作为基底，一般以同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底． (2)看目标；紧抓目标向量，用基底表示目标向量。需充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律． (3)列式：列出式子，用基底表示目标向量． 3．空间向量的平行共面问题． (1)由向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． (2)空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 4．求夹角 (1)由数量积定义得cos〈a，b〉＝． (2)再求〈a，b〉的大小． (3)即得空间向量的夹角． 5．求长度 (1)运用公式|a|2＝a·a． (2)使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． 练题型 题型01 空间向量的基底 典型例题 典例 01 （2025春•平和县校级期末）若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可 【解答】解：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面， 对于选项A：，故，，共面，故A错误， 对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误， 对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确， 对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误， 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2024秋•四川期末）已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量2，2构成空间另一个基底的向量是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2024秋•青岛期末）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　） A． B． C． D． 【变式练3】（多选）（2025•白水县校级开学）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　） A． B． C． D． 题型02 空间向量的表示 典型例题 典例 02 （2025春•张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得． 【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD． 因G为△ABC的重心，， 故， 又PM＝3MG， 故 ． 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2025春•平和县校级期末）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近A1的三等分点，设，，，则用，，表示为（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（多选）（2024秋•哈尔滨校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式练3】（2025春•浦东新区校级期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于　　 （用，，表示）． 题型03 共线共面问题 典型例题 典例 03 （2025春•江苏月考）在下列命题中正确的是（　　） A．已知，，是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为xyz B．若所在的直线是异面直线，则不共面 C．若三个向量，，两两共面，则，，共面 D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面 【答案】D 【分析】对于A，利用空间向量基本定理判断； 对于B，利用向量的定义判断； 对于C，举例判断； 对于D，共面向量定理判断． 【解答】解：对于A，若，，三个向量共面，则空间中不在平面α内的向量不能用，，表示，所以A错误，对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误， 对于C，当三个向量，，两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误， 对于D，因为 A ， B ， C 三点不共线，，且1，所以 A ， B ， C ， D 四点共面，所以D正确， 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025春•西城区校级期末）已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面ABC内一点P，满足，则点P与△ABC的关系为（　　） A．点P在△ABC内部 B．P是AC边的一个五等分点 C．P是AC边的一个三等分点 D．P是AC边的中点 【变式练2】（2025春•湖北期中）点B在线段AC上（异于A，C两点），O为直线AC外一点，若，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C．9 D．12 【变式练3】（多选）（2025春•银川校级期末）关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．两个非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线 题型04 求夹角 典型例题 典例 04 （2025春•漳州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且，设． （1）试用表示向量，并求MN的长； （2）求异面直线MN，BC所成角的余弦值． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可； （2）设异面直线MN，BC所成角为θ，利用，，求解即可． 【解答】解：（1）由题意，可得 ， 又，，， 所以， 因为AB＝AC＝AA1＝1， 所以， 又因为∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°， 所以， 所以， 所以； （2）设异面直线MN，BC所成角为θ， 因为， 又，， 所以， 又由（1）知，， 所以 ， 所以，， 所以异面直线MN，BC所成角的余弦值为． 即学即练 【变式练1】（2024秋•福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，， （1）试用，，表示向量、； （2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量与所成的角的余弦值． 【变式练2】（2024秋•正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，． （1）试用，，表示向量； （2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值． 【变式练3】（2024秋•禅城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，，．设，，，用基向量法解决下列问题． （1）求||； （2）求异面直线MN与BC所成角的余弦值． 题型05 求距离 典型例题 典例 05 （2024秋•开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，． （1）用，，表示向量； （2）求||． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由空间向量的线性运算即可求解； （2）由向量的模长公式，结合空间向量数量积运算即可求解． 【解答】解：（1）由题意，，，， 且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点， 则 ； （2）因为正四面体OABC的棱长为1， 则，， 所以 ． 即学即练 【变式练1】（2025春•南京校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设． （1）试用表示向量； （2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 【变式练2】（2024秋•诸暨市期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设，，． （1）用表示，； （2）求的值． 【变式练3】（2024秋•青浦区校级月考）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且． （1）求证：E、F、G、H四点共面； （2）用向量，，表示，并求出． 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【答案】C 【分析】向量，，是空间的一个基底的充要条件为，，不共面，逐一按此标准检验即可 【解答】解：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面， 对于选项A：，故，，共面，故A错误， 对于选项B：[（）﹣（）]，故，，共面，故B错误， 对于选项C：，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确， 对于选项D：由选项A得：2，故2，，共面，故D错误， 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2024秋•四川期末）已知{，，}是空间的一个基底，则可以与向量2，2构成空间另一个基底的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量基底的定义和共面向量基本定理的应用求出结果． 【解答】解：由于{，，}是空间的一个基底， 对于A：由于，故A错误； 对于B：不存在实数λ和μ，使得，故B正确； 对于C：由于，故B错误； 对于D：假设存在实数λ和μ，使得，整理得，解得，故D错误． 故选：B． 【变式练2】（2024秋•青岛期末）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用向量基底的定义判断A、B、C、D的结论． 【解答】解：对于A：由于，故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B：由于，故不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C：由于，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D：由于，无解，故能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：D． 【变式练3】（多选）（2025•白水县校级开学）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论． 【解答】解：对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底； 对于B，不存在实数x，y满足，因此不共面，能构成空间一个基底； 对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底． 对于D，不存在实数x，y满足，因此不共面，能构成空间一个基底． 故选：ABD． 题型02 空间向量的表示 典型例题 典例 02 （2025春•张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得． 【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD． 因G为△ABC的重心，， 故， 又PM＝3MG， 故 ． 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2025春•平和县校级期末）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近A1的三等分点，设，，，则用，，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算公式，即可求解． 【解答】解：∵M为BC的中点， ∴， ∵N为A1C1靠近A1的三等分点， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式练2】（多选）（2024秋•哈尔滨校级期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O，设，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求得判断选项A；求得判断选项B；求得判断选项C；求得判断选项D． 【解答】解：选项，判断正确； 选项B：，判断错误； 选项C：，判断正确； 选项D：，判断错误． 故选：AC． 【变式练3】（2025春•浦东新区校级期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于　　 （用，，表示）． 【答案】． 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果． 【解答】解：根据向量的线性运算， ，， 所以． 故答案为：． 题型03 共线共面问题 典型例题 典例 03 （2025春•江苏月考）在下列命题中正确的是（　　） A．已知，，是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为xyz B．若所在的直线是异面直线，则不共面 C．若三个向量，，两两共面，则，，共面 D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面 【答案】D 【分析】对于A，利用空间向量基本定理判断； 对于B，利用向量的定义判断； 对于C，举例判断； 对于D，共面向量定理判断． 【解答】解：对于A，若，，三个向量共面，则空间中不在平面α内的向量不能用，，表示，所以A错误，对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误， 对于C，当三个向量，，两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误， 对于D，因为 A ， B ， C 三点不共线，，且1，所以 A ， B ， C ， D 四点共面，所以D正确， 故选：D． 即学即练 【变式练1】（2025春•西城区校级期末）已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面ABC内一点P，满足，则点P与△ABC的关系为（　　） A．点P在△ABC内部 B．P是AC边的一个五等分点 C．P是AC边的一个三等分点 D．P是AC边的中点 【答案】D 【分析】利用向量的运算法因为则将等式变形，得到，即得出结论． 【解答】解：已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面ABC内一点P，满足， 因为，所以， 即，即，所以P是AC边的中点． 故选：D． 【变式练2】（2025春•湖北期中）点B在线段AC上（异于A，C两点），O为直线AC外一点，若，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据三点共线的结论可知α＞0，β＞0，且α+β＝1，利用乘“1”结合基本不等式运算求解． 【解答】解：点B在线段AC上（异于A，C两点）， 所以α＞0，β＞0，且α+β＝1， 则（α+β）（）＝55+29， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为9． 故选：C． 【变式练3】（多选）（2025春•银川校级期末）关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．两个非零向量，，若，则 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线 【答案】ABD 【分析】由向量垂直的性质判断A；由共面向量定理判定B；由向量加法法则判断C；由共线向量定理判断D． 【解答】解：对于A，非零向量，，若，则，故A正确； 对于B，若对空间中任意一点O，有， 因为，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：， 所以不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D，若空间四个点P，A，B，C，， 由共线向量定理可知：A，B，C三点共线，故D正确， 故选：ABD． 题型04 求夹角 典型例题 典例 04 （2025春•漳州期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且，设． （1）试用表示向量，并求MN的长； （2）求异面直线MN，BC所成角的余弦值． 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可； （2）设异面直线MN，BC所成角为θ，利用，，求解即可． 【解答】解：（1）由题意，可得 ， 又，，， 所以， 因为AB＝AC＝AA1＝1， 所以， 又因为∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°， 所以， 所以， 所以； （2）设异面直线MN，BC所成角为θ， 因为， 又，， 所以， 又由（1）知，， 所以 ， 所以，， 所以异面直线MN，BC所成角的余弦值为． 即学即练 【变式练1】（2024秋•福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，， （1）试用，，表示向量、； （2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量与所成的角的余弦值． 【答案】（1），，（2）． 【分析】（1）由空间向量的加法、减法运算即可求解； （2）由（1），结合向量的夹角公式与数量积的运算律即可求解． 【解答】解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，， ， ． （2）因为∠A1AD＝∠A1AB＝120°，， 所以， ， ， 所以， 即向量与所成的角的余弦值为． 【变式练2】（2024秋•正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，． （1）试用，，表示向量； （2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由已知，根据向量的线性运算即可求得； （2）利用向量的夹角公式求得和夹角的余弦值，即可得异面直线MN与AC的夹角的余弦值． 【解答】解：（1）由2， 可得 ， 由， 可得， 则； （2）由∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1， 可得，，， 则1， ， 则， 则异面直线MN与AC的夹角的余弦值为． 【变式练3】（2024秋•禅城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，，．设，，，用基向量法解决下列问题． （1）求||； （2）求异面直线MN与BC所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题意，先求得，，然后利用空间向量的线性运算法则将用、、表示，再利用向量数量积的运算性质与向量的模的公式加以计算，可得||的值； （2）根据空间向量的夹角公式，算出向量的夹角余弦值，即可得到异面直线MN与BC所成角的余弦值． 【解答】解：（1）因为∠BAC＝90°，所以． 由于∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，所以cos60°． 由 （）． 所以（）2． 可得； （2）由， 得． 因为（）•（）1， 所以，． 可知异面直线MN与BC所成角的余弦值为． 题型05 求距离 典型例题 典例 05 （2024秋•开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，． （1）用，，表示向量； （2）求||． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由空间向量的线性运算即可求解； （2）由向量的模长公式，结合空间向量数量积运算即可求解． 【解答】解：（1）由题意，，，， 且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点， 则 ； （2）因为正四面体OABC的棱长为1， 则，， 所以 ． 即学即练 【变式练1】（2025春•南京校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且．设． （1）试用表示向量； （2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示； （2）利用向量的数量积运算求解向量的模． 【解答】解：（1）因为，所以，， 所以， 又因为，，，所以． （2）因为∠BAC＝90°，所以， 因为AB＝AC＝AA1＝1，所以， 因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以， 所以， 所以． 【变式练2】（2024秋•诸暨市期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设，，． （1）用表示，； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）直接利用向量的线性运算求出结果； （2）直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果． 【解答】解：（1）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中点，N是DD1的中点，设，，， 所以， ． （2）由（1）得：． 【变式练3】（2024秋•青浦区校级月考）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且． （1）求证：E、F、G、H四点共面； （2）用向量，，表示，并求出． 【答案】（1）证明见解析； （2），． 【分析】（1）根据三角形中位线定理与比例线段的性质，证出EF∥GH，由此可判断出E、F、G、H四点共面；（2）以为基底，表示出，利用空间向量的数量积的性质、向量的模的公式，算出的值． 【解答】解：（1）因为△ABC中，因为，所以EF∥AC， 因为△ADC中，H、G分别是AD、CD的中点，所以FG∥AC， 所以EF∥GH，即直线EF、GH共面，可得E、F、G、H四点共面； （2）以为基底，则，且∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°， 所以，． ． 所以 ，可得． 学科网（北京）股份有限公司 $