期末综合检测卷（2）-2025-2026学年人教版九年级数学上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

期末综合检测卷（2） （考试时间：120分钟 满分：120分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2025春•祁县期末）下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视机，中央台正在播放“神舟二十号发射升空”的新闻 B．从《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》，从这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 C．太阳一定从东方升起，西方落下 D．小华在购票平台一定能抢到世界女排联赛的门票 2．（2024秋•巴东县期末）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则二次函数y＝m（x﹣n）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．（2017•朝阳区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A＝50°，则∠BCE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．130° 4．（2024秋•昌吉州期中）已知一个直角三角形的面积为10，两直角边长的和为9，则两直角边长分别为（　　） A．3，6 B．2，7 C．1，8 D．4，5 5．（2023•衡水模拟）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•新安县校级月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若2a+b＝0，且方程有一个根大于2，则另一个根是（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 7．（2024•通辽二模）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 8．（2024•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝6，AC＝8，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么的值为（　　） A．1 B． C． D． 9．（2024•山西模拟）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为（3n﹣4，m+1），点F的坐标为（n2，2m），若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数y＝x2+nx+m图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C． D．或（2，﹣3） 10．（2023•拱墅区校级二模）如图，AD是△ABC的外角平分线，与△ABC的外接圆交于点D，连结BD交AC于点F，且BC＝CF，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADB＝∠CDB B．3∠ACB+∠ACD＝180° C．3∠BDC+2∠ABD＝180° D．3∠BAD+∠ABD＝360° 二．填空题（共6小题，每小题4分。共24分） 11．（2022秋•长乐区校级期中）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是﹣1，则a的值为 　 　 ． 12．（2023秋•青铜峡市期末）已知点A（3，4），若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则⊙A与x轴的位置关系为 　 　 ． 13．（2024秋•天河区校级月考）如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 　 　 ． 14．（2024秋•莱州市期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为 　 ． 15．（2024•苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝　 　 ．（结果保留π） 16．（2025春•兴隆台区期末）已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线y＝m与新图象有四个交点时，m的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（2024秋•榆树市期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x|m|+1+（m﹣2）x﹣1＝0． （1）求m的值； （2）用配方法解这个方程． 18．（2024秋•凌源市期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝10，EF＝3，求⊙O的半径． 19．（2025•扬州三模）如图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为　 ； （2）如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 20．（2024•望江县三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，PC是⊙O的切线，点D是OA上一点，过点D作DE⊥OA于点D，交AC于点F，交CP于点E． （1）如图1，当点D与点O重合时，已知∠A＝20°，求∠CEF的度数； （2）如图2，连接OC，AE，当AE∥OC时，AE与⊙O交于点G，已知AG＝6，AB＝10，求EG的长． 21．（2024秋•蔡甸区月考）如图①，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA． （1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E，求证：△ABC是直角三角形． （2）如图②，将直线DE绕C点转动，使DE交AM于D，交NB的延长线于E点，则AB、AD、BE三条线段的长度之间存在何种等量关系？请你写出结论并加以证明． （3）将直线DE绕点C继续转动，使DE交BN于E，交AM的反向延长线于D，则AB、AD、BE三条线段的长度之间存在何种等量关系？请画出图形，并直接写出你的结论，不必证明． 结论：　 ． 22．（2024•和平区校级模拟）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤2时，y的取值范围为_____． ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过﹣2、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 　 ． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围． 【学以致用】 （3）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1﹣y2＝3，求a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末综合检测卷（2） （考试时间：120分钟 满分：120分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D D B D B B B 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2025春•祁县期末）下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视机，中央台正在播放“神舟二十号发射升空”的新闻 B．从《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》，从这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 C．太阳一定从东方升起，西方落下 D．小华在购票平台一定能抢到世界女排联赛的门票 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据定义，对每个选项逐一判断即可解答． 【详解】解：A：打开电视机时，中央台可能播放其他节目，并非必然播放神舟二十号新闻，属于随机事件，不符合题意； B：从四本书中随机抽取一本，抽到《三国演义》的概率为，属于随机事件，不符合题意； C：太阳东升西落由地球自转规律决定，是必然发生的自然现象，属于必然事件，符合题意； D：抢票结果受多种因素影响，无法保证一定成功，属于随机事件，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键． 2．（2024秋•巴东县期末）一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则二次函数y＝m（x﹣n）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据所给一次函数的图象，得出m＜0，n＜0，据此得出抛物线的对称性在y轴左侧，且开口向下，据此可解决问题． 【详解】解：由所给一次函数图象可知， m＜0，n＜0． 因为二次函数解析式为y＝m（x﹣n）2， 所以抛物线的开口向下，且对称轴在y轴的左侧， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，熟知二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2017•朝阳区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A＝50°，则∠BCE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．130° 【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCE＝∠A＝50°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 4．（2024秋•昌吉州期中）已知一个直角三角形的面积为10，两直角边长的和为9，则两直角边长分别为（　　） A．3，6 B．2，7 C．1，8 D．4，5 【分析】设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为（9﹣x），根据三角形的面积列出方程解答即可． 【详解】解：设直角三角形的一条直角边为x，则另一条直角边为（9﹣x）， x（9﹣x）＝10， 整理得x2﹣9x+20＝0， 解得x1＝4，x2＝5， 9﹣x＝5或4． 答：两直角边长分别为5，4． 故选：D． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，此题利用三角形的面积计算公式建立方程解决问题． 5．（2023•衡水模拟）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案． 【详解】解：如图所示：只有选项D可以与已知图形组成中心对称图形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 6．（2024秋•新安县校级月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若2a+b＝0，且方程有一个根大于2，则另一个根是（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【分析】由2a+b＝0，可得出2，即两根之和为2，再结合该方程有一个根大于2，即可得出另一个根必是负数． 【详解】解：∵2a+b＝0， ∴2， 即两根之和为2． ∵该方程的一个根大于2， ∴另一个根必是负数． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及正数和负数，根据a，b之间的关系，找出两根之和为2是解题的关键． 7．（2024•通辽二模）如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形ABFE的面积，因为阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，求得三角形ABO的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接OC、OD， ， ∵点O是菱形ABCD的对称中心， ∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点， ∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6， ∴AC＝8，BD＝12， ∵EF为过点O的一条直线， ∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积菱形ABCD的面积， ∵菱形ABCD的面积AC×BD＝48， ∴四边形ABFE的面积＝24， ∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABOAO×BO＝12， ∴阴影部分的面积＝12， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质． 8．（2024•武汉模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝6，AC＝8，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，那么的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】设△ABD的内切圆为⊙I，⊙A与AB、AD、BD 分别相切于点E、F、G，由∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，求得BC＝10，S△ABC＝24，连接IE、IF、IG、IA、IB、ID，则6r15r15r1＝S△ABD＝12，求得r1；用同样的方法求得r2，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设△ABD的内切圆为⊙I，⊙A与AB、AD、BD 分别相切于点E、F、G， ∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC10，S△ABCAB•AC6×8＝24， ∵AD为斜边BC上的中线， ∴AD＝BD＝CDBC＝5， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC＝12， 连接IE、IF、IG、IA、IB、ID，则IE＝IF＝IG＝r1， ∵S△ABI+S△ADI+S△BDI＝S△ABD＝12，且AB⊥IE，AD⊥IF，BD⊥IG， ∴6r15r15r1＝12， 解得r1； 同理8r25r2+5r2＝12， 解得r2， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的内切圆的定义和性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024•山西模拟）如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，图中点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为（3n﹣4，m+1），点F的坐标为（n2，2m），若点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，则二次函数y＝x2+nx+m图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C． D．或（2，﹣3） 【分析】根据点E，F关于y轴对称，可得两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程得到m和n的值，进而根据点E到x轴的距离小于它到y轴的距离可得n的具体值，代入二次函数，整理成顶点式可得二次函数的顶点坐标． 【详解】解：∵点E，F关于y轴对称，其中点E的坐标为（3n﹣4，m+1），点F的坐标为（n2，2m）， ∴3n﹣4+n2＝0，m+1＝2m． 解得：n＝﹣4或n＝1；m＝1． 当n＝﹣4时，3n﹣4＝﹣16；当n＝1时，3n﹣4＝﹣1． 当m＝1时，m+1＝2． ∵点E到x轴的距离小于它到y轴的距离，|2|＜|﹣16|， ∴n＝﹣4． ∴二次函数解析式为：y＝x2﹣4x+1 ＝（x2﹣4x+4）﹣3 ＝（x﹣2）2﹣3． ∴二次函数y＝x2+nx+m图象的顶点坐标是（2，﹣3）． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：平面直角坐标系内的两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等；平面内一点到x轴的距离是此点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是此点的横坐标的绝对值． 10．（2023•拱墅区校级二模）如图，AD是△ABC的外角平分线，与△ABC的外接圆交于点D，连结BD交AC于点F，且BC＝CF，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADB＝∠CDB B．3∠ACB+∠ACD＝180° C．3∠BDC+2∠ABD＝180° D．3∠BAD+∠ABD＝360° 【分析】设∠DCB＝α，∠BDC＝β，表示出有关的角，由圆周角定理，圆内接四边形的性质，可以解决问题． 【详解】解：AD是△ABC的外角平分线， ∴∠EAD＝∠DAC， ∵∠EAD＝∠DCB，∠DAC＝∠DBC， ∴∠DBC＝∠DCB， ∵BC＝CF， ∴∠FBC＝∠CFB， ∴∠BDC＝∠BCF， ∵∠ADB＝∠BCF， ∴∠ADB＝∠BDC． 故A正确， 设∠DCB＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝∠ACB＝β， ∴2α+β＝180°， ∴3∠ACB+∠ACD＝3β+（α﹣β）＝α+2β≠180°， 故B错误； 3∠BDC+2∠ABD＝3β+2∠ACD＝3β+2（α﹣β）＝2α+β＝180°， 故C正确； 3∠BAD+∠ABD＝3（180°﹣α）+（α﹣β）＝540°﹣（2α+β）＝540°﹣180°＝360°， 故D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是设∠DCB＝α，∠BDC＝β，表示出有关的角． 二．填空题（共6小题，每小题4分。共24分） 11．（2022秋•长乐区校级期中）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是﹣1，则a的值为 　﹣7　 ． 【分析】将x＝﹣1代入原方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是﹣1， ∴1+a+6＝0， 解得：a＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 12．（2023秋•青铜峡市期末）已知点A（3，4），若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则⊙A与x轴的位置关系为 　相离　 ． 【分析】先由点A的坐标得到点A到x轴的距离、点A到y轴的距离，然后判定⊙A与x轴的位置关系． 【详解】解：∵A（3，4），以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆， ∴点A到x轴的距离为4＞r， ∴OA与x轴相离， 故答案为：相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点A的坐标得到点A到x轴的距离． 13．（2024秋•天河区校级月考）如图，函数y＝ax2+c与y＝mx+n的图象交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 　x＜﹣1或x＞3　 ． 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方， ∴关于x的不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3． 故答案为：x＜﹣1或x＞3． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 14．（2024秋•莱州市期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为 　22　 ． 【分析】由旋转的性质可得AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，由等腰直角三角形的性质可求∠CA'B'＝30°，然后得到AB＝A'B'＝4，BC＝2，利用勾股定理求得AC＝A'C＝2，最后利用AB′＝AC﹣B'C解答即可． 【详解】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′， ∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'， ∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝15°， ∴∠CA'B'＝30°， ∵AB＝A'B'＝4，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∴BC＝2， ∴AC＝A'C2， ∴AB′＝AC﹣B'C＝22， 故答案为：22． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 15．（2024•苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝　8π　 ．（结果保留π） 【分析】根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可． 【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM＝BMAB， ∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， ∴∠AOB60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是正三角形， ∵点O是△AOB的内心， ∴∠CAB＝∠CBA60°＝30°，∠ACB＝2∠AOB＝120°， 在Rt△ACM中，AM，∠CAM＝30°， ∴AC2， ∴的长为π， ∴花窗的周长为π×6＝8π． 故答案为：8π． 【点睛】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键． 16．（2025春•兴隆台区期末）已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线y＝m与新图象有四个交点时，m的取值范围是 　0＜m＜4　 ． 【分析】先根据图①所对应的解析式求出点A、B的坐标以及顶点坐标，再根据翻折变换求出曲线ACB所对应的解析式，再根据直线y＝m与图象②恰有四个公共点，结合图象进行计算即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 令y＝0，则（x﹣1）2﹣4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 根据翻折变换，（1，﹣4）关于x轴的对称点为（1，4）， ∴曲线ACB所对应的函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）， 当直线y＝m与图象②恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线y＝m与x轴重合，即m＝0时与图象②有两个公共点， 所以当m＞0时与图象②有四个公共点； ②当m＝4时，直线y＝m与y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）有三个公共点， 所以当0＜m＜4时，直线y＝m与新图象有四个交点． 故答案为：0＜m＜4． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，掌握数形结合的思想是解题的关键． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（2024秋•榆树市期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x|m|+1+（m﹣2）x﹣1＝0． （1）求m的值； （2）用配方法解这个方程． 【分析】（1）在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，且a≠0）中，要注意二次项系数a≠0这一条件； （2）利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义可得， 解得m＝1； （2）当m＝1时，方程为 2x2﹣x﹣1＝0， 两边同除以2得：， 配方，得：， 即：， 直接开平方，得：， 解得x1＝1，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程和解法，掌握配方法解一元二次方程是解答本题的关键． 18．（2024秋•凌源市期中）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F． （1）求证：AC＝BD； （2）若CD＝10，EF＝3，求⊙O的半径． 【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得AF＝BF，再根据垂径定理可得CF＝DF，然后根据线段和差即可得证； （2）连接OC，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，OF＝r﹣3，再根据垂径定理可得，然后在Rt△COF中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵OA＝OB，OE⊥AB于点F， ∴AF＝BF， 又∵OE是⊙O的半径，OE⊥AB， ∴CF＝DF， ∴AF﹣CF＝BF﹣DF， ∴AC＝BD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， ∴CFCD＝5，∠OFC＝90°， ∴CO2＝CF2+OF2， 设⊙O的半径是r， ∴r2＝52+（r﹣3）2， 解得r， ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． 19．（2025•扬州三模）如图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为　　 ； （2）如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 【分析】（1）根据题意可直接得出答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及系统正常工作的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，该电路为断路的概率为． 故答案为：． （2）将2个电子元件①、②正常工作分别记为R1，R2，2个电子元件①、②不能正常工作分别记为，， 列表如下： R2 R1 （R1，R2） 共有4种等可能结果，其中系统正常工作的结果有有：（R1，R2），共1种， ∴系统正常工作的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20．（2024•望江县三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，PC是⊙O的切线，点D是OA上一点，过点D作DE⊥OA于点D，交AC于点F，交CP于点E． （1）如图1，当点D与点O重合时，已知∠A＝20°，求∠CEF的度数； （2）如图2，连接OC，AE，当AE∥OC时，AE与⊙O交于点G，已知AG＝6，AB＝10，求EG的长． 【分析】（1）连接OC，由题意可得CO⊥PC，即∠OCE＝90°，因为OA＝OC，所以∠OCA＝∠A＝20°，所以∠ECF＝90°﹣∠OCA＝90°﹣20°＝70°，因为DE⊥AB，∠ADF＝90°，所以∠CFE＝∠AFD＝90°﹣∠A＝70°，即∠CEF＝180°﹣∠ECF﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣70°＝40°． （2）过点O作OH⊥AG于点H，故，因为OC⊥PC，AE∥OC，所以AE⊥PC，即∠EHO＝∠HEC＝∠ECO＝90°，可得四边形OCEH是矩形，所以，即EG＝EH﹣GH＝5﹣3＝2． 【详解】解：（1）如图1，连接OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴CO⊥PC，即∠OCE＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝20°， ∴∠ECF＝90°﹣∠OCA＝90°﹣20°＝70°， ∵DE⊥AB， ∴∠ADF＝90°， ∴∠CFE＝∠AFD＝90°﹣∠A＝70°， ∴∠CEF＝180°﹣∠ECF﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣70°＝40°． （2）如图2，过点O作OH⊥AG于点H， ， ∴． ∵OC⊥PC，AE∥OC， ∴AE⊥PC， ∴∠EHO＝∠HEC＝∠ECO＝90°， ∴四边形OCEH是矩形， ∴， ∴EG＝EH﹣GH＝5﹣3＝2． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． 21．（2024秋•蔡甸区月考）如图①，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA． （1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E，求证：△ABC是直角三角形． （2）如图②，将直线DE绕C点转动，使DE交AM于D，交NB的延长线于E点，则AB、AD、BE三条线段的长度之间存在何种等量关系？请你写出结论并加以证明． （3）将直线DE绕点C继续转动，使DE交BN于E，交AM的反向延长线于D，则AB、AD、BE三条线段的长度之间存在何种等量关系？请画出图形，并直接写出你的结论，不必证明． 结论：　AB＝BE﹣AD　 ． 【分析】（1）根据AM∥BN，得出∠MAB+∠NBA＝180°，再结合角平分线定义得出，再根据三角形内角和定理即可证明； （2）延长BC与AM交于点F，由AM∥BN，BC平分∠NBA可推出∠AFB＝∠ABF，则有AF＝AB．由AC平分∠MAB可得FC＝BC，从而可证到△DCF≌△ECB，则有DF＝EB，从而可得到AB＝AF＝AD﹣DF＝AD﹣BE； （3）延长BC与AM交于点F，可借鉴（2）中的解题经验得到AF＝AB，DF＝EB，从而得到AB＝AF＝DF﹣AD＝BE﹣AD． 【详解】（1）证明：AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA， ∴∠MAB+∠NBA＝180°， ∴， ∴， ∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）解：AB＝AD﹣BE． 证明：将直线DE绕C点转动，使DE交AM于D，交NB的延长线于E点，延长BC与AM交于点F，如图②． ∵AM∥BN，BC平分∠NBA， ∴∠DFC＝∠EBC，∠AFB＝∠FBN，∠FBN＝∠ABF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB， ∵AC平分∠MAB，∠ACB＝90°， ∴FC＝BC， 在△DCF和△ECB中， ， ∴△DCF≌△ECB（ASA）， ∴DF＝EB， ∴AB＝AF＝AD﹣DF＝AD﹣BE； （3）解：AB＝BE﹣AD． 证明：延长BC与AM交于点F，如图③． ∵AM∥BN，BC平分∠NBA， ∴∠DFC＝∠EBC，∠AFB＝∠FBN，∠FBN＝∠ABF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB， ∵AC平分∠MAB，∠ACB＝90°， ∴FC＝BC， 在△DCF和△ECB中， ， ∴△DCF≌△ECB（ASA）， ∴DF＝EB， ∴AB＝AF＝DF﹣AD＝BE﹣AD， 故答案为：AB＝BE﹣AD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 22．（2024•和平区校级模拟）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤2时，y的取值范围为_____． ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过﹣2、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 　﹣4≤y≤5　 ． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围． 【学以致用】 （3）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1﹣y2＝3，求a的值． 【分析】（1）配方得到抛物线对称轴为直线x＝﹣1，根据小伟的做法可得结果； （2）配方得到抛物线对称轴为直线x＝1，画出函数图象可知，当x＝﹣2时，y有最小值；当x＝1时，y有最大值； （3）配方得到抛物线对称轴为直线x＝3，分类讨论①若a≤0时②若a≥3时③若0＜a＜3时（i）时（ii）时，画出对应函数图象即可求解． 【详解】解：（1）根据小伟的做法；y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∵﹣2≤x≤2且|2﹣（﹣1）|＞|﹣2﹣（﹣1）|， ∴当x＝﹣1时，y有最小值（﹣1+1）2﹣4＝﹣4， 当x＝2时，y有最大值（2+1）2﹣4＝5， ∴y的取值范围为：﹣4≤y≤5， 故答案为：﹣4≤y≤5． （2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， 图象如图所示： 结合图象可知，当x＝﹣2时，y有最小值﹣（﹣2﹣1）2﹣2＝﹣11， 当x＝1时，y有最大值﹣（1﹣1）2﹣2＝﹣2， ∴y的取值范围为：﹣11≤y≤﹣2． （3）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝3， ①若a+3≤3，即：a≤0时： 结合图象可知，当x＝a时，y有最小值， ∴， 当x＝a+3时，y有最大值， ∴， ∴﹣（a+3﹣3）2+4﹣[﹣（a﹣3）2+4]＝3， 解得：a＝1（舍去）， ②若a≥3时： 结合图象可知，当x＝a+3时，y有最小值， ∴， 当x＝a时，y有最大值， ∴， ∴﹣（a﹣3）2+4﹣[﹣（a+3﹣3）2+4]＝3， 解得：a＝2（舍去）， ③若0＜a＜3时： （i）时： 结合图象可知，当x＝a+3时，y有最小值， ∴， 当x＝3时，y有最大值， ∴， ∴4﹣[﹣（a+3﹣3）2+4]＝3 解得：（舍去）， （ii）时： 结合图象可知，当x＝a时，y有最小值， ∴， 当x＝3时，y有最大值， ∴， ∴4﹣[﹣（a﹣3）2+4]＝3， 解得：（舍去）， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，开口方向、对称轴以及自变量的取值范围是求最值的三要素，掌握分类讨论的思想思想是解决第三问的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $