专题05 全等三角形的辅助线专训专题（6大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 全等三角形的辅助线专训专题 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 必备辅助线添法一 倍长中线法 题型二 必备辅助线添法二 截长补短法 题型三 必备辅助线添法三 旋转法 题型四 必备辅助线添法四 作平行线法 题型五 必备辅助线添法五 作垂线法 题型六 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 必备辅助线添法一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 3．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 4．（24-25八年级上·山东日照·期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【经典例题二 必备辅助线添法二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（24-25八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．    （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离 cm． 【经典例题三 必备辅助线添法三 旋转法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例3】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在Rt△ABC中，，点，分别在，上，．连接将线段绕点按顺时针方向旋转后得，连接． 求证：△BCD≌△FCE； 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 2．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）问题发现： 如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系． 拓展探究： 如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON (1)如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△OFD； (2)如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE、CF、CO三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF=1时，请求出BE的长． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）为等边三角形，，于点．为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边．连结，为的中点． （1）如图1，与交于点， ①连结，求线段的长； ②连结，求的大小． （2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为．为线段的中点．连结、．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论． 【经典例题四 必备辅助线添法四 作平行线法】 【例4】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的角平分线，是延长线上一点，． (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点作的平行线交于，（保留作图痕迹）． (2)求证：． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·开学考试）【发现问题】 如图①，在中，，点D为的中点，点F在上，且，与交于点E，求的值． 【问题分析】 小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形．根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题． 【问题解决】 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ∵点D为的中点，． 接下来小明想尝试证明．并结合已知条件得出结果． 请帮助小明继续完成上述求解过程． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）是等边三角形，点D是射线上的一个动点（点D不与点重合），是以为边的等边三角形，过点E作的平行线，分别交射线于点F、G，连接． (1)如图（1）所示，当点D在线段上时． ①求证：； ②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由； (2)如图（2）所示，当点D在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ (3)在（2）的情况下，当时，求四边形的面积． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，时，求证：； (3)如图3，当时，过点A作的垂线l，过点C作的平行线n，两直线l，n相交于M，连接．当取得最大值时，求出此时的值． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）【图形定义】若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．如图1，在中，，则为勾股高三角形． 【性质探究】为勾股高三角形 ，即① 又为的高 ，② 由①②可得，即 【性质应用】 (1)等腰直角三角形___________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，则线段的长度为___________． (3)如图3，等腰为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作边的平行线与边交于点．若，则线段的长度为___________． 【经典例题五 必备辅助线添法五 作垂线法】 【例5】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，池塘两端的距离无法直接测量，请同学们设计测量之间距离的方案． 小红的方案如图：先确定直线，过点B作的垂线，在上选取一个可以直接到达点A的点D，连接，在线段的延长线上找一点C使，测的长即可．为什么？请说明理由． 1．（2025·广东河源·模拟预测）如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 2．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与垂直的岸边上取两点、使 ，再引出的垂线，在上取一点，并使、、在 上，这时测出线段 的长度就是的长．    (1)按小明的想法填写题目中的空格； (2)请完成推理过程． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离． (1)请你在甲同学和乙同学的方案中任选一种进行证明； (2)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将“”换成条件___________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上； (3)丙同学给出了第三种解决方案：如图③，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离．你认为他的方案可行吗？如果可行请证明；如果不可行，请你添加一个条件使方案可行，并尝试证明． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【经典例题六 必备辅助线添法六 见直角作延长线】 【例6】（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由． 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图1所示，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接，，． (1)当点在线段上时（不与点重合），证明：； (2)当点在线段的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：， ； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，在等腰直角中，，点是线段上不与点，重合的动点，连接并延长至点，使，过点作，垂足为点．        (1)当点，位于点的异侧时，问线段，，之间有何数量关系？写出你的结论并证明； (2)当点，位于点的同侧时，若，，请在备用图中画出图形，并求的长． 4．（24-25八年级上·湖北随州·期中）关于等腰直角三角形两腰的运用：可以把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，通常寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等性质读出结论解决问题． （1）已知：如图（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，则△ACD≌△CBE，全等的依据是 　 　． （2）已知：如图（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面积． 这道题，我们可构造DE，DC为斜边的两个直角三角形；具体构造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根据提示，通过思考运算，请直接写出S△AED＝　 　． （3）已知：如图（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于点E，若BD＝2，求AE的长． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（   ） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若∠BDC=25°，AD=4，DE=，则CD的长为（    ） A． B． C． D．2 5．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 7．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 8．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 ． 9．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，等边三角形△ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，连接EF，则EF的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 cm2． 11．（24-25八年级上·福建莆田·期末）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形. (2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.    12．（24-25八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 13．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，等腰中，，点D为上一点，连接． (1)如图1，若，，且，求线段的长度；    (2)如图2，过点B作，交的延长线于点E，以为斜边作等腰直角三角形，过点G作交的延长线于点F，且，求证：；    (3)如图3，在（2）问的条件下，过点G作，垂足为H，交于点M，点N为延长线上一点，连接，若，，，求线段的长度．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形的辅助线专训专题 （6大题型+15道拓展培优题） 题型一 必备辅助线添法一 倍长中线法 题型二 必备辅助线添法二 截长补短法 题型三 必备辅助线添法三 旋转法 题型四 必备辅助线添法四 作平行线法 题型五 必备辅助线添法五 作垂线法 题型六 必备辅助线添法六 见直角作延长线 【经典例题一 必备辅助线添法一 倍长中线法】 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围； （2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）已知O是四边形内一点，且，，． (1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：； (2)如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）先推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则； （2）连接并延长到点，使，连接，由倍长中线，模型可证明，得到，，进一步，，则，而，所以，即可证明，得，所以，则，即可证明点，，在同一条直线上． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，连接并延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与在同一条直线上， 点，，在同一条直线上． 3．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 4．（24-25八年级上·山东日照·期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得：， ， ，， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【经典例题二 必备辅助线添法二 截长补短法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例2】（24-25八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 在上取．连接，可得，得出，再证明即可解决问题． 【详解】证明：在上取，连接，   ，，且， ， ，， ∵，， ， ， ， ． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形内角和定理即可得到； （3）在上取点F．使得，连接，证明是等边三角形，再推出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下： 在上取点F．使得，连接． 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 【答案】（1）解答过程见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，理解题意做出辅助线是解题的关键． （1）在上截取，可得是的垂直平分线即可求证； （2）在线段上截取，连接，证明即可求证 【详解】证明：（1）在上截取，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）在线段上截取，连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．    （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离 cm． 【答案】（1），见解析；（2）；见解析；（3） 【分析】（1）由等边三角形知，结合知，由知，证得，再证是等边三角形得； （2）延长到点E，使，连接，先证得，，据此可得，由勾股定理知，继而可得； （3）由直角三角形的性质知，，利用（2）中的结论知，据此可得答案． 【详解】解：（1），理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：； （2）， 如图2，延长到点E，使，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，连接，    ∵， ∴， ∴， 由（2）知． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【经典例题三 必备辅助线添法三 旋转法】 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 【例3】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在Rt△ABC中，，点，分别在，上，．连接将线段绕点按顺时针方向旋转后得，连接． 求证：△BCD≌△FCE； 【答案】见解析 【分析】由题意可知∠ECD=∠ACB=90°，由此易得∠ECF=∠DCB，由旋转的性质可得CE=CD，结合已知条件CF=CB即可由“SAS”证得△BCD≌△FCE. 【详解】∵ 绕点 顺时针方向旋转 得 ， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵在和中，     ∴△BCD≌△FCE． 【点睛】熟悉“旋转的性质和全等三角形的判定方法”是解答本题的关键. 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 2．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）问题发现： 如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系． 拓展探究： 如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系． 【答案】问题发现：∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE，理由见解析；拓展探究：∠BEC＝90°，BF＝CE＋AF，理由见解析 【分析】问题发现：证明△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，由点B，D，E在同一直线上，可得∠BEC＝60°； 拓展探究：方法同上，证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由点A，D，E在同一直线上，可得∠ADB＝∠AEC＝135°，进而可得∠DAE＝90°，由AD＝AE，AF⊥DE，可得AF＝DF＝EF，即可得出BF＝BD＋DF＝CE＋AF． 【详解】问题发现：∵△ACB和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA， ∵点B，D，E在同一直线上， ∴∠ADB＝180－60＝120°， ∴∠AEC＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120－60＝60°， 综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE． 拓展探究： ∵△ACB和△DAE均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADB＝180－45＝135°， ∴∠AEC＝135°， ∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝135－45＝90°； ∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AF⊥DE， ∴AF＝DF＝EF， ∴DE＝DF＋EF＝2AF， ∴BF＝BD＋DF＝CE＋AF． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON (1)如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△AEC≌△OFD； (2)如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE、CF、CO三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF=1时，请求出BE的长． 【答案】(1)见解析； (2)CF=CO+CE； (3)3或5或1 【分析】（1）由等边三角形得到AC=AD，∠ACB=∠D=∠BAC=∠COD=60°，推出∠EAC=∠FOD，即可证得结论； （2）过点O作BC，交CF于点H，得到△COH是等边三角形，证明△OHF≌△OCE(ASA)，推出CE=FH，即可得到CF=CO+CE； （3）作BH⊥AC于H，求出BH，再分四种情况当点O在线段AH上，点E在线段BC上，点F在线段CD上时；当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时；当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时；当点O在线段HC上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时，分别计算即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△ACD为正三角形， ∴AC=AD，∠ACB=∠D=∠BAC=∠COD=60°， 由旋转得∠EOF=60°， ∴∠EAC=∠FOD， ∴△AEC≌△OFD(ASA)； （2）解：CF=CO+CE，理由如下： 如图3，过点O作BC，交CF于点H， ∴∠HOC=∠BCA=60°，∠OHC=∠HCE=60°， ∴△COH是等边三角形， ∴OC=CH=OH， ∵∠EOF=∠COH=∠CHO=∠BCA=60°， ∴∠COE=∠FOH，∠OCE=∠OHF=120°， ∵OH=OC， ∴△OHF≌△OCE(ASA)， ∴CE=FH， ∵CF=CH+FH， ∴CF=CO+CE； （3）解：作BH⊥AC于H， ∵AB=6，AH=CH=3， ∴BH=AH=3， 如图， 当点O在线段AH上，点E在线段BC上，点F在线段CD上时， ∵BO＝2， ∴， ∴OC=3+1=4， 过点O作ONAB，交BC于N， ∴△ONC是等边三角形， ∴ON=OC=CN=4，∠NOC=∠EOF=60°=∠ONC=∠OCF， ∴∠NOE=∠COF， ∴△ONE≌△OCF(ASA)， ∴CF=NE， ∵CN=CE+NE， ∴CO=CE+CF， ∵OC=4，CF=1， ∴CE=3， ∴BE=6-3=3； 如图，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时， 同法可证：CE-CF=OC， ∴CE=CF+OC=1+4=5， ∴BE=BC-CE=6-5=1； 如图，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时， 同法可证：OC=CE+CF， ∵OC=CH-OH=3-1=2，CF=1， ∴CE=1， ∴BE=6-1=5； 如图，当点O在线段HC上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时， 同法可证：CE-CF= OC， ∴CE=2+1=3， ∴BE=3； 综上，满足条件的BE的值为3或5或1．． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定及性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，根据题意分别作出相应的辅助线并运用类比思想及分类思想解决问题是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）为等边三角形，，于点．为线段上一点，．以为边在直线右侧构造等边．连结，为的中点． （1）如图1，与交于点， ①连结，求线段的长； ②连结，求的大小． （2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为．为线段的中点．连结、．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论． 【答案】（1）①；②；（2），证明见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质，，可得，是斜边上的中线，勾股定理在中可求得的长，进而求得的长；②根据①的结论可得，根据，即可求得的度数； （2）连接，证明，进而可得，则，进而根据为的中点，为的中点，为的中点，根据三角形中位线定理可得，进而可得 【详解】（1）①是等边三角形， ， 是等边三角形， 为的中点 ②如图，连接， ； （2），理由如下， 如图， 连接 ，为等边三角形， , 则 为的中点，为的中点，为的中点 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，勾股定理，中位线定理，三角形全等的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 【经典例题四 必备辅助线添法四 作平行线法】 【例4】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的角平分线，是延长线上一点，． (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点作的平行线交于，（保留作图痕迹）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作平行线，三角形外角的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法． （1）以点D为角的顶点，为角的一条边，在上方作，则即为所求； （2）根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵， ∴； （2）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， 又， ∴． 1．（25-26八年级上·江苏无锡·开学考试）【发现问题】 如图①，在中，，点D为的中点，点F在上，且，与交于点E，求的值． 【问题分析】 小明对该问题进行仔细地研究后发现点F、D都是某一边上固定比例的分点，我们可以称之为“定比分点”，过其中一个定比分点作平行线即可得到两组相似三角形．根据相似三角形的性质即可得到相应的比例关系，并解决该问题． 【问题解决】 解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ∵点D为的中点，． 接下来小明想尝试证明．并结合已知条件得出结果． 请帮助小明继续完成上述求解过程． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，已知证明过程已得，可得，结合可得，再证，根据对应边长成比例，可得，进而可得． 【详解】解：如图②，过点D作交于点H， ， ， ， ∵点D为的中点， ． ． ∵， ， ， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）是等边三角形，点D是射线上的一个动点（点D不与点重合），是以为边的等边三角形，过点E作的平行线，分别交射线于点F、G，连接． (1)如图（1）所示，当点D在线段上时． ①求证：； ②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由； (2)如图（2）所示，当点D在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ (3)在（2）的情况下，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)①见解析；②平行四边形，理由见解析 (2)成立 (3) 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等； ②四边形是平行四边形，因为，所以可得，进而证明，则可得到，又，所以四边形是平行四边形； （2）根据（1）的思路可得；根据“”可得；可得，，根据平行线判定可得，根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形； （3）依据，是以为边的等边三角形，判断出，进而推导出，根据代入数据解答即可． 【详解】（1）解：①证明：∵和都是等边三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴． ②解：四边形是平行四边形，理由如下： 由①得， ∴°． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当点D在的延长线上时，（1）中的两个结论成立．理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解题关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，时，求证：； (3)如图3，当时，过点A作的垂线l，过点C作的平行线n，两直线l，n相交于M，连接．当取得最大值时，求出此时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质等，解题关键是通过构造全等三角形，结合特殊三角形性质进行角与边的转化． （1）利用角平分线定义得，由可知，结合公共边，通过判定，根据全等三角形对应角相等得，进而推出． （2）在上截取，连接．由小问1结论，结合、，通过判定，得、．因，是等边三角形，，可推出，则是等边三角形，．最后通过线段代换，证得． （3）先分析取得最大值的情况，当、、共线时最大．利用、得出是等腰直角三角形，结合、，推出角的度数．延长、交于，通过角的关系证得．再由判定，得，进而通过线段代换得出，即． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ，， ， ， ， ； （2）如图，在上截取，连接， 由（1）得， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （3）的值为， 理由∶如图3， ，， ，， ，， ，， ， ， 当、、三点在同一条直线上时，，此时取得最大值， 如图4， 点、、三点在同一条直线上，延长、交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的值为． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）【图形定义】若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．如图1，在中，，则为勾股高三角形． 【性质探究】为勾股高三角形 ，即① 又为的高 ，② 由①②可得，即 【性质应用】 (1)等腰直角三角形___________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，则线段的长度为___________． (3)如图3，等腰为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作边的平行线与边交于点．若，则线段的长度为___________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先画图，再分别表示，，因为，结合勾股高三角形，即可作答． （2）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形如图所示： 依题意，， 即是边上的高， 设， ∴， ∵， 即满足三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； （2）解：∵， ∴ 由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； 故答案为：； （3）解：如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 在中，， 则 ； 又， ，， ， ， ， ， 而， ∵， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 【经典例题五 必备辅助线添法五 作垂线法】 【例5】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，池塘两端的距离无法直接测量，请同学们设计测量之间距离的方案． 小红的方案如图：先确定直线，过点B作的垂线，在上选取一个可以直接到达点A的点D，连接，在线段的延长线上找一点C使，测的长即可．为什么？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的实际应用．证明即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 测出的长即可得出A、B之间距离． 1．（2025·广东河源·模拟预测）如图所示，为等腰直角三角形，，点是的中点，点是上一点． (1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规基本作图—作垂线作出的垂线即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，的垂线即为所求． （2）证明：由题意，得是等腰直角三角形，． 点是的中点， ．， ． ． ． ， ． ． ． 在和中， ． ． 【点睛】本题考查了尺规基本作图—作垂线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的性质，熟记线段垂线的基本作法是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与垂直的岸边上取两点、使 ，再引出的垂线，在上取一点，并使、、在 上，这时测出线段 的长度就是的长．    (1)按小明的想法填写题目中的空格； (2)请完成推理过程． 【答案】(1)；同一直线； (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用： （1）根据全等三角形的性质进行填空，构造全等三角形即可； （2）首先利用证明，进而可根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】（1）解：在与垂直的岸边上取两点、使，再引出的垂线，在上取一点，并使、、在同一直线上，这时测出线段的长度就是的长． 故答案为：；同一直线；； （2）解：由题意得，， 在和中，， （全等三角形的对应边相等）． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离． (1)请你在甲同学和乙同学的方案中任选一种进行证明； (2)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将“”换成条件___________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上； (3)丙同学给出了第三种解决方案：如图③，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离．你认为他的方案可行吗？如果可行请证明；如果不可行，请你添加一个条件使方案可行，并尝试证明． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） (3)不可行，可添加条件为，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）方法一利用定理证明可得；方法二利用定理证明可得； （2），可得，利用定理证明可得； （3）添加条件为，利用证明三角形全等，即可解答． 【详解】（1）解：方法一可行，理由如下： 在和中， ， ， ； 方法二可行，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：只需即可， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． （3）解：不可行，可添加条件为，证明如下： ， ， 在和中， ， ， ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 【经典例题六 必备辅助线添法六 见直角作延长线】 【例6】（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由． 【答案】小聪的做法可行，理由见解析 【分析】通过已知条件证明，得到，，再根据已知条件证明，再根据角平分线的判定证明即可； 【详解】小聪的做法可行，理由如下： ∵CF⊥OA，DE⊥OB， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵CF⊥OA，DE⊥OB， ∴OP平分∠AOB； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定，准确证明是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图1所示，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接，，． (1)当点在线段上时（不与点重合），证明：； (2)当点在线段的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)结论仍然成立，图与理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键． （1）根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得． （2）先进行等量代换求出，然后得出，进一步得出结论仍然成立． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ， ； （2）结论仍然成立， 如图2所示， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，等腰直角中，，，．E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：， ； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于D点，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质键． （1）根据同角的余角相等得到，根据证明，故可得结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证出，则可得出结论； （3）过点F作交的延长线于H，由（1）（2）得到，，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴E点为的中点； （3）如图3，过点F作，交的延长线于H，    ∵，， ∴， 由（1）（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，在等腰直角中，，点是线段上不与点，重合的动点，连接并延长至点，使，过点作，垂足为点．        (1)当点，位于点的异侧时，问线段，，之间有何数量关系？写出你的结论并证明； (2)当点，位于点的同侧时，若，，请在备用图中画出图形，并求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)作图见解析，线段的长为或 【分析】（1）如图，过点作于点，证明，可得，，再结合线段的和差关系可得结论； （2）如图，过点作于，求解，同（1）可得，设，则，分两种情况讨论：①当点在点，之间时，点在点，之间，②当点在，之间时，点在，之间，再利用线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点      ∵在等腰中，，∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图，过点作于      在等腰中，由三线合一得点是的中点 ∵， ∴， 同（1）可得， 设，则， ①当点在点，之间时，点在点，之间， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在，之间时，点在，之间 ∴， ∴， ∴， ∴ 综合上述，线段的长为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的方法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 4．（24-25八年级上·湖北随州·期中）关于等腰直角三角形两腰的运用：可以把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，通常寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等性质读出结论解决问题． （1）已知：如图（1），等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ADC＝∠E＝90°，则△ACD≌△CBE，全等的依据是 　 　． （2）已知：如图（2），梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°，若AD＝2，BC＝5，求△AED的面积． 这道题，我们可构造DE，DC为斜边的两个直角三角形；具体构造如下：作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，根据提示，通过思考运算，请直接写出S△AED＝　 　． （3）已知：如图（3），等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC，AD交于点E，若BD＝2，求AE的长． 【答案】（1）AAS；（2）3；（3）4 【分析】（1）根据题意，可得∠CAD=∠BCE，再由AC＝BC，可根据AAS证得△ACD≌△CBE； （2）作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N，可证得△CDM≌△EDN，得到EN=CM，再根据两平行线间距离处处相等，可得到BM=AD=2，即可求解； （3）延长BD交AC延长线于点G，可先证得△ACE≌△BCG，从而得到AE=BG，再由AD平分∠BAC，BD⊥AD，可得到△ADG≌△ADB，从而得到DG=BD=2，即可求解． 【详解】解：（1）AAS，理由如下： ∵△ABC是等腰直角， ∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCE=90°， ∵∠ADC=∠E=90°， ∴∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， ∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）如图，作DM⊥BC于M，EN⊥AD于N， ∵AD∥BC， ∴AD⊥DM，即∠MDN=90°， ∴∠CDM+∠CDN=90°， ∵△EDC为等腰直角三角形，∠EDC＝90°， ∴DC=DE，∠EDN+∠CDN=90°， ∴∠EDN=∠CDM， ∵DM⊥BC于M，EN⊥AD， ∴∠DMC=∠DNE=90°， ∴△CDM≌△EDN（AAS）， ∴EN=CM， ∵AB⊥BC，AD＝2，BC＝5， ∴BM=AD=2， ∴CM=BC-BM=3， ∴EN=3， ∴ ； （3）如图，延长BD交AC延长线于点G， ∵∠ACB＝90°，BD⊥AD， ∴∠ADG=∠ACB＝90°， ∴∠G+∠CBG=90°，∠G+∠DAG=90°， ∴∠CBG=∠DAG， ∵AC=BC， ∴△ACE≌△BCG， ∴AE=BG， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAG=∠BAD， ∵AD=AD， ∴△ADG≌△ADB， ∴DG=BD=2， ∴AE=BG=2BD=4． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质定理，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（   ） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【答案】C 【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC-CE＜AE＜AC+CE，从而易求1＜AD＜7． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE， ∵AD是边BC上的中线， ∴CD=BD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED， ∴AB=CE=6， 在△ACE中，8-6<AE<6+8，即2<AE<14， ∴1＜AD＜7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，首先从的周长入手求出，延长至，使，连接，然后利用全等来解． 【详解】解：如图所示，延长至，使，连接， 的周长为2，即， ∵正方形的边长是1， ∴，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， ∴， 在与中，，，， ∴， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若∠BDC=25°，AD=4，DE=，则CD的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接CE，根据已知和全等三角形的判定可证得△ABD≌△CBE，则CE=AD=4，由等腰三角形的性质可求得∠BDE=65°，进而求得∠CDE=90°，由勾股定理即可求得CD的长． 【详解】解：连接CE， ∵∠ABC=∠DBE， ∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD， 即∠ABD=∠CBE， 又∵AB=BC，DB=EB， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴CE=AD=4， ∵DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°， ∴∠BDE==65°，又∠BDC=25°， ∴∠CDE=65°+25°=90°， 在Rt△CDE中，由勾股定理得： CD=， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，连接CE证得∠CDE=90°是解答的关键． 5．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，所以①正确； 在和中， ， ，所以②正确； ， ∵∠AFD=∠MFB， ， ，所以③正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 6．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 7．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 ． 【答案】 【分析】作EF⊥AD于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°. 【详解】如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EC⊥CD， ∴EF=EC, 又∵DE=DE, , ∴△DCE≌△DFE（HL）， ∴=∠CED＝35°, ∵CE=BE,CE=EF, ∴BE=EF, 又∵AE=AE, , ∴△AFE≌△ABE（HL）， ∴, 又∴=∠CED＝35°, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键. 9．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，等边三角形△ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连接AD，并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，连接EF，则EF的最小值为 ． 【答案】 【分析】取AB的中点H，连接DH，由“SAS”可证△ADH≌△AEF，可得EF＝DH，由垂线段最短，可得当DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，取AB的中点H，连接DH， ∵△ABC是等边三角形，BF是高， ∴AF＝CF＝3，∠ABF＝30°， ∵点H是AB中点， ∴BH＝AH＝3， ∴AH＝AF， ∵将AD绕点A逆时针旋转60°至AE， ∴AE＝AD，∠DAE＝60°＝∠BAC， ∴∠DAH＝∠FAE，且AF＝AH，AD＝AE， ∴△ADH≌△AEF（SAS） ∴EF＝DH， ∴当DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值， ∴DH的最小值为BH＝， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的最值问题，掌握旋转的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 10．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 cm2． 【答案】8 【分析】延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED（ASA），证得AB＝AE，BD＝DE，即可证得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝12+2S△EDC即可求得结果． 【详解】解：延长BD、AC交于点E， ∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D， ∴在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴AB＝AE，BD＝DE， ∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC， 设S△EDC＝x， ∵△ABC的面积为16cm2， ∴S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝16+2S△EDC＝16+2x， ∴S△ADC＝S△ADE﹣S△EDC＝ 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形面积的求法，根据图形的特点，补全成特殊的图形是解题的关键. 11．（24-25八年级上·福建莆田·期末）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形. (2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； (2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形. 【详解】解：（1）连结AD ,    ∵AB=AC ,∠BAC=90°  ,D为BC中点 , ∴AD⊥BC ,BD=AD , ∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°, 又∵BE=AF , ∴△BDE≌△ADF（SAS）, ∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF, ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°, ∴△DEF为等腰直角三角形. （2）连结AD      ∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 , ∴AD=BD ,AD⊥BC , ∴∠DAC=∠ABD=45° , ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE , ∴△DAF≌△DBE（SAS）, ∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB, ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF为等腰直角三角形. 【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定． 12．（24-25八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N． （1）如图1，当直线在外时，证明：． （2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论； （2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴．   （2）解：．   ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴．   ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变． 13．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：【尝试探究】． 证明：如图，把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，    ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【模型建立】成立，如图，    证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（2）中的结论还成立，； 【拓展应用】∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 将绕点旋转，得到，    ∵，， ∴和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法（2），可得：， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． 15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，等腰中，，点D为上一点，连接． (1)如图1，若，，且，求线段的长度；    (2)如图2，过点B作，交的延长线于点E，以为斜边作等腰直角三角形，过点G作交的延长线于点F，且，求证：；    (3)如图3，在（2）问的条件下，过点G作，垂足为H，交于点M，点N为延长线上一点，连接，若，，，求线段的长度．    【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点A作于，在中求出，，在中求出，由等腰三角形三线合一即可求解； （2）由对角互补，得，证得为等腰直角三角形，得，由，得； （3）连接，，结合（2）得到为等腰直角三角形，则，再过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，先证明，再证明，最后设，则，，，在中，运用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于，   ，， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图2，连接，在上截取，连接，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， （3）解：连接，， 由（2）知， ∵ ∴， ∵， ∴ ∵， ， 得，又 垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ，    过点作，交延长线于，过点作，交延长线于 ∵，， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∵， ∴， ∴ 由为等腰直角三角形，， ∴， 设，则，， 在中，， ， ，（舍去） ∴ 在中，． 【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，结合全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定和性质来求解是本题解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $