14.2 第5课时 斜边、直角边（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（人教版2024）

第十四章 全等三角形 八年级数学人教版·上册 14.2 第5课时 斜边、直角边 授课人：XXXX 1 教学目标 1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点） 2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点） 新课导入 我们学过的判定三角形全等的方法 SSS SAS ASA AAS 回顾旧知 新课导入 如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直 角边是_____，_____，斜边是______. C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ 新知探究 A B C A′ B′ C′ 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 口头回答： 全等，AAS或ASA 全等，AAS 全等，SAS 新知探究 动脑想一想 如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E， △ABC≌△DEF吗？ 我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理. A B C D E F 新知探究 问题： 如果这两个三角形都是直角三角形， 即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF， 现在能判定△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 一、直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理） 新知探究 任意画出一个Rt△ABC , 使∠C=90°. 再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C ′=90 °, B ′C ′=BC , A ′B ′=AB .把画好的Rt△A′B ′C ′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 作图探究 新知探究 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90° A B C M C′ N 新知探究 （2）在射线C′M上截取B′C′=BC M C′ N B′ M C′ A B C 画图思路 新知探究 （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′ M C′ N B′ A′ A B C 画图思路 新知探究 （4）连接A′B′ M C′ N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ A B C 画图思路 知识要点 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等（简写成“斜边、直角边” 或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 新知探究 新知探究 典例精析 例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA， AC=BD ， 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 新知探究 变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个 什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全 等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS A B D C 新知探究 变式2：如图，AC，BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别 为C，D , AD=BC.求证：AC=BD. HL AC=BD Rt△ABD ≌ Rt△BAC 变式3：如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系. HL ∠ADB=∠CBD Rt△ABD ≌ Rt△CDB AD∥BC 新知探究 例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF， AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF， 即BC＝BE. 新知探究 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理 就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使 用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 新知探究 例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向 的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴ ∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 新知探究 课堂小结 斜边 直角边 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 前提 条件 在直角三角形中 使用 方法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 课堂小测 D A 1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD，CE交于 点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 课堂小测 4.如图，在△ABC 中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE. 求证：△EBC ≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC ≌Rt△DCB (HL). 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）. 全等 HL 课堂小测 A F C E D B 5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF. 即AF=CE. 在Rt△ABF 和Rt△CDE 中， AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF ≌ Rt△CDE (HL). ∴BF=DE. 课堂小测 变式训练1：如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：BD平分EF. A F C E D B G AB=CD, AF=CE. Rt△ABF ≌Rt△CDE (HL). BF=DE Rt△GBF ≌ Rt△GDE (AAS). ∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 课堂小测 变式训练2：如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗? C AB=CD, AF=CE. Rt△ABF ≌ Rt△CDE (HL). BF=DE Rt△GBF ≌ Rt△GDE (AAS). ∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE FG=EG BD平分EF 课堂小测 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm， 一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在AC上和过A点且垂直于AC 的射线AQ上运动， 问P 点运动到AC上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？ 【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ ≌ Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P 点的位置．②Rt△QAP ≌ Rt△BCA，此时AP＝AC，P，C 重合． 解：①当P 点运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC 与 Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC ≌ Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 能力拓展 课堂小测 ②当P 点运动到与C 点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC 与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP ≌ Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC 才能和△APQ 全等． 【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有 说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． $