期末综合检测卷（1）-2025-2026学年人教版九年级数学上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

期末综合检测卷（1） （时间：120分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 2．（2024•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4） 3．（2023秋•石家庄期末）二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝3 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1 4．（2024秋•宿迁月考）点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过A，B，C，D四个点中的任意3个点，能画出图形“圆”的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．（2025•新会区一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 7．（2024秋•威县期末）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是（　　） A．FC＝3 B．EF＝12 C．当AB与⊙O相切时，EA＝4 D．当OB⊥CD时，EA＝AF 8．（2025春•南山区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则S△ABC﹣S△AOC的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2024•中山市校级一模）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8 10．（2024秋•建宁县期中）阅读材料：如果a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则有a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0．创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2013的值为（　　） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 二．填空题（共6小题，每小题4分。共24分） 11．（2013•河南校级模拟）如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA＝　 　 ． 12．（2025春•雅安期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 　 　 （填“必然”或“随机”）事件． 13．（2024秋•武陟县月考）将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2，则b的值为 　 ． 14．（2024春•嘉兴期末）将一副三角板如图放置，边EF与边BC在同一条直线上，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠ABC＝60°，∠E＝45°．三角板DEF保持不动，将三角板ABC绕点B顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）．当α＝　 　 时，AB∥DE． 15．（2023•松阳县二模）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高CD＝12cm，底面内径BC＝8cm，球的最高点E到瓶底的距离为20cm，则球的半径为 　 　 cm． 16．（2024春•大余县月考）已知△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，∠BAC＝52°，D是⊙O上除A，B，C之外的任意一点，直线CD与直线AB相交于点E，则当△ADC为等腰三角形时，∠AEC的度数为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（8分）（2024秋•扎鲁特旗期末）解下列方程： （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）x（2x+4）＝10+5x． 18．（10分）（2024春•驿城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，4），B（2，3），C（5，2）．将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1． （1）①以原点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2； ②以原点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转180°得△A3B3C3； （2）在（1）的条件下，△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，则该对称中心坐标为 　 　 ． 19．（10分）（2022•雁塔区二模）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率； （2）小明从这四张纸牌中随机摸出两张，用树状图或表格法，求摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的概率． 20．（12分）（2025•洛阳二模）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①刹车后行驶的距离单位s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求s关于t的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了63m时，求t的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车76m，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 21．（12分）（2023秋•丰顺县期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点． （1）求直线AC的解析式；（2）当P是抛物线顶点时，求△APC面积； （3）在P点运动过程中，求△APC面积的最大值． 22．（14分）（2023秋•中山市期末）综合与探究 问题情境： 如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC． 探究发现： （1）证明：无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，CD与AB存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当△AOC为正三角形时，CD与AB存在的数量关系是：CD＝　　 AB． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末综合检测卷（1） （时间：120分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2024•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0， 解得c＝4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．（2024•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4） 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 3．（2023秋•石家庄期末）二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝3 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1 【分析】由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴， 【详解】解：∵y＝（x﹣3）（x+5）， ∴函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣5，0）， ∴函数图象的对称轴为直线x1， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键． 4．（2024秋•宿迁月考）点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过A，B，C，D四个点中的任意3个点，能画出图形“圆”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先确定A、B、C、D四点中，每三点一组，可分为4组，而能画出圆的有3组，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：任取3点有A、B、C，A、B、D，A、C、D，B、C、D四种情况， 而能画出圆的是A、B、D，A、C、D，B、C、D三种情况， ∴画出图形“圆”的概率是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查概率公式，掌握不在同一直线上的三点确定一个圆和概率公式是解题的关键． 5．（2024•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠CDB＝60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CDB＝60°， ∴∠A＝∠CDB＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6．（2025•新会区一模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 【分析】设每天“遗忘”的百分比为x，根据两天不练丢一半列方程解答即可． 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为x， （1﹣x）， 解得x1，x（不合题意，舍去）， ∵0.293， ∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键根据题意正确确定等量关系． 7．（2024秋•威县期末）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是（　　） A．FC＝3 B．EF＝12 C．当AB与⊙O相切时，EA＝4 D．当OB⊥CD时，EA＝AF 【分析】根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论． 【详解】解：如图，由题意可得： AB＝CE＝12，AB+BO＝OE＝17，FD＝AB＝12，OC＝OB＝OD＝5， ∴FC＝FD﹣CD＝12﹣10＝2，故A不符合题意； EF＝CE﹣CF＝12﹣2＝10，故B不符合题意； 如图，当AB与⊙O相切时，∠ABO＝90°， ∴AO13， ∴EA＝EO﹣AO＝17﹣13＝4，故C符合题意； 当OB⊥CD时，如图， ∴AO， ∴AE＝EO﹣AO＝17，AF＝AO﹣OF2﹣57， ∴AE≠AF，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 8．（2025春•南山区期中）如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝2，，OC＝4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则S△ABC﹣S△AOC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】证明△BO'A≌△BOC，即可得到O'A＝OC＝4，S△AO′B＝S△BOC，根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，则OO'＝OB＝2，利用勾股定理的逆定理判断△AOO'是直角三角形，∠AOO’＝90°，利用四边形AOBO'的面积＝等边△BOO'面积+Rt△AO′O面积＝△AO'B面积+△AOB的面积＝△BOC的面积+△AOB的面积，进行计算即可判断． 【详解】解：在△BO'A和△BOC中，BO'＝BO，∠O'BA＝∠OBA，BA＝BC． ∴△ABO'≌△BOC（SAS）． ∴O'A＝OC＝4． 如图，连接OO’， 根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形， ∴OO'＝OB＝2， 在△AOO'中，AO＝2，OO'＝2，AO'＝4， ∴△AOO'是直角三角形，∠AOO’＝90°． ∴Rt△AOO''面积为2， ∵等边△BOO'面积为3， ∴四边形AOBO'的面积为5， ∵△ABO'≌△BOC， ∴四边形AOBO'的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积， ∴S△ABC﹣S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝5． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解． 9．（2024•中山市校级一模）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8 【分析】根据y＝﹣x2+6x（0≤x≤6）可求出A1（6，0），C1（3，9），从而可求出A2（12，0），C2（9，﹣9），进而可得出C2：y＝（x﹣9）2﹣9（6＜x≤12），再根据整个函数图象每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，由2024÷12＝168⋯⋯8，即可知m的值等于x＝8时的纵坐标，从而即可得出答案． 【详解】解：对于y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），当y＝0时，﹣x2+6x＝0， 解得：x1＝0，x2＝6， ∴A1（6，0）， ∵y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9， ∴C1（3，9）． 由题意可知A2（12，0），C2（9，﹣9）， ∴可设C2：y＝a（x﹣9）2﹣9（6＜x≤12）， 将A2（12，0）代入y＝a（x﹣9）2﹣9，得：0＝a（12﹣9）2﹣9， 解得：a＝1， ∴y＝（x﹣9）2﹣9（6＜x≤12）． 由题意又可知整个函数图象每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等， ∵2024÷12＝168⋯⋯8， ∴m的值等于x＝8时的纵坐标， ∴m＝（8﹣9）2﹣9＝﹣8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，关键在于能根据函数图象发现规律并进行计算． 10．（2024秋•建宁县期中）阅读材料：如果a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则有a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0．创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2013的值为（　　） A．2019 B．2023 C．2022 D．2024 【分析】利用根的性质确定m和n满足的方程，再根据根与系数的关系求出m+n和mn的值，然后将所求式子化简，再将m+n和mn的值代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3， ∴m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，n2＝n+3， ∴m+n＝1，mn＝﹣3， ∴2n2﹣mn+2m+2013 ＝2（n+3）﹣（﹣3）+2m+2013 ＝2n+6+3+2m+2013 ＝2（m+n）+2022 ＝2×1+2022 ＝2+2022 ＝2024， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分。共24分） 11．（2013•河南校级模拟）如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA＝　2　 ． 【分析】由点P是第一象限内抛物线上的任意一点，PA⊥x轴于点A，表示出P点的坐标为（x，x2﹣1），进而表示出PO，PA的长，从而求出OP﹣PA的值． 【详解】解：∵点P是第一象限内抛物线上的任意一点，PA⊥x轴于点A， ∴表示出P点的坐标为：（x，x2﹣1）， ∴PAx2﹣1，OA＝x， ∴POx2+1， ∴OP﹣PAx2+1﹣（x2﹣1）＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标的性质，用x表示出PO，PA，OA的长度，是解决问题的关键． 12．（2025春•雅安期末）杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是 　随机　 （填“必然”或“随机”）事件． 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”从数学的观点看，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 13．（2024秋•武陟县月考）将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2，则b的值为 　12　 ． 【分析】根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【详解】解：根据题意可知将抛物线y＝2（x+1）2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝ax2+bx+c， 原抛物线解析式为y＝2（x+1+2）2+3， 整理，得：y＝2（x+3）2+3，即y＝2x2+12x+21， ∴b＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．解题的关键是熟练掌握平移规律． 14．（2024春•嘉兴期末）将一副三角板如图放置，边EF与边BC在同一条直线上，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠ABC＝60°，∠E＝45°．三角板DEF保持不动，将三角板ABC绕点B顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）．当α＝　15　 时，AB∥DE． 【分析】由平行线的性质可得∠DEF＝∠ABF＝45°，即可求α的值． 【详解】解：∵AB∥DE， ∴∠DEF＝∠ABF＝45°， ∴α＝60﹣45＝15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 15．（2023•松阳县二模）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高CD＝12cm，底面内径BC＝8cm，球的最高点E到瓶底的距离为20cm，则球的半径为 　5　 cm． 【分析】如图，连接OA．设OE＝OA＝R cm．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：如图，连接OA．设OE＝OA＝R cm． 由题意AD＝BC＝8cm，EG＝20﹣12＝8（cm）， ∵EF⊥AD， ∴AG＝DG＝4（cm）， 则有R2＝（8﹣R）2+42， ∴R＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．（2024春•大余县月考）已知△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，∠BAC＝52°，D是⊙O上除A，B，C之外的任意一点，直线CD与直线AB相交于点E，则当△ADC为等腰三角形时，∠AEC的度数为 　70°或76°或20°　 ． 【分析】首先求出∠ABC＝∠ACB＝64°，然后分三种情况讨论：①如图1，当AD＝CD时，②如图2，当CD＝CA时，③如图3，当AD＝CD时，分别利用圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝52°， ∴， ①如图1，当AD＝CD时， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠D＝∠B＝64°， ∴， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝64°﹣58°＝6°， ∴∠AEC＝∠B+∠BCD＝64°+6°＝70°； ②如图2，当CD＝CA时， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠D＝∠B＝64°， ∴∠CAD＝64°， ∴∠BAD＝∠CAD﹣∠BAC＝64°﹣52°＝12°， ∴∠AEC＝∠D+∠BAD＝64°+12°＝76°； ③如图3，当AD＝CD时， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠ABC＝64°， ∴∠ADC＝180°﹣∠B＝116°， ∵， ∴∠DAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAC＝180°﹣52°﹣32°＝96°， ∴∠AEC＝∠ADC﹣∠DAE＝116°﹣96°＝20°， 故答案为：70°或76°或20°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，正确分类讨论是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 17．（8分）（2024秋•扎鲁特旗期末）解下列方程： （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）x（2x+4）＝10+5x． 【分析】（1）应用配方法解一元二次方程即可． （2）应用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）2x2﹣4x+1＝0， x2﹣2x， x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）x（2x+4）＝10+5x， 2x（x+2）﹣5（x+2）＝0， （x+2）（2x﹣5）＝0， ∴x+2＝0或2x﹣5＝0， ∴x1＝﹣2，x2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 18．（10分）（2024春•驿城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，4），B（2，3），C（5，2）．将△ABC向左平移6个单位得到△A1B1C1． （1）①以原点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2； ②以原点O为旋转中心，将△A1B1C1按逆时针方向旋转180°得△A3B3C3； （2）在（1）的条件下，△ABC与△A3B3C3关于某点成中心对称，则该对称中心坐标为 　（3，0）　 ． 【分析】（1）①根据旋转的性质作图即可． ②根据旋转的性质作图即可． （2）连接AA3，BB3，CC3，相交于点M，则△ABC与△A3B3C3关于点M成中心对称，即可得出答案． 【详解】解：（1）①如图，△A2B2C2即为所求． ②如图，△A3B3C3即为所求． （2）连接AA3，BB3，CC3，相交于点M， 则△ABC与△A3B3C3关于点M成中心对称， 由图可知，该对称中心坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 19．（10分）（2022•雁塔区二模）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率； （2）小明从这四张纸牌中随机摸出两张，用树状图或表格法，求摸出的两张牌面图形都是中心对称图形的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可． （2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再根据中心对称图形的概念可知，当摸出圆和平行四边形时为中心对称图形，除以总情况数即可． 【详解】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是； （2）列表得： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是中心对称图形的有2种，即（B，C）（C，B） ∴P（两张都是中心对称图形）． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．（12分）（2025•洛阳二模）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 4 刹车后行驶的距离s 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离单位s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求s关于t的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了63m时，求t的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车76m，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出s关于t的函数解析式； （2）将s＝63代入解析式，计算出t的值，再进行取舍即可； （3）求出（1）中函数的最大值，与76m比较即可． 【详解】解：（1）设s关于t的函数解析式为s＝at2+bt+c， 将（0，0），（1，27），（2，48）代入， ， 解得：， s关于t的函数解析式为s＝﹣3t2+30t； （2）由（1）得s关于t的函数解析式为s＝﹣3t2+30t， 当汽车刹车后行驶了63m时， 可有﹣3×t2+30t＝63， 解得：t＝3或7（不符合题意，舍去）， ∴当汽车刹车后行驶了63m时，t的值为3； （3）车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车， 理由如下：由（1）得s关于t的函数解析式为ys＝﹣3t2+30t， ∴s＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米， ∵76＞75， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 21．（12分）（2023秋•丰顺县期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上的动点． （1）求直线AC的解析式； （2）当P是抛物线顶点时，求△APC面积； （3）在P点运动过程中，求△APC面积的最大值． 【分析】（1）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，3），即可求解； （2）则△APC面积SHP×OA（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）x2x；P是抛物线顶点时，x＝1，故S＝3； （3）△APC面积SHP×OA（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）x2x；0，故当x时，S有最大值． 【详解】解：（1）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象和x轴交于点A、B，与y轴交于点C， 则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，3）， 设AC的表达式为：y＝kx+b， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式：， 解得：k＝1，b＝3 ∴AC的表达式为：y＝x+3； （2）过点P作y轴的平行线交AC于点H， 设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则H（x，x+3）， 则△APC面积SHP×OA（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）x2x； P是抛物线顶点时，x1，故S＝3； （3）∵△APC面积SHP×OA（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）x2x（x）2； ∴当x时，S有最大值． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 22．（14分）（2023秋•中山市期末）综合与探究 问题情境： 如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC． 探究发现： （1）证明：无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，CD与AB存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当△AOC为正三角形时，CD与AB存在的数量关系是：CD＝　　 AB． 【分析】（1）先根据切线的性质得到OC⊥DE，再证明AD∥OC得到∠DAC＝∠OCA，加上∠OAC＝∠OCA，所以∠DAC＝∠OAC，然后根据折叠的性质可判断将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上； （2）由于△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D，则根据折叠的性质得到DA＝DC，再证明∠DCA＝45°，接着根据切线的性质得到∠OCD＝90°，则可计算出∠OCA＝45°，然后证明四边形AOCD为矩形，则CD＝AO，从而得到CDAB； （3）先根据正三角形的性质得到OA＝AC，∠OCA＝60°，再计算∠ACD＝30°，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到ADAC，ADCD，则CDAC，从而得到CDAB． 【详解】（1）证明：∵DE为⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE， ∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上； （2）解：CDAB． 理由如下：∵△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D， ∴DA＝DC， ∵AD⊥CE， ∴∠DCA＝45° ∵DE为⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∴∠OCD＝90°， ∴∠OCA＝45°， ∴∠COA＝90°， ∵∠ADC＝∠AOC＝∠OCD＝90°， ∴四边形AOCD为矩形， ∴CD＝AO， ∴CDAB； （3）解：∵△AOC为正三角形， ∴OA＝AC，∠OCA＝60°， ∵∠OCD＝90°， ∴∠ACD＝30°， ∴ADAC，ADCD， ∴CDAC， ∴CDAC， 而AC＝OAAB， ∴CDAB． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $